Kurs:Lineare Algebra/Teil II/1/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 7 4 5 2 8 1 3 4 4 3 3 2 10 63




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Isometrie

    zwischen euklidischen Vektorräumen.

  2. Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
  3. Ein normaler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt .

  4. Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler in einer Gruppe .
  5. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  6. Die -te äußere Potenz zu einem -Vektorraum (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).


Lösung

  1. Die Abbildung heißt eine Isometrie, wenn für alle gilt:
  2. Die Bilinearform

    heißt nicht ausgeartet, wenn für alle , die induzierten Abbildungen

    und für alle , die induzierten Abbildungen

    nicht die Nullabbildung sind.

  3. Ein Endomorphismus

    heißt normal, wenn und vertauschbar sind.

  4. Die Quotientenmenge

    mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo .

  5. Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass

    gilt.

  6. Man nennt den -Vektorraum das -te Dachprodukt von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
  2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
  3. Der Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.


Lösung

  1. Es sei ein euklidischer Vektorraum und eine Orthonormalbasis von . Es sei

    eine lineare Abbildung und die beschreibende Matrix zu bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist genau dann eine Isometrie, wenn

    ist.
  2. Sei eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei eine Basis von . Es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

    seien alle von verschieden für . Es sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

    Dann ist vom Typ

    .
  3. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

    ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

    1. ist asymptotisch stabil.
    2. Zu jedem konvergiert die Folge , , gegen .
    3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , gegen konvergiert.
    4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner als .


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von erzeugten Untervektorraum im .


Lösung

Die Vektoren und stehen offenbar senkrecht auf der gegebenen Geraden und sind zueinander linear unabhängig. Daher und aus Dimensionsgründen ist der Orthonormalraum gleich


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Determinante von gleich oder ist. Ferner besitze die Eigenschaft, dass zueinander orthogonale Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass eine Isometrie ist.


Lösung

Es sei eine Orthonormalbasis und . Nach Voraussetzung sind diese Vektoren und stehen paarweise senkrecht aufeinander. Es sei

die zugehörige Orthonormalbasis. Wir betrachten die durch

gegebene lineare Abbildung . Diese ist nach Lemma 33.7 (oder nach Aufgabe *****) eine Isometrie und hat Determinante oder . Wir schreiben

wobei die Form besitzt. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist die Determinante von ebenfalls oder . Die Orthogonalitätsbedingung gilt mit und auch für . Es genügt somit zu zeigen, dass eine Isometrie ist, wozu es genügt, zu zeigen, dass alle betragsmäßig gleich sind. Nehmen wir an, dass es ein mit

gibt. Wegen der Eigenschaft der Determinante ist

und daher gibt es auch ein mit

Die Vektoren und sind wegen

orthogonal zueinander. Ihre Bilder und sind aber wegen

nicht orthogonal zueinander.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch

gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.


Lösung

Es ist ein Punkt der Geraden, die durch

parametrisiert wird. Auf dieser Geraden steht der Vektor senkrecht, daher lautet der Ansatz

bzw.

Dies führt auf

und somit ist

und

Der Lotfußpunkt ist also

und der Abstand ist


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Kathetensatz vektoriell.


Lösung

Wir setzen und . Der Verbindungsvektor von nach ist dann gleich . Wir setzen den Höhenfußpunkt als

mit einem und den Richtungsvektor der Höhe als

an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf

und somit ist

Daher ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ . Zeige


Lösung

Es sei ein Untervektorraum der Dimension , auf dem die eingeschränkte Bilinearform positiv definit ist. Einen solchen Untervektorraum muss es nach der Definition des Typs geben. Nach der Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen besitzt mindestens die Dimension . Da dies ein Untervektorraum von ist, auf dem die Form positiv definit ist, gilt


Aufgabe (8 (4+4) Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

die direkte Summe der Untervektorräume und . Es seien

und

lineare Abbildungen und

die Summe davon.

  1. Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. und stehen senkrecht aufeinander. Zeige
  2. Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.


Lösung

  1. Es seien und

    und

    sei ihre Summenzerlegung. Dann ist

    wobei wir für die vierte und die sechste Gleichung die Orthogonalität verwendet haben. Die Summe erfüllt also die für den adjungierten Endomorphismus charakteristische Eigenschaft, daher ist es der adjungierte Endomorphismus.

