Kurs:Lineare Algebra/Teil II/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	6	3	2	14	4	8	5	5	2	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Norm in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.
2. Eine lineare Isometrie zwischen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ mit Skalarprodukt.
3. Ein Minkowski-Raum.
4. Die Äquivalenzklasse zu einem Element ${}x\in M$ in einer Menge ${}M$ mit einer Äquivalenzrelation ${}\sim$.
5. Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$.
6. Eine spaltenstochastische Matrix.

Lösung

1. Eine Abbildung

   $\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

   heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle ${}v,w\in V$ gelten.

   1. ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$,
   2. ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
   3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

      ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

   4. Für ${}v,w\in V$ gilt

      ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

2. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   heißt Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ gilt:

   ${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

3. Ein reeller Vektorraum der Dimension ${}n$ mit einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.
4. Die Äquivalenzklasse zu ${}x$ ist die Menge

   ${}[x]={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}\,.$

5. Zwei Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ heißen orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
6. Eine reelle quadratische Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

   heißt spaltenstochastisch, wenn alle Einträge

   ${}a_{ij}\geq 0\,$

   sind und für jede Spaltensumme (also jedes ${}j$)

   ${}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1\,$

   gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
2. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ und es seien ${}G$ bzw. ${}H$ die Gramschen Matrizen von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

   ${}w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

   die wir durch die Übergangsmatrix ${}A=(a_{ij})_{i,j}$

   ausdrücken. Dan
2. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von ${}V$ aus Eigenvektoren

   zu ${}\varphi$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei

   $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$

   eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

   ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$

   derart, dass das Diagramm

   ${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ einen Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ besitzt.

Lösung

Wir betrachten das charakteristische Polynom von ${}\varphi$, also

${}P(\lambda )=\det \left(\lambda E_{3}-\varphi \right)\,.$

Dies ist ein normiertes reelles Polynom vom Grad drei. Für ${}\lambda =0$ ergibt sich

${}P(0)=\det \left(-\varphi \right)=-\det \left(\varphi \right)=-1\,.$

Da für ${}\lambda \to \infty$ das Polynom ${}P(\lambda )\to \infty$ geht, muss es für ein positives ${}\lambda$ eine Nullstelle geben. Aufgrund von Satz 33.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) kommt dafür nur ${}\lambda =1$ in Frage.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.

Lösung

Es ist

${}\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\left\langle u+v,u+v\right\rangle =\left\langle u,u\right\rangle +\left\langle u,v\right\rangle +\left\langle v,u\right\rangle +\left\langle v,v\right\rangle =\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass ${}V$ eine Orthogonalbasis besitzt.

Lösung

Es sei ${}A$ der Ausartungsraum der Bilinearform und ${}U$ ein direktes Komplement, also

${}V=A\oplus U\,.$

Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf ${}U$ nicht ausgeartet. Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{s}$ eine Basis von ${}A$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}U$. Die Vektoren ${}w_{i}$ können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren orthogonal stehen. Wir müssen uns also nur noch um ${}U$ kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf ${}V$ haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch ${}v\in V$ mit

${}\left\langle v,v\right\rangle \neq 0\,.$

Der Orthogonalraum zu ${}v$ besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension ${}\dim _{K}{\left(V\right)}-1$. Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit

${}\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle \neq 0\,.$

Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis ${}v_{1}',\ldots ,v_{n}'$ finden mit

${}\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle v_{1}',\ldots ,v_{i}'\rangle \,$

für alle ${}i$. Dies zeigen wir durch Induktion, seien ${}v_{1}',\ldots ,v_{i}'$ schon konstruiert. Wir setzen

${}c_{j}:=\left\langle v_{j},v_{i+1}\right\rangle \,$

und setzen

${}v_{i+1}'=v_{i+1}-\sum _{j=1}^{i}{\frac {c_{j}}{\left\langle v_{j},v_{j}\right\rangle }}v_{j}\,.$

Dann ist für ${}k\leq i$

${}\left\langle v_{i+1}^{'},v_{k}\right\rangle =\left\langle v_{i+1}-\sum _{j=1}^{i}{\frac {c_{j}}{\left\langle v_{j},v_{j}\right\rangle }}v_{j},v_{k}\right\rangle =\left\langle v_{i+1},v_{k}\right\rangle -{\frac {c_{k}}{\left\langle v_{k},v_{k}\right\rangle }}\left\langle v_{k},v_{k}\right\rangle =0\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.

Lösung

Die Standard-Minkowski-Form im ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist durch ${}\left\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}\right\rangle =x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}$ gegeben. Wegen

${}\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}\right\rangle ={\left({\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {3}{2}}\right)}^{2}={\frac {5}{4}}-{\frac {9}{4}}=-1\,$

liegt ein Beobachtervektor vor. Die Raumkomponente steht bezüglich der Minkowski-Form senkrecht auf dem Beobachtervektor. Dies führt zur Bedingung

${}0=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right\rangle ={\frac {\sqrt {5}}{2}}x-{\frac {3}{2}}y\,$

mit dem Lösungsraum

${\begin{pmatrix}3\\{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}\mathbb {R} .$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Automorphismengruppe ${}\operatorname {Aut} \,\mathbb {Z}$.

