Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 18

Wir werden uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den ganzen Abschluss von ${}\mathbb {Z}$ in einem endlichen Erweiterungskörper der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ interessieren.

Definition

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}\mathbb {Z}$ in ${}L$ den Ring der ganzen Zahlen in ${}L$ . Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.

Den endlichen Erweiterungskörper ${}L$ von ${}\mathbb {Q}$ nennt man übrigens einen Zahlkörper.

Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann ist ${}R$ ein normaler Integritätsbereich.

Beweis

Nach Satz 17.13 ist ${}L$ der Quotientenkörper des Ganzheitsrings ${}R$ . Ist ${}q\in Q(R)=L$ ganz über ${}R$ , so ist ${}q$ nach Aufgabe ***** auch ganz über ${}\mathbb {Z}$ und gehört selbst zu ${}R$ .

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Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann enthält jedes von ${}0$ verschiedene Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ eine Zahl ${}m\in \mathbb {Z}$ mit ${}m\neq 0$ .

Beweis

Sei ${}0\neq f\in {\mathfrak {a}}$ . Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über ${}\mathbb {Z}$ und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung

{}f^{n}+k_{n-1}f^{n-1}+k_{n-2}f^{n-2}+\cdots +k_{1}f+k_{0}=0\,

mit ganzen Zahlen ${}k_{i}$ . Bei ${}k_{0}=0$ kann man die Gleichung mit ${}f$ kürzen, da ${}f\neq 0$ ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht ${}0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung ${}k_{0}\neq 0$ . Dann ist

{}f{\left(f^{n-1}+k_{n-1}f^{n-2}+k_{n-2}f^{n-3}+\cdots +k_{1}\right)}=-k_{0}\,

und somit ist ${}k_{0}\in (f)\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {a}}$ .

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Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in Q(R)=L$ . Dann ist ${}f$ genau dann ganz über ${}\mathbb {Z}$ , wenn die Koeffizienten des Minimalpolynoms von ${}f$ über ${}\mathbb {Q}$ alle ganzzahlig sind.

Beweis

Das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ über ${}\mathbb {Q}$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus ${}\mathbb {Q}$ . Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichung für ${}f$ über ${}\mathbb {Z}$ vor.

Es sei umgekehrt ${}f$ ganz über ${}\mathbb {Z}$ , und sei ${}S\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes ganzzahliges Polynom mit ${}S(f)=0$ , das wir als irreduzibel in ${}\mathbb {Z} [X]$ annehmen dürfen. Wir betrachten ${}S\in \mathbb {Q} [X]$ . Dort gilt

{}S=PT\,.

Da nach dem Lemma von Gauß ein irreduzibles Polynom von ${}\mathbb {Z} [X]$ auch in ${}{\mathbb {Q} }[X]$ irreduzibel ist, folgt ${}S=P$ und daher sind alle Koeffizienten von ${}P$ ganzzahlig.

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Es ergibt sich insbesondere, dass die Norm und die Spur von Elementen aus einem Zahlbereich zu ${}\mathbb {Z}$ gehören.

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$ . Dann enthält ${}{\mathfrak {a}}$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ , die eine ${}\mathbb {Q}$ - Basis von ${}L$ sind.

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine ${}\mathbb {Q}$ -Basis von ${}L$ . Das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ enthält nach Lemma 18.3 ein Element ${}0\neq m\in {\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z}$ . Nach (dem Beweis von) Satz 17.13 kann man ${}v_{i}={\frac {r_{i}}{n_{i}}}$ mit ${}r_{i}\in R$ und ${}n_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ schreiben. Dann sind die ${}m(n_{i}v_{i})\in {\mathfrak {a}}$ und sie bilden ebenfalls eine ${}\mathbb {Q}$ -Basis von ${}L$ .

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Satz

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$ . Es seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine ${}\mathbb {Q}$ - Basis von ${}L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante

\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert

unter all diesen Basen aus ${}{\mathfrak {a}}$ minimal sei.

Dann ist

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,.$

Beweis

Zunächst sind wegen Fakt ***** die Spuren zu Elementen aus ${}R$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.

Es sei ${}f\in {\mathfrak {a}}$ ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich ${}f$ als eine ${}\mathbb {Z}$ -Linearkombination ${}f=k_{1}b_{1}+\cdots +k_{n}b_{n}$ mit ${}k_{i}\in \mathbb {Z}$ schreiben lässt, wenn die ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ eine ${}\mathbb {Q}$ -Basis von ${}L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung

{}f=q_{1}b_{1}+\cdots +q_{n}b_{n}\,

mit rationalen Zahlen ${}q_{i}\in \mathbb {Q}$ . Es sei angenommen, dass ein ${}q_{i}$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir ${}i=1$ annehmen dürfen. Wir schreiben dann ${}q_{1}=k+\delta$ mit ${}k\in \mathbb {Z}$ und einer rationalen Zahl ${}\delta$ (echt) zwischen ${}0$ und ${}1$ . Dann ist auch

c_{1}=f-kb_{1}=\delta b_{1}+\sum _{i=2}^{n}q_{i}b_{i},\,b_{2},\ldots ,b_{n}

eine ${}\mathbb {Q}$ -Basis von ${}L$ , die in ${}{\mathfrak {a}}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist

{}T={\begin{pmatrix}\delta &q_{2}&q_{3}&\cdots &q_{n}\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.

Nach Lemma 16.2 gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung

{}\triangle (c_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\,.

Wegen ${}(\det(T))^{2}=\delta ^{2}<1$ und da die Diskriminanten nach Lemma 16.3 nicht ${}0$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.

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Korollar

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$ .

Dann ist ${}{\mathfrak {a}}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$ ,

d.h. es gibt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ mit

{}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,,

wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus ${}{\mathfrak {a}}$ eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Nach Lemma 18.5 gibt es überhaupt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ , die eine ${}\mathbb {Q}$ -Basis von ${}L$ bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der (ganzzahlige) Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach Satz 18.6, dass sie ein ${}\mathbb {Z}$ -Erzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}$ bilden. Die lineare Unabhängigkeit über ${}\mathbb {Q}$ sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.

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Korollar

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich.

Dann ist ${}R$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$ ,

d.h. es gibt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ mit

{}R=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,

derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Dies folgt direkt aus Korollar 18.7, angewendet auf das Ideal ${}{\mathfrak {a}}=R$ .

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Ein solches System von Erzeugern ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ nennt man auch eine Ganzheitsbasis.

Korollar

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}m\in \mathbb {Z}$ . Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus

{}R/(m)\cong (\mathbb {Z} /(m))^{n}\,.

Für eine Primzahl ${}m=p$ ist ${}R/(m)$ eine Algebra der Dimension ${}n$ über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$ . Zu jeder Primzahl ${}p$ gibt es Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$ mit ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$ .

Beweis

Nach Fakt ***** ist ${}R\cong \mathbb {Z} ^{n}$ (als abelsche Gruppen), wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ entsprechen möge. Das von ${}m$ in ${}R$ erzeugte Ideal besteht aus allen ${}\mathbb {Z}$ -Linearkombinationen der ${}ma_{1},\ldots ,ma_{n}$ und somit entspricht das Ideal (unter dieser Identifizierung) der von ${}(m,0,\ldots ,0),(0,m,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,m)$ erzeugten Untergruppe von ${}\mathbb {Z} ^{n}$ . Die Restklassengruppe ${}R/(m)$ ist demnach gleich ${}(\mathbb {Z} /(m))^{n}$ und besitzt ${}m^{n}$ Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe ***** ${}mR\cap \mathbb {Z} =m\mathbb {Z}$ und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus

\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow R/(m),

sodass ${}R/(m)$ eine von ${}0$ verschiedene ${}\mathbb {Z} /(m)$ -Algebra ist.

Für eine Primzahl ${}p$ ist ${}R/(p)$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$ der Dimension ${}n$ . Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe 16.10 einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in ${}R$ mit ${}p\in {\mathfrak {m}}$ . Daher ist ${}(p)=(p)R\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {m}}\cap \mathbb {Z}$ , und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich ${}(p)$ .

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Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Korollar

Jeder Zahlbereich ist ein noetherscher Ring.

Beweis

Nach Korollar 18.7 ist jedes von ${}0$ verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{n}$ , also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als ${}R$ -Moduln) endlich erzeugt.

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Satz

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$

ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

Beweis

Als kommutative Gruppe ist ${}R=\mathbb {Z} ^{n}$ . Sei ${}a\in {\mathfrak {a}}$ , ${}a\neq 0$ . Dann ist das von ${}a$ erzeugte Hauptideal eine Untergruppe

{}aR\cong \mathbb {Z} ^{n}\subseteq R\cong \mathbb {Z} ^{n}\,.

Deshalb ist die Restklassengruppe ${}\mathbb {Z} ^{n}/aR$ endlich und wegen der natürlichen Surjektion ${}\mathbb {Z} ^{n}/aR\rightarrow R/{\mathfrak {a}}$ ist auch der Restklassenring endlich.

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Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann ist jedes von ${}0$ verschiedene Primideal von ${}R$ bereits ein maximales Ideal.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal ${}\neq 0$ in ${}R$ . Dann ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ nach Lemma 16.13 ein Integritätsbereich und nach Satz 18.12 endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe ***** bereits ein Körper, sodass nach Lemma 16.15 ein maximales Ideal vorliegt.