Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Aufgaben B/Referenzsuche

Zeige, dass in Beispiel 11.4 das Distributivgesetz nicht gilt, wenn man die Rollen von Addition und Multiplikation vertauscht.

Es seien

Elemente in einem kommutativen Halbring

Berechne

Es seien

Elemente in einem kommutativen Halbring

Berechne

Es seien

Elemente in einem kommutativen Halbring

Berechne

Berechne

mit und ohne Distributivgesetz.

Es sei ein kommutativer Halbring

(mit den Verknüpfungen und den speziellen Elementen). Zeige, dass es genau eine Abbildung

gibt, die die Eigenschaften

und

für alle

erfüllt.

Beschreibe die Abbildung aus Aufgabe 11.6 für den kommutativen Halbring aus Beispiel 11.4.

Beschreibe die Abbildung aus Aufgabe 11.6 für den kommutativen Halbring aus Lemma 11.12.

Es sei ein kommutativer Halbring und Zeige die folgenden Gleichungen:

und

Bei einer Summe oder einem Produkt von mehreren Zahlen (oder Elementen eines kommutativen Halbringes) ist es nicht immer sinnvoll, eine feste Reihenfolge der Indexmenge zu haben. Häufig ist es besser, die Reihenfolge zu wechseln und oft gibt es gar keine natürliche Reihenfolge. Man muss sich zuerst klar machen, dass die Summe nicht von der Reihenfolge abhängt. Die Argumente sind ähnlich wie im Beweis zu Lemma 6.9.

Es sei ein kommutativer Halbring,

eine endliche Menge und seien

, Elemente aus Man definiert die Summe indem man eine Nummerierung (eine Bijektion)

fixiert und

setzt.

1. Zeige, dass diese Summe unabhängig von der gewählten Nummerierung ist.
2. Zeige für ein beliebiges
3. Es sei eine disjunkte Vereinigung. Zeige
4. Formuliere die entsprechenden Gesetze für das Produkt

Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring durch Induktion über wobei der Fall

verwendet werden darf (dabei sind natürliche Zahlen und).

Es sei ein kommutativer Halbring. Zeige, dass

ist (mit einer beliebig langen Summe von Einsen).

Es sei ein kommutativer Halbring,

und

Zeige, dass die folgenden gelten.

Zeige, dass

mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein kommutativer Halbring ist. Gilt in diesem Halbring die Eigenschaft, dass aus

folgt, dass

gleich ist?

Da man die natürlichen Zahlen zum Zählen von endlichen Mengen nimmt, es aber auch unendliche Mengen gibt, denkt sich Gabi Hochster, dass man die natürlichen Zahlen um ein weiteres Symbol (sprich unendlich) erweitern sollte. Diese neue Menge bezeichnet sie mit Sie möchte die Ordnungsstruktur, die Addition und die Multiplikation der natürlichen Zahlen auf ihre neue Menge ausdehnen, und zwar so, dass möglichst viele vertraute Rechengesetze erhalten bleiben.

1. Wie legt Gabi die Ordnung fest?
2. Wie legt sie die Nachfolgerabbildung fest? Gelten die Peano-Axiome?
3. Wie legt sie die Addition fest? Sie möchte ja nur mit dem einzigen neuen Symbol arbeiten.
4. Gilt mit dieser Addition die Abziehregel?
5. Zuerst denkt sie an die Festlegung doch dann stellt sie fest, dass sich das mit dem Distributivgesetz beißt. Warum?
6. Gabi möchte nun, dass für die neue Menge die Eigenschaften aus Satz 8.14 und aus Satz 9.6 nach wie vor gelten. Wie legt sie die Verknüpfungen fest?
7. Handelt es sich bei mit den Festlegungen aus Teil (6) um einen kommutativen Halbring?
8. Gilt die Kürzungsregel?

Wir rechnen mit den Zahlen nach den folgenden Verknüpfungstabellen.

und

Zeige, dass es sich dabei um einen kommutativen Halbring handelt. Gilt für diesen die Abziehregel?

Bei den folgenden Aufgaben zur Potenzmenge denke man an die Interpretation, wo eine Grundschulklasse und

die Menge der möglichen (in Hinblick auf die Gastauswahl) Geburtstagsfeiern sind.

Mustafa Müller hat Geburtstag. Auf jeden Fall lädt er Heinz, Gabi und Lucy ein. Er überlegt sich, ob und wen er aus dem erweiterten Freundeskreis noch einladen soll.

1. Wie viele Möglichkeiten besitzt Mustafa?
2. Nach langem Überlegen erstellt Mustafa eine Wertetabelle

   Name

   Wen lädt er ein?

3. Wie würde seine Wertetabelle aussehen, wenn er Bayar, Peter und Fritz einladen wollte?

Es sei eine endliche Menge mit Elementen. Zeige, dass die Potenzmenge

genau  Elemente besitzt.

Zu Mengen wird mit die Menge aller Abbildungen von nach bezeichnet.

Es sei eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen

Es sei eine Menge und ihre Potenzmenge. Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist. Wie lautet die Umkehrabbildung?

Bei der folgenden Aufgabe denke man an Mädchen der Klasse, Jungs der Klasse.

Es sei eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge

und der 

Produktmenge

Es sei eine Menge und

die zugehörige Potenzmenge. Betrachte die Vereinigung von Teilmengen von als eine Verknüpfung auf Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?

Es sei eine Menge und

die zugehörige Potenzmenge. Betrachte den Durchschnitt von Teilmengen von als eine Verknüpfung auf Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?

Es sei eine Menge und

die zugehörige Potenzmenge. Zeige, dass auf durch die Beziehung

eine Ordnung gegeben ist. Zeige, dass es sich nicht um eine totale Ordnung handelt.

Es sei eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von in die Potenzmenge

geben kann.

Welche Entwicklungen im Leben eines menschlichen Individuums kann man als einen Zuwachs an Abstraktionsfähigkeit beschreiben?

Welche Abstraktionsstufen im Grundkurs Mathematik (Teil 1 und 2) stellen für Sie besondere Hürden dar? Logik, Argumentation, Symbolik, Mengen, Abbildungen, Potenzmenge, Axiome, Folgen und Konvergenz, Äquivalenzrelationen und Quotientenmenge, reelle Zahlen, Stetigkeit?

Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.

Wir betrachten die natürlichen Zahlen mit den beiden Verknüpfungen Addition und Potenzierung und den ausgezeichneten Elementen

Welche Eigenschaften eines kommutativen Halbringes erfüllt diese Struktur, welche nicht?

Ein Adventskranz hat vier Kerzen, wobei am ersten Advent genau eine Kerze, am zweiten Advent genau zwei Kerzen usw. brennen sollen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Adventskranz Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Kerzen, die zuvor schon angezündet waren, wieder angezündet werden sollen, und wie viele, wenn stets so viele neue Kerzen wie möglich angezündet werden?

Es seien Elemente in einem kommutativen Halbring

Berechne

Es seien

Elemente in einem kommutativen Halbring

Zeige die Formel für die vierte Potenz,

auf die beiden folgenden Arten.

1. Berechne
2. Berechne

Skizziere ein Inklusionsdiagramm für sämtliche Teilmengen einer dreielementigen Menge.

