Kurs:Lineare Algebra/Teil II/2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 3 2 6 3 2 14 4 8 5 5 2 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Norm in einem -Vektorraum .
  2. Eine lineare Isometrie zwischen -Vektorräumen und mit Skalarprodukt.
  3. Ein Minkowski-Raum.
  4. Die Äquivalenzklasse zu einem Element in einer Menge mit einer Äquivalenzrelation .
  5. Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .
  6. Eine spaltenstochastische Matrix.


Lösung

  1. Eine Abbildung

    heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle gelten.

    1. ,
    2. genau dann, wenn ist.
    3. Für und gilt
    4. Für gilt
  2. Eine lineare Abbildung

    heißt Isometrie, wenn für alle gilt:

  3. Ein reeller Vektorraum der Dimension mit einer Bilinearform vom Typ heißt Minkowski-Raum.
  4. Die Äquivalenzklasse zu ist die Menge
  5. Zwei Basen und heißen orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
  6. Eine reelle quadratische Matrix

    heißt spaltenstochastisch, wenn alle Einträge

    sind und für jede Spaltensumme (also jedes )

    gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
  2. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
  3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.


Lösung

  1. Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine Bilinearform auf . Es seien und zwei Basen von und es seien bzw. die Gramschen Matrizen von bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

    die wir durch die Übergangsmatrix

    ausdrücken. Dan
  2. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

    ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von aus Eigenvektoren

    zu .
  3. Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und . Es sei

    eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren -Vektorraum . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

    derart, dass das Diagramm
    kommutiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des einen Eigenvektor zum Eigenwert besitzt.


Lösung

Wir betrachten das charakteristische Polynom von , also

Dies ist ein normiertes reelles Polynom vom Grad drei. Für ergibt sich

Da für das Polynom geht, muss es für ein positives eine Nullstelle geben. Aufgrund von Fakt ***** kommt dafür nur in Frage.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.


Lösung

Es ist


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass eine Orthogonalbasis besitzt.


Lösung

Es sei der Ausartungsraum der Bilinearform und ein direktes Komplement, also

Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf nicht ausgeartet. Es sei eine Basis von und eine Basis von . Die Vektoren können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren orthogonal stehen. Wir müssen uns also nur noch um kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch mit

Der Orthogonalraum zu besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension . Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis mit

Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis finden mit

für alle . Dies zeigen wir durch Induktion, seien schon konstruiert. Wir setzen

und setzen

Dann ist für


Aufgabe (3 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.


Lösung

Die Standard-Minkowski-Form im ist durch gegeben. Wegen

liegt ein Beobachtervektor vor. Die Raumkomponente steht bezüglich der Minkowski-Form senkrecht auf dem Beobachtervektor. Dies führt zur Bedingung

mit dem Lösungsraum


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Automorphismengruppe .


Lösung

Jeder Gruppenhomomorphismus von nach ist von der Form

mit einer festen Zahl . Bei ist dies die Nullabbildung, bei und ist diese Abbildung nicht surjektiv, da nicht im Bild liegt. Dagegen ist bei

die Abbildung bijektiv, also ein Automorphismus. Somit ist


Aufgabe (14 (3+2+2+7) Punkte)

Betrachte auf die Relation

a) Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ein äquivalentes Paar mit gibt.

c) Es sei die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

Zeige, dass injektiv ist.

d) Definiere auf (aus Teil c) eine Verknüpfung derart, dass mit dieser Verknüpfung und mit als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung die Beziehung

für alle gilt.


Lösung

a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in ist , woraus die Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei , also . Dann ist auch , was

bedeutet. Zur Transitivität sei
also
Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich
Da

ist, folgt daraus , was bedeutet.

b) Es sei vorgegeben. Wegen ist oder . Bei sind wir fertig, da zu sich selbst äquivalent ist. Bei betrachten wir . Der

zweite Eintrag ist positiv, und wegen
sind und äquivalent zueinander.

c) Seien vorgegeben und . Das bedeutet

bzw. , also
d) Wir setzen
Wegen ist auch

. Zur Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung sei

also

Wir behaupten
Dies folgt aus

Die Assoziativität folgt aus

Wegen
(und ebenso

in der anderen Reihenfolge) ist das neutrale Element.

Wir behaupten, dass zu das inverse Element durch gegeben ist. Dies folgt aus

wobei die letzte Gleichung sich aus ergibt (ebenso in der anderen Reihenfolge).

Schließlich ist für


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

gibt, in dessen Bild das Element liegt.


Lösung

Wenn im Bild eines Gruppenhomomorphismus

liegt, so liegt insbesondere in einer Untergruppe einer Ordnung und nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung von ebenfalls . Die Ordnung ist also höchstens gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen , für die es einen solchen Gruppenhomomorphismus gibt.

Sei umgekehrt die Ordnung von . Der kanonische Gruppenhomomorphismus

besitzt den Kern . Aufgrund des Satzes vom induzierten Homomorphismus induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Gruppenhomomorphismus

und gehört dabei zum Bild.


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Es sei , , eine Basis von und , , eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Gesamtfamilie , genau dann eine Basis von ist, wenn , , eine Basis des Restklassenraumes ist.


Lösung

Es sei zunächst die Gesamtfamilie eine Basis von . Da

surjektiv ist, ist das Bild der Basis ein Erzeugendensystem von , und da die Vektoren , , auf abgebildet werden, ist , , ein Erzeugendensystem des Restklassenraumes. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

wobei die Koeffizienten nur für endlich viele Indizes ungleich sein können. Dies bedeutet zurückübersetzt nach , dass

gilt. Somit ist

und aus der linearen Unabhängigkeit der Gesamtfamilie folgt

Sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass die , , eine Basis des Restklassenraumes bilden. Sei . Dann ist

in . Dies bedeutet zurückübersetzt nach , dass

zu gehört. Damit gibt es eine Darstellung

und die Vektorenfamilie ist ein Erzeugendensystem. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

Im Restklassenraum bedeutet dies

und wegen der linearen Unabhängigkeit folgt

für alle . Somit reduziert sich die Ausgangsgleichung zu

und die lineare Unabhängigkeit der liefert

für alle .


Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Es sei das Quadrat im mit den Eckpunkten .

  1. Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
  2. Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
  3. Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?


Lösung

  1. Die eigentlichen Symmetrien sind die Drehungen am Quadrat, und zwar die Identität, die Vierteldrehung (gegen den Uhrzeigersinn), die Halbdrehung und die Dreivierteldrehung. Die zugehörigen Matrizen sind
  2. Die uneigentlichen Symmetrien sind die Achsenspiegelungen an der -Achse, der -Achse und an den beiden Diagonalen. Die zugehörigen Matrizen sind
  3. Wegen

    und

    ist die Gruppe nicht kommutativ.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen -Vektorraumes und es sei

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

Zeige, dass genau dann asymptotisch stabil ist, wenn sowohl als auch asymptotisch stabil sind.


Lösung Endomorphismus/Asymptotisch stabil/Direkte Summenzerlegung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne in das Tensorprodukt


Lösung Tensorprodukt/R/Rechnung/7/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit dem Dualraum . Zeige, dass es eine Linearform

gibt, die auf abbildet.


Lösung

Wir betrachten die Abbildung

Da eine Linearform ist, ist linear in der zweiten Komponente. Die Vektorraumstruktur im Dualraum ist durch

gegeben, bei fixiertem ist daher auch linear in der ersten Komponente. Somit liegt eine multilineare Abbildung vor. Aufgrund der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes gibt es eine lineare Abbildung

und diese bildet auf ab.