Kurs:Lineare Algebra/Teil II/13/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	5	4	1	2	6	2	3	4	0	0	0	10	50

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Norm in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.
2. Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
3. Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${}V$.
4. Ein Normalteiler ${}N$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.

6. Eine Körpererweiterung.

Lösung

1. Eine Abbildung

   $\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

   heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle ${}v,w\in V$ gelten.

   1. ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$,
   2. ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
   3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

      ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

   4. Für ${}v,w\in V$ gilt

      ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

2. Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
3. Die Bilinearform heißt positiv definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
4. Ein Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn

   ${}xH=Hx\,$

   für alle ${}x\in G$ ist.

5. Der Endomorphismus ${}\varphi$ heißt asymptotisch stabil, wenn die Folge ${}\varphi ^{n}$ in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ gegen die Nullabbildung konvergiert.
6. Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Charakterisierung einer Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen mittels Orthonormalbasen.
2. Der Satz über die (Norm)-Charakterisierung für normale Endomorphismen.
3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).

Lösung

1. Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
   2. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ ist ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$.
   3. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ derart, dass ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist.
2. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist normal.
   2. Für alle ${}v,w\in V$ gilt

      ${}\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle \,.$

   3. Für alle ${}v\in V$ gilt

      ${}\Vert {{\hat {\varphi }}(v)}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert \,.$

3. Es seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

   ${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

   ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

   ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

   derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$

   ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.

Lösung

Wir setzen

${}\Phi (v,w):=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\,$

und gehen die Axiome für ein Skalarprodukt durch. Es ist für ${}a,b\in \mathbb {R}$ und ${}u,v,w\in V$

${}{\begin{aligned}\Phi (au+bv,w)&=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle au+bv,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(a\left\langle u,w\right\rangle +b\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(a\left\langle u,w\right\rangle \right)}+\operatorname {Re} \,{\left(b\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=a\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle u,w\right\rangle \right)}+b\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=a\Phi (u,w)+b\Phi (v,w),\end{aligned}}$

da der Realteil einer komplexen Zahl linear bezüglich Multiplikation mit einer reellen Zahl ist. Wegen

${}\Phi (v,w)=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}=\operatorname {Re} \,{\left({\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle w,v\right\rangle \right)}=\Phi (w,v)\,$

ist ${}\Phi$ symmetrisch. Daraus ergibt sich auch die Linearität in der zweiten Komponente aus der Linearität in der ersten Komponente. Ferner ist

${}\Phi (v,v)=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,v\right\rangle \right)}=\left\langle v,v\right\rangle \,,$

da ja ${}\left\langle v,v\right\rangle$ stets reell ist. Somit ergibt sich die positive Definitheit unmittelbar.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie und ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ ebenfalls ${}\varphi$-invariant ist.

Lösung

Es ist

${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für }}{\text{alle }}u\in U\right\}}\,.$

Für ein solches ${}v\in U^{\perp }$ und ein beliebiges ${}u\in U$ ist

${}\left\langle \varphi (v),u\right\rangle =\left\langle \varphi ^{-1}(\varphi (v)),\varphi ^{-1}(u)\right\rangle =\left\langle v,u'\right\rangle =0\,,$

da ${}u'=\varphi ^{-1}(u)\in U$ wegen der Invarianz von ${}U$ liegt. Also ist wieder ${}\varphi (v)\in U^{\perp }$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

${}D(\alpha )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,$

die Beschreibung einer Drehung ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{1},e_{2}$ des ${}\mathbb {R} ^{2}$. Es sei ${}u_{1},u_{2}$ eine Orthonormalbasis des ${}\mathbb {R} ^{2}$ derart, dass die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen die Determinante ${}1$ besitzt. Zeige, dass ${}\varphi$ bezüglich der zweiten Basis ebenfalls durch ${}D(\alpha )$ beschrieben wird. Zeige, dass dies ohne die Determinantenbedingung nicht gilt.

Lösung

Wir schreiben ${}u_{1}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ und ${}u_{2}={\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}$. Die Übergangsmatrix von ${}{\mathfrak {u}}$ nach ${}{\mathfrak {e}}$ ist

${}M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\,.$

Da ${}{\mathfrak {u}}$ eine Orthonormalbasis ist, und die Determinante der Übergangsmatrix nach Voraussetzung ${}1$ ist, muss dies eine Drehmatrix sein, d.h. es gibt einen Winkel ${}\gamma$ mit

${}M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\gamma &-\operatorname {sin} \,\gamma \\\operatorname {sin} \,\gamma &\operatorname {cos} \,\gamma \end{pmatrix}}\,.$

Die Umkehrabbildung dazu ist

${}{\left(M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}}\right)}^{-1}=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {e}}={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,-\gamma &-\operatorname {sin} \,-\gamma \\\operatorname {sin} \,-\gamma &\operatorname {cos} \,-\gamma \end{pmatrix}}\,.$

Nach Korollar 11.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist somit

${}{\begin{aligned}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )&=(M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}})^{-1}\circ M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {e}}(\varphi )\circ M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}}\\&={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\gamma &-\operatorname {sin} \,\gamma \\\operatorname {sin} \,\gamma &\operatorname {cos} \,\gamma \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,-\gamma &-\operatorname {sin} \,-\gamma \\\operatorname {sin} \,-\gamma &\operatorname {cos} \,-\gamma \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,(\gamma +\alpha -\gamma )&-\operatorname {sin} \,(\gamma +\alpha -\gamma )\\\operatorname {sin} \,(\gamma +\alpha -\gamma )&\operatorname {cos} \,(\gamma +\alpha -\gamma )\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Wenn man die Orthonormalbasis ${}e_{2},e_{1}$ nimmt (also die Reihenfolge vertauscht), so wird ${}\varphi$ bezüglich dieser Basis durch ${}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha &\cos \alpha \\\cos \alpha &\sin \alpha \end{pmatrix}}$ beschrieben.

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Lösung

a) Es ist

${}3^{2}+4^{2}=5^{2}\,,$

daher ist

${}{\left({\frac {3}{6}}\right)}^{2}+{\left({\frac {4}{6}}\right)}^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\,,$

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen ${}a={\frac {3}{6}}$ und ${}b={\frac {4}{6}}$ und ${}c={\frac {1}{6}}$. Die Summe ist

${}a^{2}+b^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\neq {\left({\frac {1}{6}}\right)}^{2}\,.$

c) Wir setzen

${}a=b={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,;$

diese Zahl ist irrational, da ${}{\sqrt {2}}$ irrational ist. Es gilt

${}{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}={\frac {1}{4\cdot 2}}+{\frac {1}{4\cdot 2}}={\frac {1}{4}}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,.$

Mit ${}c={\frac {1}{2}}$ ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

Lösung Dreieck/Umkreismittelpunkt/Außerhalb/Skizze/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem ${}K^{2}$ bezüglich der Standardbasis.

Lösung

Wegen

${}\det {\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}=0\,,$

${}\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=1\,,$

${}\det {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=-1\,,$

${}\det {\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}=0\,$

ist die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem ${}K^{2}$ gleich

${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem fixierten Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Wir nennen eine Sesquilinearform ${}\Psi$ auf ${}V$ orthogonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ (bezüglich des Skalarproduktes) von ${}V$ mit

${}\Psi (u_{i},u_{j})=0\,$

für alle ${}i\neq j$ gibt. Zeige, dass bei der Korrespondenz

$\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {Sesq} _{}{\left(V\right)},\,\varphi \longmapsto \Psi _{\varphi },$

die normalen Endomorphismen den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen.

Lösung

Wenn ${}\varphi$ ein normaler Endomorphismus ist, so gibt es nach Satz 42.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$. Für diese ist dann

${}{\begin{aligned}\Psi (u_{i},u_{j})&=\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \lambda _{i}u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\lambda _{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=0\end{aligned}}$

für ${}i\neq j$. Also erfüllt diese Basis auch die Orthogonalitätsrelation für ${}\Psi$ und somit ist ${}\Psi$ orthogonalisierbar.

Es sei umgekehrt ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis, die zugleich die Orthogonalitätsrelation für ${}\Psi$ erfüllt. Es sei ${}\Psi =\Psi _{\varphi }$. Wir machen den Ansatz

${}\varphi (u_{i})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}u_{k}\,.$

Für alle ${}j\neq i$ ist

${}{\begin{aligned}0&=\Psi (u_{i},u_{j})\\&=\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{k}u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{n}\left\langle a_{k}u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=a_{j}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}\varphi (u_{i})=a_{i}u_{i}\,$

und die ${}u_{i}$ sind Eigenvektoren zu ${}\varphi$. Somit besitzt ${}\varphi$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und ist daher nach Satz 42.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) normal.

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe einen Gruppenautomorphismus auf ${}\mathbb {Z}$ an, der kein innerer Automorphismus ist.

Lösung

Wir betrachten

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto -x,$

was ein Automorphismus ist. Da ${}\mathbb {Z}$ kommutativ ist, ist die Identität der einzige innere Automorphismus. Also kann ${}\varphi$ kein innerer Automorphismus sein.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}U\subseteq K^{n}$ ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem ${}K^{n}$, die durch

$v_{1}\sim v_{2}{\text{ genau dann, wenn }}v_{1}-v_{2}\in U$

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Lösung

Wegen

${}v-v=0\in U\,$

ist ${}v\sim v$, die Relation ist also reflexiv. Es sei nun ${}v\sim u$. Dies bedeutet

${}v-u\in U\,.$

Somit ist auch

${}u-v=-(v-u)\in U\,$

und damit ist auch ${}u\sim v$, was die Symmetrie bedeutet. Es sei schließlich ${}u\sim v$ und ${}v\sim w$. Dies bedeutet

${}u-v\in U\,$

und

${}v-w\in U\,.$

Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit

${}(u-v)+(v-w)=u-w\in U\,,$

was ${}u=w$ bedeutet. Dies ergibt die Transitivität.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit drei Halbachsenklassen und es sei ${}K$ eine davon. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(K),\,g\longmapsto \sigma _{g}:H\mapsto g(H),$

injektiv ist. Zeige, dass dies nicht stimmt, wenn es nur zwei Halbachsenklassen gibt.

Lösung Eigentliche Bewegungsgruppe/Endlich/Drei Halbachsenklassen/Operation injektiv/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.

Lösung

Es sei ${}w\in \mathbb {R} ^{n}$ die nach Lemma 54.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (3) eindeutig bestimmte stationäre Verteilung und

${}U={\left\{{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\mid \sum _{i=1}^{n}u_{i}=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,.$

Dies ist ein Untervektorraum von ${}\mathbb {R} ^{n}$ der Dimension ${}n-1$. Nach Lemma 54.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (2) hat ${}w$ ausschließlich nichtnegative Einträge und gehört damit nicht zu ${}U$. Wegen

${}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(Mu)_{i}&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}u_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}u_{j}\end{aligned}}$

ist ${}U$ invariant unter der Matrix ${}M$. Somit ist

${}V=U\oplus \mathbb {R} w\,$

eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume. Für jedes ${}u\in U$ mit ${}\mid \mid \!u\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }=1$ ist

${}\mid \mid \!Mu\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }<1\,$

nach Lemma 54.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (2). Da die Sphäre zum Radius ${}1$ bezüglich jeder Norm kompakt ist, ist die induzierte Maximumsnorm von ${}M{|}_{U}$ kleiner als ${}1$. Nach Lemma 53.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und Satz 53.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) konvergiert daher die Folge ${}M^{n}u$ für jedes ${}u\in U$ gegen den Nullvektor.

Es sei nun ${}v\in V$ ein Verteilungsvektor, den wir wegen

${}\sum _{i=1}^{n}v_{i}=1=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,$

als

${}v=w+u\,$

mit ${}u\in U$ schreiben können. Wegen

${}M^{n}v=M^{n}(w+u)=M^{n}w+M^{n}u=w+M^{n}u\,$

und der Vorüberlegung konvergiert diese Folge gegen ${}w$.