Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 26

Übungsaufgaben

Aufgabe

Die reelle Ebene sei mit der euklidischen Struktur und dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang versehen. Berechne  ${\mathrm{\nabla }}_{F}G=$  zu den Vektorfeldern

$F(x,y)=(x^2-y^3,xy+y^2)$

und

$G(x,y)=(e^{x{y}^2},x^3-x^2{y}^5).$

Aufgabe

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein reelles Intervall und sei

$g(t)=3+t^2,$

die wir als eine riemannsche Metrik auf $I$ interpretieren. Bestimme die vertikale Ableitung (zu dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang) ${\mathrm{\nabla }}_{\partial }(t^3-\sin \left(t^2\right))$.

Aufgabe *

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein reelles Intervall und sei

$g:I⟶{ℝ}_{+}$

eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine riemannsche Metrik auf $I$ interpretieren. Bestimme die horizontalen Schnitte zu dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang auf $I\times ℝ$ (siehe Beispiel 26.4).

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass das Tangentialbündel $TM$ trivial ist, und sei auf $M$ über eine differenzierbare Trivialisierung  $TM\cong M\times {ℝ}^n$  (mithilfe des Standardskalarproduktes auf dem ${ℝ}^n$) eine riemannsche Struktur gegeben (siehe Aufgabe 16.2). Zeige, dass der Levi-Civita-Zusammenhang auf $M$ der triviale Zusammenhang ist.

Aufgabe

Es sei $ℍ$ die Halbebene von Poincaré mit der zugehörigen riemannschen Struktur und dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang. Bestimme die vertikale Ableitung ${\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_1+{\partial }_2}(G)$ zum Vektorfeld

$G(x,y)=(x^5-y^3+2xy,4x^2+y^3).$

Aufgabe *

Es sei ein linearer Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$ auf dem Tangentialbündel $TX$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$ gegeben. Es gebe Basisschnitte $V_1,\dots ,V_n$ mit

${\mathrm{\nabla }}_{V_i}{V}_j-{\mathrm{\nabla }}_{V_j}{V}_i=[V_i,V_j]$

für alle $i,j$. Zeige, dass $\mathrm{\nabla }$ torsionsfrei ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel eines offenen Intervalls  $I\subseteq ℝ$  torsionsfrei ist.

Aufgabe

Es sei  $U\subseteq {ℝ}^n$  offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen $\left(g_{ij}\right)$ gegeben mit der inversen Matrix $\left(g^{kl}\right)$. Es sei $\mathrm{\nabla }$ der durch die Christoffelsymbole

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum _{l=1}^n{g}^{kl}({\partial }_i{g}_{jl}+{\partial }_j{g}_{il}-{\partial }_l{g}_{ij})$

gegebene lineare Zusammenhang, der durch

${\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{\partial }_j=\sum _{k=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\partial }_k$

gekennzeichnet ist. Zeige in zwei Schritten, dass $\mathrm{\nabla }$ die Koszul-Formel aus Lemma 26.10 erfüllt.

1. Für die Basisfelder ${\partial }_i$.
2. Für beliebige Vektorfelder $V,W,Z$.

Aufgabe *

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei $\mathrm{\nabla }$ ein linearer Zusammenhang auf $TM$. Es sei vorausgesetzt, dass $\mathrm{\nabla }$ lokal für Basisfelder ${\partial }_1,\dots ,{\partial }_n$ die Eigenschaft

${\partial }_i⟨{\partial }_j,{\partial }_k⟩=⟨{\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{\partial }_j,{\partial }_k⟩+⟨{\partial }_j,{\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{\partial }_k⟩$

für alle $i,j,k$ erfüllt. Zeige, dass $\mathrm{\nabla }$ metrisch ist.

Das Konzept eines metrischen Zusammenhangs gibt es nicht nur auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit, sondern allgemeiner auf einem riemannschen Vektorbündel.

Es sei $p:E\to M$ ein riemannsches Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$. Ein linearer Zusammenhang auf $E$ heißt metrisch, wenn auf jeder offenen Menge

$D_V⟨s,t⟩=⟨{\mathrm{\nabla }}_{V}s,t⟩+⟨s,{\mathrm{\nabla }}_{V}t⟩$

für ein stetig differenzierbares Vektorfeld $V$ und stetig differenzierbare Schnitte $s,t$ in $E$ gilt.

Aufgabe

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein offenes Intervall und sei

$p:E=I\times {ℝ}^n⟶I$

das triviale Vektorbündel über $I$, das wir mit dem Standardskalarprodukt als riemannsches Vektorbündel auffassen. Zeige, dass ein linearer Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$ auf $E$ genau dann metrisch ist, wenn die Christoffelsymbole die Bedingung (alles bezieht sich auf die einzige Ableitungsrichtung $\partial$)

${\mathrm{\Gamma }}_j^k=-{\mathrm{\Gamma }}_k^j$

für  $1\le j,k\le n$  erfüllen.

Aufgabe

Es sei $p:E\to M$ ein riemannsches Vektorbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ und sei $\mathrm{\nabla }$ ein linearer Zusammenhang auf $E$. Es sei vorausgesetzt, dass $\mathrm{\nabla }$ lokal für die Standardvektorfelder ${\partial }_1,\dots ,{\partial }_n$ und Basisschnitte $s_1,\dots ,s_r$ von $E$ die Eigenschaft

${\partial }_i⟨s_j,s_k⟩=⟨{\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{s}_j,s_k⟩+⟨s_j,{\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{s}_k⟩$

für alle $i,j,k$ erfüllt. Zeige, dass $\mathrm{\nabla }$ metrisch ist.

Für die folgende Aufgabe vergleiche Aufgabe 10.16

Aufgabe

Es sei  $Y\subseteq {ℝ}^n$  eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und $\phi :V\to U\subseteq Y$ eine $C^2$-diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Teilmenge  $U\subseteq Y$  durch eine offene Teilmenge  $V\subseteq {ℝ}^d$,  wobei wir $\phi$ auch als Abbildung nach ${ℝ}^n$ auffassen. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{cccccc}V& \stackrel{{\partial }_i}{⟶}& TV& \stackrel{T({\partial }_j)}{⟶}& TTV& \\ \phi \downarrow & & T(\phi )\downarrow & & \downarrow TT(\phi )& & \\ U& \stackrel{}{⟶}& TU& \stackrel{}{⟶}& TTU& \end{array}$

vorliegt. Wie kann man die Abbildungen in den Diagonalen beschreiben?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein reelles Intervall und sei

$g(t)=1+t^4,$

die wir als eine riemannsche Metrik auf $I$ interpretieren. Bestimme die vertikale Ableitung (zu dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang) ${\mathrm{\nabla }}_{\partial }(3e^{-t^2}+t\cos \left(t\right)-t^5)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne ${\mathrm{\Gamma }}_{12}^1,{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2,{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1,{\mathrm{\Gamma }}_{22}^2$ in Beispiel 18.8.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $ℍ$ die Halbebene von Poincaré mit der zugehörigen riemannschen Struktur und dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang. Bestimme die vertikale Ableitung ${\mathrm{\nabla }}_{xy{\partial }_1-2y^3{\partial }_2}(G)$ zum Vektorfeld

$G(x,y)=(x^4-2y^2,3x^3-\ln (1+x^2{y}^2)).$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $\mathrm{\nabla }$ ein torsionsfreier linearer Zusammenhang auf einer offenen Menge  $U\subseteq {ℝ}^n$.  Durch wie viele unabhängige Christoffelsymbole wird er (in Abhängigkeit von $n$) bestimmt?