Bestimme die Anzahl der Teiler der Zahlen

Sortieren Sie in Ihrem Kopf die Formulierungen

Es sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass ungerade oder aber durch teilbar ist.

Es sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass stets gerade ist.

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.

Es sei eine Menge von Äpfeln und eine Menge von Personen. Begründe, dass man die Apfelmenge genau dann gerecht auf die Personen aufteilen kann, wenn ein Teiler von ist.

Bringe die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch eine natürliche Zahl mit dem Begriff der Produktmenge in Zusammenhang.

Wir betrachten die Gesamtmenge aller Finger und aller Zehen eines Menschen. Man gebe für jede Faktorzerlegung

eine möglichst natürliche Zerlegung dieser Körperteile in Teilmengen mit je Elemente an.

Es sei eine Menge mit Elementen und eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ist ein Teiler von
2. Es gibt eine Zerlegung von in disjunkte Teilmengen wobei sämtliche beteiligten Teilmengen genau Elemente besitzen.
3. Es gibt eine Zerlegung von in disjunkte Teilmengen.

Interpretiere Aufgabe 12.9 für den Fall

Es seien natürliche Zahlen und es gelte, dass ein Vielfaches von sei. Ferner sei

Zeige, dass dann ein Vielfaches von ist.

Es seien

natürliche Zahlen, die beide von geteilt werden. Zeige, dass auch die Differenz

von  geteilt wird.

Es sei eine natürliche Zahl und sei die kleinste natürliche Zahl mit

Zeige, dass bei einer Faktorzerlegung

stets

oder

gilt.

Es seien positive natürliche Zahlen. Stifte eine Bijektion zwischen der Menge aller Vielfachen von und der Menge aller Vielfachen von

Es seien drei verschiedene Zahlen

gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt minimal?

Es sei

die Menge aller Zweierpotenzen. Definiere eine Bijektion

derart, dass

genau dann gilt, wenn die Zahl teilt.

Erläutere, warum die Formulierung sich zwar paradox anhört, aber korrekt ist. Tipp: Verwende die Konzepte Relation und Abbildung (bzw. Verknüpfung).

Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.

Die folgende Aufgabe beschreibt, wie sich in Lemma 12.3 unter den gegebenen Teilbarkeitsvoraussetzungen die Brüche (wir haben also nach wie vor keine rationalen Zahlen) verhalten.

1. Für jede natürliche Zahl gilt und bei gilt auch
2. Für jede natürliche Zahl gilt
3. Gilt so gilt auch und es ist (bei $a,b\neq 0$)
4. Gilt so gilt auch und es ist (bei $a,c\neq 0$)
5. Gilt so gilt auch für jede natürliche Zahl und es ist (bei)
6. Gilt so gilt auch für beliebige natürliche Zahlen und es ist (bei $a\neq 0$)

Die folgende Aufgabe sollte man in Analogie zu Lemma 10.14 sehen.

Es seien natürliche Zahlen. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es sei ein Teiler von Dann ist für
2. Es sei ein Teiler von und ein Teiler von mit Dann ist Insbesondere gelten, wenn ein Teiler von ist, die Beziehungen (mit) und
3. Es sei ein Teiler von und ein Teiler von Dann ist ein Teiler von und es ist

Es gibt Schokoriegel und Äpfel. Auf wie viele Kinder kann man diese Sachen gerecht verteilen?

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von

Es sei ein Teiler von Was ist der größte gemeinsame Teiler von

und was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von

Es seien ganze Zahlen. Zeige für den größten gemeinsamen Teiler die Gleichung

Prof. Knopfloch und Dr. Eisenbeis basteln einen Adventskalender mit Türen für ihren Neffen Willem, der sich für Hunde und für Primzahlen interessiert. Dr. Eisenbeis legt in die Fächer zu den geradzahligen Tagen jeweils ein lustiges Hundebild. Prof. Knopfloch legt in die Fächer zu den ungeradzahligen Tagen jeweils eine bunt gemalte Primzahl, und zwar in aufsteigender natürlicher Reihenfolge.

1. Welche Primzahl befindet sich hinter dem Türchen?
2. Hinter welchem Türchen befindet sich die
3. Für welche Türchen stimmt die Nummer der Türe mit dem Inhalt überein?
4. Ist die Summe aller verwendeten Primzahlen gerade oder ungerade?

Berechne den Ausdruck

für

Handelt es sich dabei um Primzahlen?

Zeige, dass man jede natürliche Zahl

als Summe

schreiben kann, wobei sowohl

zusammengesetzte Zahlen sind.

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?

Finde die kleinste Zahl der Form die keine Primzahl ist, wobei die ersten Primzahlen sind.

Finde einen Primfaktor der Zahl

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen

Man gebe zwei Primfaktoren von an.

Welche natürliche Zahlen haben bezüglich der Addition die zur Primeigenschaft (die ja unter Bezug auf die Multiplikation definiert ist) analoge Eigenschaft? Gilt die eindeutige Zerlegung in

Es sei eine Menge und

Wir betrachten auf den Durchschnitt als Verknüpfung mit der Gesamtmenge als neutralem Element.

1. Was bedeutet in diesem Fall die Teilbarkeitsbeziehung, die analog zur Teilbarkeit in zu definieren ist?
2. Was sind die in
3. Gibt es stets eine Faktorzerlegung in Primelemente?

Zeige, dass in einem kommutativen Halbring durch

eine reflexive und transitive Relation gegeben ist. Zeige durch geeignete Beispiele, dass diese weder antisymmetrisch noch total sein muss.

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.

Es sei eine natürliche Zahl mit zwei Faktorzerlegungen

Es sei

Zeige, das dann

sein muss.

Es sei

ein Teiler von und

ein Teiler von Zeige, dass ein Teiler von ist und dass

gilt.

Zum neunten Geburtstag ihres Enkels Mustafa backt Oma Müller für die Geburtstagsparty ihre beliebten Geburtstagskekse. Mustafa hat Kinder aus seiner Klasse eingeladen, mit ihm werden es maximal Kinder sein. Es ist aber nicht klar, ob alle kommen. In jedem Fall will Oma Müller sicher sein, dass jedes Kind genau gleich viele Kekse bekommt. Wie viele Kekse backt sie? (die Lösung, gar keine Kekse zu backen, würden die Kinder nicht verstehen.)

Finde einen Primfaktor der Zahl

Zeige, dass es außer kein weiteres Zahlentripel der Form gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.

Finde fünf natürliche Zehnerintervalle die jeweils vier Primzahlen enthalten.

Auf einer Party begrüßen sich manche Gäste mit einem Handschlag, manche nicht. Jede Person merkt sich, wie oft sie im Laufe des Abends eine Hand geschüttelt hat. Zeige, dass die Summe über all diese Zahlen stets gerade ist.

Interpretiere Satz 13.1 für den Fall, wo

endliche Mengen sind,

ihre Produktmenge ist und

die Projektion auf die zweite Komponente ist.

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme für jedes die Urbildmenge und die Anzahl ihrer Elemente. Bestimme auf verschiedene Arten.

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme für jedes die Urbildmenge und die Anzahl ihrer Elemente. Bestimme auf verschiedene Arten.

