Kurs:Lineare Algebra/Teil II/13/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 3 5 4 1 2 6 2 3 4 0 0 0 10 50




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Norm in einem -Vektorraum .
  2. Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
  3. Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum .
  4. Ein Normalteiler in einer Gruppe .
  5. Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Eine Körpererweiterung.


Lösung

  1. Eine Abbildung

    heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle gelten.

    1. ,
    2. genau dann, wenn ist.
    3. Für und gilt
    4. Für gilt
  2. Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
  3. Die Bilinearform heißt positiv definit, wenn für alle , ist.
  4. Ein Untergruppe ist ein Normalteiler, wenn

    für alle ist.

  5. Der Endomorphismus heißt asymptotisch stabil, wenn die Folge in gegen die Nullabbildung konvergiert.
  6. Sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Charakterisierung einer Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen mittels Orthonormalbasen.
  2. Der Satz über die (Norm)-Charakterisierung für normale Endomorphismen.
  3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).


Lösung

  1. Seien und euklidische Vektorräume und sei

    eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

    1. ist eine Isometrie.
    2. Für jede Orthonormalbasis , von ist , Teil einer Orthonormalbasis von .
    3. Es gibt eine Orthonormalbasis , von derart, dass , Teil einer Orthonormalbasis von ist.
  2. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

    ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

    1. ist normal.
    2. Für alle gilt
    3. Für alle gilt
  3. Seien und Gruppen, es sei ein Gruppenhomomorphismus und ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
    ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
    derart, dass ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.


Lösung

Wir setzen

und gehen die Axiome für ein Skalarprodukt durch. Es ist für und

da der Realteil einer komplexen Zahl linear bezüglich Multiplikation mit einer reellen Zahl ist. Wegen

ist symmetrisch. Daraus ergibt sich auch die Linearität in der zweiten Komponente aus der Linearität in der ersten Komponente. Ferner ist

da ja stets reell ist. Somit ergibt sich die positive Definitheit unmittelbar.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

eine Isometrie und ein -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls -invariant ist.


Lösung

Es ist

Für ein solches und ein beliebiges ist

da wegen der Invarianz von liegt. Also ist wieder .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

die Beschreibung einer Drehung bezüglich der Standardbasis des . Es sei eine Orthonormalbasis des derart, dass die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen die Determinante besitzt. Zeige, dass bezüglich der zweiten Basis ebenfalls durch beschrieben wird. Zeige, dass dies ohne die Determinantenbedingung nicht gilt.


Lösung

Wir schreiben und . Die Übergangsmatrix von nach ist

Da eine Orthonormalbasis ist, und die Determinante der Übergangsmatrix nach Voraussetzung ist, muss dies eine Drehmatrix sein, d.h. es gibt einen Winkel mit

Die Umkehrabbildung dazu ist

Nach Korollar 11.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist somit

Wenn man die Orthonormalbasis nimmt (also die Reihenfolge vertauscht), so wird bezüglich dieser Basis durch beschrieben.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Lösung

a) Es ist

daher ist

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen und und . Die Summe ist

c) Wir setzen

diese Zahl ist irrational, da irrational ist. Es gilt

Mit ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.


Lösung Dreieck/Umkreismittelpunkt/Außerhalb/Skizze/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem bezüglich der Standardbasis.


Lösung

Wegen

ist die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem gleich


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einem fixierten Skalarprodukt . Wir nennen eine Sesquilinearform auf orthogonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis (bezüglich des Skalarproduktes) von mit

für alle gibt. Zeige, dass bei der Korrespondenz

die normalen Endomorphismen den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen.


Lösung

Wenn ein normaler Endomorphismus ist, so gibt es nach Fakt ***** eine Orthonormalbasis zu aus Eigenvektoren zu . Für diese ist dann

für . Also erfüllt diese Basis auch die Orthogonalitätsrelation für und somit ist orthogonalisierbar.

Sei umgekehrt eine Orthonormalbasis, die zugleich die Orthogonalitätsrelation für erfüllt. Es sei . Wir machen den Ansatz

Für alle ist

Somit ist

und die sind Eigenvektoren zu . Somit besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und ist daher nach Fakt ***** normal.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe einen Gruppenautomorphismus auf an, der kein innerer Automorphismus ist.


Lösung

Wir betrachten

was ein Automorphismus ist. Da kommutativ ist, ist die Identität der einzige innere Automorphismus. Also kann kein innerer Automorphismus sein.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem , die durch

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Lösung

Wegen

ist , die Relation ist also reflexiv. Es sei nun . Dies bedeutet

Somit ist auch

und damit ist auch , was die Symmetrie bedeutet. Sei schließlich und . Dies bedeutet

und

Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit

was bedeutet. Dies ergibt die Transitivität.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des mit drei Halbachsenklassen und es sei eine davon. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

injektiv ist. Zeige, dass dies nicht stimmt, wenn es nur zwei Halbachsenklassen gibt.


Lösung Eigentliche Bewegungsgruppe/Endlich/Drei Halbachsenklassen/Operation injektiv/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.


Lösung

Es sei die nach Fakt *****  (3) eindeutig bestimmte stationäre Verteilung und

Dies ist ein Untervektorraum von der Dimension . Nach Fakt *****  (2) hat ausschließlich nichtnegative Einträge und gehört damit nicht zu . Wegen

ist invariant unter der Matrix . Somit ist

eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume. Für jedes mit ist

nach Fakt *****  (2). Da die Sphäre zum Radius bezüglich jeder Norm kompakt ist, ist die induzierte Maximumsnorm von kleiner als . Nach Fakt ***** und Fakt ***** konvergiert daher die Folge für jedes gegen den Nullvektor.

Es sei nun ein Verteilungsvektor, den wir wegen

als

mit schreiben können. Wegen

und der Vorüberlegung konvergiert diese Folge gegen .