Kurs:Elementare Algebra/2/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 7 | 4 | 7 | 6 | 3 | 61 |
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.
Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:
ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle aus folgt . Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von nur aus besteht, was genau dann gilt, wenn injektiv ist.
ist eine Einheit genau dann, wenn es ein gibt mit , was genau dann der Fall ist, wenn zum Bild von gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass surjektiv ist, denn aus folgt sofort für jedes .
Aufgabe (2 Punkte)
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Es ist
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
surjektiv ist.
Es sei vorgegeben. Da nicht konstant ist, ist auch nicht konstant und besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra eine Nullstelle. Also gibt es ein mit
also
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir . Man betrachtet die Zahl
Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen teilbar, da bei Division von durch immer ein Rest verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von , die es nach Satz 12.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .
b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .
a) Beide Zahlen liegen in ihrer Primfaktorzerlegung vor, daher ist nach Korollar 9.10 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) der größte gemeinsame Teiler gleich
b) Es ist
daher lautet die Primfaktorzerlegung der ersten Zahl
und somit ist der größte gemeinsame Teiler gleich
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne in .
Der Zahl entspricht in das Paar . Das Element hat in die Ordnung . Das Element hat in wegen und die Ordnung . Somit besitzt die multiplikative Ordnung . In gilt (durch abziehen von Vielfachen von )
Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich
Diesem Paar entspricht das Element .
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.
Wir setzen
Es sei und . Wir müssen zeigen, dass ebenfalls zu gehört. Es ist
Wegen und da ein Normalteiler ist, gehört dies zu . Also ist .
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne in
( bezeichne die Restklasse von ).
Es ist
und
Daher ist
Aufgabe (3 (1+2) Punkte)
Das Polynom besitzt in die Zerlegung
in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.
a) Wir betrachten Vielfache von , da diese in der zweiten Komponente auf gehen. Das Polynom wird auf
abgebildet, daher ist
das Urbild des ersten Basisvektors.
b) Wir betrachten Vielfache von , da diese in der ersten Komponente auf gehen. Das Polynom geht auf
und das Polynom geht auf
Somit geht auf
und somit geht
auf den zweiten Basisvektor.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.
Es sei ein idempotentes Element. Dies bedeutet
und somit ist ein Vielfaches von , sagen wir
Nehmen wir an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ist
und
mit
Wären , so wäre sowohl als auch ein Vielfaches von , und das würde dann auch für gelten, was nicht der Fall ist. Also ist oder , was oder im Restklassenring bedeutet.
Aufgabe (7 Punkte)
Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit
Zum Beweis der Inklusion sei . Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass
wobei
mit ist. Dies bedeutet wiederum, dass
mit und ist. Somit ist
Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit Faktoren, wobei Faktoren zu und Faktoren zu gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die und auch .
Zum Beweis der Inklusion genügt es, die Inklusion für jedes zu zeigen. Wegen ist aber sofort
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme sämtliche Teiler von im Ring , wobei ein Körper ist.
Die Teiler von sind genau die Elemente der Form
Solche Elemente sind Teiler, da ja
gilt. Wenn umgekehrt mit ein Teiler von ist, so gibt es ein mit entsprechend und mit
Dabei seien die angeführten Koeffizienten . Das Produkt ist daher von der Form
Dies kann nur dann gleich sein, wenn
ist, was nur bei möglich ist.
Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)
a) Zeige, dass irreduzibel in ist.
b) Zeige, dass irreduzibel in ist. (Tipp: In gilt die Zerlegung .)
c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von
in .
a) Das Polynom ist für rationale (auch reelle) Zahlen stets positiv und besitzt daher keine Nullstelle. Nach Lemma 6.9 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist es somit irreduzibel.
b) Über hat man die Faktorisierung
Die beiden Faktoren haben keine reelle Nullstelle, da stets positiv ist. Eine Zerlegung über würde zu der gegebenen Zerlegung über führen, wegen gehören aber nicht zu . Das Polynom ist also irreduzibel in .
c) Wir machen den Ansatz
Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf
Also ist
und
Aus
folgt durch Addition der ersten beiden Gleichungen und damit
Aus
folgt
also
und aus
ergibt sich
und somit
Die Partialbruchzerlegung ist also
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei eine rationale Zahl, die in keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den Zerfällungskörper des Polynoms über . Welchen Grad besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von an.
Da keine dritte Wurzel in besitzt, ist das Polynom in irreduzibel. Daher ist
eine Körpererweiterung vom Grad drei. Es sei die eindeutig bestimmte reelle dritte Wurzel aus . Durch die Zuordnung können wir als Unterkörper von auffassen. In (und in ) hat das Polynom die Zerlegung
Da es in nur eine dritte Wurzel gibt, und da keine Nullstelle des rechten Faktors ist, ist das Polynom
über und erst recht über irreduzibel. Von daher ist nicht der Zerfällungskörper. In der quadratischen Erweiterung
zerfällt das Polynom und damit auch in Linearfaktoren. Der Grad des Zerfällungskörpers ist also nach der Gradformel gleich .
Um eine Realisierung des Zerfällungskörpers in zu erhalten, betrachten wir
Die Lösungen dazu sind in gleich
Daher ist der Zerfällungskörper gleich
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.
Der Einheitskreis selbst ist konstruierbar, da er den Mittelpunkt besitzt und durch läuft. Der Punkt ist ebenfalls konstruierbar und somit hat man auch die -Achse zur Verfügung. Man kann nun den dadurch gegebenen rechten Winkel durch eine konstruierbare Gerade halbieren und erhält einen neuen Schnittpunkt mit dem Einheitskreis, der somit konstruierbar ist. Den entstehenden Winkel kann man wieder halbieren und so erhält man eine neue Gerade und einen neuen Punkt auf dem Einheitskreis. So fortfahrend erhält man unendlich viele Punkte auf dem Einheitskreis.