Kurs:Lineare Algebra/Teil II/5/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 4 2 4 8 3 3 4 4 3 2 5 1 10 2 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein euklidischer Vektorraum.
  2. Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
  3. Eine zyklische Gruppe .
  4. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  5. Der Spektralradius zu einem Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Die aus einer -linearen Abbildung

    durch einen Körperwechsel gewonnene -lineare Abbildung.


Lösung

  1. Unter einem euklidischen Vektorraum versteht man einen reellen endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
  3. Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
  4. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).
    1. .
    2. Aus folgt .
    3. Aus und folgt .
  5. Der Spektralradius von ist
  6. Die Abbildung

    heißt die durch Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
  2. Der Satz über die (Norm)-Charakterisierung für normale Endomorphismen.
  3. Der Satz über Basen in einem Dachprodukt.


Lösung

  1. Es sei ein euklidischer Vektorraum und eine Orthonormalbasis von . Es sei

    eine lineare Abbildung und die beschreibende Matrix zu bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist genau dann eine Isometrie, wenn

    ist.
  2. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

    ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

    1. ist normal.
    2. Für alle gilt
    3. Für alle gilt
  3. Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension . Es sei eine Basis von und es sei . Dann bilden die Dachprodukte
    eine Basis von .


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.


Lösung

Die Abstände der einzelnen Koordinanten sind

und

a) Der euklidische Abstand ist somit

b) In der Summenmetrik ist der Abstand

c) Es ist

daher ist der Abstand in der Maximumsmetrik gleich .

d) Wir behaupten, dass der Maximumsabstand kleiner dem euklidischen Abstand und dass dieser kleiner dem Summenabstand ist. Um dies zu sehen bringt man die drei Zahlen auf den Hauptnenner und muss dann für die Zähler

zeigen. Wegen und ist das klar.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien von verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel zu und mit dem Winkel zu und übereinstimmt, wobei positive reelle Zahlen sind.


Lösung

Es ist

wobei wir rechts die Positivität von und ausgenutzt haben. Daher stimmt auch der Arkus Kosinus davon überein.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz des Thales.


Lösung

Ohne Einschränkung sei und . Wir schreiben „vektoriell“ , , somit ist . Der Verbindungsvektor von nach ist dann und der Verbindungsvektor von nach ist dann . Somit ist

also sind diese Seiten senkrecht zueinander.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.


Lösung

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht ist, ist nach Aufgabe ***** die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form . Wir müssen zeigen, dass ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von , wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension bewiesen und es liege ein -dimensionaler Raum mit einer Basis mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum

hat die Dimension und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied

weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt den Typ , wobei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

ist. Aufgrund der Definition des Typs ist

da ein -dimensionaler Untervektorraum , auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum

führt, der die Dimension oder besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe ***** ist das Vorzeichen von gleich und das Vorzeichen von gleich . Das bedeutet, dass zwischen und ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit ) genau dann vorliegt, wenn

ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es eine Bilinearform auf einem Vektorraum geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber

für alle ist.


Lösung

Wir betrachten auf die Abbildung

Nach grundlegenden Eigenschaften der Determinante ist dies eine Bilinearform, und zwar nicht die Nullform. Wenn aber vorne und hinten der gleiche Vektor steht, so ist das Ergebnis .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein normaler Endomorphismus. Zeige


Lösung

Sei mit . Nach Fakt *****  (3) ist

also ist auch und . Wegen

gilt davon auch die Umkehrung.


Aufgabe (4 Punkte)

Die Kugeloberfläche wird im als Nullstellenmenge der quadratischen Gleichung

beschrieben. Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasen durch die Matrix

beschrieben werde. Durch welche quadratische Form kann das Bild beschrieben werden? Wie nennt man das geometrische Gebilde ?


Lösung

In den neuen Koordinaten wird das Bild durch die Gleichung

beschrieben, es handelt sich also um die Oberfläche eines Ellipsoids. Ein Punkt mit den Koordinaten wird ja auf den Punkt abgebildet und die Bildpunkte der Kugeloberfläche erfüllen

Wenn umgekehrt ein Punkt die Gleichung erfüllt, so erfüllt das (eindeutig bestimmte) Urbild, also , wegen

die Ursprungsgleichung.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine Gruppe. Betrachte die Relation auf , die durch

erklärt ist. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.


