Kurs:Funktionentheorie/3/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	7	3	3	4	3	2	0	0	6	9	3	0	5	3	3	0	57

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die holomorphe Ableitung einer reell differenzierbaren Funktion

   $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },$

   ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen.

2. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$

3. Eine exakte Differentialform.
4. Eine meromorphe Funkton auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.
5. Das Residuum zu einer holomorphen Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe.
6. Eine elliptische Funktion zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.

Lösung

1. Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktion/Holomorphe Ableitung/Definition/Begriff/Inhalt
2. Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man

   ${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}.$

3. Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Definition/Begriff/Inhalt
4. Meromorphe Funktion/C/Definition/Begriff/Inhalt
5. Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Holomorph/Definition/Begriff/Inhalt
6. Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Matrizen und gebrochen-lineare Funktionen auf ${}{\mathbb {C} }$.
2. Der Riemannsche Hebbarkeitssatz.
3. Der Satz über den Körper der elliptischen Funktionen.

Lösung

1. Die Abbildung

   $\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {Rat} ({\mathbb {C} },{\mathbb {C} }),\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto {\left(z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\right)},$

   die einer invertierbaren Matrix die zugehörige gebrochen-lineare Funktion zuordnet,

   ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Bild die Gruppe der gebrochen-linearen Abbildungen ist und dessen Kern aus den Streckungsmatrizen ${}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ mit ${}s\neq 0$

   besteht.
2. Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}f\colon G\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
   1. Es gibt eine stetige Fortsetzung

      ${\tilde {f}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

      von ${}f$.

   2. Der Betrag von ${}f$ ist in einer offenen Umgebung von ${}P$ beschränkt.
   3. Es ist

      ${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow P}\,(z-P)f(z)=0\,.$

   4. Es gibt eine holomorphe Fortsetzung

      ${\tilde {f}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

      von ${}f$.

3. Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von ${}\wp$ und ${}\wp '$ erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in ${}\wp$ und ${}\wp '$ schreiben.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.

Lösung

Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung

${}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {\tilde {P}}{Q}}\,$

mit ${}\operatorname {grad} \,({\tilde {P}})<\operatorname {grad} \,(Q)$. Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad ${}r=\sum _{i=1}^{s}r_{i}$ des Nennerpolynoms. Bei ${}r=0,1$ ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ${}Q$ ein Nennerpolynom vom Grad ${}r$ und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ${}X-a_{1}$ ein Linearfaktor von ${}Q$, so dass wir

${}Q={\tilde {Q}}(X-a_{1})\,$

schreiben können, wobei ${}{\tilde {Q}}$ den Grad ${}r-1$ besitzt. Die Ordnung von ${}X-a_{1}$ in ${}Q$ sei ${}r_{1}$. Wir setzen

${}{\frac {P}{Q}}={\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}\,$

an. Dies führt auf

${}P=c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}+{\tilde {P}}(X-a_{1})\,,$

aus der wir ${}c_{1r_{1}}$ und ${}{\tilde {P}}$ bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für ${}X=a_{1}$ gelten soll, muss

${}c_{1r_{1}}={\frac {P(a_{1})}{(a_{1}-a_{2})^{r_{2}}\cdots (a_{1}-a_{s})^{r_{s}}}}\,$

sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die ${}a_{i}$ als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun

$P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}$

mit dem soeben bestimmten Wert ${}c_{1r_{1}}$. Für diese Differenz ist dann ${}a_{1}$ nach Konstruktion eine Nullstelle, so dass man nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) durch ${}X-a_{1}$ teilen kann, also

${}P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}=(X-a_{1}){\tilde {P}}\,$

erhält. Dadurch ist ${}{\tilde {P}}$ eindeutig festgelegt. Der Grad von ${}{\tilde {P}}$ ist kleiner als der Grad von ${}P$ und daher ist der Grad von ${}{\tilde {P}}$ auch kleiner als der Grad von ${}{\tilde {Q}}$. Daher können wir auf ${}{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}w\in U{\left(0,1\right)}$. Zeige, dass es eine gebrochen-lineare Funktion ${}g$ der Form ${}z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ mit

${}\vert {a}\vert ^{2}-\vert {b}\vert ^{2}=1\,$

und mit ${}g(0)=w$ gibt.

Lösung

Der Term ${}{\frac {1}{1-\vert {w}\vert ^{2}}}$ besitzt eine positive reelle Quadratwurzel ${}a$. Wir setzen ${}b=aw$ und sei ${}g$ die gebrochen-lineare Abbildung der Form ${}z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ zu diesem ${}a$ und ${}b$. Dabei gilt in der Tat

${}\vert {a}\vert ^{2}-\vert {b}\vert ^{2}=a^{2}-a^{2}\vert {w}\vert ^{2}=a^{2}{\left(1-\vert {w}\vert ^{2}\right)}=1\,$

und es gilt

${}g(0)={\frac {b}{a}}=w\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein wegzusammenhängender metrischer Raum zusammenhängend ist.

