Kurs:Lineare Algebra/Teil II/11/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 4 5 0 4 0 6 5 4 4 3 3 12 0 60




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Skalarprodukt auf einem -Vektorraum .
  2. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem -Vektorraum bezüglich einer Basis von .
  3. Eine Relation zwischen den Mengen und .
  4. Eine Orientierung auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum .
  5. Die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius in einem metrischen Raum .
  6. Eine spaltenstochastische Matrix.


Lösung

  1. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

    mit folgenden Eigenschaften:

    1. Es ist

      für alle , und

      für alle , .

    2. Es ist

      für alle .

    3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.
  2. Die -Matrix

    heißt die Gramsche Matrix von bezüglich der Basis.

  3. Eine Relation zwischen und ist eine Teilmenge .
  4. Eine Orientierung auf ist eine Äquivalenzklasse von Basen von unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.
  5. Die offene Kugel zum Mittepunkt und Radius ist durch

    definiert.

  6. Eine reelle quadratische Matrix

    heißt spaltenstochastisch, wenn alle Einträge

    sind und für jede Spaltensumme (also jedes )

    gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eigenwerte bei einer Isometrie

    auf einem endlichdimensionalen

    -Vektorraum.
  2. Der Satz über die Charakterisierung der Mittelsenkrechten mit einer Abstandsbedingung.
  3. Der Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.


Lösung

  1. Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und sei
    eine lineare Isometrie. Dann besitzt jeder Eigenwert von den Betrag .
  2. Es seien verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Dann besteht die Mittelsenkrechte zu und genau aus allen Punkten, die zu und den gleichen Abstand haben.
  3. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

    ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

    1. ist asymptotisch stabil.
    2. Zu jedem konvergiert die Folge , , gegen .
    3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , gegen konvergiert.
    4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner als .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige


Lösung

Es ist

Division durch liefert das Resultat.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

als lineare Abbildung

Bestimme die Eigenwerte und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von .


Lösung

Das charakteristische Polynom von ist

Die Nullstellen davon sind

und dies sind die (komplexen) Eigenwerte von . Der Eigenraum zu ergibt sich als Kern von . Dieser ist und ist ein Eigenvektor.

Der Eigenraum zu ergibt sich als Kern von . Dieser ist und ist ein Eigenvektor. Wegen

stehen die beiden Eigenvektoren senkrecht aufeinander. Beide haben die Norm , so dass und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix derart, dass die zugehörige lineare Abbildung

winkeltreu ist. Zeige


Lösung

Wir führen Induktion über den Index der Spalten, wir zeigen also, dass in den ersten Spalten oberhalb der Diagonalen nur stehen. Für die erste Spalte ist dies klar. Sei also nun als Induktionsvoraussetzung schon bewiesen, dass in den ersten Spalten oberhalb der Diagonalen nur stehen. Wir betrachten die -te Spalte

Da winkeltreu ist, ist insbesondere

Die Spalten der Matrix sind . Daher ist für

unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung

d.h. auch die Einträge in der -Spalte oberhalb der Diagonalen sind .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Typ der Matrix


Lösung

Die relevanten Minoren der Matrix

sind

und

In der Folge gibt es zwei Vorzeichenwechsel, daher ist der Typ gleich .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei eine Menge und eine Relation auf , die reflexiv und transitiv sei.

  1. Zeige, dass auf durch , falls und ist, eine Äquivalenzrelation definiert wird.
  2. Es sei die Quotientenmenge zu zur Äquivalenzrelation aus (1). Zeige, dass durch , falls , eine wohldefinierte Relation auf gegeben ist.
  3. Zeige, dass die Relation auf aus (2) eine Ordnungsrelation ist.


Lösung

  1. Die Reflexivität ist klar. Zur Symmetrie: Sei , also und . Somit gilt auch . Zur Transitivität: Sei und . Dies bedeutet und und und . Die Transitivität von liefert und . Dies bedeutet .
  2. Es sei und und es gelte . Da zu und zu äquivalent sind, gilt insbesondere und . Eine doppelte Anwendung der Transitivität von liefert , was die Wohldefiniertheit besagt.
  3. Nach Definition von auf gilt genau dann, wenn gilt. Somit ergibt sich die Reflexivität und die Transitivität von unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften von . Zur Antisymmetrie: Sei und . Dies bedeutet und , was wiederum , also , bedeutet.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von genau die Teilmengen der Form

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl sind.


