Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Modultheorie für Vektorraum-Endomorphismen/Textabschnitt

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-Modulstruktur auf -Vektorräumen

Vektorräume mit fixiertem Endomorphismus tragen eine natürliche Modulstruktur über dem zugehörigen Polynomring.



Lemma  

Sei ein Körper und ein Vektorraum. Sei ein Endomorphismus von .

Dann ist ein Modul über dem Polynomring vermittels der Skalarmultiplikation

Beweis  

Wir müssen für über die Eigenschaften eines Moduls nachweisen. Die additive kommutative Gruppe ist die selbe wie im -Vektorraum .

Seien nun und . Die gewünschte Eigenschaften der Skalarmultiplikation zeigen sich wie folgt:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .



Minimalpolynom, charakteristisches Polynom

Bezüglich des Moduls ist die Menge aller annullierenden Polynome das Annullatorideal . Weil nach Satz 3.18 ein Hauptidealbereich ist, wird von einem Polynom erzeugt. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll.


Definition  

Sei ein -Vektorraum und ein Endomorphismus für den ist.

Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom minimalen Grades mit

das Minimalpolynom von .

Das Minimalpolynom erzeugt .


Definition  

Zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper heißt das Polynom

das charakteristische Polynom von .

Aufgrund des Zusammenhangs zwischen linearen Abbildungen und ihren bezüglich einer Basis beschreibenden Matrizen lässt sich das charakteristische Polynom auch für einen Endomorphismus definieren.


Definition  

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Endomorphismus. Das charakteristische Polynom einer beschreibenden Matrix von heißt charakteristisches Polynom von .

Diese beiden Polynome, Minimalpolynom und charakteristisches Polynom, die stark mit in Zusammenhang stehen, stehen auch stark miteinander in Zusammenhang, wie folgende Sätze zeigen sollen. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom den Modul . Daher ist direkt schon mal klar, dass das Minimalpolynom das charakteristische Polynom teilt.



Satz  

Sei ein Endomorphismus über einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

Minimalpolynom und charakteristisches Polynom von stimmen genau dann überein, wenn als -Modul zyklisch ist.

Beweis  

Wenn zyklisch ist bedeutet das, dass es ein gibt derart, dass die den Vektorraum erzeugen. definiert aber eine minimale lineare Abhängigkeit der , also bilden
eine

-Basis von , wenn der Grad von ist. Da die -Dimension von aber auch der Grad von ist und nach dem Satz von Cayley-Hamilton ein Vielfaches von ist, müssen die beiden Polynome aus Gradgründen übereinstimmen.

Sei umgekehrt . Sei die Primfaktorzerlegung des Minimalpolynoms. Weil das Minimalpolynom ist, gibt es zu jedem Faktor , einen Vektor , der von annulliert wird, nicht jedoch von . Andernfalls wäre nämlich ein annullierendes Polynom von kleinerem Grad.

Für gilt dann . Wir behaupten nun, dass als

-Modul von erzeugt wird. Denn wegen ist die Dimension von gleich dem Grad von .
ist daher ein

-Erzeugendensystem von , womit zyklisch ist.



Satz  

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Endomorphismus mit dem charakteristischen Polynom .

Dann ist , es gibt also insbesondere ein Minimalpolynom .

Außerdem haben und die selben Primfaktoren (im Allgemeinen aber mit unterschiedlichen Exponenten).

Beweis  

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton liegt das charakteristische Polynom in . Damit ist das charakteristische Polynom auch ein Vielfaches des Minimalpolynoms, welches erzeugt.

Wir haben in Satz 4.9 gezeigt, dass sich als direkte Summe zyklischer Moduln darstellen lässt, wenn ein Minimalpolynom existiert. Dies lässt sich hier anwenden.

Außerdem gilt nach Satz 5.5 für die -Moduln, die sich aus den Einschränkungen von auf die zyklischen Untermoduln ergeben, dass hier jeweils ist. Es gilt nun, dass das Produkt teilt. muss aber für alle ein Teiler von sein, da trivialerweise auch den Untermodul annulliert. Deshalb muss jeder Primteiler in auch in vorkommen.


Die folgenden beiden Lemmata beschreiben das Verhalten des Minimalpolynoms im Zusammenhang mit Unterräumen.



Lemma  

Sei ein Vektorraumendomorphismus und die direkte Summe , wobei für alle gilt .

besitzt genau dann ein nichttriviales annullierendes Polynom, wenn alle Einschränkungen , nichttriviale annullierende Polynome besitzen.

In diesem Fall gilt

wobei das kleinste gemeinsame Vielfache in bezeichnet.

