Kurs:Lineare Algebra/Teil II/13/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	$\sum$
Punkte	3	3	4	3	5	4	1	2	6	2	4	3	4	0	2	10	4	60

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Norm in einem $𝕂$-Vektorraum $V$.
2. Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
3. Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum $V$.
4. Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
5. Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus

   $\phi :V⟶V$

   auf einem endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorraum $V$.

6. Eine Körpererweiterung.

Lösung

1. Eine Abbildung

   $\Vert -\Vert :V⟶ℝ,v⟼\Vert v\Vert ,$

   heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle $v,w\in V$ gelten.

   1. $\Vert v\Vert \ge 0$,
   2. $\Vert v\Vert =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
   3. Für $\lambda \in 𝕂$ und $v\in V$ gilt

      $\Vert \lambda v\Vert =|\lambda |\cdot \Vert v\Vert .$

   4. Für $v,w\in V$ gilt

      $\Vert v+w\Vert \le \Vert v\Vert +\Vert w\Vert .$

2. Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
3. Die Bilinearform heißt positiv definit, wenn $⟨v,v⟩>0$ für alle $v\in V$, $v\ne 0$ ist.
4. Eine Untergruppe

   $H\subseteq G$

   ist ein Normalteiler, wenn

   $xH=Hx$

   für alle  $x\in G$  ist.

5. Der Endomorphismus $\phi$ heißt asymptotisch stabil, wenn die Folge ${\phi }^n$ in ${\mathrm{End}}_{}\left(V\right)$ gegen die Nullabbildung konvergiert.
6. Es sei $L$ ein Körper und  $K\subseteq L$  ein Unterkörper von $L$. Dann heißt die Inklusion  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Charakterisierung einer Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen mittels Orthonormalbasen.
2. Der Satz über die (Norm)-Charakterisierung für normale Endomorphismen.
3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).

Lösung

1. Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei

   $\phi :V⟶W$

   eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

   1. $\phi$ ist eine Isometrie.
   2. Für jede Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, von $V$ ist $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$.
   3. Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, von $V$ derart, dass $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$ ist.
2. Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und sei

   $\phi :V⟶V$

   ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

   1. $\phi$ ist normal.
   2. Für alle $v,w\in V$ gilt

      $⟨\hat{\phi }(v),\hat{\phi }(w)⟩=⟨\phi (v),\phi (w)⟩.$

   3. Für alle $v\in V$ gilt

      $\Vert \hat{\phi }(v)\Vert =\Vert \phi (v)\Vert .$

3. Es seien $G,Q$ und $H$ Gruppen, es sei $\phi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus und $\psi :G\to Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

   $\mathrm{kern}\psi \subseteq \mathrm{kern}\phi$

   ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

   $\tilde{\phi }:Q⟶H$

   derart, dass  $\phi =\tilde{\phi }\circ \psi$ 

   ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.

Lösung

Wir setzen

$\mathrm{\Phi }(v,w):=\mathrm{Re}\left(⟨v,w⟩\right)$

und gehen die Axiome für ein Skalarprodukt durch. Es ist für  $a,b\in ℝ$  und  $u,v,w\in V$ 

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Phi }(au+bv,w)& =\mathrm{Re}\left(⟨au+bv,w⟩\right)\\ & =\mathrm{Re}(a⟨u,w⟩+b⟨v,w⟩)\\ & =\mathrm{Re}\left(a⟨u,w⟩\right)+\mathrm{Re}\left(b⟨v,w⟩\right)\\ & =a\mathrm{Re}\left(⟨u,w⟩\right)+b\mathrm{Re}\left(⟨v,w⟩\right)\\ & =a\mathrm{\Phi }(u,w)+b\mathrm{\Phi }(v,w),\end{array}$

da der Realteil einer komplexen Zahl linear bezüglich Multiplikation mit einer reellen Zahl ist. Wegen

$\mathrm{\Phi }(v,w)=\mathrm{Re}\left(⟨v,w⟩\right)=\mathrm{Re}\left(\overline{⟨w,v⟩}\right)=\mathrm{Re}\left(⟨w,v⟩\right)=\mathrm{\Phi }(w,v)$

ist $\Phi$ symmetrisch. Daraus ergibt sich auch die Linearität in der zweiten Komponente aus der Linearität in der ersten Komponente. Ferner ist

$\mathrm{\Phi }(v,v)=\mathrm{Re}\left(⟨v,v⟩\right)=⟨v,v⟩,$

da ja $⟨v,v⟩$ stets reell ist. Somit ergibt sich die positive Definitheit unmittelbar.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

$\phi :V⟶V$

eine Isometrie und  $U\subseteq V$  ein $\phi$-invarianter Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ ebenfalls $\phi$-invariant ist.