Berechne

Zeige

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit (vordere Tafel),

(mittlere Tafel) und (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

Heinz-Peter schaut am Morgen in den Spiegel und entdeckt fünf Pickel auf seiner Stirn. Diese müssen alle ausgedrückt werden, wobei zwei Pickel so nah beieinander liegen, dass sie unmittelbar hintereinander behandelt werden müssen. Wie viele Reihenfolgen gibt es, die Pickel auszudrücken?

Im Sportunterricht wird ein Zirkeltraining mit den Stationen

Trampolin, Kletterwand, Schwebebalken, Basketballkorb, Laufband, Medizinball

durchgeführt. Bei einem Durchlauf soll die Kletterwand und der Schwebebalken unmittelbar hintereinander absolviert werden (die Reihenfolge ist aber egal), die beiden Ballstationen (Basketballkorb und Medizinball) sollen aber nicht unmittelbar hintereinander absolviert werden.

Wie viele Möglichkeiten (Reihenfolgen) gibt es für einen vollständigen Durchlauf, wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sein sollen?

Es findet das olympische 100-Meter-Finale mit acht Teilnehmern statt. Sie wissen, welche drei Teilnehmer eine Medaille gewinnen (aber nicht, wer welche Medaille gewinnt). Wie viele Möglichkeiten für das Gesamtergebnis aller acht Teilnehmer verbleiben (keine Platzierung ist doppelt besetzt)?

Die Folge sei rekursiv durch

definiert. Zeige, dass für

gilt.

Es soll ein Schaubild über ein Netzwerk angefertigt werden. In dem Netzwerk ist jeder Punkt (jede Person, jeder Gesichtspunkt) mit jedem anderen direkt verbunden (beispielsweise durch einen Pfeil mit zwei Spitzen). Wie viele Pfeile sind in Abhängigkeit von der Anzahl der Punkte zu zeichnen?

Vor einem Fußballspiel begrüßt jeder der elf Spieler einer Mannschaft jeden Spieler der anderen Mannschaft, jeder Spieler begrüßt die vier Unparteiischen und diese begrüßen sich alle untereinander. Wie viele Begrüßungen finden statt?

Die Räuberbande besteht aus fünf Personen. Sie legt für ihr Diebesgut eine Schatztruhe an, die sie mit verschiedenen Schlössern sichern möchte, wobei die (mehrfachen) Schlüssel an die Mitglieder verteilt werden sollen. Dabei soll erreicht werden, dass je zwei Bandenmitglieder allein nicht an den Schatz kommen, dass aber je drei Bandenmitglieder die Truhe aufschließen können. Wie viele Schlösser braucht man dafür und wie müssen die Schlüssel verteilt werden?

Mustafa Müller wird Jahre alt und darf deshalb zu seiner Geburtstagsfeier aus seiner Klasse, in der es insgesamt Schüler und Schülerinnen gibt, Leute einladen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Zu Ende des Schullandaufenthalts auf Juist soll ein Klassenfoto der Schüler und Schülerinnen gemacht werden. Dabei sollen Kinder in der ersten Reihe knien und Kinder in der zweiten Reihe stehen.

1. Wie viele Anordnungsmöglichkeiten für ein solches Gruppenfoto gibt es?
2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man sich nur dafür interessiert, wer vorne und wer hinten ist?
3. Wenn man sich entschieden hat, wer vorne und wer hinten sein soll, wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es dann noch insgesamt?

Es sei eine elementige Teilmenge. Wir bezeichnen mit die Menge der elementigen Teilmengen von und mit die Menge der bijektiven Abbildungen von nach (also alle Nummerierungen von). Beweise Satz 13.5 unter Verwendung der Abbildung

und Satz 13.1.

Man beweise die Formel

indem man die Anzahl der zweielementigen Teilmengen einer elementigen Menge auf zwei verschiedene Arten bestimmt.

Zeige, dass zwischen den Binomialkoeffizienten

und  der Zusammenhang

besteht.

Es sei fixiert. Zeige, dass die Binomialkoeffizienten

für  bzw. bis  

wachsend sind.

Unter einer Geburtstagsfeier der Klasse 1c versteht man eine Party, wobei die Menge der Gäste eine Teilmenge der Klasse ist und wobei es ein Geburtstagskind aus der Klasse gibt, das auf der Party anwesend ist. Wie viele Geburtstagsparties gibt es, wenn die Klasse nur aus vier Kindern besteht?

Beweise die Formel

Zeige: Für mit gilt

Gabi Hochster, Heinz Ngolo und Mustafa Müller backen bei der Oma von Mustafa Plätzchen. Die Oma hat auf das Blech schon in vier Reihen der Länge sechs die Teigmasse platziert. Den Kindern kommen folgende Aufgaben zu: Gabi soll auf jedes Plätzchen eine Haselnuss platzieren, Heinz Puderzucker drauf streuen und Mustafa einen Zitronenspritzer drauf spritzen. Dabei kommt es auf die Reihenfolge dieser drei Zugaben an. Wie viele Möglichkeiten gibt es für ein einzelnes Plätzchen und wie viele für das Gesamtblech?

Wie viele Teilquadrate (unterschiedlicher Seitenlänge) besitzt ein Schachbrett? Man finde möglichst viele Strategien, diese Anzahl zu bestimmen.

Es sei ein Gitter mit Querkästchen und mit Hochkästchen gegeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es, von links unten nach rechts oben entlang der Gitterkanten zu wandern, wenn man in jedem Schritt nur nach rechts oder nach oben wandern darf?

Es sei Vergleiche die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer elementigen Menge in eine elementige Menge mit der Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer elementigen Menge in eine elementige Menge in den folgenden Fällen.

a)

b)

c)

Es sei Wie viele injektive Abbildungen gibt es von nach und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von nach

Für die folgende Aufgabe ist die allgemeine binomische Formel hilfreich.

Beweise durch Induktion, dass für

die Abschätzung

gilt.

Zeige, dass für

die Abschätzung

gilt.

Es sei Zeige, dass das Produkt von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von geteilt wird.

Gabi Hochster, Heinz Ngolo, Lucy Sonnenschein und Mustafa Müller wollen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Wie viele Wichtelmöglichkeiten gibt es?

Zeige, dass für die Beziehung

gilt.

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

Beweise die Formel

Zeige, dass eine nichtleere endliche Menge gleich viele Teilmengen mit gerader und mit ungerader Anzahl besitzt. Beweise diese Aussage unter Verwendung von Binomialkoeffizienten.

Oma Müller hat Kekse gebacken, die ihr Enkel Mustafa auf der Haseigelschule unter den insgesamt Schülern und Schülerinnen gerecht verteilen soll, den Rest bekommt Frau Maier-Sengupta. Wie viele Kekse bekommt jedes Kind und wie viele Kekse bekommt Frau Maier-Sengupta?

Heute ist Freitag. Welcher Wochentag ist in Tagen?

Bestimme den Rest von bei Division durch

Bestimme den Rest von bei Division durch

Bringe die Division mit Rest damit in Verbindung, wie man eine Punktmenge in Blöcke konfigurieren kann.

Es seien natürliche Zahlen mit Zeige, dass genau dann ein Teiler von ist, wenn bei der Division mit Rest von durch der Rest gleich ist.

Es seien mit und

Zeige, dass der Rest von bei Division durch gleich dem Rest von bei Division durch ist.