Beweis  

Es gilt genau dann, wenn es ein nichttriviales annullierendes Polynom von gibt und genau dann, wenn ein Minimalpolynom besitzt. Daher lässt sich die Behauptung mittels Lemma 3.5 auf die Situation in Lemma 2.4 zurückführen:



Lemma  

Sei ein Vektorraumendomorphismus und ein Unterraum in mit . Des weiteren sei der von auf mittels der kanonischen Projektion induzierte Endomorphismus. Es soll also gelten .

hat genau dann einen nichttrivialen Annullator, wenn sowohl die Einschränkung als auch der induzierte Endomorphismus jeweils einen nichttrivialen Annullator haben.

Außerdem gilt in diesem Fall für die Minimalpolynome die Beziehung ist ein Vielfaches von und von und teilt das Produkt

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 2.5, denn das dort gezeigte lässt sich hier als

verwenden.




Lineare Abbildungen auf Vektorräumen und abelsche Gruppen

Nach Beispiel 1.7 sind abelsche Gruppen Moduln über dem Hauptidealbereich und nach Lemma 5.1 sind Vektorräume über mit festem linearen Operator Moduln über dem Hauptidealbereich . Viele Resultate und Begriffe in der einen Anwendung haben daher Entsprechungen in der Anderen und umgekehrt. Um eine weitere Perspektive auf die zwei oben behandelten Sätze über die Beziehung von charakteristischem Polynom und Minimalpolynom zu vermitteln, sollen entsprechende Sätze für abelsche Gruppen wiederholt werden. Dem Minimalpolynom entspricht hier der Exponent einer Gruppe und dem charakteristischen Polynom die Gruppenordnung.


Definition  

Der Exponent einer endlichen Gruppe ist die kleinste positive Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle ist.

Analog zu Satz 5.6 gilt folgender Satz.


Satz

Sei G eine kommutative Gruppe endlicher Ordnung.

Dann haben der Exponent und die Gruppenordnung die selben Primfaktoren (im Allgemeinen mit verschiedenen Exponenten). Es ist ein Vielfaches von .

Analog zu Satz 5.5 gilt folgender Satz.


Satz

Sei eine endliche kommutative Gruppe und sei , wobei den Exponenten der Gruppe bezeichnet.

Dann ist zyklisch.

Dies könnte noch weiter geführt werden, soll hier aber um eine Vorstellung zu vermitteln so erst einmal genügen.



Eigentheorie

In Beispiel 4.6 wurde schon erwähnt, dass die -Sockel gerade die Eigenräume zum Eigenwert sind. Über sind alle normierten Primpolynome lineare Polynome der Form , weil aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra alle nichtkonstanten Polynome in Linearfaktoren zerfallen.

Viele Endomorphismen operieren jedoch natürlicherweise in -Vektorräumen und nicht in -Vektorräumen. Der folgende Satz macht klar, dass es in diesem Fall hilfreich und unproblematisch ist, Eigenwerte in zu bestimmen, auch um das Verhalten in zu studieren. Dazu ist es natürlich nötig einen Vektorraum und einen Endomorphismus über einem Körper auch über einem Erweiterungskörper interpretieren zu können. Dazu kann man zum Beispiel einfach eine -Basis , von nehmen und als den Vektorraum definieren, der entsteht, wenn man , als -Basis versteht. Eine beschreibende Matrix von in bestimmt dann auch in . Die Wahl der Basis ist dabei irrelevant, da man durch eine Abbildung, die einen Basiswechsel in beschreibt, auch einen entsprechenden Basiswechsel in bekommt. Auf diese Weise wird aus dem über zum Beispiel der .

Zunächst ein Lemma, das im Beweis verwendet wird.



Lemma  

Sei ein -Vektorraum und ein fixierter Endomorphismus. Sei ein von Null verschiedenes Polynom mit der Primfaktorzerlegung .

Dann gilt

Beweis  

Der ist selbstverständlich im Torsionsuntermodul enthalten und zerfällt, weil für alle Primpolynome , in die direkte Summe der Untermoduln
Dies ist , immer wenn für ein und sonst.



Satz  

Sei eine Körpererweiterung und ein -Vektorraum mit der zugehörigen Erweiterung als -Vektorraum. Sei ein fixierter Endomorphismus. Des weiteren sei ein Primpolynom,welches in die kanonische Primfaktorzerlegung

besitzt.

Dann gilt für die Primärkomponenten der Zusammenhang

für alle und damit auch

Es folgt außerdem, dass ein normiertes Primpolynom genau dann ein Eigenpolynom von ist, wenn es ein Eigenpolynom von teilt.

Beweis  

Sei ein Endomorphismus. Wir behaupten die Identität: Zum Beweis: Fixieren wir eine Basis von bzw. . Weil und durch die selben Matrizen beschrieben werden, lassen sich die Kerne als Unterräume jeweils durch die selben Basen erzeugen. Dadurch folgt die Behauptung.

Der Rest ist nach Lemma 5.12 mit ganz einfach:

  Damit folgt auch die Aussage für und der Zusatz.