Lösung

Die Relation ist offenbar reflexiv. Zum Nachweis der Symmetrie sei . Im Fall ist natürlich auch und somit . Im Fall

ergibt sich durch Invertieren der Gleichung

also ebenfalls . Zum Nachweis der Transitivität sei und . Hier gibt es insgesamt vier Fälle. Bei und ist natürlich . Bei und ist , also . Bei und ist , also wieder . Bei und ist

also .


Aufgabe (3 Punkte)

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.


Lösung

Wir setzen

Sei und . Wir müssen zeigen, dass ebenfalls zu gehört. Es ist

Wegen und da ein Normalteiler ist, gehört dies zu . Also ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Lösung

Die Determinante links ist

und die Determinante rechts ist

Da erste Determinante ist also positiv und die zweite Determinante ist negativ, daher repräsentieren sie nicht die gleiche Orientierung des .


Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten im den Würfel, dessen Ecken die Punkte sind.

  1. Man gebe eine Matrixbeschreibung bezüglich der Standardbasis, die die Drehung des Würfels um die Raumdiagonale (also die Gerade durch den Punkt ) beschreibt, die den Eckpunkt in den Eckpunkt überführt.
  2. Man gebe eine Matrixbeschreibung bezüglich der Standardbasis, die die Drehung des Würfels um Grad um die (ebene) Diagonale der -Ebene beschreibt.
  3. Berechne und bestimme die Drehachse.
  4. Berechne und bestimme die Drehachse.
  5. Bestimme die Determinante von und .


Lösung

  1. Die Standardvektoren liegen auf den an anliegenden Seiten, und die Drehung gibt vor, wie diese ineinander überführt werden. Also ist die Matrix gleich .
  2. Der Standardvektor wird auf sein Negatives abgebildet und und werden vertauscht. Die Matrix ist also gleich .
  3. Es ist
    Es wird also in sich überführt und daher ist die -Achse die Drehachse.
  4. Es ist
    Es wird also in sich überführt und daher ist die -Achse die Drehachse.
  5. Da alles eigentliche Isometrien sind, ist ihre Determinante stets gleich .


Aufgabe (1 Punkt)

Digraph example.svg

Erstelle die Adjazenzmatrix zum gerichteten Graphen rechts.


Lösung

Die Adjazenzmatrix ist


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.


Lösung

Aus (1) folgt (2). Sei . Wir können mit einer beliebigen Norm auf und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann konvergiert wegen

die Folge gegen . Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und

eine Linearkombination ist, so ist

und aus der Konvergenz der beteiligten Folgen gegen folgt die Konvergenz dieser Summenfolge gegen . Von (2) bzw. (3) nach (4). Wir können annehmen: Im reellen Fall kann man von ausgehen und die Abbildung durch eine reelle Matrix ausdrücken und diese als komplexe Matrix auffassen. Das gegebene reelle Erzeugendensystem ist dann auch ein komplexes Erzeugendensysten für den . Es sei ein Eigenwert und ein Eigenvektor zu . Da nach Voraussetzung

gegen konvergiert, muss gegen konvergieren und daher ist

Für den Schluss von (4) auf (1) verwenden wir Fakt *****, es ist also

wobei die Nilpotenzordnung des nilpotenten Anteils ist. Die Eigenwerte von sind nach Aufgabe ***** die Eigenwerte des diagonalisierbaren Anteils , sie seien mit bezeichnet. Die Summanden sind von der Form

zu einem festen und einem Polynom . Die Diagonaleinträge von sind (nach Diagonalisieren) von der Form

und wegen konvergiert dies für gegen . Daher konvergiert gegen die Nullabbildung und das gilt nach Aufgabe ***** auch für das Produkt mit der festen Abbildung . Daher konvergiert auch die Summe gegen die Nullabbildung.


Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Vektorraum über dem Körper und

ein Endomorphismus. Es sei

das -te Dachprodukt von . Es seien linear unabhängige Eigenvektoren zu zu den Eigenwerten . Zeige, dass ein Eigenwert von ist.


Lösung

Nach Voraussetzung ist

und die sind untereinander linear unabhängig. Daher ist in nach Fakt ***** ein Element einer Basis und insbesondere nicht . Es ist unter Verwendung von Fakt *****

Also ist ein Eigenvektor von zum Eigenwert .