Kurs:Lineare Algebra/Teil II/6/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 4 3 0 2 8 2 0 3 6 3 0 3 3 43




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Eine winkeltreue Abbildung

    auf einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.

  3. Eine hermitesche Matrix.
  4. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  5. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  6. Den durch Körperwechsel aus einem -Vektorraum gewonnenen -Vektorraum.


Lösung

  1. Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum
  2. Eine lineare Abbildung

    heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren die Beziehung

    gilt.

  3. Eine quadratische komplexe Matrix

    heißt hermitesch, wenn

    für alle gilt.

  4. Man nennt

    die Quotientenmenge von .

  5. Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass

    gilt.

  6. Zu einem -Vektorraum über einem Körper und einer Körpererweiterung nennt man den durch Körperwechsel gewonnenen -Vektorraum.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Kosinussatz.
  2. Der Satz über den Abstand eines Vektors zu einem Untervektorraum in einem euklidischen Vektorraum .
  3. Der Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.


Lösung

  1. In einem Dreieck mit den Seitenlängen und dem Winkel an gilt
  2. Die orthogonale Projektion ist derjenige Punkt auf , der unter allen Punkten auf zu den minimalen Abstand besitzt.
  3. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension . Dann entsprechen durch die Zuordnung

    die Orientierungen

    auf den Orientierungen auf .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine (achsensymmetrische) Ellipse im und eine bijektive lineare Abbildung mit , die keine Isometrie ist.


Lösung

Wir betrachten die durch die Gleichung

gegebene Ellipse und die durch die Matrix

gegebene bijektive lineare Abbildung auf dem . Es ist also

Wenn ein Punkt auf der Ellipse ist, also die Ellipsengleichung erfüllt, so gilt für den Bildpunkt

d.h. er liegt ebenfalls auf der Ellipse. Die Ellipse wird also unter der Abbildung auf sich selbst abgebildet. Die Abbildung ist keine Isometrie, da der erste Standardvektor auf den Vektor abgebildet wird, der die Norm besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Kosinussatz.


Lösung

Es sei

und

Dann ist

Die Längen dieser Vektoren sind . Somit gilt


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und es seien

und

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung linear ist.


Lösung

Da beide Abbildungen mit der Addition verträglich sind, gilt dies auch für die Verknüpfung. Für einen Vektor und einen Skalar gilt

also ist linear.


Aufgabe (8 (4+2+2) Punkte)

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit symmetrischen Bilinearformen und .

  1. Zeige, dass auf durch

    eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei und orthogonal zueinander sind.

  2. Es sei die Gramsche Matrix von bezüglich einer Basis von und die Gramsche Matrix von bezüglich einer Basis von . Zeige, dass die Blockmatrix aus und die Gramsche Matrix von bezüglich der zusammengesetzten Basis ist.
  3. Der Typ der Bilinearformen sei bzw. . Zeige, dass der Typ von gleich ist.


Lösung

  1. Wegen
    ist die Abbildung symmetrisch. Daher genügt es, die Linearität in der ersten Komponente zu zeigen. Diese ergibt sich aus
    Die Orthogonalität ergibt sich aus
  2. Es seien und die Basen und entsprechend die zusammengesetzte Basis von . Die Einträge der Gramschen Matrix von sind

    so dass die Blockgestalt aus den einzelnen Gramschen Matrizen vorliegt.

  3. Wir ziehen den Sylvesterschen Trägheitssatz heran. Es seien beide Basen Orthogonalbasen, die zusammengesetzte Basis ist dann ebenfalls eine Orthogonalbasis. Im ersten Block stehen dann in der Diagonale Einsen, Minuseinsen und Nullen und im zweiten Block stehen in der Diagonale Einsen, Minuseinsen und Nullen. Insgesamt stehen dort also Einsen und Minuseinsen.


Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.


Lösung

Es sei

Die adjungierte Abbildung wird durch

beschrieben. Wegen

und

ist

Der Endomorphismus ist also nicht normal und daher gibt es nach Fakt ***** keine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Gruppe und ein Element, und seien ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

  1. Es ist .
  2. Es ist .


Lösung

Die erste Aussage folgt aus der Definition. Die zweite Aussage ist klar, wenn beide Zahlen oder beide sind. Sei also positiv und negativ. Bei kann man in „innen“ -mal mit zu kürzen, und übrig bleibt die -te Potenz von , also . Bei kann man -mal mit kürzen und übrig bleibt die - te Potenz von . Das ist wieder .


Aufgabe (6 (2+1+1+2) Punkte)

Betrachte den Würfel

Snijden kruisen evenwijdig.png


Es sei diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte und , die den Eckpunkt auf schickt, und es sei die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche und den Mittelpunkt der Seitenfläche läuft).

a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge , die durch und bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von und von sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ?

d) Man betrachte die Permutation , die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle

gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von .


Lösung

a) Die Wertetabellen für die angegebenen Permutationen sind





b) Die Drehachse von ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte und und die Drehachse von ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte und . Beides sind Dritteldrehungen, ihre Ordnung ist 3.

c) Aus der Wertetabelle für kann man leicht diejenige für errechnen, und damit auch die Zykledarstellung. Diese ist

Die Ordnung von ist 3, daher ist .

d) stimmt auf den unteren Eckpunkten mit der durch definierten Permutation überein. Würde von einer Würfelbewegung herrühren, so wäre die Identität auf der unteren Ebenen und müßte dann überhaupt die Identität sein. Dann wäre , was aber wegen

nicht der Fall ist.

hat die Zykeldarstelung

die wir als Produktdarstellung lesen. Der vordere Zykel ist als Produkt geschrieben
Insgesamt ist das Produkt von Transpositionen und daher ist das Signum .


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale normierte -Vektorräume. Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem Homomorphismenraum in der Tat eine Norm ist.


Lösung Normierte endlichdimensionale Vektorräume/Lineare Abbildung/Maximumsnorm/Ist Norm/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten eine stochastische Matrix, bei der jede Spalte gleich ist. Bestimme die Eigenverteilung und eine Basis des Kerns zu dieser Matrix.


Lösung

Wegen

ist die Eigenverteilung dieser Matrix.

Der Kern besitzt die Dimension und wird durch die linear unabhängigen Vektoren erzeugt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien endlichdimensionale -Vektorräume und es seien

Fahnen in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt

haben.


Lösung

Wir betrachten einen zweidimensionalen Vektorraum und das Tensorprodukt . Untervektorräume der Form haben die Dimension , da sind also nur die Dimensionen möglich. In einer Fahne muss aber zu jeder Dimension ein Untervektorraum auftreten, also auch einer mit der Dimension .