Lösung

Es ist

$U^{\perp }=\{v\in V\mid ⟨v,u⟩=0\text{ für }\text{alle }u\in U\}.$

Für ein solches  $v\in U^{\perp }$  und ein beliebiges  $u\in U$  ist

$⟨\phi (v),u⟩=⟨{\phi }^{-1}(\phi (v)),{\phi }^{-1}(u)⟩=⟨v,u^{\prime }⟩=0,$

da  $u^{\prime }={\phi }^{-1}(u)\in U$  wegen der Invarianz von $U$ liegt. Also ist wieder  $\phi (v)\in U^{\perp }$. 

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$D(\alpha )=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$

die Beschreibung einer Drehung $\phi$ bezüglich der Standardbasis $e_1,e_2$ des ${ℝ}^2$. Es sei $u_1,u_2$ eine Orthonormalbasis des ${ℝ}^2$ derart, dass die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen die Determinante $1$ besitzt. Zeige, dass $\phi$ bezüglich der zweiten Basis ebenfalls durch $D(\alpha )$ beschrieben wird. Zeige, dass dies ohne die Determinantenbedingung nicht gilt.

Lösung

Wir schreiben  $u_1=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$  und  $u_2=\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$.  Die Übergangsmatrix von $𝔲$ nach $𝔢$ ist

$M_{𝔢}^{𝔲}=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right).$

Da $𝔲$ eine Orthonormalbasis ist, und die Determinante der Übergangsmatrix nach Voraussetzung $1$ ist, muss dies eine Drehmatrix sein, d.h. es gibt einen Winkel $\gamma$ mit

$M_{𝔢}^{𝔲}=\left(\begin{array}{cc}\cos \gamma & -\sin \gamma \\ \sin \gamma & \cos \gamma \end{array}\right).$

Die Umkehrabbildung dazu ist

${\left(M_{𝔢}^{𝔲}\right)}^{-1}=M_{𝔲}^{𝔢}=\left(\begin{array}{cc}\cos -\gamma & -\sin -\gamma \\ \sin -\gamma & \cos -\gamma \end{array}\right).$

Nach Korollar 11.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist somit

$\begin{array}{cc}{M}_{𝔲}^{𝔲}(\phi )& =(M_{𝔢}^{𝔲}{)}^{-1}\circ M_{𝔢}^{𝔢}(\phi )\circ M_{𝔢}^{𝔲}\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos \gamma & -\sin \gamma \\ \sin \gamma & \cos \gamma \end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}\cos -\gamma & -\sin -\gamma \\ \sin -\gamma & \cos -\gamma \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos (\gamma +\alpha -\gamma )& -\sin (\gamma +\alpha -\gamma )\\ \sin (\gamma +\alpha -\gamma )& \cos (\gamma +\alpha -\gamma )\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right).\end{array}$

Wenn man die Orthonormalbasis $e_2,e_1$ nimmt (also die Reihenfolge vertauscht), so wird $\phi$ bezüglich dieser Basis durch $\left(\begin{array}{cc}-\sin \alpha & \cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right)$ beschrieben.

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen  $a,b,c\in ]0,1[$  mit

$a^2+b^2=c^2.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen  $a,b,c\in ]0,1[$  mit

$a^2+b^2\ne c^2.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen  $a,b\in ]0,1[$  und eine rationale Zahl  $c\in ]0,1[$  mit

$a^2+b^2=c^2.$

Lösung

a) Es ist

$3^2+4^2=5^2,$

daher ist

${\left(\frac{3}{6}\right)}^2+{\left(\frac{4}{6}\right)}^2={\left(\frac{5}{6}\right)}^2,$

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen  $a=\frac{3}{6}$  und  $b=\frac{4}{6}$  und  $c=\frac{1}{6}$.  Die Summe ist

$a^2+b^2={\left(\frac{5}{6}\right)}^2\ne {\left(\frac{1}{6}\right)}^2.$

c) Wir setzen

$a=b=\frac{1}{2\sqrt{2}};$

diese Zahl ist irrational, da $\sqrt{2}$ irrational ist. Es gilt

${\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{1}{4\cdot 2}+\frac{1}{4\cdot 2}=\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2.$

Mit  $c=\frac{1}{2}$  ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

Lösung erstellen

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem $K^2$ bezüglich der Standardbasis.