  2. Wir betrachten die Matrix als lineare Abbildung von nach . Diese Abbildung besitzt die beiden Eigenwerte und mit den Eigenvektoren und . Mit und und und ist

    Da und reelle Streckungen sind, stimmen sie mit ihren adjungierten Endomorphismen überein, und somit ist die Summe der adjungierten Endomorphismen gleich . Es ist aber einerseits

    und andererseits

    so dass nicht der adjungierte Endomorphismus ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.


Lösung

Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da ist und damit

aber

ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Menge mit Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf , die

  1. reflexiv
  2. symmetrisch
  3. reflexiv und symmetrisch

sind.


Lösung

Sei . Eine Relation ist gegeben durch eine bestimmte Menge von geordneten Paaren , . Daher kann man sich eine Relation auf so vorstellen, dass in einer -Tabelle gewisse Stellen angekreuzt werden und andere nicht.

Bei einer beliebigen Relation gibt es keine weiteren Bedingungen, so dass es Relationen gibt (das war nicht gefragt).

Bei einer reflexiven Relation muss auf der Diagonalen immer ein Kreuz sein, ansonsten hat man keine Bedingung, es gibt also freie Stellen und daher reflexive Relationen.

Bei einer symmetrischen Relation hat man oberhalb der Diagonalen (einschließlich dieser) volle Freiheiten (unterhalb der Diagonalen muss sich der Eintrag wiederholen). Da gibt es Plätze und somit gibt es symmetrische Relationen.

Bei einer symmetrischen und reflexiven Relation hat man echt oberhalb der Diagonalen volle Wahlfreiheiten. Davon gibt es Plätze, so dass es symmetrische und reflexive Relationen gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper (mit Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in


Lösung

Es sei eine invertierbare Matrix über . Dies bedeutet, dass die Spaltenvektoren eine Basis von bilden und dies bedeutet wiederum, dass die einen -dimensionalen Untervektorraum erzeugen. Ein -dimensionaler Untervektorraum besitzt Elemente. Wenn fixiert sind, so gibt es Vektoren , die sicher stellen, dass der von den Vektoren erzeugte Untervektorraum eine Dimension mehr hat. Daher ist die Gesamtzahl von solchen Matrizen gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Lösung

Die Vektoren

besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix

deren Determinante ist

Daher repräsentiert diese Basis die Standardorientierung.

Die Vektoren

besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix

deren Determinante ist

Daher repräsentiert diese Basis ebenfalls die Standardorientierung, und damit repräsentieren beide Basen die gleiche Orientierung.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein Endomorphismus

mit endlicher Ordnung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum stabil ist.


Lösung

Da endliche Ordnung besitzt, gibt es ein mit . Damit ist auch

für alle und somit kommen in der Potenzfolge , , überhaupt nur endlich viele verschiedene Endomorphismen vor. Es sei . Dann ist

für alle und somit ist die Folge normbeschränkt, also stabil.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine spaltenstochastische Matrix. Zeige, dass das Bild eines jeden Verteilungsvektors wieder ein Verteilungsvektor ist.


Lösung

Es sei

spaltenstochastisch, also und für alle und es sei ein Verteilungsvektor, also und . Wegen der Nichtnegativität aller Einträge hat auch der Bildvektor nichtnegative Einträge. Ferner ist


Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Lösung

Es ist


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Satz über Basen in einem Dachprodukt zu einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt.  Da die Elemente der Form nach Fakt *****  (1) ein Erzeugendensystem von bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes gibt es eine Darstellung , daher kann man nach Fakt *****  (4) die als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Sei also gegeben mit . Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Fakt *****  (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Fakt *****  (2) das Dachprodukt . Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Fakt *****, dass es zu jeder -elementigen Teilmenge (mit ) eine -lineare Abbildung

gibt, die nicht auf abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf abbildet. Dazu genügt es nach Fakt *****, eine alternierende multilineare Abbildung

anzugeben mit , aber mit für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei der von den , , erzeugte Untervektorraum von und der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der , , eine Basis von , und die Bilder von allen anderen -Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung

Diese Abbildung ist nach Fakt ***** multilinear und nach Fakt ***** alternierend. Nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist genau dann, wenn die Bilder von in keine Basis bilden.