Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Kommutative Algebra

Lemma

Für einen endlichen Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$

gibt es eine Faktorisierung

$R{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}T{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}S,$

wobei ${}\psi$ eine freie endliche Erweiterung und ${}\theta$ surjektiv ist.

Beweis

Es sei ${}x_{i}\in S$ , ${}i=1,\ldots ,n$ , ein ${}R$ -Algebraerzeugendensystem von ${}S$ . Wegen der Endlichkeit erfüllen die ${}x_{i}$ Ganzheitsgleichungen der Form

{}x_{i}^{r_{i}}+\varphi (a_{i,r_{i}-1})x_{i}^{r_{i}-1}+\cdots +\varphi (a_{i,2})x_{i}^{2}+\varphi (a_{i,1})x_{i}+\varphi (a_{i,0})=0\,

mit ${}a_{i,j}\in R$ . Wir setzen

{}T:=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X_{i}^{r_{i}}+a_{i,r_{i}-1}X_{i}^{r_{i}-1}+\cdots +a_{i,2}X_{i}^{2}+a_{i,1}X_{i}+a_{i,0},\,i=1,\ldots ,n\right)}\,.

Dies ist eine freie und endliche Algebra über ${}R$ und der durch ${}X_{i}\mapsto x_{i}$ festgelegte Einsetzungshomomorphismus ergibt die Abbildung ${}T\rightarrow S$ , die surjektiv ist, da die ${}x_{i}$ die ${}R$ -Algebra ${}S$ erzeugen.

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Satz

Es sei ${}R$ eine integre ${}K$ -Algebra vom endlichen Typ über einem Körper ${}K$ und ${}F\in R$ ein Element ${}\neq 0$ .

Dann besitzt im Restklassenring ${}R/(F)$ jedes minimale Primideal die Dimension ${}\operatorname {dim} {\left(R\right)}-1$ .

Beweis

Nach Fakt gibt es eine endliche Erweiterung

{}P=K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\subseteq R\,.

Dabei ist ${}(F)\cap P\neq \emptyset$ nach Aufgabe, sei ${}G\in (F)\cap P$ , ${}G\neq 0$ . Für jedes minimale Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ über ${}(F)$ ist auch

P/{\mathfrak {p}}\cap P\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}

injektiv und endlich. Nach Fakt stimmen die Dimensionen der beiden Ringe überein. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz ist die Höhe von ${}{\mathfrak {p}}$ gleich ${}1$ und dies überträgt sich wegen der Endlichkeit auf ${}{\mathfrak {p}}\cap P$ . Diese Primideale sind also minimal oberhalb von ${}G$ . Es genügt also, die Aussage für den Polynomring selbst zu zeigen. Wie im Beweis zu Fakt betrachten wir eine endliche Erweiterung

{}K[Y_{1},\ldots ,Y_{n-1}]\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,.

Jedes minimale Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ des Hyperflächenringes, also jedes minimale Primoberideal ${}{\mathfrak {p}}$ zu ${}F$ , schneidet wegen der Dimensionsgleichheit auf das Nullideal herunter, d.h. auch die Gesamtabbildung