Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Modultheorie für Vektorraum-Endomorphismen/Textabschnitt

$K[X]$-Modulstruktur auf $K$-Vektorräumen

Vektorräume mit fixiertem Endomorphismus tragen eine natürliche Modulstruktur über dem zugehörigen Polynomring.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein Vektorraum. Es sei $\phi \in {\mathrm{End}}_{K}V$ ein Endomorphismus von $V$.

Dann ist $V=V_f$ ein Modul über dem Polynomring $K[X]$ vermittels der Skalarmultiplikation

$K[X]\times V⟶V,(\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i,v)⟼\sum _{i=0}^n{a}_i{\phi }^i(v).$

Beweis

Wir müssen für $V$ über $K[X]$ die Eigenschaften eines Moduls nachweisen. Die additive kommutative Gruppe ist die selbe wie im $K$-Vektorraum $V$.

Es seien nun $P=\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i,Q=\sum _{j=0}^n{b}_j{X}^j\in K[X]$ und $u,v\in V$. Die gewünschte Eigenschaften der Skalarmultiplikation zeigen sich wie folgt:

1. $P(Qu)=\sum _{i=0}^n{a}_i{\phi }^i(\sum _{j=0}^n{b}_j{\phi }^j(u))=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n{a}_i{b}_j{\phi }^{i+j}(u)=(PQ)(u)$,
2. $P(u+v)=\sum _{i=0}^n{a}_i{\phi }^i(u+v)=\sum _{i=0}^n{a}_i{\phi }^i(u)+\sum _{i=0}^n{a}_i{\phi }^i(v)=(Pu)+(Pv)$,
3. $(P+Q)u=\sum _{i=0}^n(a_i+b_i){\phi }^i(u)=\sum _{i=0}^n{a}_i{\phi }^i(u)+\sum _{i=0}^n{b}_i{\phi }^i(u)=(Pu)+(Qu)$,
4. $1u=1{\phi }^0(u)=\mathrm{Id}(u)=u$.

$◻$

Minimalpolynom, charakteristisches Polynom

Bezüglich des Moduls $V=V_f$ ist die Menge aller $V_f$ annullierenden Polynome das Annullatorideal ${\mathrm{Ann}}_{K[X]}{V}_f$. Weil $K[X]$ nach Satz 3.18 ein Hauptidealbereich ist, wird ${\mathrm{Ann}}_{K[X]}{V}_f$ von einem Polynom erzeugt. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll.

Definition

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $f\in {\mathrm{End}}_{K}V$ ein Endomorphismus für den ${\mathrm{Ann}}_{K[X]}{V}_f\ne 0$ ist.

Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom ${\mu }_f\in K[X]$ minimalen Grades mit

${\mu }_f(f)=0$

das Minimalpolynom von $f$.

Das Minimalpolynom erzeugt ${\mathrm{Ann}}_{K[X]}{V}_f$.

Definition

Zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$ heißt das Polynom

${\chi }_M:=det(X\cdot E_n-M)$

das charakteristische Polynom von $M$.

Aufgrund des Zusammenhangs zwischen linearen Abbildungen und ihren bezüglich einer Basis beschreibenden Matrizen lässt sich das charakteristische Polynom auch für einen Endomorphismus definieren.

Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $f\in {\mathrm{End}}_{K}V$ ein Endomorphismus. Das charakteristische Polynom einer beschreibenden Matrix von $f$ heißt charakteristisches Polynom von $f$.

Diese beiden Polynome, Minimalpolynom und charakteristisches Polynom, die stark mit $f$ in Zusammenhang stehen, stehen auch stark miteinander in Zusammenhang, wie folgende Sätze zeigen sollen. Nach dem Fakt ***** annulliert das charakteristische Polynom den Modul $V_f$. Daher ist direkt schon mal klar, dass das Minimalpolynom ${\mu }_f$ das charakteristische Polynom ${\chi }_f$ teilt.

Satz

Es sei $f\in {\mathrm{End}}_{K}V$ ein Endomorphismus über einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.

Minimalpolynom und charakteristisches Polynom von $f$ stimmen genau dann überein, wenn $V=V_f$ als $K[X]$-Modul zyklisch ist.

Beweis

Wenn $V_f$ zyklisch ist bedeutet das, dass es ein $v\in V_f$ gibt derart, dass die $f^i(v),i\in \mathbb{N}$ den Vektorraum $V$ erzeugen. ${\mu }_f$ definiert aber eine minimale lineare Abhängigkeit der $f^i$, also bilden

$v,f(v),\dots ,f^{n-1}(v)$

eine

$K$-Basis von $V$, wenn $n$ der Grad von ${\mu }_f$ ist. Da die $K$-Dimension von $V$ aber auch der Grad von ${\chi }_f$ ist und ${\chi }_f$ nach dem Satz von Cayley-Hamilton ein Vielfaches von ${\mu }_f$ ist, müssen die beiden Polynome aus Gradgründen übereinstimmen.

Es sei umgekehrt ${\mu }_f={\chi }_f$. Es sei ${\mu }_f=P_1^{e_1}\cdots P_k^{e_k}$ die Primfaktorzerlegung des Minimalpolynoms. Weil ${\mu }_f$ das Minimalpolynom ist, gibt es zu jedem Faktor $P_i,i\in \{1,\dots ,k\}$, einen Vektor $x_i\in V$, der von ${\mu }_f$ annulliert wird, nicht jedoch von ${{\mu }_f}^{\prime }=\frac{{\mu }_f}{P_i}$. Andernfalls wäre nämlich ${{\mu }_f}^{\prime }$ ein annullierendes Polynom von kleinerem Grad.

Für $x=x_1+\cdots +x_k$ gilt dann ${\mathrm{Ann}}_{K[X]}V={\mathrm{Ann}}_{K[X]}(x)$. Wir behaupten nun, dass $V_f$ als

$K[X]$-Modul von $x$ erzeugt wird. Denn wegen ${\mu }_f={\chi }_f$ ist die Dimension von $V$ gleich dem Grad $n$ von ${\mu }_f$.

$x,f(x),\dots ,f^{n-1}(x)$

ist daher ein

$K$-Erzeugendensystem von $V$, womit $V_f$ zyklisch ist.

$◻$

Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $f\in {\mathrm{End}}_{K}V$ ein Endomorphismus mit dem charakteristischen Polynom ${\chi }_f$.

Dann ist $An{n}_{K[X]}{V}_f\ne 0$, es gibt also insbesondere ein Minimalpolynom ${\mu }_f$.

Außerdem haben ${\mu }_f$ und ${\chi }_f$ die selben Primfaktoren (im Allgemeinen aber mit unterschiedlichen Exponenten).

Beweis

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton liegt das charakteristische Polynom in ${\mathrm{Ann}}_{K[X]}{V}_f$. Damit ist das charakteristische Polynom auch ein Vielfaches des Minimalpolynoms, welches ${\mathrm{Ann}}_{K[X]}{V}_f$ erzeugt.

Wir haben in Satz 4.9 gezeigt, dass sich $V_f$ als direkte Summe zyklischer Moduln $U_i,i\in I$ darstellen lässt, wenn ein Minimalpolynom existiert. Dies lässt sich hier anwenden.

Außerdem gilt nach Satz 5.5 für die $K[X]$-Moduln, die sich aus den Einschränkungen von $f$ auf die zyklischen Untermoduln ergeben, dass hier jeweils ${\mu }_{f|U_i}={\chi }_{f|U_i}$ ist. Es gilt nun, dass ${\chi }_f$ das Produkt $\prod _{i\in I}{\chi }_{f|U_i}=\prod _{i\in I}{\mu }_{f|U_i}$ teilt. ${\mu }_{f|U_i}$ muss aber für alle $i\in I$ ein Teiler von ${\mu }_f$ sein, da ${\mu }_f$ trivialerweise auch den Untermodul $U_i\subseteq V_f$ annulliert. Deshalb muss jeder Primteiler in ${\chi }_f$ auch in ${\mu }_f$ vorkommen.

$◻$

Die folgenden beiden Lemmata beschreiben das Verhalten des Minimalpolynoms im Zusammenhang mit Unterräumen.

Lemma

Es sei $f\in {\mathrm{End}}_{K}V$ ein Vektorraumendomorphismus und $V$ die direkte Summe $V=\underset{i\in I}{⨁}{V}_i$, wobei für alle  $i\in I$  gilt $f(V_i)\subseteq V_i$.

$f$ besitzt genau dann ein nichttriviales annullierendes Polynom, wenn alle Einschränkungen $f|V_i,i\in I$, nichttriviale annullierende Polynome besitzen.

In diesem Fall gilt

${\mu }_f=\mathrm{kgV}({\mu }_{f|V_i},i\in I),$

wobei $\mathrm{kgV}$ das kleinste gemeinsame Vielfache in $K[X]$ bezeichnet.

