Lösung
- Die Abbildung heißt eine Isometrie, wenn für alle gilt:
-
- Die Bilinearform
-
heißt nicht ausgeartet, wenn für alle , die induzierten Abbildungen
-
und für alle , die induzierten Abbildungen
-
nicht die
Nullabbildung
sind.
- Ein
Endomorphismus
-
heißt
normal,
wenn und
vertauschbar
sind.
- Die
Quotientenmenge
-
mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo .
- Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass
-
gilt.
- Man nennt den -Vektorraum das -te Dachprodukt von .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
- Das
Minorenkriterium
für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
- Der
Charakterisierungssatz
für asymptotisch stabile Endomorphismen.
Lösung
- Es sei ein euklidischer Vektorraum und eine Orthonormalbasis von . Es sei
-
eine lineare Abbildung und die beschreibende Matrix zu bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist genau dann eine Isometrie,
wenn
-
ist.
- Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei eine
Basis
von . Es sei die
Gramsche Matrix
zu bezüglich dieser Basis. Die Determinanten der
quadratischen
Untermatrizen
-
seien alle von verschieden für . Es sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
-
Dann ist vom
Typ
.
- Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und
-
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
- ist asymptotisch stabil.
- Zu jedem konvergiert die Folge , , gegen .
- Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , gegen konvergiert.
- Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner als .
Lösung
Lösung
Es sei eine Orthonormalbasis und . Nach Voraussetzung sind diese Vektoren und stehen paarweise senkrecht aufeinander. Es sei
-
die zugehörige Orthonormalbasis. Wir betrachten die durch
-
gegebene lineare Abbildung . Diese ist nach
Lemma 33.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
(oder nach
Aufgabe .)
eine
Isometrie
und hat Determinante
oder .
Wir schreiben
-
wobei die Form besitzt. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist die Determinante von ebenfalls
oder .
Die Orthogonalitätsbedingung gilt mit und auch für . Es genügt somit zu zeigen, dass eine Isometrie ist, wozu es genügt, zu zeigen, dass alle betragsmäßig gleich sind. Nehmen wir an, dass es ein mit
-
gibt. Wegen der Eigenschaft der Determinante ist
-
und daher gibt es auch ein mit
-
Die Vektoren
und
sind wegen
-
orthogonal zueinander. Ihre Bilder
und
sind aber wegen
-
nicht orthogonal zueinander.
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch
-
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
Lösung
Es ist ein Punkt der Geraden, die durch
-
parametrisiert wird. Auf dieser Geraden steht der Vektor senkrecht, daher lautet der Ansatz
-
bzw.
-
Dies führt auf
-
und somit ist
-
und
-
Der Lotfußpunkt ist also
-
und der Abstand ist
-
Beweise den Kathetensatz vektoriell.
Lösung
Wir setzen
und
.
Der Verbindungsvektor von nach ist dann gleich . Wir setzen den Höhenfußpunkt als
-
mit einem und den Richtungsvektor der Höhe als
-
an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf
und somit ist
-
Daher ist
Lösung
Lösung
- Es seien und
-
und
-
sei ihre Summenzerlegung. Dann ist
wobei wir für die vierte und die sechste Gleichung die Orthogonalität verwendet haben. Die Summe erfüllt also die für den adjungierten Endomorphismus charakteristische Eigenschaft, daher ist es der adjungierte Endomorphismus.
- Wir betrachten die Matrix als lineare Abbildung von nach . Diese Abbildung besitzt die beiden Eigenwerte
und
mit den Eigenvektoren
und .
Mit
und
und
und
ist
-
Da
und
reelle Streckungen sind, stimmen sie mit ihren adjungierten Endomorphismen überein, und somit ist die Summe der adjungierten Endomorphismen gleich . Es ist aber einerseits
-
und andererseits
-
sodass nicht der adjungierte Endomorphismus ist.
Bestimme, ob die durch die
Gaußklammer
gegebene Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist oder nicht.
Lösung
Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da ist und damit
-
aber
-
ist.
Es sei eine Menge mit Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf , die
- reflexiv
- symmetrisch
- reflexiv und symmetrisch
sind.
Lösung
Es sei . Eine Relation ist gegeben durch eine bestimmte Menge von geordneten Paaren
, .
Daher kann man sich eine Relation auf so vorstellen, dass in einer -Tabelle gewisse Stellen angekreuzt werden und andere nicht.
Bei einer beliebigen Relation gibt es keine weiteren Bedingungen, sodass es Relationen gibt (das war nicht gefragt).
Bei einer reflexiven Relation muss auf der Diagonalen immer ein Kreuz sein, ansonsten hat man keine Bedingung, es gibt also freie Stellen und daher reflexive Relationen.
Bei einer symmetrischen Relation hat man oberhalb der Diagonalen (einschließlich dieser) volle Freiheiten (unterhalb der Diagonalen muss sich der Eintrag wiederholen). Da gibt es
Plätze und somit gibt es symmetrische Relationen.
Bei einer symmetrischen und reflexiven Relation hat man echt oberhalb der Diagonalen volle Wahlfreiheiten. Davon gibt es Plätze, sodass es symmetrische und reflexive Relationen gibt.
Lösung
Es sei eine
invertierbare Matrix
über . Dies bedeutet, dass die Spaltenvektoren eine
Basis
von bilden und dies bedeutet wiederum, dass die einen -dimensionalen Untervektorraum erzeugen. Ein -dimensionaler Untervektorraum besitzt Elemente. Wenn fixiert sind, so gibt es Vektoren , die sicher stellen, dass der von den Vektoren erzeugte Untervektorraum eine Dimension mehr hat. Daher ist die Gesamtzahl von solchen Matrizen gleich
Bestimme, ob die beiden Basen des ,
-
die gleiche
Orientierung
repräsentieren oder nicht.
Lösung
Die Vektoren
-
besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix
-
deren Determinante ist
-
Daher repräsentiert diese Basis die Standardorientierung.
Die Vektoren
-
besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix
-
deren Determinante ist
-
Daher repräsentiert diese Basis ebenfalls die Standardorientierung, und damit repräsentieren beide Basen die gleiche Orientierung.
Lösung
Lösung
Drücke das
Dachprodukt
in der Standardbasis von aus.
Lösung
Es ist
Beweise den Satz über Basen in einem Dachprodukt zu einem endlichdimensionalen
-
Vektorraum
.
Lösung
Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt. Da die Elemente der Form nach
Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (1)
ein
Erzeugendensystem
von bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes gibt es eine Darstellung , daher kann man nach
Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (4)
die als
Linearkombinationen
von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also gegeben mit . Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach
Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (3)
(unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens)
erreichen, dass die Indizes
(nicht notwendigerweise streng)
aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach
Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (2)
das Dachprodukt . Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.
Zum Nachweis der
linearen Unabhängigkeit
zeigen wir unter Verwendung von
Lemma 14.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)),
dass es zu jeder -elementigen Teilmenge
(mit )
eine -lineare Abbildung
-
gibt, die nicht auf abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf abbildet. Dazu genügt es nach
Satz 57.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)),
eine
alternierende
multilineare Abbildung
-
anzugeben mit
,
aber mit
für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei der von den
, ,
erzeugte Untervektorraum
von und
der
Restklassenraum.
Dann bilden die Bilder der
, ,
eine Basis von , und die Bilder von allen anderen -Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf geht. Wir betrachten nun die
zusammengesetzte
Abbildung
-
Diese Abbildung ist nach
Satz 16.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
multilinear und nach
Satz 16.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
alternierend. Nach
Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist genau dann, wenn die Bilder von in keine Basis bilden.