Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorlesung 28
- Das charakteristische Polynom
Wir möchten zu einem Endomorphismus die Eigenwerte und dann auch die Eigenräume bestimmen. Dazu ist das charakteristische Polynom entscheidend.
Für bedeutet dies
In dieser Definition nehmen wir Bezug auf die Determinante von Matrizen, die wir nur für Matrizen mit Einträgen in einem Körper definiert haben. Die Einträge sind jetzt aber Elemente im Polynomring . Da wir sie aber als Elemente im Körper der rationalen Funktionen auffassen können,[2] ist dies eine sinnvolle Definition. Gemäß der Definition ist diese Determinante ein Element in , da aber alle Einträge der Matrix Polynome sind und bei der rekursiven Definition der Determinante nur addiert und multipliziert wird, ist das charakteristische Polynom wirklich ein Polynom. Der Grad des charakteristischen Polynoms ist und der Leitkoeffizient ist , d.h. die Gestalt ist
Es gilt die wichtige Beziehung
für jedes , siehe Aufgabe 28.4. Hier wird links die Zahl in das Polynom eingesetzt und rechts wird die Determinante von einer Matrix, die von abhängt, ausgerechnet.
Für eine lineare Abbildung
auf einem endlichdimensionalen Vektorraum definiert man das charakteristische Polynom
wobei eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis sei. Der Determinantenmultiplikationssatz zeigt, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Basis ist, siehe Aufgabe 28.3. Das charakteristische Polynom der Identität auf einem -dimensionalen Vektorraum ist
Es sei ein Körper und es sei ein - dimensionaler Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist genau dann ein Eigenwert von , wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Es sei eine beschreibende Matrix für , und sei vorgegeben. Es ist
genau dann, wenn die lineare Abbildung
nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Satz 26.11 und Lemma 25.11). Dies ist nach Lemma 27.11 und Lemma 24.14 äquivalent zu
was bedeutet, dass der Eigenraum zu nicht der Nullraum ist, also ein Eigenwert zu ist.
Wir betrachten die reelle Matrix . Das charakteristische Polynom ist
Die Eigenwerte sind also (diese Eigenwerte haben wir auch in Beispiel 27.9 ohne charakteristisches Polynom gefunden).
Zur Matrix
ist das charakteristische Polynom gleich
Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung
die über nicht erfüllbar ist, sodass die Matrix über keine Eigenwerte besitzt. Über hingegen gibt es die beiden Eigenwerte und . Für den Eigenraum zu muss man
bestimmen, ein Basisvektor (also ein Eigenvektor) davon ist . Analog ist
Für eine obere Dreiecksmatrix
ist das charakteristische Polynom nach Lemma 26.8 gleich
In diesem Fall liegt das charakteristische Polynom direkt in der Zerlegung in lineare Faktoren vor, sodass unmittelbar seine Nullstellen und damit die Eigenwerte von ablesbar sind, nämlich die Diagonalelemente (die nicht alle verschieden sein müssen).
- Vielfachheiten
Für eine genauere Untersuchung der Eigenräume ist die folgende Begrifflichkeit sinnvoll. Es sei
eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum und . Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms im charakteristischen Polynom die algebraische Vielfachheit von , die wir mit bezeichnen, und die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also
die geometrische Vielfachheit von . Nach Satz 28.2 ist die eine Vielfachheit genau dann positiv ist, wenn dies für die andere gilt. Im Allgemeinen können die beiden Vielfachheiten aber verschieden sein, wobei eine Abschätzung immer gilt.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und .
Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
Sei und sei eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch zu einer Basis von ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt
Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe 26.9 gleich , sodass die algebraische Vielfachheit mindestens ist.
Wir betrachten -Scherungsmatrizen
mit . Das charakteristische Polynom ist
sodass der einzige Eigenwert von ist. Den zugehörigen Eigenraum berechnet man als
Aus
folgt, dass ein Eigenvektor ist, und dass bei der Eigenraum eindimensional ist (bei liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional). Bei ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts gleich , die geometrische Vielfachheit gleich .
- Diagonalisierbarkeit
Die Einschränkung einer linearen Abbildung auf einen Eigenraum ist die Streckung um den zugehörigen Eigenwert, also eine besonders einfache lineare Abbildung. Viele Eigenwerte mit hochdimensionalen Eigenräumen korrespondieren zu strukturell einfachen linearen Abbildungen. Ein Extremfall liegt bei den sogenannten diagonalisierbaren Abbildungen vor.