Bestimme den Rest von bei Division durch

Bestimme den Rest von bei Division durch

Es sei eine positive natürliche Zahl. Es seien natürliche Zahlen und es seien

die Reste von bzw. bei Division durch Zeige, dass der Rest von bei Division durch gleich dem Rest von bei Division durch ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.

Für die folgenden Aufgaben vergleiche man Aufgabe 14.10 und Beispiel 11.4.

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.

Es sei eine natürliche Zahl. In welcher Beziehung stehen die Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben, zum kleinen Einsundeins und zum kleinen Einmaleins im System?

Es seien , Zeige, dass bei Division mit Rest durch aller Potenzen von (also $a^{0},a^{1},a^{2},\ldots$) schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also

derart, dass sich die Reste von bei den folgenden Potenzen periodisch (oder) wiederholen (insbesondere besitzen also und den gleichen Rest). Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei

anfangen muss.

Es seien

teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz mit

gibt, deren Rest bei Division durch gleich ist.

Zeige, dass eine natürliche Zahl

genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich  oder  ist.

Begründe die Eindeutigkeit der Ziffernentwicklung im Zehnersystem mit Hilfe der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest.

Zeige, dass eine positive natürliche Zahl genau dann von geteilt wird, wenn sie in der Dezimaldarstellung mit mindestens Nullen endet.

Ein Land besitzt Geldscheine der Größe Taler, Taler, Taler, Taler, Taler. Der Kiosk hat heute die folgenden Scheine in der Kasse: Einer, Zehner, Hunderter und Tausender. Der Besitzer geht zur Wechselbank, um den Geldbetrag in möglichst wenige Scheine einzutauschen. Wie viele Scheine hat er danach von jeder Sorte?

Ein Land besitzt Geldscheine der Größe Taler, Taler, Taler, Taler, Taler, u.s.w. Zeige, dass für jeden Betrag die minimale Darstellung mit diesen Scheinen eindeutig ist.

Eine natürliche Zahl heißt palindromisch, wenn es egal ist, ob man ihre Dezimalentwicklung von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne liest. Bestimme die kleinste Potenz

die nicht palindromisch ist.

Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen

Betrachte im Zehnersystem die Zahl

Wie sieht diese Zahl im Dualsystem aus?

Bestimme für die im Zehnersystem gegebene Zahl die Ziffernentwicklung im Dreiersystem.

Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?

Wir zählen im Einsilbensystem, also mit den Abweichungen

sechs, sie, ben, acht, ... , sechzehn, siezehn, benzehn, achtzehn, ..., sechsundsiezig, sieundsiezig, benundsiezig, achtundsiezig, .. ., sechsundbenzig, sieundbenzig, benundbenzig, achtundbenzig, ...

1. Drücke die übliche Zahl Siebenundachtzig als Einsilbenzahl aus.
2. Drücke die Einsilbenzahl Sieundachtzig in der üblichen Weise aus.
3. Drücke die Einsilbenzahl Bentausendsiehundertbenundbenzig in der üblichen Weise aus.

Bestimme für die als Strichfolge gegebene natürliche Zahl

für jede mögliche Basis

die Zifferndarstellung. Ab welchem ist die Zifferndarstellung einstellig?

Zeige, dass es für jede natürliche Zahl nur endlich viele Basen gibt, für die die Zifferndarstellung von nicht einstellig ist.

Inwiefern kann man das Strichsystem als Einersystem auffassen, inwiefern nicht?

Auf der Haseigelschule wird mit der folgenden Tadelwährung gerechnet. Ermahnungen sind ein Tagebucheintrag, Tagebucheinträge sind ein Strafnachmittag, Strafnachmittage sind ein Elterngespräch. Die Tadelwährung wird in absteigender Tadelschwere angegeben.

1. Im dritten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt (im Zehnersystem) Einzelermahnungen. Wie lautet das Ergebnis in der Tadelwährung?
2. Im vierten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt Einheiten in der Tadelwährung. Wie viele Einzelermahnungen stecken da dahinter?
3. Inwiefern ist die Analogie mit einem Münzsystem oder dem Dezimalsystem mathematisch fragwürdig?

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo  (also bei Division durch) den Rest besitzen.

Zu einer natürlichen Zahl sei gleich der Summe aller Reste, die bei der Division von durch die Zahlen

auftreten.

1. Berechne für die Zahlen
2. Zeige, dass für stets gilt.

Ein Land besitzt Geldscheine der Größe Taler, Taler, Taler, Taler, Taler. Der Kiosk hat heute die folgenden Scheine in der Kasse: Einer, Zehner, Hunderter und Tausender. Der Besitzer geht mit dem Betrag zur Wechselbank, um ihn umzutauschen.

1. Zuerst tauscht er den Geldbetrag in möglichst wenige Scheine um. Wie viele Scheine hat er danach von jeder Sorte?
2. Jetzt fällt ihm ein, dass er für morgen auch Wechselgeld braucht, und zwar möchte er mindestens Einer und mindestens zehn Zehner haben. Ansonsten möchte er so wenig Scheine wie möglich haben. Wie viele Scheine hat er von jeder Sorte nach dem Umtausch?
3. Jetzt kommt er auf die Idee, dass er morgen lieber Urlaub auf der Insel Magma machen möchte. Dort ist die Währung der Gulden, der zum Taler im Verhältnis getauscht wird. Auf Magma gibt es Scheine der Größe Gulden, Gulden, Gulden, Gulden, Gulden, Gulden. Er möchte so wenig Scheine wie möglich mit sich rumtragen. Wie viele Guldenscheine hat er von jeder Sorte nach dem Umtausch?

Bestimme für die im Zehnersystem gegebene Zahl die Ziffernentwicklung im Fünfersystem.

Bestimme für die im Vierersystem gegebene Zahl die Ziffernentwicklung im Zehnersystem.

Führe im Fünfersystem die Addition

schriftlich durch.

Begründe, dass der Nachfolger der Dezimalzahl (mit Neunen) gleich (mit Ziffern, also Nullen) ist.

Bestimme, welche der beiden Zahlen im Zehnersystem größer ist.

Bestimme, welche der beiden Zahlen im Zehnersystem größer ist.

Ein Pokalwettbewerb werde mit Mannschaften im K.-o.-System ausgetragen. Beweise die Identität

durch eine inhaltliche Überlegung (Wie viele Spiele finden statt?).

Beweise die Identität

mit Hilfe des Zweiersystems.

Führe im Zehnersystem die Addition

schriftlich durch.

Führe im Dreiersystem die Addition

schriftlich durch.

Führe im Sechzehnersystem die Addition

schriftlich durch.

Zeige, dass in der Situation von Verfahren 15.5 stets die Beziehung

gilt.

Führe die Addition

schriftlich durch. Welche tritt dabei auf?

Die Schüler sollen die Zahlen

aufaddieren. Heinz Ngolo rechnet

Ist das Ergebnis richtig? Was geht in seinem Kopf vor?

Mustafa Müller rechnet

Was geht in seinem Kopf vor?