Beweis

Es gilt ${\mathrm{Ann}}_{K[X]}{V}_f\ne 0$ genau dann, wenn es ein nichttriviales annullierendes Polynom von $f$ gibt und genau dann, wenn $f$ ein Minimalpolynom besitzt. Daher lässt sich die Behauptung mittels Lemma 3.5 auf die Situation in Lemma 2.4 zurückführen:

${\mathrm{Ann}}_{K[X]}{V}_f=\bigcap _{i\in I}{\mathrm{Ann}}_{K[X]}{V}_{if}.$

$◻$

Lemma

Es sei $f\in {\mathrm{End}}_{K}V$ ein Vektorraumendomorphismus und $U$ ein Unterraum in $V$ mit $f(U)\subseteq U$. Des weiteren sei $g$ der von $f$ auf $V/U$ mittels der kanonischen Projektion $p$ induzierte Endomorphismus. Es soll also gelten $p(f(v))=g(p(v))$.

$f$ hat genau dann einen nichttrivialen Annullator, wenn sowohl die Einschränkung $f|U$ als auch der induzierte Endomorphismus $g$ jeweils einen nichttrivialen Annullator haben.

Außerdem gilt in diesem Fall für die Minimalpolynome die Beziehung ${\mu }_f$ ist ein Vielfaches von ${\mu }_{f|U}$ und von ${\mu }_g$ und teilt das Produkt ${\mu }_{f|U}\cdot {\mu }_g$

Beweis

Dies folgt aus Lemma 2.5, denn das dort gezeigte lässt sich hier als

$({\mathrm{Ann}}_{K[X]}{U}_f)\cdot ({\mathrm{Ann}}_{K[X]}(V/U{)}_g)\subseteq {\mathrm{Ann}}_{K[X]}{V}_f\subseteq {\mathrm{Ann}}_{K[X]}{U}_f\cap {\mathrm{Ann}}_{K[X]}(V/U{)}_g$

verwenden.

$◻$

Lineare Abbildungen auf Vektorräumen und abelsche Gruppen

Nach Beispiel 1.7 sind abelsche Gruppen Moduln über dem Hauptidealbereich $\mathbb{Z}$ und nach Lemma 5.1 sind Vektorräume über $K$ mit festem linearen Operator Moduln über dem Hauptidealbereich $K[X]$. Viele Resultate und Begriffe in der einen Anwendung haben daher Entsprechungen in der Anderen und umgekehrt. Um eine weitere Perspektive auf die zwei oben behandelten Sätze über die Beziehung von charakteristischem Polynom und Minimalpolynom zu vermitteln, sollen entsprechende Sätze für abelsche Gruppen wiederholt werden. Dem Minimalpolynom entspricht hier der Exponent einer Gruppe und dem charakteristischen Polynom die Gruppenordnung.

Definition

Der Exponent $\exp \left(G\right)$ einer endlichen Gruppe $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass  $x^n=1$  für alle  $x\in G$  ist.

Analog zu Satz 5.6 gilt folgender Satz.

Satz

Es sei G eine kommutative Gruppe endlicher Ordnung.

Dann haben der Exponent $\exp (G)$ und die Gruppenordnung $\mathrm{ord}(G)$ die selben Primfaktoren (im Allgemeinen mit verschiedenen Exponenten). Es ist $\mathrm{ord}(G)$ ein Vielfaches von $\exp (G)$.

Analog zu Satz 5.5 gilt folgender Satz.

Satz

Es sei $G$ eine endliche kommutative Gruppe und sei  $\exp (G)=\mathrm{ord}\left(G\right)$,  wobei $\exp (G)$ den Exponenten der Gruppe bezeichnet.

Dann ist $G$ zyklisch.

Dies könnte noch weiter geführt werden, soll hier aber um eine Vorstellung zu vermitteln so erst einmal genügen.

Eigentheorie

In Beispiel 4.6 wurde schon erwähnt, dass die $(X-a)$-Sockel gerade die Eigenräume zum Eigenwert $a$ sind. Über $ℂ$ sind alle normierten Primpolynome lineare Polynome der Form $X-a$, weil aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra alle nichtkonstanten Polynome in Linearfaktoren zerfallen.