Lösung

Jeder Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}\mathbb {Z}$ ist von der Form

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto dx,$

mit einer festen Zahl ${}d\in \mathbb {Z}$. Bei ${}d=0$ ist dies die Nullabbildung, bei ${}d\geq 2$ und ${}d\leq -2$ ist diese Abbildung nicht surjektiv, da ${}1$ nicht im Bild liegt. Dagegen ist bei

${}d=1,-1\,$

die Abbildung bijektiv, also ein Automorphismus. Somit ist

${}\operatorname {Aut} \,\mathbb {Z} =\{\operatorname {Id} _{\mathbb {Z} },-\operatorname {Id} _{\mathbb {Z} }\}\,.$

Aufgabe (14 (3+2+2+7) Punkte)

Betrachte auf ${}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ die Relation

$(a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${}(a,b)$ ein äquivalentes Paar ${}(a',b')$ mit ${}b'>0$ gibt.

c) Es sei ${}M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${}M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${}+$ derart, dass ${}M$ mit dieser Verknüpfung und mit ${}[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${}\varphi$ die Beziehung

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,$

für alle ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ gilt.

Lösung

a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in ${}\mathbb {Z}$ ist ${}ab=ba$, woraus die Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei ${}(a,b)\sim (c,d)$, also ${}ad=bc$. Dann ist auch ${}cb=da$, was ${}(c,d)\sim (a,b)$

bedeutet. Zur Transitivität sei

$(a,b)\sim (c,d){\text{ und }}(c,d)\sim (e,f),$

also

$ad=bc{\text{ und }}cf=de.$

Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich

${}adf=bcf=bde\,.$

Da

${}d\neq 0$ ist, folgt daraus ${}af=be$, was ${}(a,b)\sim (e,f)$ bedeutet.

b) Es sei ${}(a,b)$ vorgegeben. Wegen ${}b\neq 0$ ist ${}b>0$ oder ${}b<0$. Bei ${}b>0$ sind wir fertig, da ${}(a,b)$ zu sich selbst äquivalent ist. Bei ${}b<0$ betrachten wir ${}(-a,-b)$. Der

zweite Eintrag ist positiv, und wegen

${}a(-b)=-(ab)=b(-a)\,$

sind ${}(a,b)$ und ${}(-a,-b)$ äquivalent zueinander.

c) Es seien ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ vorgegeben und ${}\varphi (z_{1})=\varphi (z_{2})$. Das bedeutet

${}[(z_{1},1)]=[(z_{2},1)]$ bzw. ${}(z_{1},1)\sim (z_{2},1)$, also

${}z_{1}=z_{1}1=1z_{2}=z_{2}\,.$

d) Wir setzen

$[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+cb,bd)].$

Wegen ${}b,d\neq 0$ ist auch

${}bd\neq 0$. Zur Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung sei

$(a,b)\sim (a',b'){\text{ und }}(c,d)\sim (c',d'),$

also

$ab'=a'b{\text{ und }}cd'=c'd.$

Wir behaupten

$(ad+cb,bd)\sim (a'd'+c'b',b'd').$

Dies folgt aus

${}{\begin{aligned}(ad+cb)b'd'&=adb'd'+cbb'd'\\&=ab'dd'+cd'bb'\\&=a'bdd'+c'dbb'\\&=bda'd'+bdc'b'\\&=bd(a'd'+c'b').\end{aligned}}$

Die Assoziativität folgt aus

${}{\begin{aligned}([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]&=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]\\&=[(ad+bc)f+bde,bdf]\\&=[adf+bcf+bde,bdf]\\&=[adf+b(cf+de),bdf]\\&=[(a,b)]+([(cf+de,df)])\\&=[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)]).\end{aligned}}$

Wegen

${}[(a,b)]+[(0,1)]=[(a1+b0,b1)]=[(a,b)]\,$

(und ebenso

in der anderen Reihenfolge) ist ${}(0,1)$ das neutrale Element.

Wir behaupten, dass zu ${}[(a,b)]$ das inverse Element durch ${}[(-a,b)]$ gegeben ist. Dies folgt aus

${}[(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab+b(-a),b^{2})]=[(ab-ab,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]\,,$

wobei die letzte Gleichung sich aus ${}0\cdot 1=0\cdot b^{2}$ ergibt (ebenso in der anderen Reihenfolge).

Schließlich ist für${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=[(z_{1}+z_{2},1)]=[(z_{1}\cdot 1+1\cdot z_{2},1\cdot 1)]=[(z_{1},1)]+[(z_{2},1)]=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von ${}g$ mit dem minimalen ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

gibt, in dessen Bild das Element ${}g$ liegt.