Gabi Hochster sitzt in der Schule neben Heinz Ngolo. Sie üben schriftliches Addieren und rechnen Gabi ist fertig und Heinz hat gerade die hinterste Ziffer zusammengerechnet und den Übertrag notiert. Da kritzelt Gabi auf Heinzens Heft rum und radiert die Ziffern

weg. Gabi sagt: Darauf sagt Heinz: Darauf Gabi:

Wir beurteilen Sie die Lage mathematisch und didaktisch?

Ist für das schriftliche Addieren das Kommutativgesetz klar, ist es klar, dass das neutrale Element ist, ist es klar, dass das Assoziativgesetz gilt?

Es stehen verschiedene Zahlen an der Tafel. Der einzige erlaubte Rechenschritt ist, zwei beliebige Zahlen wegzuwischen und durch ihre Summe zu ersetzen. Nach hinreichend vielen Durchgängen steht nur noch eine Zahl da. Ist das Ergebnis unabhängig vom Ablauf? Man erläutere die Situation mit dem Begriff

Gibt es für die folgenden Zahlensysteme ein für alle Zahlen korrektes Verfahren zum schriftlichen Addieren, welches wie das schriftliche Addieren im Zehnersystem nur auf der getrennten Addition von Ziffern gleicher Stelligkeit und dem Übertrag beruht? Welche Probleme treten auf?

1. Das Strichfolgensystem
2. Das Eurozahlensystem
3. Das römische Zahlsystem

Es sei

Zeige: Eine positive natürliche Zahl ist genau dann wenn sie im Eurozahlensystem aus maximal Ziffern besteht.

Führe im Dreiersystem die Addition

schriftlich durch.

Führe im Sechzehnersystem die Addition

schriftlich durch.

Die Kinder bekommen die Hausaufgabe, zwei stellige Zahlen im Dezimalsystem zu addieren. Das ist ziemlich mühselig. Da es genau Kinder in der Klasse gibt, macht Gabi Hochster den Vorschlag, dass jedes Kind genau eine Ziffer (gemäß der Sitzreihenfolge) ausrechnet und sie am nächsten Morgen daraus das Ergebnis zusammentragen (hat Gabi etwas vergessen?). Entwerfe einen Algorithmus, mit dem man die te Ziffer in der Summe ohne unnötige Rechnungen bestimmen kann.

Zeige mit dem allgemeinen Distributivgesetz die Beziehung

für natürliche Zahlen und

Beweise die Identität

mit Hilfe von Aufgabe 15.21.

Führe im Zehnersystem die Multiplikation

schriftlich durch.

Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler

Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl

Ist diese Zahl durch teilbar?

Führe im Vierersystem die Multiplikation

schriftlich durch.

Führe die Multiplikation mit dem Jalousie-Verfahren durch.

Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis nur ein- und zweistellige Zahlen auftreten.

1. Berechne im Vierersystem, im Fünfersystem und im Zehnersystem.
2. Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis rechts unten die Zahl mit den Ziffern und steht.

Zeige, dass beim schriftlichen Multiplizieren im Zehnersystem der Übertrag maximal gleich ist.

Beweise Lemma 16.2 durch Induktion über die Stelligkeit des mehrstelligen Faktors.

Zeige, dass beim schriftlichen Multiplizieren mit einer einstelligen Zahl die Überträge stets sind.

Multipliziere

und

gemäß Bemerkung 16.5.

Bestimme die Ziffer des Produktes

gemäß Bemerkung 16.5.

Bestimme die Ziffer des Produktes

gemäß Bemerkung 16.5.

Begründe, dass bei der Multiplikation einer Zahl

(im Dezimalsystem) mit die Ziffer des Produktes nur von den drei Ziffern abhängt, aber im Allgemeinen nicht nur von den zwei Ziffern

Wie viele Ziffern des linken Faktors muss man berücksichtigen, wenn man sich nur für die Anfangsziffer des Produktes

interessiert?

Es sollen zwei Zahlen multipliziert werden, von denen die eine mit und die andere mit anfängt. Mit welcher Ziffer kann das Produkt anfangen?

Jemand macht gegen den Beweis zu Lemma 16.6 den Einwand, dass dort eine Situation entsteht, wo sich die Koeffizienten nicht auf sondern auf beziehen, was verwirrend sei. Nehme dazu Stellung.

Beweise, dass das Multiplizieren mit dem Jalousie-Verfahren korrekt ist.

Gabi Hochster hat sich im Mathematikunterricht (erste Klasse), der von Frau Doris Maier-Sengupta (mit den Fächern Deutsch und buddhistische Philosophie) unterrichtet wird, geweigert, bei der Überprüfung des Kleinen Einmaleins auszurechnen, mit der Begründung, dass das kleine Einmaleins dazu da sei, einstellige Zahlen miteinander zu multiplizieren, es für größere Zahlen einen anderen Algorithmus gebe und dass die Einbeziehung der Zehnerreihe in das kleine Einmaleins diesen Aspekt völlig verdunkle. Als Frau Maier-Sengupta diesen Einwand nicht verstand und auf die Aufgabe bestand, wurde Gabi zornig und sagte Daraufhin trug Frau Maier-Sengupta einen Vermerk über das beleidigende Verhalten von Gabi in das Klassenbuch ein. Da es der dritte Vermerk war, kommt es zu einem Elterngespräch, zu dem neben Frau Maier-Sengupta, den Eltern, Melissa und Melvin Hochster, der Schulleitung auch Sie als Fachleiter/In Mathematik teilnehmen sollen. Was ist Ihre Position?

Bestätige die folgende Identität.

Führe im Zehnersystem die Subtraktion

schriftlich durch.

Berechne direkt und mit dem Algorithmus des schriftlichen Subtrahierens. Was fällt auf?

Welche und wie viele Grunddifferenzen muss man (auswendig) kennen, um den Algorithmus des schriftlichen Subtrahierens anwenden zu können? Was ist das

Führe im Zweiersystem die Subtraktion

schriftlich durch.

Beweise die Korrektheit des schriftlichen Subtrahierens durch den Nachweis, dass beim schriftlichen Subtrahieren und das gleiche Ergebnis liefern.

Gibt es ein Verfahren zum schriftlichen Potenzieren, das die Dezimalentwicklung von berechnet, wenn die natürlichen Zahlen in ihrer Dezimalentwicklung gegeben sind?

Führe im Sechsersystem die Multiplikation

schriftlich durch.

Bestimme die Ziffer des Produktes

gemäß Bemerkung 16.5.

Es sollen zwei Zahlen multipliziert werden, von denen jeweils nur die beiden Anfangsziffern bzw. bekannt sind. Erstelle eine Tabelle, die die möglichen ersten Anfangsziffern des Produktes auflistet.

Führe die Multiplikation mit dem Jalousie-Verfahren durch.

Führe im Zweiersystem die Subtraktion

schriftlich durch.

Es sei eine dreistellige natürliche Zahl im Zehnersystem und die von hinten gelesene Zahl. Zeige, dass die positive Differenz stets ein Vielfaches von und von ist.

Ersetze im Ausdruck

simultan die Buchstaben durch durch durch durch durch durch durch durch und durch Handelt es sich um einen Term?

Diskutiere, ob es sich bei

um Terme handelt.

Expandiere den Term

Bei Einsetzungsaufgaben sind grundsätzlich die entstehenden Terme zu vereinfachen.

Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Ersetze im Term

simultan die Variablen

1. durch durch durch durch durch
2. durch durch durch durch durch
3. durch durch durch durch durch
4. durch durch durch durch durch

Finde die Zifferntupel die die Gleichung

erfüllen, wobei und zweistellige Zahlen im Dezimalsystem bezeichnen. Schreibe die Gleichungen für die gefundenen Lösungen.

Ersetze im Molekül

jedes Sauerstoffatom () durch und jedes Kohlenstoffaxiom () durch ein Siliciumaxiom

Es sei ein Term in der einen Variablen der ansonsten aus natürlichen Zahlen und darauf definierten Funktionssymbolen gebildet sei. Man mache sich klar, dass die Einsetzung eine Abbildung von nach definiert.

Die Kleine-Scheiben-Operade besteht aus Kreisen mit einem fixierten Radius, die kleinere überschneidungsfreie durchnummerierte Kreise beinhalten. Es seien und zwei solche Scheiben. Die Verknüpfung (genannt die te), wobei zwischen und der Anzahl der inneren Kreise von ist, erhält man, indem man den ten inneren Kreis von durch den auf diese Größe geschrumpften Kreis (ohne Drehung) ersetzt, dabei die Umrandung weglässt und die inneren Kreise neu nummeriert, und zwar so, dass die inneren Kreise von bis zur Nummer ihre Nummer behalten, die in den ten Kreis von platzierten Kreise die anschließenden Nummern gemäß ihrer Reihenfolge in bekommen und die verbleibenden inneren Kreise die anschließenden Nummern gemäß ihrer Reihenfolge in bekommen.

Alle folgenden Einsetzungsaufgaben für die kleinen Scheiben beziehen sich auf die skizzierten Objekte.

Bestimme die Einsetzungen

Bestimme die Einsetzungen

Bestimme die Einsetzungen

Bestimme die Einsetzungen

Besitzen die Einsetzungen für die kleinen Scheiben ein neutrales Element?

Setze in den folgenden Definitionsgleichungen den Doppelpunkt an die richtige Stelle.

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.

Finde eine Lösung und eine Nichtlösung für die Gleichung

Welche Umformungsregeln für Gleichungen kennen Sie? Handelt es sich um Äquivalenzumformungen?

Bestimme sämtliche Lösungen aus für die folgenden Gleichungen.

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung

innerhalb der natürlichen Zahlen.

Es sei

und

1. Ersetze im Term die Variable durch Das Ergebnis sei
2. Ersetze im Term die Variable durch
3. Ersetze im Term die Variable durch den Term Das Ergebnis sei
4. Ersetze im Term die Variable durch

Bestimme die Einsetzungen

Es seien natürliche Zahlen. Zeige, dass

die Gleichung

erfüllen.

Finde in alle Lösungen der Gleichung

Markiere die Lösungsmenge als Teilmenge im

Es sei

eine Abbildung. Zu jedem

gehört die Gleichung

in der Variablen Charakterisiere die Injektivität und die Surjektivität von durch Eigenschaften des Lösungsverhalten dieser Gleichungen. Was kann man sagen, wenn

fixiert ist und die Gleichung in der Variablen betrachtet wird?

Lucy Sonnenschein befindet sich auf der Zahlengerade in Position und schaut in die positive Richtung. Sie bewegt sich drei Schritte nach vorne (das bezieht sich auf ihre momentane Ausrichtung), sodann sieben Schritte zurück, sie macht sodann eine Halbdrehung, dann geht sie vier Schritte nach vorne, macht wieder eine Halbdrehung, macht einen Salto rückwärts im Stand und geht zwei Schritte zurück. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss?

Welche Vorstellungen zu den ganzen Zahlen (einschließlich der Verknüpfungen) haben Sie?

Wir betrachten die Tage

als Zahlen und addieren mit ihnen.

1. Bestimme vorgestern von morgen.
2. Bestimme vorvorvorgestern von übermorgen.
3. Bestimme vorvorvorvorgestern von vorvorvorgestern von überüberüberüberübermorgen.
4. Welchen Tag von überüberüberübermorgen muss ich nehmen, um heute zu erhalten?
5. Wie bestimmt man den Tag zu einem gegebenen Tag?
6. Welchen Tag von überüberüberübermorgen muss ich nehmen, um vorvorgestern zu erhalten?
7. Wie selbstverständlich ist in diesem Modell das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz?

Wie zählt man die Jahre in der Geschichte? Warum?

Was hat die Temperaturskala mit den ganzen Zahlen zu tun?

Soll man eine negative Zahl stets mit einem Minuszeichen als schreiben? Oder darf man eine negative Zahl auch mit bezeichnen?

Man mache sich die verschiedenen Rollen des Minuszeichens klar: Benennungszeichen (Teil des Namens der Zahl), Umkehrungszeichen (Negationszeichen), Verknüpfungszeichen (Subtraktionszeichen bzw. bedingtes Subtraktionszeichen in). Wo könnten prinzipiell Verwechslungen auftreten? Aufgrund von welchen mathematischen Gesetzmäßigkeiten ist diese mehrfache Verwendung des gleichen Zeichens sinnvoll?

Es sei die Nachfolgerabbildung und die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Berechne

Zeige, dass die Nachfolgerabbilung

die folgenden Eigenschaften besitzt.

1. Die Nachfolgerabbildung stimmt auf mit der dortigen Nachfolgerabbildung überein.
2. Die Nachfolgerabbildung ist bijektiv.
3. Es ist und für
4. Jede ganze Zahl lässt sich ausgehend von durch eine Iteration der Nachfolgerabbildung oder eine Iteration der Vorgängerabbildung erreichen.

Es sei die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Beweise die Gleichheit

für

durch Induktion über

In der folgenden Aufgabe verstehen wir zu unter die Menge aller sukzessiven Nachfolger von (einschließlich) und unter die Menge aller sukzessiven Vorgänger von Dies stimmt mit der späteren Definition über die Ordung auf überein.

Zeige, dass zu jeder ganzen Zahl sowohl die Menge mit der Nachfolgerabbildung als auch die Menge mit der Vorgängerabbildung die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt.

Wir betrachten die Menge

mit der natürlichen Nachfolgerabbildung die wir durch

ergänzen. Vergleiche diese Menge mit den ganzen Zahlen und der dortigen Nachfolgerabbildung unter den folgenden Aspekten.

1. Ist bijektiv?
2. Was ist die Umkehrabbildung?
3. Gibt es eine Abbildung die die beiden Nachfolgerabbildungen respektiert? Man denke an ein Zahnrad und eine unendliche Zahngerade.
4. Gibt es eine Abbildung die die beiden Nachfolgerabbildungen respektiert?
5. Kann man auf eine Addition einführen?

Wir nehmen die Menge

mit der Nachfolgerabbildung aus Aufgabe 18.12 unendlich oft, und zwar für jede natürliche Zahl genau einmal, diese Kopie bezeichnen wir mit Vergleiche die Nachfolgerabbildung auf dieser Gesamtmenge und auf Gibt es eine Addition auf dieser Gesamtmenge?

Es seien zwei Haufen

an (hinreichend vielen) Äpfeln gegeben. Es werden der Reihe nach Äpfel von nach Äpfel von nach dann Äpfel von nach und schließlich Äpfel von nach transportiert. Wie viele Äpfel werden insgesamt und in welche Richtung transportiert?