Lösung

Eine Teilmenge der Form ist aufgrund der Distributivgesetze eine Untergruppe. Sei umgekehrt eine Untergruppe. Bei kann man nehmen, so dass wir voraussetzen dürfen, dass neben noch mindestens ein weiteres Element enthält. Wenn negativ ist, so muss die Untergruppe auch das Negative davon, also enthalten, welches positiv ist. D.h. enthält auch positive Zahlen. Sei nun die kleinste positive Zahl aus . Wir behaupten . Dabei ist die Inklusion klar, da mit alle (positiven und negativen) Vielfachen von dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei beliebig. Nach der Division mit Rest gilt

Wegen und ist auch . Nach der Wahl von muss wegen gelten: Dies bedeutet und damit , also .


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe zu einer Menge mit Elementen.

a) Zeige, dass es in Elemente der Ordnung gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ist.


Lösung

Die Menge sei .

a) Die zyklische Permutation

hat offenbar die Ordnung , da zu jedem Element die Potenzen für die Elemente von durchlaufen.

b) Sei und betrachte die Permutation

Die Zahlen und sind wieder an ihrer Stelle, wenn man eine Potenz von mit einem geraden Exponenten anwendet, und die Zahlen und sind wieder an ihrer Stelle, wenn der Exponent ein Vielfaches von ist. Die Ordnung ist also .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Definiere einen injektiven Gruppenhomomorphismus

von der Gruppe der Isometrien auf dem in die Gruppe der eigentlichen Isometrien auf dem .


Lösung

Wir betrachten die Abbildung

wobei die beiden für eine Nullspalte bzw. eine Nullzeile der Länge stehen. Die orthogonale Matrix wird also auf eine Blockmatrix abgebildet, wobei die Matrix selbst einen -Block und die Determinante einen -Block bildet. Dies Zuordnung ist injektiv, da sich aus dem Bild rekonstruieren lässt. Die Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, da Blockmatrizen blockweise multipliziert werden. Die Matrix ist wieder orthogonal und ihre Determinante ist nach dem Entwicklungssatz gleich

da die Determinante von nach Fakt ***** gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Lösung

Sei

Wegen . ist . Seien . Das bedeutet und . Dann ist

und daher .

Sei nun und beliebig. Dann ist

also ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Football field.svg

Bestimme die eigentliche und die uneigentliche Symmetriegruppe eines Fußballfeldes. Dabei soll zu jeder Symmetrie die Ordnung angegeben werden.


Lösung

Eigentliche Isometrien der Ebene sind Drehungen, somit sind lediglich die Identität (mit Ordnung ) und die Halbdrehung (mit Ordnung ) eigentliche Symmetrien des Fußballfeldes. Im uneigentlichen Fall kommen noch Achsenspiegelungen dazu, nämlich die Achsenspiegelung an der Mittellinie und die Achsenspiegelung an der Achse durch die Tormittelpunkte. Diese beiden haben die Ordnung . Die Hintereinanderschaltung dieser beiden Spiegelungen ist die Halbdrehung.


Aufgabe (12 (6+1+5) Punkte)

Wir wollen Aussagen über die Determinante einer spaltenstochastischen -Matrix machen.

  1. Zeige, dass für die Determinante einer spaltenstochastischen Matrix die Beziehung

    gilt.

  2. Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix, die nicht die Einheitsmatrix sei, mit
  3. Es sei und besitze zusätzlich die Eigenschaft, dass es eine Zeile mit ausschließlich positiven Einträgen gebe. Zeige


Lösung

  1. Nach Fakt ***** ist eine spaltenstochastische Matrix stabil, d.h. die Folge , , ist beschränkt. Ferner ist die Menge der spaltenstochastischen Matrizen abgeschlossen im Raum aller Matrizen, da die Summenbedingung und die Bedingung, dass alle Einträge sind, durch stetige Funktionen ausgedrückt werden können. Nach dem Satz von Heine-Borel ist die Menge der spaltenstochastischen Matrizen kompakt. Die Determinante ist als Polynomfunktion ebenfalls stetig und dies gilt auch für den Betrag. Daher ist die Menge

    Fakt ***** ebenfalls kompakt und beschränkt. Nach dem Determinantenmultiplikationssatz ist

    und

    Somit kann diese Folge nur bei

    beschränkt sein.

  2. Die Matrix ist spaltenstochastisch und der Betrag ihrer Determinante ist .
  3. Nach Fakt ***** konvergiert unter der gegebenen Voraussetzung für jede Startverteilung die Folge , , gegen die eindeutig bestimmte Eigenverteilung . Dies gilt insbesondere für die Standardverteilungen . Da die -te Spalte der Matrix ist, konvergiert gegen diejenige Matrix, nennen wir sie , deren sämtliche Spalten gleich der Eigenverteilung sind. Wegen der Stetigkeit der Determinante konvergiert die Folge , , gegen die Determinante dieser Grenzmatrix . Wegen , der Spaltengleichheit und Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist die Determinante von gleich , daher sind die Werte ausgeschlossen und es ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung