Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 38/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige

${}\left\langle 0,v\right\rangle =0\,$

für alle ${}v\in V$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen

$\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

Bilinearformen sind.

1. ${}\Psi (v,w)=\Vert {v}\Vert \,.$

2. ${}\Psi (v,w)=\Vert {v-w}\Vert \,.$

3. ${}\Psi (v,w)=\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,.$

4. ${}\Psi (v,w)=\angle (v,w)\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass die Form genau dann linksausgeartet ist, wenn sie rechtsausgeartet ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Linearform

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+3y-4z.$

1. Bestimme den Vektor ${}u\in \mathbb {R} ^{3}$ mit der Eigenschaft

   $\left\langle u,v\right\rangle =L(v){\text{ für alle }}v\in \mathbb {R} ^{3},$

   wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.

2. Es sei

   $E={\left\{(x,y,z)\mid 3x-2y-5z=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}$

   und es sei ${}\varphi =L{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}L$ auf ${}E$. Bestimme den Vektor ${}w\in E$ mit der Eigenschaft

   $\left\langle w,v\right\rangle =\varphi (v){\text{ für alle }}v\in E,$

   wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$ bezeichnet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform und ${}v\in V$ der zugehörige Gradient im Sinne von Korollar 38.6. Zeige, dass der Gradient ${}u\in U$ zur Einschränkung ${}f{|}_{U}$ die orthogonale Projektion von ${}v$ auf ${}U$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im ${}\mathbb {R} ^{2}$ bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-5\\1\end{pmatrix}}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem ${}K^{2}$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass ${}\left\langle -,-\right\rangle$ genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ mit

${}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\left\langle v_{j},v_{i}\right\rangle \,$

für alle ${}1\leq i,j\leq n$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass diese Form genau dann symmetrisch ist, wenn die Gramsche Matrix von ihr bezüglich einer Basis symmetrisch ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Determinante in der Dimension zwei, also die Abbildung

$K^{2}\times K^{2}\longrightarrow K,\,({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})\longmapsto x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},$

keine symmetrische Bilinearform ist.

Aufgabe Aufgabe 38.12 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass der Ausartungsraum ein Untervektorraum von ${}V$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass die Bilinearform genau dann nicht ausgeartet ist, wenn die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis invertierbar ist.

Aufgabe Aufgabe 38.14 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer von ${}2$ verschiedenen Charakteristik und sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \right)}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer von ${}2$ verschiedenen Charakteristik und sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v-w,v-w\right\rangle \right)}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es eine Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem Vektorraum ${}V$ geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber

${}\left\langle v,v\right\rangle =0\,$

für alle ${}v\in V$ ist.

Aufgabe * Aufgabe 38.17 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass ${}V$ eine Orthogonalbasis besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

1. ${}\varphi (x,y):=x_{1}y_{1}$.
2. ${}\varphi (x,y):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$.
3. ${}\varphi (x,y):=2x_{1}y_{2}+3x_{2}y_{1}$.

Aufgabe Aufgabe 38.19 ändern

a) Zeige, dass die Summe von Bilinearformen ${}\Psi _{1}$ und ${}\Psi _{2}$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ wieder eine Bilinearform ist.

b) Zeige ebenso, dass das skalare Vielfache einer Bilinearform wieder eine Bilinearform ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der Bilinearformen auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ einen ${}K$-Vektorraum bilden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass es eine natürliche Isomorphie

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,{V}^{*}\right)}\longrightarrow \operatorname {Bilin} _{}{\left(V\right)}$

gibt.

Wie im Fall eines Skalarproduktes nennt man lineare Abbildung, die Bilinearformen respektieren, Isometrien.

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$, auf denen jeweils eine Bilinearform ${}\Phi _{V}$ bzw. ${}\Phi _{W}$ gegeben sei. Man nennt eine ${}K$- lineare Abbildung ${}f\colon V\rightarrow W$ eine Isometrie, wenn

${}\Phi _{W}(f(u),f(v))=\Phi _{V}(u,v)\,$

für alle ${}u,v\in V$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}U,V$ Vektorräume über ${}K$ mit Bilinearformen ${}\Phi _{U}$ und ${}\Phi _{V}$ und sei ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ eine Isometrie. Ist ${}\varphi$ injektiv?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$ mit mit Bilinearformen ${}\Phi _{U},\Phi _{V},\Phi _{W}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Identität ${}V\rightarrow V$ ist eine Isometrie.
2. Wenn ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ eine bijektive Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ eine Isometrie.
3. Wenn ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ und ${}\psi \colon V\rightarrow W$ Isometrien sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}\psi \circ \varphi$ eine Isometrie.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einer Bilinearform ${}\Phi$. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf ${}V$ eine Gruppe unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {C}$- Vektorraum und es seien

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

und

$\psi \colon V\longrightarrow V$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ linear ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass für eine hermitesche Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$ die Werte ${}\left\langle v,v\right\rangle$ zu ${}v\in V$ stets reell sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine Sesquilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$ genau dann hermitesch ist, wenn die Gramsche Matrix der Form bezüglich einer Basis von ${}V$ hermitesch ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

1. ${}\varphi (x,y):=x_{1}-y_{1}$.
2. ${}\varphi (x,y):=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}$.
3. ${}\varphi (x,y):=2x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1}$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im ${}\mathbb {R} ^{3}$ bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}}$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, dessen Charakteristik nicht ${}2$ sei. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$, die sowohl symmetrisch als auch alternierend sei. Zeige, dass es sich um die Nullform handelt.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ gleich dem Kern der linearen Abbildung

$V\longrightarrow {V}^{*},\,v\longmapsto \left\langle v,-\right\rangle ,$

ist.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Linearform

$L\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 4x+7y.$

1. Bestimme den Linksgradienten von ${}L$ bezüglich der Determinante.
2. Bestimme den Rechtsgradienten von ${}L$ bezüglich der Determinante.
3. Bestimme den Gradienten von ${}L$ bezüglich des Standardskalarproduktes.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass die Menge der symmetrischen Bilinearformen auf ${}V$ einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen bildet. Welche Dimension besitzt dieser Raum, wenn

${}\dim _{K}{\left(V\right)}=n\,$

ist?

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Bildet die Menge der Skalarprodukte auf ${}V$ einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen auf ${}V$?