Kurs:Lineare Algebra/Teil II/3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 4 3 1 2 5 2 6 6 3 4 4 2 2 54




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum über mit einem Skalarprodukt .
  2. Eine Orthogonalbasis in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  3. Der adjungierte Endomorphismus zu einem Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt.

  4. Ein Normalteiler in einer Gruppe .
  5. Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
  6. Das Tensorprodukt von linearen Abbildungen

    für .


Lösung

  1. Zu zwei Vektoren nennt man

    den Abstand zwischen und .

  2. Eine Basis , , von heißt Orthogonalbasis, wenn

    gilt.

  3. Man nennt einen Endomorphismus

    adjungiert zu , wenn

    für alle gilt.

  4. Ein Untergruppe ist ein Normalteiler, wenn

    für alle ist.

  5. Eine Teilmenge heißt offen, wenn für jedes ein mit

    existiert.

  6. Zu den -linearen Abbildungen

    heißt die lineare Abbildung

    das Tensorprodukt der .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz des Thales.
  2. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes in einer endlichen Gruppe .
  3. Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.


Lösung

  1. Es sei ein Punkt in der euklidischen Ebene , der Kreis mit Radius und Mittelpunkt und es sei eine Gerade durch , die den Kreis in den Punkten und trifft. Dann ist für jeden Punkt das Dreieck rechtwinklig an .
  2. Die Ordnung von teilt die Ordnung der Gruppe.
  3. Es sei ein Körper und seien endlichdimensionale Vektorräume über . Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Lösung

Der Vektor besitzt die Norm , somit ist

der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu sein und zusammen mit den Untervektorraum aufspannen. Dies führt zum Ansatz

so dass

ist. Somit ist

Die Norm dieses Vektors ist . Der normierte Vektor zu ist demnach

Der dritte Vektor muss senkrecht auf und (bzw. auf und ) stehen. Ein solcher Vektor ist

Daher kann man

als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

gleich oder gleich ist.


Lösung

Ohne Einschränkung sei gemäß Fakt *****

mit dem Standardskalarprodukt. Die Spalten in der beschreibenden Matrix zu bezüglich der Standardbasis sind

und diese bilden nach Voraussetzung ebenfalls eine Orthonormalbasis des . Insbesondere ist

Daher ist

Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

eine Isometrie und ein -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls -invariant ist.


Lösung

Es ist

Für ein solches und ein beliebiges ist

da wegen der Invarianz von liegt. Also ist wieder .


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem zwei Höhenfußpunkte außerhalb der Dreiecksseiten liegen.


Lösung Dreieck/Höhenfußpunkt/Zwei außerhalb/Skizze/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper mit einer von verschiedenen Charakteristik und sei eine symmetrische Bilinearform auf einem -Vektorraum . Zeige


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu , , die Vektoren

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.


Lösung

Es ist

und ebenso

somit sind dies Beobachtervektoren.

Sei umgekehrt ein Beobachtervektor, also

Wir müssen zeigen, dass dieser Vektor von einer der angegebenen Gestalt ist und betrachten daher die Gleichung

Multiplikation mit führt auf

bzw. auf

und auf

wobei die Wurzel stets existiert, und zwar gleich ist. Je nachdem, ob positiv oder negativ ist, muss man entsprechend wählen.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine zyklische Gruppe kommutativ ist.


Lösung

Es sei die zyklische Gruppe und ein Erzeuger. Dann lassen sich je zwei Elemente darstellen als und mit . Somit ist unter Verwendung der Potenzgesetze

also ist die Gruppe kommutativ.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ein Körper und sei

die Menge aller invertierbaren -Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Lösung 2x2-Matrizen/Determinante/Direkt/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 (1+2+1+2) Punkte)

Es sei die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Definiere auf eine Relation durch

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.

c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.

d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.


Lösung

a) Wir betrachten die Abbildung

Zwei Funktionen und stehen genau dann in dieser Relation zueinander, wenn ihre Bilder unter übereinstimmen. Daher liegt eine Äquivalenzrelation vor (und beschreibt die Äquivalenzklassenbildung).

b) Das Polynom

wird unter auf abgebildet, so dass dieses Polynom diese Klasse repräsentiert.

c) Es sei und . Es ist zu zeigen. Dies folgt aber sofort aufgrund der Additivität der Ableitung.

d) Wir betrachten und und . Offenbar ist . Die relevanten Werte für sind wegen einfach

Für ergibt sich . Daher ist

so dass ist. Wir behaupten, dass und nicht äquivalent sind. Es ist mit den Ableitungen und daher ist

Für hat man die Ableitungen und daher ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring mit Elementen, wobei eine Primzahl sei. Zeige, dass ein Körper ist.


Lösung

Es sei , . Wir betrachten die von erzeugte additive Untergruppe von . Wegen handelt es sich nicht um die triviale Gruppe. Da nach dem Satz von Lagrange die Ordnung jeder Untergruppe die Gruppenordnung teilt und diese eine Primzahl ist, erzeugt schon ganz . Es gibt also insbesondere eine natürliche Zahl mit

Da jeder Ring die natürlichen Zahlen enthält, bedeutet dies, dass eine Einheit ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei die Standardbasis des () und sei

Zeige, dass die Gruppe der eigentlichen Symmetrien von gerade Elemente besitzt.


Lösung

Eine (eigentliche oder uneigentliche) Symmetrie von muss jeden Standardvektor auf einen der Vektoren abbilden. Damit eine Bijektion vorliegt, muss jeder Index unabhängig vom Vorzeichen genau einmal vorkommen. Da dann stets eine Orthonormalbasis vorliegt, handelt es sich um eine Isometrie. Für gibt es Möglichkeiten, für gibt es Wahlmöglichkeiten, da ausgeschlossen ist, u.s.w., so dass es insgesamt Symmetrien gibt. Die Determinante einer beschreibenden Matrix ist oder , und durch Multiplikation einer Spalte mit kann man erreichen, dass die Determinante wird. Daher ist die Hälfte der Symmetrien eigentlich, und deren Anzahl ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Kreis mit sechs (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich . Erstelle die zugehörige stochastische Matrix und berechne die Eigenverteilung(en).


Lösung

Die zugehörige stochastische Matrix ist

Die Verteilung
ist eine Eigenverteilung.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

  1. Es sei ein -Untervektorraum eines endlichdimensionalen -Vektorraumes . Wie kann man die Dimension des Restklassenraumes ausdrücken?
  2. Kann man mit der Formel aus (1) die Dimension des Dachproduktes ausrechnen, wobei die in der Konstruktion des Dachproduktes verwendeten Vektorräume sind?


Lösung

  1. Es ist
  2. Nein, da und unendlichdimensional sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne in das Tensorprodukt


Lösung

Es ist