Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 18

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Wir werden uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den ganzen Abschluss von in einem endlichen Erweiterungskörper der rationalen Zahlen interessieren.


Definition  

Sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in den Ring der ganzen Zahlen in . Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.

Den endlichen Erweiterungskörper von nennt man übrigens einen Zahlkörper.



Satz  

Sei ein Zahlbereich.

Dann ist ein normaler Integritätsbereich.

Beweis  

Nach Satz 17.13 ist der Quotientenkörper des Ganzheitsrings . Ist ganz über , so ist nach Aufgabe ***** auch ganz über und gehört selbst zu .




Lemma  

Sei ein Zahlbereich.

Dann enthält jedes von verschiedene Ideal eine Zahl mit .

Beweis  

Sei . Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung

mit ganzen Zahlen . Bei kann man die Gleichung mit kürzen, da ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht ist. Sei also in obiger Gleichung . Dann ist

und somit ist .




Satz  

Sei ein Zahlbereich und sei . Dann ist genau dann ganz über , wenn die Koeffizienten des Minimalpolynoms von über alle ganzzahlig sind.

Beweis  

Das Minimalpolynom von über ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus . Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichung für über vor.

Sei umgekehrt ganz über , und sei ein normiertes ganzzahliges Polynom mit , das wir als irreduzibel in annehmen dürfen. Wir betrachten . Dort gilt

Da nach dem Lemma von Gauß ein irreduzibles Polynom von auch in irreduzibel ist, folgt und daher sind alle Koeffizienten von ganzzahlig.


Es ergibt sich insbesondere, dass die Norm und die Spur von Elementen aus einem Zahlbereich zu gehören.



Lemma  

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann enthält Elemente , die eine -Basis von sind.

Beweis  

Es sei eine -Basis von . Das Ideal enthält nach Lemma 18.3 ein Element . Nach (dem Beweis von) Satz 17.13 kann man schreiben mit und . Dann sind die und bilden ebenfalls eine -Basis von .




Satz  

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Seien Elemente, die eine -Basis von bilden und für die der Betrag der Diskriminante

unter all diesen Basen aus minimal sei.

Dann ist

Beweis  

Sei ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich als eine -Linearkombination mit schreiben lässt, wenn die eine -Basis von mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung

mit rationalen Zahlen . Sei angenommen, dass ein nicht ganzzahlig ist, wobei wir annehmen dürfen. Wir schreiben dann mit und einer rationalen Zahl (echt) zwischen und . Dann ist auch

eine -Basis von , die in liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist

Nach Lemma 16.2 gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung

Wegen und da die Diskriminanten nach Lemma 16.3 nicht sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminanten.




Korollar  

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich. Sei ein von verschiedenes Ideal in .

Dann ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang ,

d.h. es gibt Elemente mit

wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus eindeutig bestimmt sind.

Beweis  

Nach Lemma 18.5 gibt es überhaupt Elemente , die eine -Basis von bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der (ganzzahlige) Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach Satz 18.6, dass sie ein -Erzeugendensystem von bilden. Die lineare Unabhängigkeit über sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.




Korollar  

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich.

Dann ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang ,

d.h. es gibt Elemente mit

derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Korollar 18.7, angewendet auf das Ideal .


Ein solches System von Erzeugern nennt man auch eine Ganzheitsbasis.



Korollar  

Sei

eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich. Es sei . Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus

Für eine Primzahl ist eine Algebra der Dimension über dem Körper . Zu jeder Primzahl gibt es Primideale in mit .

Beweis  

Nach Fakt ***** ist (als abelsche Gruppen), wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis entsprechen möge. Das von in erzeugte Ideal besteht aus allen -Linearkombinationen der und somit entspricht das Ideal (unter dieser Identifizierung) der von erzeugten Untergruppe von . Die Restklassengruppe ist demnach gleich und besitzt Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe ***** und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus

so dass eine von verschiedene -Algebra ist.

Für eine Primzahl ist ein Vektorraum über der Dimension . Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe 16.10 einem maximalen Ideal in mit . Daher ist , und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich .




Definition  

Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.



Korollar  

Beweis  

Nach Korollar 18.7 ist jedes von verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu , also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als -Moduln) endlich erzeugt.




Satz  

Sei ein Zahlbereich. Dann ist jeder echte Restklassenring von endlich.

Beweis  

Nach Lemma 18.3 gibt es ein , . Damit ist und damit hat man eine surjektive Abbildung

Der Ring links ist nach Korollar 18.9 endlich (mit Elementen), also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.




Satz  

Sei ein Zahlbereich. Dann ist jedes von verschiedene Primideal von bereits ein maximales Ideal.

Beweis  

Sei ein Primideal in . Dann ist der Restklassenring nach Lemma 16.13 ein Integritätsbereich und nach Satz 18.12 endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe ***** bereits ein Körper, so dass nach Lemma 16.15 ein maximales Ideal vorliegt.



Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.


Definition  

Einen Integritätsbereich nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von verschiedene Primideal darin maximal ist.



Korollar  

Jeder Zahlbereich ist ein Dedekindbereich.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 18.2, aus Korollar 18.11 und aus Satz 18.13.



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