Kurs:Körper- und Galoistheorie/11/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 3 1 7 6 8 2 4 3 3 3 3 2 2 3 4 63




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe .
  2. Ein endlicher Körper.
  3. Ein Algebrahomomorphismus zwischen -Algebren und .
  4. Die Charaktergruppe zu einer kommutativen Gruppe mit Werten in einem Körper .
  5. Eine Fermat-Zahl.
  6. Algebraisch unabhängige Elemente in einer -Algebra .


Lösung

  1. Für Elemente setzt man , wenn gilt.
  2. Ein Körper heißt endlich, wenn er endlich viele Elemente besitzt.
  3. Man nennt einen Ringhomomorphismus

    einen -Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen und verträglich ist.

  4. Man nennt die Menge der Charaktere

    die Charaktergruppe von (in ).

  5. Eine Zahl der Form , wobei eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.
  6. Die Elemente heißen algebraisch unabhängig (über ), wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom bei der Einsetzung

    gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen und .
  2. Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer -Algebra und einem Element .
  3. Der Satz über die Einheitengruppe eines endlichen Körpers.


Lösung

  1. Die Gradformel besagt, dass eine endliche Körpererweiterung ist und dass
    gilt.
  2. Es gibt einen eindeutig bestimmten -Algebrahomomorphismus
    mit .
  3. Es sei ein endlicher Körper. Dann ist die Einheitengruppe eine zyklische Gruppe.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein , , mit gibt.


Lösung

Nach Voraussetzung ist ein zweidimensionaler Vektorraum über , und darin ist ein eindimensionaler Untervektorraum. Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element derart, dass und eine -Basis von bilden. Wir können

schreiben, bzw. (da eine Einheit ist),

Mit gilt also und und bilden ebenfalls eine -Basis von .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Lösung

Sei

Wegen . ist . Seien . Das bedeutet und . Dann ist

und daher .

Sei nun und beliebig. Dann ist

also ist .


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei eine endliche Körpererweiterung und seien konjugierte Elemente. Zeige, dass dann und gilt.


Lösung

Nach Definition stimmen die Minimalpolynome zu und zu überein. Daher stimmen nach Satz 8.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) auch ihre Normen und ihre Spuren überein.


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ein Körper und seien und endliche Körpererweiterungen. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung gibt, die sowohl als auch als Zwischenkörper enthält.


Lösung

Sei

und

Wir führen Induktion über , wobei bei die Aussage mit klar ist. Sei die Aussage für maximal Erzeuger bewiesen. Wir betrachten die Körperkette

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen endlichen Erweiterungskörper . der sowohl als auch enthält. Da ein Hauptidealbereich ist, ist

mit einem irreduziblen Polynom aus . Durch die Körpererweiterung haben wir und insbesondere . Es sei ein irreduzbles Polynom, das teilt. Unter dem Ringhomomorphismus

wird auf abgebildet. Daher gibt es nach dem Satz vom induzierten Ringhomomorphismus einen (injektiven) -Algebrahomomorphismus

Dabei ist ein Körper, der sowohl (und damit auch ) als auch enthält. Nach der Induktionsformel und der Gradformel ist endlich über .


Aufgabe (6 (1+2+1+2) Punkte)

Es seien verschiedene Primzahlen und

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad . Bestimme, ob die folgenden Elemente die -Algebra erzeugen oder nicht.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Lösung

  1. Wegen

    ist eine quadratische Körpererweiterung von , also von verschieden.

  2. Es ist

    Somit gehört auch zu der von diesem Element erzeugten Algebra. Das Produkt

    gehört ebenfalls dazu. Somit gehört auch

    dazu, also auch und . Somit ist die erzeugte Algebra gleich und es liegt ein Algebraerzeuger vor.

  3. Wegen

    ist eine quadratische Körpererweiterung von , also von verschieden.

  4. Es ist

    Somit gehört auch zu der von diesem Element erzeugten Algebra. Somit gehört auch das Produkt

    dazu. Somit gehört auch

    und auch dazu. Also ist die erzeugte Algebra gleich und es liegt ein Algebraerzeuger vor.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz vom primitiven Element.


Lösung

Bei endlich folgt die Aussage sofort aus Satz 9.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), wir können also als unendlich annehmen. Es sei . Es genügt zu zeigen, dass man sukzessive zwei Erzeuger davon durch einen Erzeuger ersetzen kann. Dabei ist ebenfalls separabel. Sei also gegeben und . Es sei eine Körpererweiterung, unter der die Minimalpolynome von und von in Linearfaktoren zerfallen. Es gibt gemäß Lemma 13.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) -Einbettungen

Wir betrachten das Polynom

das zu gehört. Dies ist nicht das Nullpolynom, da keiner der Linearfaktoren gleich ist. Daher besitzt nur endlich viele Nullstellen und somit gibt es, da unendlich ist, ein mit . Die Elemente sind alle verschieden. Aus für folgt nämlich , und wäre doch eine Nullstelle von . Es gibt also verschiedene Einbettungen von nach und insbesondere ist , also ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung und es sei ein -Automorphismus. Zeige, dass für die Multiplikationsabbildungen zu die Beziehung

gilt.


