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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 26

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Die reelle Ebene sei mit der euklidischen Struktur und dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang versehen. Berechne zu den Vektorfeldern

und


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und sei

die wir als eine riemannsche Metrik auf interpretieren. Bestimme die vertikale Ableitung (zu dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang) .


Aufgabe *

Es sei ein reelles Intervall und sei

eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine riemannsche Metrik auf interpretieren. Bestimme die horizontalen Schnitte zu dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang auf (siehe Beispiel 26.4).


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass das Tangentialbündel trivial ist, und sei auf über eine differenzierbare Trivialisierung (mit Hilfe des Standardskalarproduktes auf dem ) eine riemannsche Struktur gegeben (siehe Aufgabe 16.2). Zeige, dass der Levi-Civita-Zusammenhang auf der triviale Zusammenhang ist.


Aufgabe

Es sei die Halbebene von Poincaré mit der zugehörigen riemannschen Struktur und dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang. Bestimme die vertikale Ableitung zum Vektorfeld


Aufgabe *

Es sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gegeben. Es gebe Basisschnitte mit

für alle . Zeige, dass torsionsfrei ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel eines offenen Intervalls torsionsfrei ist.


Aufgabe

Es sei offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen gegeben mit der inversen Matrix . Es sei der durch die Christoffelsymbole

gegebene lineare Zusammenhang, der durch

gekennzeichnet ist. Zeige in zwei Schritten, dass die Koszul-Formel aus Lemma 26.10 erfüllt.

  1. Für die Basisfelder .
  2. Für beliebige Vektorfelder .


Aufgabe *

Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf . Es sei vorausgesetzt, dass lokal für Basisfelder die Eigenschaft

für alle erfüllt. Zeige, dass metrisch ist.


Das Konzept eines metrischen Zusammenhangs gibt es nicht nur auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit, sondern allgemeiner auf einem riemannschen Vektorbündel.

Es sei ein riemannsches Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Ein linearer Zusammenhang auf heißt metrisch, wenn auf jeder offenen Menge

für ein stetig differenzierbares Vektorfeld und stetig differenzierbare Schnitte in gilt.

Aufgabe

Es sei ein offenes Intervall und sei

das triviale Vektorbündel über , das wir mit dem Standardskalarprodukt als riemannsches Vektorbündel auffassen. Zeige, dass ein linearer Zusammenhang auf genau dann metrisch ist, wenn die Christoffelsymbole die Bedingung (alles bezieht sich auf die einzige Ableitungsrichtung )

für erfüllen.


Aufgabe

Es sei ein riemannsches Vektorbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf . Es sei vorausgesetzt, dass lokal für die Standardvektorfelder und Basisschnitte von die Eigenschaft

für alle erfüllt. Zeige, dass metrisch ist.


Für die folgende Aufgabe vergleiche Aufgabe 10.16

Aufgabe

Es sei eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und eine -diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Teilmenge durch eine offene Teilmenge , wobei wir auch als Abbildung nach auffassen. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

vorliegt. Wie kann man die Abbildungen in den Diagonalen beschreiben?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und sei

die wir als eine riemannsche Metrik auf interpretieren. Bestimme die vertikale Ableitung (zu dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang) .


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne in Beispiel 18.8.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die Halbebene von Poincaré mit der zugehörigen riemannschen Struktur und dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang. Bestimme die vertikale Ableitung zum Vektorfeld


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein torsionsfreier linearer Zusammenhang auf einer offenen Menge . Durch wie viele unabhängige Christoffelsymbole wird er (in Abhängigkeit von ) bestimmt?




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