Bei einer Diagonalmatrix
ist das charakteristische Polynom einfach gleich
Wenn die Zahl in den Diagonalelementen -mal vorkommt, so kommt auch der Linearfaktor mit dem Exponenten in der Faktorisierung des charakteristischen Polynoms vor. Dies gilt auch, wenn nur eine obere Dreiecksmatrix vorliegt. Anders aber als bei einer oberen Dreiecksmatrix kann man bei einer Diagonalmatrix sofort die Eigenräume angeben, siehe Beispiel 27.7, und zwar besteht der Eigenraum zu aus allen Linearkombinationen der Standardvektoren , für die gleich ist. Insbesondere ist die Dimension des Eigenraums gleich der Anzahl, wie oft als Diagonalelement auftritt. Bei einer Diagonalmatrix stimmen also algebraische und geometrische Vielfachheiten überein.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Dann heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren zu besitzt.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist diagonalisierbar.
- Es gibt eine Basis von derart, dass die beschreibende Matrix eine Diagonalmatrix ist.
- Für jede beschreibende Matrix
bezüglich einer Basis gibt es eine
invertierbare Matrix
derart, dass
eine Diagonalmatrix ist.
Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt aus der Definition, aus Beispiel 27.7 und der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen. Die Äquivalenz von (2) und (3) folgt aus Korollar 25.9.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung, die verschiedene Eigenwerte besitze.
Dann ist diagonalisierbar.
Aufgrund von Lemma 27.14 gibt es linear unabhängige Eigenvektoren. Diese bilden nach Korollar 23.21 eine Basis.
Wir schließen an Beispiel 27.9 an. Es gibt die beiden Eigenvektoren und zu den verschiedenen Eigenwerten und , sodass die Abbildung nach Korollar 28.10 diagonalisierbar ist. Bezüglich der Basis aus diesen Eigenvektoren wird die lineare Abbildung durch die Diagonalmatrix
beschrieben.
Die Übergangsmatrix von der Basis zur durch und gegebenen Standardbasis ist einfach
Die inverse Matrix dazu ist
Gemäß Korollar 25.9 besteht die Beziehung
- Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle mit der algebraischen Vielfachheit die Gleichheit
gilt.
Wenn
diagonalisierbar
ist, so kann man sofort annehmen, dass bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine
Diagonalmatrix
beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer
geometrischen Vielfachheit.
Das
charakteristische Polynom
lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag trägt als Linearfaktor bei.
Für die Umkehrung seien die verschiedenen Eigenwerte und
seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich sein. Nach Lemma 22.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist die Summe der Eigenräume
direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich , sodass Gleichheit vorliegt. Nach
Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist diagonalisierbar.
Das Produkt von zwei Diagonalmatrizen ist natürlich wieder eine Diagonalmatrix. Das folgende Beispiel zeigt, dass das Produkt von diagonalisierbaren Matrizen nicht diagonalisierbar sein muss.
Es seien und zwei Geraden im durch den Nullpunkt und es seien und die Achsenspiegelungen an diesen Achsen. Eine Achsenspiegelung ist stets diagonalisierbar, und zwar sind die Spiegelungsachse und die dazu senkrechte Gerade Eigengeraden (zu den Eigenwerten und ). Die Hintereinanderschaltung
dieser Spiegelungen ist eine Drehung, und zwar ist der Drehwinkel das Doppelte des Winkels zwischen den beiden Achsen. Eine Drehung ist aber nur dann diagonalisierbar, wenn der Drehwinkel oder Grad beträgt. Wenn der Winkel zwischen den Achsen von Grad verschieden ist, so besitzt keinen Eigenvektor.
- Trigonalisierbare Abbildungen
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Eine lineare Abbildung heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie Beispiel 28.7 zeigt.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist trigonalisierbar.
- Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
Wenn trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix derart, dass eine obere Dreiecksmatrix ist.
Von (1) nach (2). Das charakteristische Polynom von ist gleich dem charakteristischen Polynom , wobei eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Lemma 26.8 das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
Von (2) nach (1). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach , wobei die Fälle
klar sind. Nach Voraussetzung und nach Satz 28.2 besitzt einen Eigenwert, sagen wir . Nach Lemma 25.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt es einen -dimensionalen Untervektorraum
der - invariant. Es sei eine Basis von , die wir durch zu einer Basis von ergänzen. Bezüglich dieser Basis wird durch eine Matrix der Gestalt
beschrieben. Die -Untermatrix beschreibt dabei die Einschränkung von auf bezüglich der gegebenen Basis. Da man das charakteristische Polynom mit jeder beschreibenden Matrix ausrechnen kann, ist (Entwicklung nach der letzten Zeile)
Daher muss auch das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfallen. Wir können also auf
die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten das Resultat.
Es sei eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.
Dann ist trigonalisierbar.
Dies folgt aus Satz 28.15 und dem Fundamentalsatz der Algebra.
- Fußnoten
- ↑ Manche Autoren definieren das charakteristische Polynom als Determinante von anstatt von . Dies ändert aber - und zwar nur bei ungerade - nur das Vorzeichen.
- ↑ heißt der Körper der rationalen Polynome; er besteht aus allen Brüchen zu Polynomen mit . Bei oder kann man diesen Körper mit der Menge der rationalen Funktionen identifizieren.
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