Lösung

Für ein beliebiges Element ist

somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper (mit Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in


Lösung

Es sei eine invertierbare Matrix über . Dies bedeutet, dass die Spaltenvektoren eine Basis von bilden und dies bedeutet wiederum, dass die einen -dimensionalen Untervektorraum erzeugen. Ein -dimensionaler Untervektorraum besitzt Elemente. Wenn fixiert sind, so gibt es Vektoren , die sicher stellen, dass der von den Vektoren erzeugte Untervektorraum eine Dimension mehr hat. Daher ist die Gesamtzahl von solchen Matrizen gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad und es sei eine Körpererweiterung, in der in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von in nicht die Form mit rationalen Zahlen haben können.


Lösung

Nehmen wir an, die Nullstellen hätten die Form mit rationalen Zahlen . Dann würde über für , das wir als normiert annehmen dürfen, die Faktorzerlegung

vorliegen. Dann wäre insbesondere der Koeffizient vor , also das Negative von

eine rationale Zahl. Doch dann ist schon eine rationale Zahl und wir haben eine rationale Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung der Irreduzibilität von .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine graduierte Körpererweiterung mit graduierender Gruppe . Bestimme die Matrizen in Diagonalgestalt, die die -Automorphismen von beschreiben.


Lösung

Es sei ein Element vom Grad . Dann ist eine homogene Basis von . Die Charaktere von in sind durch das Bild der festgelegt und liefern die Automorphismen. Diese werden bezüglich der Basis durch die Matrizen

beschrieben.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei der -te Kreisteilungskörper über und

Zeige, dass bei die Körpererweiterung den Grad besitzt.


Lösung

Es sei eine primitive -Einheitswurzel, die erzeugt. Es ist . Das Polynom

besitzt als Nullstelle und seine Koeffizienten gehören zu . Daher ist

und erfüllt eine quadratische Gleichung über . Da bei die Kreisteilungskörper nicht reell sind, liegt eine quadratische Körpererweiterung vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Primzahl und eine endliche Gruppe mit Elementen. Zeige, dass auflösbar ist.


Lösung

Wir führen Induktion nach , bei ist die Aussage trivialerweise richtig. Sei also . Nach Lemma 26.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist das Zentrum von nichttrivial. Das Zentrum ist ein Normalteiler in und somit liegt eine kurze exakte Sequenz

vor. Die Restklassengruppe besitzt Elemente mit . Daher kann man auf die Restklassengruppe die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhält, dass diese auflösbar ist. Als kommutative Gruppe ist das Zentrum ebenfalls auflösbar. Somit ergibt Lemma 21.3 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), dass auflösbar ist.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

  1. Zeige, dass eine transitive Untergruppe zumindest Elemente besitzt.
  2. Zeige, dass es eine transitive Untergruppe mit genau Elementen gibt.


Lösung

  1. Aufgrund der Transitivität muss es für jedes ein Element geben, das die auf abbildet, also muss es zumindest Gruppenelemente in geben.
  2. Wir betrachten die vom Zykel erzeugte Untergruppe. Diese ist zyklisch der Ordnung und besitzt insbesondere Elemente. Die Transitivität ist klar.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass man zu einer Geraden und zwei Punkten die zu senkrechte Gerade zeichnen kann, die die Strecke zwischen und halbiert.


Lösung

Wir zeichnen die beiden Kreise und mit dem Mittelpunkt durch und umgekehrt. Die beiden Schnittpunkte von und seien und . Deren Verbindungsgerade steht senkrecht auf und halbiert die Strecke zwischen und .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass man aus dem Einheitsintervall als Startmenge den gesamten mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.


Lösung

Wegen lassen sich alle Punkte aus konstruieren. Insbesondere lassen sich die - und die -Achse (als Geraden) konstruieren. Da man jede reelle Zahl als

mit und schreiben kann, und mit zwei Zahlen auch deren Summe konstruierbar ist, lassen sich alle reellen Zahlen aus dem Einheitsideal konstruieren. Mit dem Zirkel lässt sich jede reelle Zahl auf die -Achse umschlagen. Somit lässt sich wie im Beweis zu Lemma 24.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) überhaupt jeder Punkt konstruieren.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper. Zeige, dass in einer Körpererweiterung der Form

algebraisch abgeschlossen ist, also mit seinem algebraischen Abschluss in übereinstimmt.


Lösung

Es sei algebraisch über , es ist zu zeigen. Unter Verwendung der Körperkette

genügt es, die Aussage für zu zeigen. Sei also mit Polynomen und sei eine algebraische Relation

mit gegeben. Wegen der Faktorialität des Polynomringens können wir und als teilerfremd annehmen. Multiplikation der algebraischen Relation mit führt auf

bzw. auf

Also ist ein Teiler von und somit nach dem Lemma von Euklid von , was wegen der Teilerfremdheit bedeutet, dass zu gehört. D.h. ist ein Polynom. Wenn einen positiven Grad hätte, so könnte aus Gradgründen keine algebraische Relation bestehen. Also ist ein konstantes Polynom und somit .