Viele Endomorphismen operieren jedoch natürlicherweise in $ℝ$-Vektorräumen und nicht in $ℂ$-Vektorräumen. Der folgende Satz macht klar, dass es in diesem Fall hilfreich und unproblematisch ist, Eigenwerte in $ℂ$ zu bestimmen, auch um das Verhalten in $ℝ$ zu studieren. Dazu ist es natürlich nötig einen Vektorraum $V$ und einen Endomorphismus $f$ über einem Körper $K$ auch über einem Erweiterungskörper $L$ interpretieren zu können. Dazu kann man zum Beispiel einfach eine $K$-Basis $x_i,i\in I$, von $V$ nehmen und $V_{(L)}:=\underset{i\in I}{⨁}L{x}_i$ als den Vektorraum definieren, der entsteht, wenn man $x_i,i\in I$, als $L$-Basis versteht. Eine beschreibende Matrix von $f$ in $V$ bestimmt dann auch $f_{(L)}$ in $V_{(L)}$. Die Wahl der Basis ist dabei irrelevant, da man durch eine Abbildung, die einen Basiswechsel in $V$ beschreibt, auch einen entsprechenden Basiswechsel in $V_{(L)}$ bekommt. Auf diese Weise wird aus dem ${ℝ}^n$ über $ℂ$ zum Beispiel der ${ℂ}^n$.

Zunächst ein Lemma, das im Beweis verwendet wird.

Lemma

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $f\in {\mathrm{End}}_{K}V$ ein fixierter Endomorphismus. Es sei $P\in K[X]$ ein von Null verschiedenes Polynom mit der Primfaktorzerlegung $P=P_i^{e_i}\cdots P_r^{e_r}$.

Dann gilt

$\mathrm{Kern}(P(f))=\underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}{V}_f^{e_i}(P_i).$

Beweis

Der $\mathrm{Kern}(P(f))$ ist selbstverständlich im Torsionsuntermodul $\mathrm{t}{V}_f$ enthalten und zerfällt, weil $PV(p)\subseteq V(p)$ für alle Primpolynome $p$, in die direkte Summe der Untermoduln

$\mathrm{Kern}(P(f))\cap V(p)=\{x\in V_f|p(f)(x)=0\text{ und }P(f)(x)=0\}.$

Dies ist $V^{e_i}(P_i)$, immer wenn $p=P_i$ für ein $i\in \{1,\dots ,r\}$ und $0$ sonst.

$◻$

Satz

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $V$ ein $K$-Vektorraum mit der zugehörigen Erweiterung $V_{(L)}$ als $L$-Vektorraum. Es sei $f\in {\mathrm{End}}_{K}V$ ein fixierter Endomorphismus. Des weiteren sei $P\in K[X]$ ein Primpolynom,welches in $L[X]$ die kanonische Primfaktorzerlegung

$P=P_1^{e_1}\cdots P_k^{e_k}$

besitzt.

Dann gilt für die Primärkomponenten der Zusammenhang

$V_f^n(P{)}_{(L)}=\underset{i=1}{\overset{k}{⨁}}{V}_{f_{(L)}}^{n{e}_i}(P_i)$

für alle $n\in \mathbb{N}$ und damit auch

$V_f(P{)}_{(L)}=\underset{i=1}{\overset{k}{⨁}}{V}_{f_{(L)}}(P_i).$

Es folgt außerdem, dass ein normiertes Primpolynom $P^{\prime }$ genau dann ein Eigenpolynom von $f_{(L)}$ ist, wenn es ein Eigenpolynom von $f$ teilt.

Beweis

Es sei $g\in {\mathrm{End}}_{K}V$ ein Endomorphismus. Wir behaupten die Identität: $(\mathrm{Kern}g{)}_{(L)}=\mathrm{Kern}(g_{(L)})$ Zum Beweis: Fixieren wir eine Basis von $V$ bzw. $V_{(L)}$. Weil $g$ und $g_{(L)}$ durch die selben Matrizen beschrieben werden, lassen sich die Kerne als Unterräume jeweils durch die selben Basen erzeugen. Dadurch folgt die Behauptung.

Der Rest ist nach Lemma 5.12 mit $P^n=P_1^{n{e}_1}\cdots P_k^{n{e}_k}$ ganz einfach:

$V^n(P{)}_{(L)}={(\mathrm{Kern}{P}^n(f))}_{(L)}=\mathrm{Kern}(P^n(f_{(L)}))=\underset{i=1}{\overset{k}{⨁}}{V}_{(L)}^{n{e}_i}(P_i).$

  Damit folgt auch die Aussage für $V(P{)}_{(L)}$ und der Zusatz.

$◻$