Lösung

Wenn ${}g$ im Bild eines Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

liegt, so liegt ${}g$ insbesondere in einer Untergruppe einer Ordnung ${}\leq d$ und nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung von ${}g$ ebenfalls ${}\leq d$. Die Ordnung ist also höchstens gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen ${}d$, für die es einen solchen Gruppenhomomorphismus gibt.

Es sei umgekehrt ${}d$ die Ordnung von ${}g$. Der kanonische Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$

besitzt den Kern ${}\mathbb {Z} d$. Aufgrund des Satzes vom induzierten Homomorphismus induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

und ${}g$ gehört dabei zum Bild.

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei ${}u_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}U$ und ${}v_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass die Gesamtfamilie ${}u_{i},i\in I,v_{j},j\in J$, genau dann eine Basis von ${}V$ ist, wenn ${}[v_{j}]$, ${}j\in J$, eine Basis des Restklassenraumes ${}V/U$ ist.

Lösung

Es sei zunächst die Gesamtfamilie eine Basis von ${}V$. Da

$V\longrightarrow V/U$

surjektiv ist, ist das Bild der Basis ein Erzeugendensystem von ${}V/U$, und da die Vektoren ${}u_{i}$, ${}i\in I$, auf ${}0$ abgebildet werden, ist ${}[v_{j}]$, ${}j\in J$, ein Erzeugendensystem des Restklassenraumes. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

${}\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]=0\,,$

wobei die Koeffizienten nur für endlich viele Indizes ungleich ${}0$ sein können. Dies bedeutet zurückübersetzt nach ${}V$, dass

${}\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}=u\in U\,$

gilt. Somit ist

${}\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}\,$

und aus der linearen Unabhängigkeit der Gesamtfamilie folgt

${}b_{j}=0\,.$

Es sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass die ${}[v_{j}]$, ${}j\in J$, eine Basis des Restklassenraumes bilden. Es sei ${}v\in V$. Dann ist

${}[v]=\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]\,$

in ${}V/U$. Dies bedeutet zurückübersetzt nach ${}V$, dass

$v-\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}$

zu ${}U$ gehört. Damit gibt es eine Darstellung

${}v=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}+\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}\,$

und die Vektorenfamilie ist ein Erzeugendensystem. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

${}0=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}+\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}\,.$

Im Restklassenraum bedeutet dies

${}[0]=\sum _{i\in I}a_{i}[u_{i}]+\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]=\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]\,$

und wegen der linearen Unabhängigkeit folgt

${}b_{j}=0\,$

für alle ${}j\in J$. Somit reduziert sich die Ausgangsgleichung zu

${}0=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}\,$

und die lineare Unabhängigkeit der ${}u_{i}$ liefert

${}a_{i}=0\,$

für alle ${}i\in I$.

Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Es sei ${}Q$ das Quadrat im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten ${}(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.

a) Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.

b) Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.

c) Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?

Lösung

a) Die eigentlichen Symmetrien sind die Drehungen am Quadrat, und zwar die Identität, die Vierteldrehung (gegen den Uhrzeigersinn), die Halbdrehung und die Dreivierteldrehung. Die zugehörigen Matrizen sind

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$

b) Die uneigentlichen Symmetrien sind die Achsenspiegelungen an der ${}x$-Achse, der ${}y$-Achse und an den beiden Diagonalen. Die zugehörigen Matrizen sind

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

c) Wegen

${}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,$

ist die Gruppe nicht kommutativ.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

${}V=U\oplus W\,$

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraumes und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

${}\varphi =\psi \oplus \theta \,.$

Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann asymptotisch stabil ist, wenn sowohl ${}\psi$ als auch ${}\theta$ asymptotisch stabil sind.

Lösung Endomorphismus/Asymptotisch stabil/Direkte Summenzerlegung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}5\\-1\\2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}.$

Lösung Tensorprodukt/R/Rechnung/7/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit dem Dualraum ${}{V}^{*}$. Zeige, dass es eine Linearform

${V}^{*}\otimes V\longrightarrow K$

gibt, die ${}f\otimes v$ auf ${}f(v)$ abbildet.

Lösung

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon {V}^{*}\times V\longrightarrow K,\,(f,v)\longmapsto f(v).$

Da ${}f$ eine Linearform ist, ist ${}\Psi$ linear in der zweiten Komponente. Die Vektorraumstruktur im Dualraum ist durch

${}(af+bg)(v)=af(v)+bg(v)\,$

gegeben, bei fixiertem ${}v$ ist daher ${}\Psi$ auch linear in der ersten Komponente. Somit liegt eine multilineare Abbildung vor. Aufgrund der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes gibt es eine lineare Abbildung

${\bar {\Psi }}\colon {V}^{*}\otimes V\longrightarrow K,$

und diese bildet ${}f\otimes v$ auf ${}f(v)$ ab.