Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 18
Wir werden uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den ganzen Abschluss von in einem endlichen Erweiterungskörper der rationalen Zahlen interessieren.
Definition
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in den Ring der ganzen Zahlen in . Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.
Den endlichen Erweiterungskörper von nennt man übrigens einen Zahlkörper.
Satz
Es sei ein Zahlbereich.
Dann ist ein normaler Integritätsbereich.
Beweis
Nach Satz 17.13 ist der Quotientenkörper des Ganzheitsrings . Ist ganz über , so ist nach Aufgabe ***** auch ganz über und gehört selbst zu .
Lemma
Es sei ein Zahlbereich.
Dann enthält jedes von verschiedene Ideal eine Zahl mit .
Beweis
Sei . Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung
mit ganzen Zahlen . Bei kann man die Gleichung mit kürzen, da ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht ist. Es sei also in obiger Gleichung . Dann ist
und somit ist .
Satz
Es sei ein Zahlbereich und sei . Dann ist genau dann ganz über , wenn die Koeffizienten des Minimalpolynoms von über alle ganzzahlig sind.
Beweis
Das Minimalpolynom von über ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus . Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichung für über vor.
Es sei umgekehrt ganz über , und sei ein normiertes ganzzahliges Polynom mit , das wir als irreduzibel in annehmen dürfen. Wir betrachten . Dort gilt
Da nach dem Lemma von Gauß ein irreduzibles Polynom von auch in irreduzibel ist, folgt und daher sind alle Koeffizienten von ganzzahlig.
Es ergibt sich insbesondere, dass die Norm und die Spur von Elementen aus einem Zahlbereich zu gehören.
Lemma
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich. Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann enthält Elemente , die eine - Basis von sind.
Beweis
Es sei eine -Basis von . Das Ideal enthält nach Lemma 18.3 ein Element . Nach (dem Beweis von) Satz 17.13 kann man mit und schreiben. Dann sind die und sie bilden ebenfalls eine -Basis von .
Satz
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich. Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Es seien Elemente, die eine - Basis von bilden und für die der Betrag der Diskriminante
unter all diesen Basen aus minimal sei.
Dann ist
Beweis
Zunächst sind wegen Fakt ***** die Spuren zu Elementen aus ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.
Es sei ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich als eine -Linearkombination mit schreiben lässt, wenn die eine -Basis von mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung
mit rationalen Zahlen . Es sei angenommen, dass ein nicht ganzzahlig ist, wobei wir annehmen dürfen. Wir schreiben dann mit und einer rationalen Zahl (echt) zwischen und . Dann ist auch
eine -Basis von , die in liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist
Nach Lemma 16.2 gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung
Wegen und da die Diskriminanten nach Lemma 16.3 nicht sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.
Korollar
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich. Es sei ein von verschiedenes Ideal in .
Dann ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang ,
d.h. es gibt Elemente mit
wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus eindeutig bestimmt sind.
Beweis
Nach Lemma 18.5 gibt es überhaupt Elemente , die eine -Basis von bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der (ganzzahlige) Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach Satz 18.6, dass sie ein -Erzeugendensystem von bilden. Die lineare Unabhängigkeit über sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.
Korollar
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich.
Dann ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang ,
d.h. es gibt Elemente mit
derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.
Beweis
Dies folgt direkt aus Korollar 18.7, angewendet auf das Ideal .
Ein solches System von Erzeugern nennt man auch eine Ganzheitsbasis.
Korollar
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich. Es sei . Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus
Für eine Primzahl ist eine Algebra der Dimension über dem Körper . Zu jeder Primzahl gibt es Primideale in mit .
Beweis
Nach Fakt ***** ist (als abelsche Gruppen), wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis entsprechen möge. Das von in erzeugte Ideal besteht aus allen -Linearkombinationen der und somit entspricht das Ideal (unter dieser Identifizierung) der von erzeugten Untergruppe von . Die Restklassengruppe ist demnach gleich und besitzt Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe ***** und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus
so dass eine von verschiedene -Algebra ist.
Für eine Primzahl ist ein Vektorraum über der Dimension . Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe 16.10 einem maximalen Ideal in mit . Daher ist , und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich .
Definition
Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
Korollar
Jeder Zahlbereich ist ein noetherscher Ring.
Beweis
Nach Korollar 18.7 ist jedes von verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu , also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als -Moduln) endlich erzeugt.
Satz
Zu einem Ideal in einem Zahlbereich
ist der Restklassenring endlich.
Beweis
Als kommutative Gruppe ist . Sei , . Dann ist das von erzeugte Hauptideal eine Untergruppe
Deshalb ist die Restklassengruppe endlich und wegen der natürlichen Surjektion ist auch der Restklassenring endlich.
Satz
Es sei ein Zahlbereich. Dann ist jedes von verschiedene Primideal von bereits ein maximales Ideal.
Beweis
Es sei ein Primideal in . Dann ist der Restklassenring nach Lemma 16.13 ein Integritätsbereich und nach Satz 18.12 endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe ***** bereits ein Körper, so dass nach Lemma 16.15 ein maximales Ideal vorliegt.
Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.
Definition
Einen Integritätsbereich nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von verschiedene Primideal darin maximal ist.
Korollar
Jeder Zahlbereich ist ein Dedekindbereich.
Beweis
Dies folgt aus Satz 18.2, aus Korollar 18.11 und aus Satz 18.13.