Lösung

Wegen

$det\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=0,$

$det\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=1,$

$det\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=-1,$

$det\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=0$

ist die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem $K^2$ gleich

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$-Vektorraum mit einem fixierten Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Wir nennen eine Sesquilinearform $\mathrm{\Psi }$ auf $V$ orthogonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis $u_1,\dots ,u_n$ (bezüglich des Skalarproduktes) von $V$ mit

$\mathrm{\Psi }(u_i,u_j)=0$

für alle  $i\ne j$  gibt. Zeige, dass bei der Korrespondenz

${\mathrm{End}}_{}\left(V\right)⟶{\mathrm{Sesq}}_{}\left(V\right),\phi ⟼{\mathrm{\Psi }}_{\phi },$

die normalen Endomorphismen den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen.

Lösung

Wenn $\phi$ ein normaler Endomorphismus ist, so gibt es nach Satz 42.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine Orthonormalbasis $u_1,\dots ,u_n$ zu $⟨-,-⟩$ aus Eigenvektoren zu $\phi$. Für diese ist dann

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Psi }(u_i,u_j)& =⟨\phi (u_i),u_j⟩\\ & =⟨{\lambda }_i{u}_i,u_j⟩\\ & ={\lambda }_i⟨u_i,u_j⟩\\ & =0\end{array}$

für  $i\ne j$.  Also erfüllt diese Basis auch die Orthogonalitätsrelation für $\mathrm{\Psi }$ und somit ist $\mathrm{\Psi }$ orthogonalisierbar.

Es sei umgekehrt $u_1,\dots ,u_n$ eine Orthonormalbasis, die zugleich die Orthogonalitätsrelation für $\mathrm{\Psi }$ erfüllt. Es sei  $\Psi ={\Psi }_{\phi }$.  Wir machen den Ansatz

$\phi (u_i)=\sum _{k=1}^n{a}_k{u}_k.$

Für alle  $j\ne i$  ist

$\begin{array}{cc}0& =\mathrm{\Psi }(u_i,u_j)\\ & =⟨\phi (u_i),u_j⟩\\ & =⟨\sum _{k=1}^n{a}_k{u}_k,u_j⟩\\ & =\sum _{k=1}^n⟨a_k{u}_k,u_j⟩\\ & =\sum _{k=1}^n{a}_k⟨u_k,u_j⟩\\ & =a_j.\end{array}$

Somit ist

$\phi (u_i)=a_i{u}_i$

und die $u_i$ sind Eigenvektoren zu $\phi$. Somit besitzt $\phi$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und ist daher nach Satz 42.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) normal.

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe einen Gruppenautomorphismus auf $\mathbb{Z}$ an, der kein innerer Automorphismus ist.

Lösung

Wir betrachten

$\phi :\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z},x⟼-x,$

was ein Automorphismus ist. Da $\mathbb{Z}$ kommutativ ist, ist die Identität der einzige innere Automorphismus. Also kann $\phi$ kein innerer Automorphismus sein.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.

Lösung

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch

$[x][y]=[xy]$

gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf $G/H$ definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für $[x]=[x^{\prime }]$ und $[y]=[y^{\prime }]$ zu zeigen, dass  $[xy]=[x^{\prime }{y}^{\prime }]$  ist. Nach Voraussetzung können wir $x^{\prime }=xh$ und $h{y}^{\prime }=\tilde{h}y=y{h}^{\prime }$ mit  $h,\tilde{h},h^{\prime }\in H$  schreiben. Damit ist

$x^{\prime }{y}^{\prime }=(xh)y^{\prime }=x(h{y}^{\prime })=x(y{h}^{\prime })=xy{h}^{\prime }.$

Somit ist  $[xy]=[x^{\prime }{y}^{\prime }]$.  Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf $G/H$ folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und  $U\subseteq K^n$  ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem $K^n$, die durch

$v_1\sim v_2\text{ genau dann, wenn }{v}_1-v_2\in U$

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Lösung

Wegen

$v-v=0\in U$

ist  $v\sim v$,  die Relation ist also reflexiv. Es sei nun  $v\sim u$.  Dies bedeutet

$v-u\in U.$

Somit ist auch

$u-v=-(v-u)\in U$

und damit ist auch  $u\sim v$,  was die Symmetrie bedeutet. Es sei schließlich  $u\sim v$  und  $v\sim w$.  Dies bedeutet