Lösung

Nehmen wir an, es gebe eine Zerlegung ${}X=U_{1}\uplus U_{2}$ in zwei nichtleere offene Teilmenge ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$. Sei ${}x_{1}\in U_{1}$ und ${}x_{2}\in U_{2}$. Nach Voraussetzung gibt es eine stetige Abbildung

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$

mit ${}\gamma (a)=x_{1}$ und ${}\gamma (b)=x_{2}$. Dann ist

${}[a,b]=\gamma ^{-1}(U_{1})\uplus \gamma ^{-1}(U_{2})\,$

eine disjunkte Zerlegung eines Intervalls in zwei nichtleere offene Mengen im Widerspruch zu Satz 35.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, für welche komplexe Zahlen ${}z$ die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }n^{n}z^{n}$

konvergiert.

Lösung

Es handelt sich um eine Potenzreihe mit den Koeffizienten ${}n^{n}$. Sie konvergiert für ${}z=0$, da dann nur ein Glied von null verschieden ist. Wir behaupten, dass die Reihe für keine weitere komplexe Zahl konvergiert. Da es sich um eine Potenzreihe handelt, genügt es, für jede reelle positive Zahl ${}z$ nachzuweisen, dass die Reihe divergiert. Zu ${}z>0$ gibt es ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}kz\geq 1$. Es gilt dann auch ${}nz\geq 1$ für alle ${}n\geq k$. Wegen

${}\sum _{n=k}^{\infty }n^{n}z^{n}\geq \sum _{n=k}^{\infty }1\,$

erfüllt die Reihe nicht das Cauchy-Kriterium und kann daher nicht konvergieren.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

differenzierbar mit

${}\exp \!'(z)=\exp z\,$

ist.

Lösung

Aufgrund von Satz 8.12 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist

${}{\begin{aligned}\exp \!'(z)&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\\&=\exp z.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}\in K[\![S]\!]$ eine formale Potenzreihe mit $b_{0}=0$ und $b_{1}=1$, die wir als ${}G=S+S^{2}H(S)$ schreiben. Es sei ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}\in K[[T]]$ die Potenzreihe mit ${}F(G)=S$ und ${}G(F)=T$. Zeige ${}F=T-F^{2}\cdot H(F)$.

Lösung

Wir ersetzen in ${}G=S+S^{2}H(S)$ die Variable ${}S$ durch ${}F$ und erhalten

${}T=G(F)=F+F^{2}H(F)\,$

und durch eine Umstellung

${}F=T-F^{2}H(F)\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.

Lösung

Wir zeigen, dass ${}f$ in einer offenen Kreisscheibenumgebung von ${}a$ konstant ist und daher wegen Korollar 14.8 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) überhaupt konstant ist. Es sei

${}B\left(a,r\right)\subseteq U\,.$

Mit Lemma 14.9 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist dann

${}{\begin{aligned}\vert {f(a)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert dt\\&=\vert {f(a)}\vert ,\end{aligned}}$

daher muss hier sogar überall Gleichheit gelten. Dies bedeutet insbesondere

${}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert -\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt=0\,,$

wobei der Integrand wegen der Maximumsbedingung nichtnegativ ist. Dann ist aber nach Aufgabe 23.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) der Integrand bereits konstant gleich ${}0$. Dies gilt auch für jeden Radius ${}\leq r$, und daher ist überhaupt ${}\vert {f(z)}\vert =\vert {f(a)}\vert$ in einer offenen Umgebung von ${}a$. Aus Korollar 3.8 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ergibt sich, dass ${}f$ selbst in der Umgebung konstant ist.

Aufgabe (9 (5+4) Punkte)

Es seien ${}P,Q$ zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (P(x,y),Q(x,y)),$

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ sei in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ von ${}0$ verschieden.

1. Zeige, dass bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Determinante konstant ist.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Determinante nicht konstant sein muss.

Lösung

1. Die partiellen Ableitungen zu ${}\varphi$ sind auch Polynome und daher ist die Determinante der Jacobi-Matrix ebenfalls ein Polynom in zwei Variablen. Wir schreiben dieses Polynom als

   ${}D=P_{n}X^{n}+P_{n-1}X^{n-1}+\cdots +P_{1}X^{1}+P_{0}\,,$

   wobei die ${}P_{i}$ Polynome in ${}Y$ sind und ${}P_{n}\neq 0$. Es sei ${}D$ nicht konstant. Dann ist entweder (i) ${}n\geq 1$ oder (ii) ${}n=0$ und ${}P_{0}$ ist ein nichtkonstantes Polynom in ${}Y$. Im ersten Fall gibt es einen Wert ${}y$ derart, dass ${}P_{n}(y)\neq 0$ ist. Dann ist ${}D(X,y)$ ein nichtkonstantes Polynom in ${}X$. In beiden Fällen gibt es also eine Einsetzung, die zu einem nichtkonstanten Polynom in einer Variablen führt. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es dann ein ${}x\in {\mathbb {C} }$ mit ${}D(x,y)=0$ im Widerspruch zur Voraussetzung.

