Kurs:Algebraische Kurven/12/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 4 5 0 5 3 4 3 4 0 4 0 3 6 51




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein algebraisch abgeschlossener Körper.
  2. Die Homogenisierung eines Polynoms .
  3. Ein multiplikatives System in einem kommutativen Ring .
  4. Die Multiplizität zu einem numerischen Monoid .
  5. Eine algebraische Funktion auf einer quasiprojektiven Varietät .
  6. Die Projektion weg von einem Punkt.


Lösung

  1. Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in besitzt.
  2. Es sei

    die homogenen Zerlegung von und sei eine weitere Variable. Dann nennt man das homogene Polynom

    vom Grad die Homogenisierung von .

  3. Die Teilmenge heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
    1. Wenn , dann ist auch

    gelten.

  4. Man nennt das minimale positive Element , , die Multiplizität von .
  5. Eine Funktion

    heißt algebraisch, wenn es für jeden Punkt eine offene affine Umgebung derart gibt, dass die auf eingeschränkte Funktion algebraisch im Punkt ist.

  6. Die Abbildung

    heißt die Projektion weg vom Punkt .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Radikale und maximale Ideale.
  2. Der Satz über Ringhomomorphismen und Morphismen.
  3. Das Lemma von Nakayama.


Lösung

  1. Sei ein Körper und sei eine -Algebra von endlichem Typ. Dann ist jedes Radikal in der Durchschnitt von [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|maximalen Idealen]].
  2. Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und kommutative -[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Algebren vom endlichen Typ]] mit zugehörigen -[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Spektren]] und . Dann ist die durch einen -Algebrahomomorphismus induzierte Spektrumsabbildung

    ein

    Morphismus.
  3. Sei ein lokaler Ring und sei ein [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|endlich erzeugter]] -Modul. Es sei vorausgesetzt. Dann ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises mit der Neilschen Parabel gibt und bestimme numerisch die reelle -Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler .


Lösung

Wir setzen in die Kreisgleichung ein und erhalten

Bei ergibt sich der Wert , bei ergibt sich ein negativer Wert. Nach dem Zwischenwertsatz muss das Polynom also im Intervall eine Nullstelle haben. Da positiv ist, gibt es auch eine reelle Quadratwurzel daraus, und ist ein reeller Schnittpunkt.

Zur numerischen Approximation zu berechnen wir

und

es gibt also einen Schnittpunkt, dessen -Koordinate im Intervall liegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.


Lösung

Eine ebene algebraische Kurve ist nach Definition immer die Nullstelle eines Polynoms in zwei Variablen. Die Gerade sei durch die Gleichung gegeben. Ohne Einschränkung sei , dann kann man nach auflösen und erhält die Geradengleichung . Ein Schnittpunkt muss also sowohl erfüllen als auch die Geradengleichung. Mit der Geradengleichung kann man in durch ersetzen. Dadurch wird zu einem Polynom in der einen Variablen , das wir nennen. Dann ist äquivalent dazu, dass und ist. D.h. die Schnittmenge wird durch das Polynom beschrieben. Bei ist die ganze Gerade der Schnitt. Bei gibt es nach Satz Anhang 1.5 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) nur endlich viele Nullstellen.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper. Zeige, dass in die drei Ideale

und

übereinstimmen.


Lösung

Wir zeigen zuerst , indem wir zeigen, dass die Erzeuger aus im Restklassenring zu gleich sind. Es ist

Ferner ist

und

Die Inklusion ist klar, da ein Erzeuger weggelassen wird.

Wir zeigen schließlich die Inklusion , indem wir zeigen, dass die Erzeuger aus im Restklassenring zu gleich sind. In diesem Restklassenring gilt

und

Somit ist

und


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Neilsche Parabel

und den Punkt

Finde eine algebraische Funktion, die auf definiert ist, aber nicht auf ganz . Tipp: Finde unterschiedliche Faktorzerlegungen von .


Lösung

Das maximale Ideal zum Punkt wird durch beschrieben. Im Koordinatenring gilt

Somit gilt im Quotientenkörper

Dies ist auf der offenen Menge

eine rationale Funktion.

