Kurs:Elementare Algebra/5/Klausur mit Lösungen/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 4 3 2 1 4 3 3 2 7 4 3 12 4 4 64




Aufgabe (4 Punkte)


Lösung

  1. Ein Körper ist ein kommutativer Ring, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element in ein multiplikatives Inverses besitzt.
  2. Ein kommutativer, nullteilerfreier, von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
  3. Der Index ist die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen von in .
  4. Die Quotientenmenge

    mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo .

  5. Die Einheitengruppe in ist die Teilmenge aller Einheiten in .
  6. Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
  7. Die Abbildung

    heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

    1. .
  8. Eine Körpererweiterung vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.


Aufgabe (4 Punkte)


Lösung

  1. Es ist
  2. Der Kern zu einem Ringhomomorphismus ist ein Ideal.
  3. Elemente besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler , und dieser lässt sich als Linearkombination der darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .
  4. Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Dann gibt es ein  ,  und .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.


Lösung

Eine ungerade Zahl besitzt die Form mit einer ganzen Zahl . Somit ist

Die hinten ist ein Vielfaches von . Genau eine der beiden Zahlen und ist gerade, also von der Form . Daher ist ein Vielfaches von und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Lösung

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über .  Für liegt eine Primzahl vor. Bei ist entweder eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung mit kleineren Zahlen . Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für zusammen. 


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Elemente in einem kommutativen Ring . Welche der folgenden Formulierungen sind zu

äquivalent.

  1. teilt .
  2. wird von geteilt.
  3. wird von geteilt.
  4. ist ein Vielfaches von .
  5. ist ein Vielfaches von .
  6. teilt .
  7. .
  8. Jedes Vielfache von ist auch ein Vielfaches von .
  9. Jeder Teiler von ist auch ein Teiler von .
  10. Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.


Lösung

Richtig sind .


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.


Lösung

Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da ist und damit

aber

ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

gibt, in dessen Bild das Element liegt.


Lösung

Wenn im Bild eines Gruppenhomomorphismus

liegt, so liegt insbesondere in einer Untergruppe einer Ordnung und nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung von ebenfalls . Die Ordnung ist also höchstens gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen , für die es einen solchen Gruppenhomomorphismus gibt.

Es sei umgekehrt die Ordnung von . Der kanonische Gruppenhomomorphismus

besitzt den Kern . Aufgrund des Satzes vom induzierten Homomorphismus induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Gruppenhomomorphismus

und gehört dabei zum Bild.


Aufgabe (3 Punkte)

Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.


Lösung

Es ist

und ist irreduzibel, da es keine rationale Nullstelle besitzt. Es handelt sich also um die Primfaktorzerlegung, wobei die Faktoren paarweise nicht assoziiert sind, da sie ja alle normiert sind. Nach dem chinesischen Restsatz für Hauptidealbereiche gilt daher die Produktzerlegung
wobei wir für das zweite Gleichheitszeichen die Einsetzungen und und die Isomorphie verwendet haben. Das Element wird unter den drei Projektionen auf und abgebildet, es ist also gleich


Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Lösung

(a) : Alle Vielfachen von haben modulo und modulo den Rest . Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. hat modulo den Rest , somit hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

(b) Man schreibt (in )

Die Lösung ist dann

Die minimale Lösung ist dann .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.


Lösung

Nehmen wir an, dass es einen Ringhomomorphismus

gebe. Dann wäre

In sind aber alle Quadrate positiv und besitzt keine Quadratwurzel, so dass ein Widerspruch vorliegt.


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei eine Primzahl. Finde die Partialbruchzerlegung von

in .


Lösung

Es ist

und der zweite Faktor ist irreduzibel nach Lemma 27.12. Nach Korollar 18.5 muss es daher eine Darstellung der Form

geben. Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf

Also ist

für jedes ist (der Koeffizient zu )

und

Durch Addition der ersten Bedingungen erhält man

für . Aus

und

ergibt sich

und daraus

Die Partialbruchzerlegung ist demnach


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass die Anzahl der Elemente von die Potenz einer Primzahl ist.


Lösung

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Fakt ***** nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit bezeichnet. Das bedeutet, dass den Körper enthält. Damit ist aber ein Vektorraum über , und zwar, da endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei die Dimension, . Dann hat man eine -Vektorraumisomorphie

und somit besitzt gerade Elemente.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein , , mit gibt.


Lösung

Nach Voraussetzung ist ein zweidimensionaler Vektorraum über , und darin ist ein eindimensionaler Untervektorraum. Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element derart, dass und eine -Basis von bilden. Wir können

schreiben, bzw. (da eine Einheit ist),

Mit gilt also und und bilden ebenfalls eine -Basis von .


Aufgabe (12 (3+1+6+2) Punkte)

Es sei eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

Man gebe auch eine - Basis von an.

b) Zeige, dass in alle Elemente der Form und mit eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl besitze in eine dritte Wurzel. Zeige, dass die Form

mit besitzt.

d) Es sei nun eine weitere, von verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung


Lösung

a) Wegen besitzt das Polynom keine Nullstelle in . Daher ist es nach Lemma 6.9 irreduzibel und somit ist nach Lemma 23.2 das Minimalpolynom und somit besitzt die Körpererweiterung

den Grad . Eine - Basis ist durch gegeben.

b) Es ist

und

c) Eine dritte Potenz in besitzt die Form mit . Sei

mit . Dann ist

mit

und

Wegen müssen die beiden hinteren Komponenten sein, also

Daher ist auch

Es sei zuerst der hintere Faktor . Bei müsste

sein, was der Irrationalität dieser dritten Wurzel widerspricht. Also ist und damit auch .

Es sei nun

Wegen folgt daraus oder . In jedem Fall sind also mindestens zwei der Koeffizienten gleich . Die zugehörigen dritten Potenzen sind

und somit sind die rationalen Zahlen, die in diesem Körper eine dritte Wurzel besitzen, von der beschriebenen Art.

d) Wir betrachten die Körpererweiterung

Nach Teil b) ist . Somit ist irreduzibel über und daher besitzt nach der gleichen Argumentation wie unter a) die Körpererweiterung

den Grad . Nach der Gradformel besitzt die Gesamterweiterung

den Grad .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

über irreduzibel ist.


Lösung

Nach Lemma 6.9 genügt es zu zeigen, dass keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass

eine Nullstelle ist mit in gekürzter Darstellung. Es gilt dann

bzw.

Wenn eine Primzahl die Zahl teilt, folgt daraus, dass auch von geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen ist auch . Also muss eine Einheit sein. Wenn von einer Primzahl geteilt wird, so wäre auch ein Vielfaches von . Also ist auch eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten , also , sind keine Nullstelle des Polynoms, wie Einsetzen zeigt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine zu teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.


Lösung

Wegen der Teilerfremdheit gibt es ganze Zahlen mit

Wenn der Winkel konstruierbar wäre, so könnte man diese Konstruktion mal aneinander anlegend durchführen und würde den Winkel erhalten. Dieser entspricht aber dem Winkel und dieser wäre dann ebenfalls konstruierbar. Dann wäre das regelmäßige -Eck konstruierbar. Wegen

ist dies aber nicht der Fall.