Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 10/kontrolle

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass sich die folgenden Objekte in natürlicher Weise entsprechen.

1. Gruppenhomomorphismen von ${}\mathbb {Z} ^{r}$ nach ${}\mathbb {Z}$.
2. ${}{\mathbb {C} }$- Algebrahomomorphismen

   ${\mathbb {C} }[X_{1},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{r},X_{r}^{-1}]\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$

   der Form

   $X_{i}\longmapsto T^{a_{i}}$

   mit ${}a_{j}\in \mathbb {Z}$.

3. Multiplikative Abbildungen von ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ nach ${}{\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r}$ der Form

   $z\longmapsto \left(z^{a_{1}},\,\ldots ,\,z^{a_{r}}\right)$

   mit ${}a_{j}\in \mathbb {Z}$.

4. Monoidhomomorphismen von ${}\mathbb {N} ^{r}$ nach ${}\mathbb {Z}$.
5. Multiplikative Abbildungen von ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ nach ${}{\mathbb {C} }^{r}$ der Form

   $z\longmapsto \left(z^{a_{1}},\,\ldots ,\,z^{a_{r}}\right)$

   mit ${}a_{j}\in \mathbb {Z}$.

6. Stetige Abbildungen

   $[0,2\pi ]\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r}$

   der Form

   $s\longmapsto \left(e^{a_{1}{\mathrm {i} }s},\,\ldots ,\,e^{a_{r}{\mathrm {i} }s}\right)$

   ${}a_{j}\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{s\times r}(\mathbb {Z} )$ eine ${}s\times r$- Matrix mit ganzzahligen Koeffizienten. Es sei ${}\mathbb {Z} ^{r}\rightarrow \mathbb {Z} ^{s}$ der zugehörige Gruppenhomomorphismus,

${\mathbb {C} }[X_{1},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{r},X_{r}^{-1}]\longrightarrow {\mathbb {C} }[Y_{1},Y_{1}^{-1},\ldots ,Y_{s},Y_{s}^{-1}],\,X_{j}\longmapsto Y^{m_{j}},$

der zugehörige ${}{\mathbb {C} }$- Algebrahomomorphismus, wobei ${}m_{j}$ die ${}j$-te Spalte von ${}M$ ist und

${\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r},\,(y_{1},\ldots ,y_{s})\longmapsto (y^{m_{1}},\ldots ,y^{m_{r}}),$

die zugehörige multiplikative Abbildung. Zeige, dass die transponierte Matrix die natürliche Abbildung zwischen den Fundamentalgruppen beschreibt, dass also

$\mathbb {Z} ^{s}\cong \pi {\left({\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s},(1,\ldots ,1)\right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{r}\cong \pi {\left({\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r},(1,\ldots ,1)\right)}$

durch ${}{M^{\text{tr}}}$ gegeben ist.

Es seien ${}G_{1},G_{2},G_{3}$ Gruppen. Man nennt ein Diagramm der Form

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G_{1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G_{2}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G_{3}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von Gruppen, wenn ${}G_{1}$ ein Normalteiler von ${}G_{2}$ ist und wenn ${}G_{3}$ isomorph zur Restklassengruppe ${}G_{2}/G_{1}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}a\in \mathbb {Z}$, ${}a\neq 0$. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {a}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} /(a)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} /(a),\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} \cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} \cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow E\cong \mathbb {Z} /(a)\longrightarrow 0$

führt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{n}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{m}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

$0\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(D,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{m},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}$

führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.

Die nächste Aufgabe beruht auf dem Elementarteilersatz.

Aufgabe Aufgabe 10.5 ändern

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{n}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{m}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz, wobei ${}D$ endlich ist. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(D,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow E\longrightarrow 0$

führt, wobei ${}E$ isomorph zu ${}D$ ist.

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Es sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe einer kommutativen Gruppe ${}G$ und sei ${}\varphi \colon H\rightarrow \mathbb {Z}$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass es einen Gruppenhomomorphismus ${}G\rightarrow \mathbb {Q}$ gibt, der ${}\varphi$ (als Abbildung nach ${}\mathbb {Q}$) fortsetzt.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der ${}R$-Modul

${}{M}^{*}=\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}\,$

heißt der duale Modul zu ${}M$.

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Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$- Moduln ${}L,M,N$. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

$0\longrightarrow {N}^{*}\longrightarrow {M}^{*}\longrightarrow {L}^{*}$

der dualen Moduln führt.

Ein ${}R$- Modul ${}M$ über einem Integritätsbereich heißt Torsionsmodul, wenn es zu jedem ${}v\in M$ ein ${}r\in R$, ${}r\neq 0$, mit ${}rv=0$ gibt.

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Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}M$ ein ${}R$- Torsionsmodul. Zeige, dass der duale Modul ${}{M}^{*}=0$ ist.

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Es sei ${}M$ ein endlich erzeugtes Monoid und

$\gamma \colon M\longrightarrow \mathbb {Z}$

ein Monoidhomomorphismus mit der zugehörigen Spektrumsabbildung

${\mathbb {C} }^{\times }\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[T,T^{-1}]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\longrightarrow {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }$

und dem induzierten stetigen geschlossenen Weg

$S^{1}\longrightarrow {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }.$

Zeige, dass dieser Weg nullhomotop ist, wenn der Monoidhomomorphismus ${}\gamma$ durch ${}\mathbb {N}$ faktorisiert.

