Lösung
- Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum
-

- Eine
lineare Abbildung
-
heißt
winkeltreu,
wenn für je zwei Vektoren
die Beziehung
-

gilt.
- Eine quadratische
komplexe
Matrix
-

heißt
hermitesch,
wenn
-

für alle
gilt.
- Man nennt
-
![{\displaystyle {}M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ffc58b9cf22885757d87e8600706ad426255be)
die Quotientenmenge von
.
- Die Abbildung
heißt stetig in
, wenn für jedes
ein
derart existiert, dass
-

gilt.
- Zu einem
-
Vektorraum
über einem
Körper
und einer
Körpererweiterung
nennt man
den
durch Körperwechsel gewonnenen
-Vektorraum.
Lösung
- In einem
Dreieck
mit den Seitenlängen
und dem
Winkel
an
gilt
-

- Die orthogonale Projektion
ist derjenige Punkt auf
, der unter allen Punkten auf
zu
den minimalen Abstand besitzt.
- Es sei
ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum
der
Dimension
. Dann entsprechen durch die
Zuordnung
-
die
Orientierungen
auf
den Orientierungen auf
.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Wir betrachten die durch die Gleichung
-

gegebene Ellipse und die durch die Matrix
-

gegebene bijektive lineare Abbildung
auf dem
. Es ist also
-

Wenn
ein Punkt auf der Ellipse ist, also die Ellipsengleichung erfüllt, so gilt für den Bildpunkt
-

d.h. er liegt ebenfalls auf der Ellipse. Die Ellipse wird also unter der Abbildung auf sich selbst abgebildet. Die Abbildung ist keine Isometrie, da der erste Standardvektor auf den Vektor
abgebildet wird, der die Norm
besitzt.
Lösung
Es sei
-

und
-

Dann ist
-

Die Längen dieser Vektoren sind
. Somit gilt

Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume
mit
symmetrischen Bilinearformen
und
.
- Zeige, dass auf
durch
-

eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei
und
orthogonal
zueinander sind.
- Es sei
die
Gramsche Matrix
von
bezüglich einer Basis von
und
die Gramsche Matrix von
bezüglich einer Basis von
. Zeige, dass die
Blockmatrix
aus
und
die Gramsche Matrix von
bezüglich der zusammengesetzten Basis ist.
- Der
Typ
der Bilinearformen sei
bzw.
. Zeige, dass der Typ von
gleich
ist.
Lösung
- Wegen

ist die Abbildung symmetrisch. Daher genügt es, die Linearität in der ersten Komponente zu zeigen. Diese ergibt sich aus

Die Orthogonalität ergibt sich aus
-

- Es seien
und
die Basen und entsprechend
die zusammengesetzte Basis von
. Die Einträge der Gramschen Matrix von
sind
-

-

-

sodass die Blockgestalt aus den einzelnen Gramschen Matrizen vorliegt.
- Wir ziehen
den Sylvesterschen Trägheitssatz
heran. Es seien beide Basen Orthogonalbasen, die zusammengesetzte Basis ist dann ebenfalls eine Orthogonalbasis. Im ersten Block stehen dann in der Diagonale
Einsen,
Minuseinsen und
Nullen und im zweiten Block stehen in der Diagonale
Einsen,
Minuseinsen und
Nullen. Insgesamt stehen dort also
Einsen und
Minuseinsen.
Entscheide, ob es für die durch die Matrix
-
gegebene
lineare Abbildung
eine
Orthonormalbasis
des
aus
Eigenvektoren
gibt.
Lösung
Es sei
-

Die adjungierte Abbildung wird durch
-

beschrieben. Wegen
-

und
-

ist
-

Der Endomorphismus ist also nicht
normal
und daher gibt es nach
Satz 42.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
keine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Betrachte den Würfel
Es sei
diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte
und
,
die den Eckpunkt
auf
schickt, und es sei
die Halbdrehung um die vertikale Achse
(also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche
und den Mittelpunkt der Seitenfläche
läuft).
a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge
, die durch
und
bewirkt werden.
b) Bestimme die Drehachse von
und von
sowie die Ordnung dieser Drehungen.
c) Man gebe die Zykeldarstellung der von
bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist
?
d) Man betrachte die Permutation
, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle
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gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von
.
Lösung
a) Die Wertetabellen für die angegebenen Permutationen sind
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b) Die Drehachse von
ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte
und
und die Drehachse von
ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte
und
. Beides sind Dritteldrehungen, ihre Ordnung ist 3.
c) Aus der Wertetabelle für
kann man leicht diejenige für
errechnen, und damit auch die Zykledarstellung. Diese ist
-
Die Ordnung von

ist 3, daher ist

.
d)
stimmt auf den unteren Eckpunkten
mit der durch
definierten Permutation überein. Würde
von einer Würfelbewegung
herrühren, so wäre
die Identität auf der unteren Ebenen und müßte dann überhaupt die Identität sein. Dann wäre
, was aber wegen
-

nicht der Fall ist.
hat die Zykeldarstelung
-
die wir als Produktdarstellung lesen. Der vordere Zykel ist als Produkt geschrieben
-
Insgesamt ist

das Produkt von

Transpositionen und daher ist das Signum

.
Lösung Normierte endlichdimensionale Vektorräume/Lineare Abbildung/Maximumsnorm/Ist Norm/Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Wir betrachten eine
stochastische Matrix,
bei der jede Spalte gleich
ist. Bestimme die
Eigenverteilung
und eine Basis des Kerns zu dieser Matrix.
Lösung
Wegen
-

ist
die Eigenverteilung dieser Matrix.
Der Kern besitzt die Dimension
und wird durch die linear unabhängigen Vektoren
erzeugt.
Es seien
endlichdimensionale
-
Vektorräume
und es seien
-
Fahnen
in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in
geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt
-
haben.
Lösung