Lucy Sonnenschein hat einen Stand auf dem Flohmarkt. Sie verkauft ein altes Kleid für Euro, trinkt einen Kaffee für Euro, verkauft eine alte Schallplatte für Euro, hat Hunger und holt sich eine Schlachtplatte für Euro, verschenkt einen Aschenbecher und kauft sich beim Nachbarstand eine coole Bluse für Euro. Wie sieht ihr finanzielles Gesamtergebnis vom Flohmarkttag aus?

Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst Stunden nach vorne, dann (immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus)

Stunden nach vorne, dann  Stunden zurück, dann  Stunden zurück, dann  Stunden nach vorne und dann  Stunden zurück.

1. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht?
2. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht?

Ein Elektron hat eine negative Elementarladung und ein Proton hat eine positive Elementarladung, die sich gegenseitig neutralisieren. Auf einer bislang ladungstechnisch neutralen Weihnachtskugel landen zuerst Elektronen, dann Protonen, sodann Elektron und schließlich nochmal Elektronen. Durch welchen einfacheren Elementarteilchenflug hätte man die Endladung der Kugel auch erreichen können?

Mustafa Müller und Heinz Ngolo tauschen Fußballbildchen aus. Mustafa gibt Heinz vier Bildchen und Heinz gibt Mustafa fünf Bildchen. Daheim merkt Mustafa, dass er jetzt eines doppelt hat und gibt es am Nachmittag zurück. Heinz hat vier neue Bildchen von seiner Oma bekommen, davon gibt er zwei an Mustafa weiter. Der revanchiert sich mit einem Bildchen. Wie viele Bildchen haben sie unter dem Strich ausgetauscht?

Gabi Hochster und Heinz Ngolo tauschen Küsse aus. Gabi gibt Heinz drei Küsse, daraufhin gibt Heinz Gabi fünf Küsse, woraufhin Gabi einen Kuss zurückgibt. Wie viele Küsse haben sie unter dem Strich ausgetauscht?

Präzisiere an jeder Stelle der Definition der Addition auf ob die Addition in oder in bezeichnet und ob die Differenz auf oder die Negation bezeichnet.

Es bezeichne die Nachfolgerabbildung und die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Begründe die

unter Bezug auf das Assoziativgesetz der Addition.

Begründe, dass man allein mit Hilfe der Umlegungsregel

jede Addition innerhalb der ganzen Zahlen ausrechnen kann. Führe dies für durch.

Beweise die übrigen Fälle für die Assoziativität der Addition in wie im Beweis zu Lemma 18.10.

Zeige, dass zu gegebenen ganzen Zahlen die Gleichung

eine eindeutige Lösung, nämlich besitzt.

Zeige, dass für jede ganze Zahl die Additionsabbildung mit also

bijektiv ist. Was ist die Umkehrabbildung?

Betrachte die ganzen Zahlen mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Berechne (Klammern um die Minuszeichen wurden weggelassen)

Präzisiere an jeder Stelle der Definition der Multiplikation auf ob die Multiplikation in oder in bezeichnet.

Beweise die Assoziativität der Multiplikation in Wie kann man die Anzahl der möglichen Fälle reduzieren?

Heinz Ngolo multipliziert eine positive Zahl mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer positiven Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer positiven Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl. Ist das Ergebnis positiv oder negativ?

Berechne

Zeige, dass für zwei von verschiedene ganze Zahlen auch das Produkt von verschieden ist.

Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Multiplikation der ganzen Zahlen, wobei aber nur die drei Symbole (für positiv und negativ) vorkommen sollen. Ist eine solche Verknüpfungstabelle wohldefiniert und sinnvoll? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, besitzt sie ein neutrales Element?

Ist eine entsprechende Verknüpfungstabelle für die Addition sinnvoll?

Was kommt heraus, wenn man oder von

Beweise die folgenden Eigenschaften für den Betrag ganzer Zahlen.

2. genau dann, wenn ist.
3. genau dann, wenn oder ist.
6. Es ist ().

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)

Eine der Aufgaben zum Abgeben verwendet den folgenden Begriff.

Es sei eine Menge und

eine Abbildung. Ein Element

mit

heißt Fixpunkt der Abbildung.

Die Familie Müller hat im Monat Dezember folgende Einnahmen und Ausgaben (alles in Euro). Gehälter: Lebensmittelkosten: Kosten für das Silvesterfeuerwerk: Schuldentilgung: Zinsen: Geschenke kaufen: Lottogewinn: Unterstützung an die Oma: Taschengeld für die Kinder: Spende an die Bahnhofsmission: auf der Straße gefunden: Heizungskosten: Fortbildungsseminar: Ausflug an die Nordsee: Wasser- und Strom: Opernbesuch: Erlös durch den Verkauf der Fußballbildchen von Mustafa:

Wie hoch sind die Gesamteinnahmen und wie hoch sind die Gesamtausgaben der Familie im Dezember? Wie sieht die Gesamtbilanz für den Monat Dezember aus?

Die Fahrradtournee besteht aus sechs Etappen. Auch in diesem Jahr kommen nur drei Fahrer für den Sieg in Frage: Albert Albrecht, Bruno Rotato und Cico Ferrari. Bei der ersten Etappe fährt Albert einen Vorsprung von Sekunden auf Bruno und von Sekunden auf Cico heraus. Bei der zweiten Etappe landet Cico an erster Stelle mit einem Vorsprung von Sekunden auf die zeitgleichen Albert und Bruno. Das dritte Rennen gewinnt Bruno, Cico kommt Sekunden danach ins Ziel mit einem Vorsprung von Sekunden auf Albrecht. Bei der vierten Etappe verliert Bruno Sekunde auf Cico und Sekunden auf Albrecht. Die fünfte Etappe gewinnen Albrecht und Cico zeitgleich mit einem Vorsprung von Sekunden auf Bruno. Bei der letzten Etappe verliert Albrecht Sekunden gegenüber Cico, dafür gewinnt er Sekunden gegenüber Bruno.

Welche Gesamtzeitabstände bestehen am Ende der Tournee zwischen den drei Fahrern?

Ein Apotheker hat eine zweischalige Waage zur Verfügung und die folgenden Gewichte: Zwei Gramm-Gewichte, ein Gramm-Gewicht, zwei Gramm-Gewichte, ein Gramm-Gewicht, zwei Gramm-Gewichte, ein Gramm-Gewicht, u.s.w. Zeige, dass er mit diesen Gewichten jede Menge (in vollen Gramm) abwiegen kann.

Zeige, dass die Multiplikation mit auf den ganzen Zahlen, also die Abbildung

bijektiv ist.

Unter welchen Bedingungen gilt für ganze Zahlen

die Gleichheit

Wir betrachten die Abbildung

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.36 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).

1. Ist wachsend?
2. Ist surjektiv?
3. Ist injektiv?
4. Besitzt einen Fixpunkt?

Formuliere die zweite binomische Formel für einen kommutativen Ring

und führe sie auf die erste binomische Formel zurück.

