Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 52

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ offen sind.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die abgeschlossenen Kugeln ${}B\left(x,\epsilon \right)$ abgeschlossen sind.

Aufgabe *

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass ${}\{P\}$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Hausdorffraum und es sei ${}Y\subseteq X$ eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei ${}Y$ kompakt. Zeige, dass ${}Y$ abgeschlossen in ${}X$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.

1. Die leere Menge ${}\emptyset$ und die Gesamtmenge ${}M$ sind offen.
2. Es sei ${}I$ eine beliebige Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung

   $\bigcup _{i\in I}U_{i}$

   offen.
3. Es sei ${}I$ eine endliche Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt

   $\bigcap _{i\in I}U_{i}$

   offen.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und ${}m\in M$. Zeige, dass die konstante Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto m,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die Identität

$M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion ${}T\subseteq M$ stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und

$\varphi _{w}\colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto v+w,$

die Verschiebung um den Vektor ${}w\in V$. Zeige, dass ${}\varphi _{w}$ stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}x\in M$ ein Punkt mit ${}f(x)>0$. Zeige, dass dann auch ${}f(y)>0$ für alle ${}y$ aus einer offenen Ballumgebung von ${}x$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und seien ${}a<b<c$ reelle Zahlen. Es seien

$f\colon [a,b]\longrightarrow M$

und

$g\colon [b,c]\longrightarrow M$

stetige Abbildungen mit ${}f(b)=g(b)$. Zeige, dass dann die Abbildung

$h\colon [a,c]\longrightarrow M$

mit

$h(t)=f(t){\text{ für }}t\leq b{\text{ und }}h(t)=g(t){\text{ für }}t>b$

ebenfalls stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Addition

${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und die Multiplikation

${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

stetig sind.

Aufgabe

Zeige, dass eine polynomiale Funktion

$f\colon {\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$

stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine reelle Quadrik, also eine durch ein reelles Polynom vom Grad zwei gegebene Nullstellenmenge (siehe die 43. Vorlesung), eine abgeschlossene Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Wie sieht das für polynomiale Nullstellengebilde von höherem Grad aus?

Aufgabe

Es seien ${}L,M,N$ metrische Räume und seien

$f:L\longrightarrow M\,\,{\text{ und }}\,\,g:M\longrightarrow N$

Abbildungen. Es sei ${}f$ stetig in ${}x\in L$ und es sei ${}g$ stetig in ${}f(x)\in M$. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)),$

stetig in ${}x$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\max {\left(x,y\right)}},$

stetig ist.

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die durch

$f(x,y):={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}x\leq 0\,,\\0\,,{\text{ falls }}y\leq 0\,,\\y/x\,,{\text{ falls }}x\geq y>0\,,\\x/y\,,{\text{ falls }}y>x>0\,,\end{cases}}$

definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf jeder zur ${}x$-Achse oder zur ${}y$-Achse parallelen Geraden stetig ist, dass aber ${}f$ selbst nicht stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine nichtleere Teilmenge. Zeige, dass durch

${}d_{T}(x):=\inf {\left(d(x,y),\,y\in T\right)}\,$

eine wohldefinierte, stetige Funktion ${}M\rightarrow \mathbb {R}$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Zeige, dass die Folge in ${}M$ genau dann im Sinne der Metrik konvergiert, wenn sie im Sinne der Topologie konvergiert.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}X$ kompakt. Zeige, dass das Bild ${}\varphi (X)\subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe *

Zeige, dass das offene Einheitsintervall ${}]0,1[$ und das abgeschlossene Einheitsintervall ${}[0,1]$ nicht homöomorph sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$[0,2\pi [\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right)$

zwischen dem halboffenen Intervall ${}[0,2\pi [$ und dem Einheitskreis ${}S^{1}={\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid \Vert {P}\Vert =1\right\}}$ stetig und bijektiv ist, dass die Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.

Zu einer beliebigen Menge ${}M$ kann man durch

${}d(x,y):={\begin{cases}0,\,&{\text{ falls }}x=y\,,\\1,\,&{\text{ falls }}x\neq y\,,\end{cases}}\,\,$

eine Metrik definieren, die die diskrete Metrik heißt.

Aufgabe

Es sei ${}X=\mathbb {R} ^{n}$ mit der euklidischen Metrik und ${}Y=\mathbb {R} ^{n}$ mit der diskreten Metrik. Es sei

$f\colon Y\longrightarrow X$

die Identität. Zeige, dass ${}f$ stetig ist, die Umkehrabbildung ${}f^{-1}$ aber nicht.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine nichtleere Menge versehen mit der diskreten Metrik. Zeige, dass eine stetige Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow X$

konstant ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${}={\mathbb {C} }$. Es sei ${}H\subset {\mathbb {K} }^{n+1}$ ein ${}n$-dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei ${}{\tilde {H}}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei ${}U\subseteq H$ eine in ${}H\cong {\mathbb {K} }^{n}$ offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei ${}V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von ${}U$. Zeige, dass der Durchschnitt von ${}V$ mit ${}{\mathbb {K} }^{n+1}\setminus {\tilde {H}}$ offen ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum im euklidischen Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}V$ abgeschlossen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Raum. Zeige, dass die Norm

$V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

eine stetige Abbildung ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

stetig und additiv, d.h. es gelte ${}\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)$ für alle ${}x,y\in \mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}\varphi$ dann ${}\mathbb {R}$-linear ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Im Nullpunkt ${}0\in \mathbb {R} ^{3}$ befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch ${}x=-1$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut ${}N\cong \mathbb {R} ^{2}$ (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

$\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung stetig, ist sie linear?