$u-v\in U$

und

$v-w\in U.$

Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit

$(u-v)+(v-w)=u-w\in U,$

was  $u=w$  bedeutet. Dies ergibt die Transitivität.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $G\subseteq {\mathrm{SO}}_3(ℝ)$  eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${ℝ}^3$ mit drei Halbachsenklassen und es sei $K$ eine davon. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$G⟶\mathrm{Perm}(K),g⟼{\sigma }_g:H\mapsto g(H),$

injektiv ist. Zeige, dass dies nicht stimmt, wenn es nur zwei Halbachsenklassen gibt.

Lösung erstellen

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne für die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$

die Maximumsnorm, wenn der ${ℝ}^2$ als Definitionsraum mit der Summennorm und als Zielraum mit der Maximumsnorm versehen ist.

Lösung

Es ist

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+2y\\ 4x+3y\end{array}\right).$

Die Maximumsnorm ist das Maximum der Beträge der beiden Einträge, also von $|x+2y|$ und $|4x+3y|$ für die Menge

$\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mid \mid \mid \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mid {\mid }_{\mathrm{sum}}\le 1\}=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mid |x|+|y|\le 1\}.$

Das Maximum wird auf dem Ausschnitt des Randes mit  $x,y\ge 0$  und  $x+y=1$  angenommen, und der zweite Eintrag ist entscheidend. Die Maximumsnorm ist also $4$.

Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.

Lösung

Es sei  $w\in {ℝ}^n$  die nach Lemma 54.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (3) eindeutig bestimmte stationäre Verteilung und

$U=\{\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right)\mid \sum _{i=1}^n{u}_i=0\}\subseteq {ℝ}^n.$

Dies ist ein Untervektorraum von ${ℝ}^n$ der Dimension $n-1$. Nach Lemma 54.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (2) hat $w$ ausschließlich nichtnegative Einträge und gehört damit nicht zu $U$. Wegen

$\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^n(Mu{)}_i& =\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{u}_j\right)\\ & =\sum _{j=1}^n{u}_j\left(\sum _{i=1}^n{a}_{ij}\right)\\ & =\sum _{j=1}^n{u}_j\end{array}$

ist $U$ invariant unter der Matrix $M$. Somit ist

$V=ℝw\oplus U$

eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume. Für jedes  $u\in U$  mit  $\mid \mid u\mid {\mid }_{\mathrm{sum}}=1$  ist

$\mid \mid Mu\mid {\mid }_{\mathrm{sum}}<1$

nach Lemma 54.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (2). Da die Sphäre zum Radius $1$ bezüglich jeder Norm kompakt ist, ist die induzierte Maximumsnorm von $M{|}_U$ kleiner als $1$. Nach Lemma 53.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und Satz 53.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) konvergiert daher die Folge $M^{n}u$ für jedes  $u\in U$  gegen den Nullvektor.

Es sei nun  $v\in V$  ein Verteilungsvektor, den wir wegen

$\sum _{i=1}^n{v}_i=1=\sum _{i=1}^n{w}_i$

als

$v=w+u$

mit  $u\in U$  schreiben können. Wegen

$M^{m}v=M^m(w+u)=M^{m}w+M^{m}u=w+M^{m}u$

und der Vorüberlegung konvergiert diese Folge gegen $w$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume und sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung vom Rang $r$. Zeige, dass

$\stackrel{k}{\bigwedge }\phi :\stackrel{k}{\bigwedge }V⟶\stackrel{k}{\bigwedge }W$

den Rang $(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})$ besitzt.

Lösung

Rang $r$ bedeutet, dass der Bildraum  $U:=\phi (V)$  die Dimension $r$ besitzt.Die Abbildung $\phi$ faktorisiert über

$V⟶U⟶W$

mit vorne surjektiv und hinten injektiv und entsprechend faktorisiert $\stackrel{k}{\bigwedge }\phi$

$\stackrel{k}{\bigwedge }V⟶\stackrel{k}{\bigwedge }U⟶\stackrel{k}{\bigwedge }W.$

Nach Proposition 58.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist die vordere Abbildung surjektiv und die hintere injektiv. Der Rang der Gesamtabbildung ist also der Rang der vorderen Abbildung und dieser ist gleich der Dimension von $\stackrel{k}{\bigwedge }U$. Diese ist nach Korollar 58.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gleich

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k}).$