Formuliere und beweise die dritte binomische Formel für einen kommutativen Ring

Es sei ein kommutativer Ring und seien und Elemente in Berechne

Es sei ein kommutativer Ring,

und  Zeige die Gleichheit

Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein kommutativer Ring ist. Gilt in diesem Ring die Eigenschaft, dass aus

folgt, dass

gleich ist?

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position wobei sich im Folgenden die erste Komponente auf links/rechts und die zweite Komponente auf vorne/hinten bezieht. Sie geht vier Schritte nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, dann einen Schritt nach links, einen (etwas größeren) Diagonalschritt nach links hinten und schließlich zwei Schritte nach vorne. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss? Durch welche möglichst einfache Bewegung kann sie die Gesamtbewegung rückgängig machen?

Es sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge

mit dem Durchschnitt  als Multiplikation und der 

symmetrischen Differenz

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Multiplikation mit also die Abbildung

bijektiv ist.

Diskutiere, welche Bedeutungen die Begriffe positiv und negativ in einem kommutativen Ring besitzen. Wie sieht es in aus? Welche Bedeutung ist relativ, welche absolut?

Es sei ein kommutativer Ring und es seien ganze Zahlen und Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu ist (also die fache Summe von mit sich selbst) gleich wobei links die fache Summe der mit sich selbst steht.
2. Zu ist (also die fache Summe des Negativen von mit sich selbst) gleich dem Negativen (in) von
3. Es ist
4. Es ist
5. Es ist

Es sei ein kommutativer Ring. Zu jedem sei

die Multiplikation mit Zeige, dass genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Gabi Hochster hat heute keine Lust, bei der Addition von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Überträge zu berücksichtigen. Sie addiert einfach ziffernweise und schreibt nur die Endziffern der Einzelsummen an die richtige Stelle hin. Sie sagt: Sind ihre Beobachtungen korrekt?

Es sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.

Es sei eine Menge und es sei die Menge aller bijektiven Abbildungen von nach Zeige, dass mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu

Sei eine Gruppe und sei ein Element und sei

die Verknüpfung mit Zeige, dass bijektiv ist. In welcher Beziehung steht diese Aussage zu Lemma 19.8?

Person wird Jahre alt und Person wird Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

1. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.
2. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.

Zeige, dass die Größergleichrelation

auf den 

ganzen Zahlen eine totale Ordnung ist.

Es sei ein angeordneter Ring. Zeige, dass für jedes die Beziehung

gilt.

Zeige, dass in einem angeordneten Ring aus

und

die Beziehung

folgt.

Es sei ein angeordneter Ring und Zeige, dass dann ist.

Es sei ein angeordneter Ring und Zeige, dass

genau dann gilt, wenn

gilt.

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.

a)

b)

c)

Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?

Wir betrachten die ganzen Zahlen mit der Ordnung

bei der

gilt und die auf den Teilmengen und mit der Ordnung übereinstimmt.

1. Zeige, dass eine totale Ordnung auf ist.
2. Zeige, dass mit auch gilt.
3. Zeige, dass mit auch gilt.
4. Ist ein angeordneter Ring?

Diskutiere Grenzen des angesichts der Definition 19.9 in Bezug zu Lemma 10.5.

Welche Teilerbeziehung besteht zwischen und einer beliebigen ganzen Zahl und welche Teilerbeziehung besteht zwischen und einer beliebigen ganzen Zahl

Beweise die Teilbarkeitsregeln für ganze Zahlen, die in Lemma 19.15 aufgelistet sind.

Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen aus

die Beziehung folgt.

Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.

Rechne im Dezimalsystem

Rechne im Dezimalsystem

Berechne

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

im Zehnersystem.

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

im Zehnersystem.

Es liegen zwei ganze Zahlen

im Dezimalsystem vor. Lässt sich die letzte Ziffer der Summe allein aus den beiden letzten Ziffern der beiden Zahlen bestimmen?

Gilt für ganze Zahlen, die im Dezimalsystem gegeben sind, für die Teilbarkeit durch ein Quersummentest? Wie ist dieser zu formulieren?

Es sei ein Ring und seien und Elemente in Berechne das Produkt

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?

Zeige, dass für ganze Zahlen genau dann das

gilt, wenn

oder

ist.

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.

a)

b)

c)

Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?

Welche Ordnungseigenschaften erfüllt die Teilarkeitsbeziehung auf welche nicht?

Rechne im Dezimalsystem

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

im Zehnersystem.

Zeige, dass es für jede ganze Zahl eine eindeutige Darstellung

mit

für alle gibt.

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Interpretiere das Lemma von Bezout als eine Lösungsaussage über eine Gleichung.

Finde eine Darstellung der für das Zahlenpaar

Man gebe eine Darstellung des von

an. Wie viele solche Darstellungen gibt es?

Finde eine Darstellung der für die folgenden Zahlenpaare:

Die Wasserspedition verfügt über und Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?

Es seien

teilerfremde natürliche Zahlen. Es stehen beliebig viele Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, deren Fassungsvermögen bzw. ist. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern, wobei

teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und mit

gibt.

Es seien positive Zahlen und es sei

mit und zwischen

Wie erhält man daraus die Division mit Rest von durch

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit

und mit

gibt.

Zeige, dass für zwei ganze Zahlen die folgenden Beziehungen äquivalent sind.

1. teilt (also).

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe

ist genau dann eine

Untergruppe, wenn gilt:

Es sei eine Gruppe und es seien

Untergruppen von Zeige, dass der Durchschnitt

ebenfalls eine Untergruppe von ist.

Es seien (beliebige viele) gemalte Pfeile der Länge und der Länge gegeben. Wie muss man die Pfeile hintereinanderlegen (wobei immer ein Pfeilende an der Pfeilspitze des Vorgängerpfeils anliegt), damit insgesamt ein Gesamtpfeil der Länge entsteht?

Auf einer Baustelle gibt es eine große Waage mit zwei Schalen und (beliebig viele) Gewichte der Schwere bzw. Kilogramm.

1. Erläutere, wie man damit sechs Kilogramm Sand abwiegen kann.
2. Bestimme, welche Massen man damit abwiegen kann.

Auf den ganzen Zahlen lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form (im Dezimalsystem)

gibt, die ein Vielfaches von ist.

Kaninchen werden bekanntlich immer zur Monatsmitte geboren, die Tragzeit beträgt einen Monat und die Geschlechtsreife erreichen sie im Alter von zwei Monaten. Jeder Wurf besteht aus genau einem Paar, und alle leben ewig.

Wir starten im Monat mit einem Paar, das einen Monat alt ist. Es sei die Anzahl der Kaninchenpaare im ten Monat, also Beweise durch Induktion die Rekursionsformel

Diese Zahlfolge nennt man die Folge der Wie viele der Paare sind im ten Monat reproduktionsfähig?

Die Fibonacci-Zahlen sind somit

Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?

Beweise durch Induktion die oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen

Sie besagt

(für $n\geq 2$)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und sowie eine Darstellung desselben als eine Linearkombination der gegebenen Zahlen.

Es seien ganze Zahlen. Zeige, dass die Menge

eine Untergruppe von ist.

Es seien teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass jede natürliche Zahl

eine Darstellung

mit besitzt.

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen und Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position bzw. Welche Flöhe können sich treffen?

Wir betrachten eine digitale Uhr, die Stunden, Minuten und Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer Stunden, Minuten und Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?