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Es sei ${}M$ das punktierte Spektrum zu ${}R={\mathbb {C} }[U,V,Z]/(U^{2}+V^{2}-Z^{2})$. Man gebe einen expliziten Erzeuger der Fundamentalgruppe von ${}M$ an.

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Es sei

$A={\begin{pmatrix}\xi _{1}&0&\cdots &0\\0&\xi _{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\xi _{n}\end{pmatrix}}$

eine Diagonalmatrix, deren Einträge allesamt Einheitswurzeln ${}\xi _{j}$ in einem Körper ${}K$ seien. Zeige, dass die zugehörige lineare Operation der von ${}A$ erzeugten zyklischen Gruppe auf dem ${}K^{n}\setminus \{0\}$ genau dann fixpunktfrei ist, wenn die Ordnungen der ${}\xi _{j}$ übereinstimmen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Veronese-Ring ${}K[U,V]^{(s)}$ als ${}K$- Algebra durch ${}s+1$ Elemente ${}Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{s}$ erzeugt wird derart, dass sämtliche ${}2\times 2$- Minoren der Matrix

${\begin{pmatrix}Z_{0}&Z_{1}&\ldots &Z_{s-2}&Z_{s-1}\\Z_{1}&Z_{2}&\ldots &Z_{s-1}&Z_{s}\end{pmatrix}}$

Relationen zwischen diesen Erzeugern sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die minimale Anzahl eines Erzeugendensystems für den Veronese-Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(s)}$.

Aufgabe * Aufgabe 10.14 ändern

Es sei ${}A$ eine ${}\mathbb {Z}$- graduierte ${}R$- Algebra und ${}s\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei vorausgesetzt, dass ${}R$ eine ${}s$-te primitive Einheitswurzel enthalte. Zeige, dass ${}A^{(s)}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(s)\right)}^{\vee }$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$ in ${}n$ Variablen und ${}s\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Veronese-Ring ${}R^{(s)}$ der Monoidring zum Monoid

${}M={\left\{m=(m_{1},\ldots ,m_{n})\in \mathbb {N} ^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}m_{i}\in \mathbb {N} s\right\}}\subseteq \mathbb {N} ^{n}\,$

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}\mathbb {Z}$- graduierte ${}K$- Algebra, auf der eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von homogenen ${}K$- Algebrahomomorphismen operiere. Zeige

${}{\left(A^{(s)}\right)}^{G}={\left(A^{G}\right)}^{(s)}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die lineare Operation der zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z} /(5)$ auf ${}{\mathbb {C} }^{3}$ durch Potenzen der Matrix

${\begin{pmatrix}\xi &0&0\\0&\xi &0\\0&0&\xi ^{3}\end{pmatrix}},$

wobei ${}\xi$ eine fünfte primitive Einheitswurzel sei. Bestimme den Invariantenring zu dieser Operation. Man gebe einen expliziten Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Spektrums dieses Invariantenringes an.

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Wir betrachten die lineare Operation der symmetrischen Gruppe ${}S_{2}$ auf dem ${}{\mathbb {C} }^{2}$ und es sei

${\mathbb {C} }^{2}\setminus T\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }^{2}\backslash S_{2}\right)}\setminus q(T)$

die zugehörige Quotientenabbildung, wobei ${}T$ der Fixraum der Operation sei. Beschreibe die induzierte Abbildung der Fundamentalgruppen.

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Es sei ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine nichttriviale Reflektionsgruppe. Zeige, dass zu einer fixpunktfreien, offenen ${}G$- invarianten Teilmenge ${}U\subseteq K^{n}$ das Komplement ${}K^{n}\setminus U$ eine Dimension ${}\geq n-1$ besitzt.

Eine endliche Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ über einem Körper ${}K$ heißt klein, wenn sie keine Pseudoreflektion enthält.

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Es sei ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ eine kleine Gruppe. Zeige, dass es eine offene Menge ${}U\subseteq {\left(\operatorname {Spek} {\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\right)}\right)}_{\mathbb {C} }$ gibt, deren Fundamentalgruppe gleich ${}G$ ist.

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Wir betrachten die lineare Operation der zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z} /(3)$ auf ${}{\mathbb {C} }^{4}$ durch Potenzen der Matrix

${\begin{pmatrix}\xi &0&0&0\\0&\xi &0&0\\0&0&\xi ^{2}&0\\0&0&0&\xi ^{2}\end{pmatrix}},$

wobei ${}\xi$ eine dritte primitive Einheitswurzel sei. Bestimme den Invariantenring zu dieser Operation. Man gebe einen expliziten Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Spektrums dieses Invariantenringes an.

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Zeige, dass der singuläre Ort der affinen Varietät

${}V{\left(A^{2}-BCD\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\,$

(über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$) aus drei Geraden besteht, und dass diese die Bilder der Koordinatenachsen des ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ unter der in Beispiel 10.6 besprochenen Quotientenabbildung sind.