Um zu zeigen, dass diese Funktion nicht auf ganz definiert ist, arbeiten wir mit der Abbildung

Dabei ist

Unter dieser Abbildung wird die betrachtete rationale Funktion zu

Diese Funktion kann nicht auf die affine Gerade fortgesetzt werden, also kann auch nicht auf ganz algebraisch fortgesetzt werden.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring, ein multiplikatives System und ein Ideal. Zeige, dass

ein Ideal ist, dass umfasst.


Lösung

Wegen ist für direkt , also . Somit umfasst das Ideal und enthält insbesondere die . Seien . Dann gibt es mit . Da ein Ideal ist, gehören auch . Somit ist

und wegen bedeutet dies, dass ist. Sei nun und . Es gibt ein mit . Dann ist auch und somit ist auch .


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.


Lösung

Die Existenz der Abbildung ist klar, dem -Algebrahomomorphismus

wird einfach die Hintereinanderschaltung

zugeordnet. Das Urbild der offenen Menge ist dabei

Daher sind generell Urbilder von offenen Mengen wieder offen und die Abbildung ist stetig.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und . Man Erläutere die Korrespondenz zwischen den folgenden Objekten.

  1. Ein -Tupel aus .
  2. Ein Monoidhomomorphismus .
  3. Ein -Algebrahomomorphismus .
  4. Eine Spektrumsabbildung .


Lösung Monoidring/N^r/Körperelemente/Einsetzung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Integrität von Monoidringen.


Lösung

Zunächst ist , wobei die Differenzengruppe zu bezeichnet. Damit ist ein Unterring, und es genügt die Aussage für zu beweisen. Da torsionsfrei ist, ist nach Aufgabe 20.9 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) auch torsionsfrei. Wir können also annehmen, dass eine torsionsfreie kommutative Gruppe ist. Sei nun

Da hier fast alle Koeffizienten sind, spielt sich dies in einer endlich erzeugten Untergruppe der torsionsfreien Gruppe ab. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen ist dann . Wir können also sogar annehmen. Dann ist aber eine Nenneraufnahme eines Polynomringes über einem Integritätsbereich und damit integer.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei die homogene Zerlegung eines Polynoms mit und es sei . Zeige, dass für jedes die Multiplikationsabbildung

einen injektiven, wohldefinierten -Modulhomomorphismus

festlegt.


Lösung

Es ist . Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei mit . Dann ist . Also gehört zum Kern der Gesamtabbildung

Nach dem Satz vom induzierten Homomorphismus gibt es somit einen -Modulhomomorphismus

Zum Nachweis der Injektivität sei mit in , also . Wäre , so würde in ein Monom vom Grad (mit einem von verschiedenen Koeffizienten) vorkommen. Doch dann kämen in Monome vom Grad vor, und somit wäre .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

und

in der projektiven Ebene.


Lösung

Wir müssen eine nichttriviale Lösung des linearen Gleichungssystems

finden. Wir eliminieren und erhalten die Bedingung

Mit

ist

und

Somit ist ein Schnittpunkt der beiden Geraden.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät .


Lösung

Ein Punkt in definiert den Punkt in . Für ein Polynom und gilt für die Homogenisierung . Daher gilt insbesondere für alle Punkte und alle homogenen Polynome aus dem homogenisierten Ideal . Es ist also . Damit liegt insgesamt das kommutative Diagramm

vor (wobei alle Abbildungen injektiv sind). Der projektive Abschluss von wird von einer Menge mit einem homogenen Ideal und mit und beschrieben.

Wir haben die Inklusion zu zeigen, was aus folgt. Da beides homogene Ideale sind, kann man sich auf homogen beschränken. Wir schreiben , so dass kein Vielfaches von ist. Da auf verschwindet und da eingeschränkt auf keine Nullstelle besitzt, folgt, dass auf verschwindet. Wir können also annehmen, dass kein Vielfaches von ist. Dann ist die Dehomogenisierung

die Nullfunktion auf und besitzt den gleichen Grad wie . Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz gehört zu (wir können annehmen, dass ein Radikal ist). Dann gehört aber auch , das sich aus durch Homogenisieren ergibt, zur Homogenisierung von , also zu .