Kurs:Elementare Algebra/5/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 4 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 3 | 2 | 7 | 4 | 3 | 12 | 4 | 4 | 62 |
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.
Eine ungerade Zahl besitzt die Form mit einer ganzen Zahl . Somit ist
Die hinten ist ein Vielfaches von . Genau eine der beiden Zahlen und ist gerade, also von der Form . Daher ist ein Vielfaches von und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von .
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.
Wir beweisen die Existenz durch Induktion über . Für liegt eine Primzahl vor. Bei ist entweder eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung mit kleineren Zahlen . Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für zusammen.
Aufgabe (2 Punkte)
Es seien Elemente in einem kommutativen Ring . Welche der folgenden Formulierungen sind zu
äquivalent.
- teilt .
- wird von geteilt.
- wird von geteilt.
- ist ein Vielfaches von .
- ist ein Vielfaches von .
- teilt .
- .
- Jedes Vielfache von ist auch ein Vielfaches von .
- Jeder Teiler von ist auch ein Teiler von .
- Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.
Richtig sind .
Aufgabe (1 Punkt)
Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da ist und damit
aber
ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus
gibt, in dessen Bild das Element liegt.
Wenn im Bild eines Gruppenhomomorphismus
liegt, so liegt insbesondere in einer Untergruppe einer Ordnung und nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung von ebenfalls . Die Ordnung ist also höchstens gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen , für die es einen solchen Gruppenhomomorphismus gibt.
Es sei umgekehrt die Ordnung von . Der kanonische Gruppenhomomorphismus
besitzt den Kern . Aufgrund des Satzes vom induzierten Homomorphismus induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Gruppenhomomorphismus
und gehört dabei zum Bild.
Aufgabe (3 Punkte)
Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
Es ist
Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
(a) : Alle Vielfachen von haben modulo und modulo den Rest . Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. hat modulo den Rest , somit hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .
: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .
: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .
(b) Man schreibt (in )
Die Lösung ist dann
Die minimale Lösung ist dann .
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.
Nehmen wir an, dass es einen Ringhomomorphismus
gebe. Dann wäre
In sind aber alle Quadrate positiv und besitzt keine Quadratwurzel, sodass ein Widerspruch vorliegt.
Aufgabe (7 Punkte)
Es ist
und der zweite Faktor ist irreduzibel nach Lemma 27.12 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)). Nach Korollar 18.5 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) muss es daher eine Darstellung der Form
geben. Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf
Also ist
für jedes ist (der Koeffizient zu )
und
Durch Addition der ersten Bedingungen erhält man
für . Aus
und
ergibt sich
und daraus
Die Partialbruchzerlegung ist demnach
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass die Anzahl der Elemente von die Potenz einer Primzahl ist.
Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Lemma 13.5 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit bezeichnet. Das bedeutet, dass den Körper enthält. Damit ist aber ein Vektorraum über , und zwar, da endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei die Dimension, . Dann hat man eine -Vektorraumisomorphie
und somit besitzt gerade Elemente.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein , , mit gibt.
Nach Voraussetzung ist ein zweidimensionaler Vektorraum über , und darin ist ein eindimensionaler Untervektorraum. Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element derart, dass und eine -Basis von bilden. Wir können
schreiben, bzw. (da eine Einheit ist),
Mit gilt also und und bilden ebenfalls eine -Basis von .
Aufgabe (12 (3+1+6+2) Punkte)
Es sei eine Primzahl.
a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung
Man gebe auch eine - Basis von an.
b) Zeige, dass in alle Elemente der Form und mit eine dritte Wurzel besitzen.
c) Die rationale Zahl besitze in eine dritte Wurzel. Zeige, dass die Form
mit besitzt.
d) Es sei nun eine weitere, von verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
a) Wegen besitzt das Polynom keine Nullstelle in . Daher ist es nach Lemma 6.9 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) irreduzibel und somit ist nach Lemma 23.2 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) das Minimalpolynom und somit besitzt die Körpererweiterung
den Grad . Eine - Basis ist durch gegeben.
b) Es ist
und
c) Eine dritte Potenz in besitzt die Form mit . Sei
mit . Dann ist
mit
und
Wegen müssen die beiden hinteren Komponenten sein, also
Daher ist auch
Es sei zuerst der hintere Faktor . Bei müsste
sein, was der Irrationalität dieser dritten Wurzel widerspricht. Also ist und damit auch .
Es sei nun
Wegen folgt daraus oder . In jedem Fall sind also mindestens zwei der Koeffizienten gleich . Die zugehörigen dritten Potenzen sind
und somit sind die rationalen Zahlen, die in diesem Körper eine dritte Wurzel besitzen, von der beschriebenen Art.
d) Wir betrachten die Körpererweiterung
Nach Teil b) ist . Somit ist irreduzibel über und daher besitzt nach der gleichen Argumentation wie unter a) die Körpererweiterung
den Grad . Nach der Gradformel besitzt die Gesamterweiterung
den Grad .
Aufgabe (4 Punkte)
Nach Lemma 6.9 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) genügt es zu zeigen, dass keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass
eine Nullstelle ist mit in gekürzter Darstellung. Es gilt dann
bzw.
Wenn eine Primzahl die Zahl teilt, folgt daraus, dass auch von geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen ist auch . Also muss eine Einheit sein. Wenn von einer Primzahl geteilt wird, so wäre auch ein Vielfaches von . Also ist auch eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten , also , sind keine Nullstelle des Polynoms, wie Einsetzen zeigt.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine zu teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
Wegen der Teilerfremdheit gibt es ganze Zahlen mit
Wenn der Winkel konstruierbar wäre, so könnte man diese Konstruktion mal aneinander anlegend durchführen und würde den Winkel erhalten. Dieser entspricht aber dem Winkel und dieser wäre dann ebenfalls konstruierbar. Dann wäre das regelmäßige -Eck konstruierbar. Wegen
ist dies aber nicht der Fall.