Lineare Abbildung/Determinante/Textabschnitt

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Elementarmatrizen


Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an elementare Zeilenumformungen.

  1. Vertauschung von zwei Zeilen.
  2. Multiplikation einer Zeile mit .
  3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Lösungsraum von homogenen linearen Gleichungssystemen, wie in Fakt gezeigt wurde.



Satz  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann gibt es elementare Zeilenumformungen und eine (Neu-)Nummerierung der Spalten

und ein derart, dass in der entstandenen Matrix die Spalten die Gestalt

und

besitzen. Durch elementare Zeilenumformungen und zusätzliche Spaltenvertauschungen kann man also eine Matrix auf die Gestalt

mit bringen.

Beweis  

Dies beruht auf den entsprechenden Manipulationen wie beim Eliminationsverfahren, siehe Fakt.



Definition  

Es sei ein Körper. Mit bezeichnen wir diejenige -Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

  1. .
  2. .
  3. .

Ausgeschrieben sehen diese Elementarmatrizen folgendermaßen aus.



Lemma

Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Dann hat die Multiplikation mit den -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung.

  1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
  2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
  3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().

Beweis

Siehe Aufgabe.




Determinanten


Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch

Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen. Für kleine kann man die Determinante einfach ausrechnen.


Beispiel  

Für eine -Matrix

ist


Als Merkregel für eine -Matrix verwendet man die Regel von Sarrus. Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte. Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ.


Beispiel  

Für eine -Matrix ist

Dies nennt man die Regel von Sarrus.




Lemma  

Für eine obere Dreiecksmatrix

ist

Insbesondere ist für die Einheitsmatrix .

Beweis  

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.



Universelle Eigenschaft der Determinante


Definition  

Es sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . Eine Abbildung

heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

  1. ist multilinear.
  2. ist alternierend.



Lemma  

Es sei ein Körper und . Es sei

eine Determinantenfunktion.

Dann besitzt folgende Eigenschaften.

  1. Wenn man eine Zeile von mit multipliziert, so ändert sich um den Faktor .
  2. Wenn in eine Nullzeile vorkommt, so ist .
  3. Wenn man in zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich mit dem Faktor .
  4. Wenn man zu einer Zeile ein skalares Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert, so ändert sich nicht.
  5. Wenn ist, so ist für eine obere Dreiecksmatrix .

Beweis  

(1) und (2) folgen direkt aus der Multilinearität.
(3) folgt aus Fakt.
Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur -ten Zeile das -fache der -ten Zeile addiert wird, . Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann


(5). Wenn ein Diagonalelement ist, so sei . Zur -ten Zeile kann man durch Hinzuaddieren von geeigneten Vielfachen der -ten Zeilen, , erreichen, dass aus der -ten Zeile eine Nullzeile wird, ohne dass sich der Wert der Determinantenfunktion ändert. Nach (2) muss dieser Wert dann sein. Wenn kein Diagonalelement ist, so kann man durch wiederholte Skalierung erreichen, dass alle Diagonalelemente zu werden, und durch Zeilenadditionen kann man erreichen, dass die Einheitsmatrix entsteht. Daher ist






Satz  

Es sei ein Körper und .

Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion

mit

wobei die Standardvektoren sind, nämlich die Determinante.

Beweis  

Die Determinante besitzt aufgrund von Fakt, Fakt und Fakt die angegebenen Eigenschaften.
Zur Eindeutigkeit. Zu jeder Matrix gibt es eine Folge von elementaren Zeilenumformungen derart, dass das Ergebnis eine obere Dreiecksmatrix ist. Dabei ändert sich nach Fakt bei einer Vertauschung von Zeilen der Wert der Determinante mit dem Faktor , bei der Umskalierung einer Zeile um den Skalierungsfaktor und bei der Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile gar nicht. Daher ist eine Determinantenfunktion durch die Werte auf einer oberen Dreiecksmatrix bzw. nach Skalierung und Zeilenaddition sogar auf der Einheitsmatrix festgelegt.




Satz  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Die Zeilen von sind linear unabhängig.
  2. ist invertierbar.

Beweis  

Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Fakt gezeigt. Seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass ist. Dann ist nach Fakt und Fakt


Seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix sein.




Der Determinantenmultiplikationssatz



Satz  

Es sei ein Körper und .

Dann gilt für Matrizen die Beziehung

Beweis  

Wir fixieren die Matrix . Es sei zunächst . Dann ist nach Fakt die Matrix nicht invertierbar und damit ist auch nicht invertierbar und somit wiederum . Sei nun invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung

Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Fakt anwenden. Wenn die Zeilen von sind, so ergibt sich , indem man auf die Zeilen die Determinante anwendet und mit multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe. Wenn man mit startet, so ist und daher ist





Die Determinante der Transponierten


Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann nennt man die -Matrix

die transponierte Matrix zu .

Die transponierte Matrix entsteht also, indem man die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht.



Satz  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann ist

Beweis  

Wenn nicht invertierbar ist, so ist nach Fakt die Determinante und der Rang kleiner als . Dies gilt auch für die transponierte Matrix, so dass deren Determinante wiederum ist. Sei also invertierbar. Wir führen diese Aussage in diesem Fall auf die entsprechende Aussage für Elementarmatrizen zurück, wofür sie direkt verifiziert werden kann, siehe Aufgabe. Es gibt nach Fakt Elementarmatrizen derart, dass

eine Diagonalmatrix ist. Nach Aufgabe ist

bzw.

Die Diagonalmatrix ändert sich beim Transponieren nicht. Da die Determinanten von Elementarmatrizen sich beim Transponieren auch nicht ändern, gilt




Korollar  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zu sei diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in die -te Zeile und die -te Spalte weglässt.

Dann ist (bei für jedes feste bzw. )

Beweis  

Für ist die erste Gleichung die rekursive Definition der Determinante. Daraus folgt die Aussage für aufgrund von Fakt. Durch Spalten- und Zeilenvertauschung folgt die Aussage daraus allgemein, siehe Aufgabe.




Die Determinante von Endomorphismen

Es sei

eine lineare Abbildung eines Vektorraumes der Dimension in sich. Diese wird (siehe Definition 13.4) bezüglich einer Basis durch eine Matrix beschrieben. Es liegt nahe, die Determinante dieser Matrix als Determinante der linearen Abbildung zu nehmen, doch hat man hier das Problem der Wohldefiniertheit: die lineare Abbildung wird bezüglich einer anderen Basis durch eine „völlig“ andere Matrix beschrieben. Allerdings besteht zwischen den zwei beschreibenden Matrizen und und der Übergangsmatrix aufgrund von Fakt die Beziehung

Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist daher

so dass die folgende Definition unabhängig von der Wahl einer Basis ist.


Definition  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man

die Determinante der linearen Abbildung .



Adjungierte Matrix und Cramersche Regel


Definition  

Zu einer quadratischen Matrix heißt

wobei die Streichungsmatrix zur -ten Zeile und zur -ten Spalte ist, die adjungierte Matrix von .

Achtung, bei der Definition der Einträge der adjungierten Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht.



Satz  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann ist

Wenn invertierbar ist, so ist

Beweis  

Sei . Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien

Die Koeffizienten des Produktes sind

Bei ist dies , da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der -ten Spalte handelt. Sei und es sei die Matrix, die aus entsteht, wenn man in die -te Spalte durch die -te Spalte ersetzt. Wenn man nach der -ten Spalte entwickelt, so ist dies

Also sind diese Koeffizienten , und damit stimmt die erste Gleichung.
Die zweite Gleichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.




Satz  

Es sei ein Körper und

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix invertierbar sei.

Dann erhält man die eindeutige Lösung für durch .

Beweis  

Für eine invertierbare Matrix ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem , indem man anwendet, d.h. es ist . Unter Verwendung von Fakt bedeutet dies . Für die -te Komponente bedeutet dies

Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der -ten Spalte.


Bemerkung  

Die Determinante kann auch auf eine andere Art eingeführt werden, nämlich über die sogenannte Leibniz-Formel. Diese lautet für eine -Matrix

Dabei wird über alle bijektiven Abbildungen (man spricht in diesem Zusammenhang von Permutationen) von auf sich summiert. Zu einer Permutation ist das Signum (oder das Vorzeichen) durch

definiert.




Satz

Die Determinante einer linearen Isometrie

auf einem euklidischen Vektorraum

ist oder .

Beweis

Siehe Aufgabe.