2. Wir betrachten die reellen Polynome

   $P=X-Y\,\,{\text{ und }}\,\,Q=X^{3}+Y^{3}+Y.$

   Die Jacobi-Matrix davon ist

   ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial P}{\partial X}}&{\frac {\partial P}{\partial Y}}\\{\frac {\partial Q}{\partial X}}&{\frac {\partial Q}{\partial Y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1\\3X^{2}&3Y^{2}+1\end{pmatrix}}\,$

   mit der Determinante

   $3Y^{2}+1+3X^{2}.$

   Dies ist stets ${}\geq 1>0$ und insbesondere nirgendwo gleich ${}0$. Die Determinante ist aber nicht konstant.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt ${}0$ für die rationale Funktion ${}{\frac {1}{1-z}}$.

Lösung

Die Funktion ist auf ${}U{\left(0,1\right)}$ holomorph und wird dort durch die geometrische Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }z^{n}$ beschrieben.

Die Funktion ist ferner auf ${}{\mathbb {C} }\setminus B\left(0,1\right)$ holomorph, dort gibt es also auch eine Laurent-Reihe. Diese kann man über

${}{\frac {1}{1-z}}={\frac {1}{1-{\left(z^{-1}\right)}^{-1}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\left(z^{-1}\right)}^{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }z^{-n}\,$

gewinnen.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon U\rightarrow V$ eine holomorphe Funktion derart, dass zu allen Punkten ${}P\in V$ die Faser ${}f^{-1}(P)$ aus ${}n$ Punkten besteht. Ferner sei ${}f$ ein lokaler Homöomorphismus. Zeige, dass ${}f$ eine Überlagerung ist.

Lösung

Es sei ${}P\in V$ mit den Urbildpunkten ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$. Wegen der lokalen Homöomorphie gibt es zu jedem Punkt ${}Q_{i}$ eine offene Umgebung ${}Q_{i}\in U_{i}\subseteq U$, die homöomorph auf ${}V_{i}\subseteq V$ abbildet. Wir können davon ausgehen, dass die ${}U_{i}$ paarweise disjunkt sind. Es sei

${}W=V_{1}\cap \ldots \cap V_{n}\,.$

Dies ist eine offene Umgebung von ${}P$, und

${}{\tilde {U}}_{i}=U_{i}\cap f^{-1}(W)\,$

sind offene Umgebungen von ${}Q_{i}$, die homöomorph auf ${}W$ abbilden. Wir behaupten, dass ${}f^{-1}(W)$ die disjunkte Vereinigung der ${}{\tilde {U}}_{i}$ ist und damit eine Überlagerung vorliegt. Wäre dies nämlich nicht der Fall, so würde es einen Punkt ${}R\in f^{-1}(W)$ geben, der nicht zur Vereinigung ${}\bigcup _{i=1}^{n}{\tilde {U}}_{i}$ gehört. Doch dann besitzt ${}f(R)$ neben den Urbildpunkten in ${}{\tilde {U}}_{i}$ noch einen weiteren Urbildpunkt im Widerspruch zur Voraussetzung über die Konstanz der Fasern.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und sei ${}\delta (t)=P+e^{2\pi {\mathrm {i} }t}$ die Standardumrundung von ${}P$. Zeige, dass für jeden Punkt ${}Q\in U{\left(P,1\right)}$ die Windungszahl gleich

${}\operatorname {ind} _{\delta }(Q)=1\,$

ist.

Lösung

Es sei ${}\gamma$ eine Standardumrundung von ${}Q$ innerhalb von ${}U{\left(P,1\right)}$. Nach Korollar 13.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)), angewendet auf ${}{\frac {1}{z-Q}}$, ist

${}\int _{\gamma }{\frac {1}{z-Q}}dz=\int _{\delta }{\frac {1}{z-Q}}dz\,.$

Somit ist

${}\operatorname {ind} _{\delta }(Q)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\delta }{\frac {dz}{z-Q}}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-Q}}=1\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine offene beschränkte einfach zusammenhängende Teilmenge ${}U\subset {\mathbb {C} }$ derart, dass der Abschluss ${}{\overline {U}}$ nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist.

Lösung

Wir betrachten den Kreisring ${}V=U(0,1,2)$ und die offene Menge

${}U=V\cap {\left({\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\geq 0}\right)}\,,$

aus dem Kreisring wird also ein „einseitig durchtrennendes Intervall“ herausgenommen. ${}U$ ist einfach zusammenhängend, beschränkt, der Abschluss ist aber der abgeschlossene Kreisring, der nicht einfach zusammenhängend ist. Insbesondere ist der Abschluss nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe, da diese einfach zusammenhängend ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung