Lösung
- Zu zwei Vektoren nennt man
-
den Abstand zwischen
und .
- Eine
Basis
, ,
von heißt Orthogonalbasis, wenn
-
gilt.
- Man nennt einen Endomorphismus
-
adjungiert
zu , wenn
-
für alle gilt.
- Ein Untergruppe ist ein Normalteiler, wenn
-
für alle ist.
- Eine Teilmenge heißt offen, wenn für jedes ein mit
-
existiert.
- Zu den
-
linearen Abbildungen
-
heißt die lineare Abbildung
-
das
Tensorprodukt
der .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Satz des Thales.
- Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes in einer endlichen Gruppe .
- Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.
Lösung
- Es sei ein Punkt in der euklidischen Ebene , der Kreis mit Radius und Mittelpunkt und es sei eine Gerade durch , die den Kreis in den Punkten
und
trifft. Dann ist für jeden Punkt das Dreieck rechtwinklig an .
- Die Ordnung von teilt die Ordnung der Gruppe.
- Es sei ein Körper und seien endlichdimensionale Vektorräume über . Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich
-
Wende das
Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren
auf die
Basis
-
des an.
Lösung
Der Vektor besitzt die Norm , somit ist
-
der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu sein und zusammen mit den Untervektorraum aufspannen. Dies führt zum Ansatz
-
sodass
-
ist. Somit ist
-
Die Norm dieses Vektors ist . Der normierte Vektor zu ist demnach
-
Der dritte Vektor muss senkrecht auf
und
(bzw. auf und ) stehen. Ein solcher Vektor ist
-
Daher kann man
-
als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.
Zeige, dass die
Determinante
einer
linearen Isometrie
-
gleich
oder gleich
ist.
Lösung
Ohne Einschränkung sei gemäß
Satz 33.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
-
mit dem
Standardskalarprodukt.
Die Spalten in der beschreibenden Matrix zu bezüglich der Standardbasis sind
-
und diese bilden nach Voraussetzung ebenfalls eine Orthonormalbasis des . Insbesondere ist
-
Daher ist
-
Somit folgt die Aussage aus
dem Determinantenmultiplikationssatz
und aus
Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Lösung
Es ist
-
Für ein solches und ein beliebiges ist
-
da
wegen der Invarianz von liegt. Also ist wieder .
Skizziere ein Dreieck, bei dem zwei
Höhenfußpunkte
außerhalb der Dreiecksseiten liegen.
Lösung Dreieck/Höhenfußpunkt/Zwei außerhalb/Skizze/Aufgabe/Lösung
Lösung
Es ist
Lösung
Es ist
und ebenso
somit sind dies Beobachtervektoren.
Es sei umgekehrt ein Beobachtervektor, also
-
Wir müssen zeigen, dass dieser Vektor von einer der angegebenen Gestalt ist und betrachten daher die Gleichung
-
Multiplikation mit führt auf
-
bzw. auf
-
und auf
-
wobei die Wurzel stets existiert, und zwar gleich ist. Je nachdem, ob positiv oder negativ ist, muss man entsprechend wählen.
Lösung
Es sei ein
Körper
und sei
-
die Menge aller invertierbaren
-
Matrizen.
a) Zeige
(ohne Bezug zur Determinante),
dass mit der
Matrizenmultiplikation
eine
Gruppe
bildet.
b) Zeige
(ohne Bezug zur Determinante),
dass die Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Lösung 2x2-Matrizen/Determinante/Direkt/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung
Es sei die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Definiere auf eine Relation durch
-
a) Zeige, dass dies eine
Äquivalenzrelation
ist.
b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.
c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.
d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.
Lösung
a) Wir betrachten die Abbildung
-
Zwei Funktionen
und
stehen genau dann in dieser Relation zueinander, wenn ihre Bilder unter übereinstimmen. Daher liegt eine Äquivalenzrelation vor
(und beschreibt die Äquivalenzklassenbildung).
b) Das Polynom
-
wird unter auf abgebildet, sodass dieses Polynom diese Klasse repräsentiert.
c) Es sei
und .
Es ist zu zeigen. Dies folgt aber sofort aufgrund der Additivität der Ableitung.
d) Wir betrachten und und . Offenbar ist . Die relevanten Werte für sind wegen einfach
-
Für ergibt sich .
Daher ist
-
sodass
ist. Wir behaupten, dass
und
nicht äquivalent sind. Es ist mit den Ableitungen und daher ist
-
Für hat man die Ableitungen und daher ist
-
Lösung
Es sei die Standardbasis des
() und sei
-
Zeige, dass die Gruppe der
eigentlichen Symmetrien
von gerade Elemente besitzt.
Lösung
Es sei ein Kreis mit sechs
(äquidistanten)
Knoten gegeben, die mit bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich . Erstelle die zugehörige
stochastische Matrix
und berechne die Eigenverteilung(en).
Lösung
Die zugehörige stochastische Matrix ist
-
Die Verteilung
-
ist eine Eigenverteilung.
- Es sei ein
-
Untervektorraum
eines
endlichdimensionalen
-
Vektorraumes
. Wie kann man die Dimension des
Restklassenraumes
ausdrücken?
- Kann man mit der Formel aus (1) die Dimension des Dachproduktes ausrechnen, wobei die in der Konstruktion des Dachproduktes verwendeten Vektorräume sind?
Lösung
- Es ist
-
- Nein, da und unendlichdimensional sind.
Berechne in das
Tensorprodukt
-
Lösung
Es ist