Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Kommutative Algebra

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Lemma  

Für einen endlichen Ringhomomorphismus

gibt es eine Faktorisierung

wobei eine freie endliche Erweiterung und surjektiv ist.

Beweis  

Es sei , , ein -Algebraerzeugendensystem von . Wegen der Endlichkeit erfüllen die Ganzheitsgleichungen der Form

mit . Wir setzen

Dies ist eine freie und endliche Algebra über und der durch festgelegte Einsetzungshomomorphismus ergibt die Abbildung , die surjektiv ist, da die die -Algebra erzeugen.




Satz  

Es sei eine integre -Algebra vom endlichen Typ über einem Körper und ein Element .

Dann besitzt im Restklassenring jedes minimale Primideal die Dimension .

Beweis  

Nach Fakt gibt es eine endliche Erweiterung

Dabei ist nach Aufgabe, sei , . Für jedes minimale Primideal über ist auch

injektiv und endlich. Nach Fakt stimmen die Dimensionen der beiden Ringe überein. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz ist die Höhe von gleich und dies überträgt sich wegen der Endlichkeit auf . Diese Primideale sind also minimal oberhalb von . Es genügt also, die Aussage für den Polynomring selbst zu zeigen. Wie im Beweis zu Fakt betrachten wir eine endliche Erweiterung

Jedes minimale Primideal des Hyperflächenringes, also jedes minimale Primoberideal zu , schneidet wegen der Dimensionsgleichheit auf das Nullideal herunter, d.h. auch die Gesamtabbildung

ist injektiv und endlich und daher ist die Dimension oberhalb von gleich .

Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Zusammenstellung/Textabschnitt

Monoidring/Normalisierung/Eigenschaften dafür/Textabschnitt

Resultante/Einführung/Textabschnitt


Algebra/Endlicher Typ/Noethersche Normalisierung/Textabschnitt


Noetherscher Ring/Graduiert/Z/Modul/Länge/Hilbertfunktion/Einführung/Textabschnitt

Kommutativer Ring/Modul/Global und lokal/Test/Textabschnitt

Krulldimension/Einführung/Textabschnitt


Lokaler noetherscher Ring/Einbettungsdimension/Einführung/Textabschnitt


Kommutativer Ring/Primideal/Symbolische Potenz/Textabschnitt


Lokaler regulärer Ring/Einführung/Textabschnitt



Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Textabschnitt

Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Einführung/Textabschnitt

Rees-Algebra/Einführung/Textabschnitt

Rees-Algebra/Artin-Rees/Textabschnitt

Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Modul/Filtration/Einführung/Textabschnitt


Krullscher Durchschnittssatz/Aus Artin-Rees/Textabschnitt


Komplettierung/Einführung/Textabschnitt

Komplettierung/Modul/Einführung/Textabschnitt

Komplettierung/Noetherscher Ring/Flach/Textabschnitt

Komplettierung/Restklassenring/Textabschnitt



Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Einführung/Textabschnitt






Kommutative Algebra/Projektiver Modul/Einführung/Textabschnitt

Kommutative Algebra/Flacher Modul/Einführung/Textabschnitt


Kommutativer Ring/Komplex/Einführung/Textabschnitt

Kommutativer Ring/Freie Auflösung/Einführung/Textabschnitt

Lokaler regulärer Ring/Homologische Charakterisierung/Textabschnitt



Endlicher Typ/K/Integer/Ganzer Abschluss/Textabschnitt

Normaler noetherscher Bereich/Bewertungsringe/Textabschnitt


Lemma von Hironaka/Textabschnitt

Normaler noetherscher Bereich/Divisorenklassengruppe/Einführung/Textabschnitt



Lokaler regulärer Ring/Faktoriell/Textabschnitt