Kurs:Riemannsche Flächen/1/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	10	4	2	6	4	5	4	5	4	2	4	4	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Decktransformation zu einer Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$.
2. Ein Gitter in den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$.
3. Eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$.
4. Eine holomorphe Differentialform ${}\omega$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$.
5. Der Hauptdivisor zu einer meromorphen Funktion ${}f\neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$.
6. Die Jacobische Varietät zu einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche ${}X$.

Lösung Riemannsche Flächen/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Verzweigungsverhalten bei endlichen holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen.
2. Der Residuensatz.
3. Der Satz von Abel-Jacobi.

Lösung

1. Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}Y$ zusammenhängend. Dann ist die Summe ${}\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant, also unabhängig von ${}y\in Y$.
2. Es sei ${}X$ eine kompakte riemannsche Fläche, es sei

   ${}D=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\subseteq X\,$

   eine endliche Teilmenge in ${}X$ und ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X\setminus D$.

   Dann ist

   ${}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(\omega \right)=0\,.$

3. Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung

   $\operatorname {DKG} {\left(X\right)}_{0}\longrightarrow J(X),\,[\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}]\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

   von der Divisorenklassengruppe auf ${}X$ vom Grad ${}0$ in die Jacobische Varietät ${}J(X)$ ein

   Gruppenisomorphismus.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Inwiefern ist eine riemannsche Fläche ein eindimensionales, inwiefern ein zweidimensionales Objekt?

Lösung Riemannsche Fläche/Dimensionsfrage/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die holomorphe Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}+z.$

Für welche Punkte ${}P\in {\mathbb {C} }$ ist die Tangentialabbildung

$T_{P}{\mathbb {C} }\longrightarrow T_{\varphi (P)}{\mathbb {C} }$

bijektiv?

Lösung

In der gegebenen Situation wird die Tangentialabbildung einfach durch das total Differential, also durch die Ableitung beschrieben. Da die Tangentialabbildung eine lineare Abbildung von ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}{\mathbb {C} }$ ist, ist bijektiv äquivalent zu ${}\neq 0$. Es ist

${}(z^{3}+z)'=3z^{2}+1\,,$

die Nullstellen der Ableitung sind

${}z=\pm {\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}\,,$

in diesen beiden Punkten ist also die Tangentialabbildung nicht bijektiv.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass

${}V_{+}{\left(X^{5}+XY^{4}+XYZ^{3}+YZ^{4}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

eine kompakte riemannsche Fläche definiert.

Lösung

Wir verwenden Fakt *****, es ist also zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen von

${}F=X^{5}+XY^{4}+XYZ^{3}+YZ^{4}\,$

auf keinem Punkt von ${}V_{+}(F)$ simultan verschwinden. Die partiellen Ableitungen sind

${}{\frac {\partial F}{\partial X}}=5X^{4}+Y^{4}+YZ^{3}\,,$

${}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=4XY^{3}+XZ^{3}+Z^{4}\,,$

${}{\frac {\partial F}{\partial Z}}=3XYZ^{2}+4YZ^{3}\,.$

Es sei ${}(x,y,z)\in V_{+}(F)$ ein Punkt, in dem alle partiellen Ableitungen ${}0$ sind. Dann ist nach der letzten Ableitung

${}0=3xyz^{2}+4yz^{3}=yz^{2}{\left(3x+4z\right)}\,.$

Bei ${}y=0$ folgt aus der ersten Bedingung ${}x=0$ und daraus aus der zweiten Bedingung auch ${}z=0$, was kein projektiver Punkt ist. Bei ${}z=0$ folgt aus der zweiten Bedingung ${}xy=0$, woraus aus der ersten Bedingung ${}x=y=0$ folgt, was schon ausgeschlossen ist. Also verbleibt noch die Möglichkeit

${}z=-{\frac {3}{4}}x\,.$

Wegen der Homogenität müssen wir nur noch Punkte der Form ${}\left(4,\,y,\,-3\right)$ betrachten. Die erste Ableitung führt auf

${}y^{4}-27y+1280=0\,$

und die zweite auf

${}16y^{3}-27=0\,.$

Diese letzte Bedingung nach ${}y^{3}$ aufgelöst und in die erste eingesetzt führt auf

${}y{\left({\frac {27}{16}}-27\right)}+1280=0\,,$

also

${}y{\frac {-405}{16}}=-1280\,$

bzw.

${}y={\frac {1280\cdot 16}{405}}\,.$

Die dritte Potenz davon ist aber sicher nicht gleich ${}{\frac {27}{16}}$. Es gibt also keinen Punkt ${}\neq (0,0,0)$, wo alle Ableitungen verschwinden.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}P=z^{2}+z+1\in {\mathbb {C} }[Z]$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass ${}\varphi \colon \varphi ^{-1}(U)\rightarrow U$ eine Überlagerung ist.

Lösung

Es ist ${}P'=2z+1$, d.h. die einzige Nullstelle der Ableitung ist bei ${}z=-{\frac {1}{2}}$. Es ist

${}P{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}+1={\frac {3}{4}}\,.$

Wir setzen ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{{\frac {3}{4}}\}$ und behaupten, dass

$\varphi ^{-1}(U)={\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {1}{2}}\}\longrightarrow U$

eine Überlagerung ist. Für jeden Punkt ${}u\in U$ gibt es eine Faktorzerlegung

${}P-u=c(z-\alpha )(z-\beta )\,.$

Wegen ${}\alpha ,\beta \neq -{\frac {1}{2}}$ und da die Ableitung nicht ${}0$ ist folgt ${}\alpha \neq \beta$. Jeder Punkt aus ${}U$ besitzt also zwei Urbildpunkte. Da in jedem Punkt ${}v\in \varphi ^{-1}(U)$ ein lokaler Homöomorphismus vorliegt, liegt eine endliche Überlagerung mit Blätterzahl ${}2$ vor.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Ausbreitungsraum zur Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf ${}\mathbb {R}$ kein Hausdorffraum ist.

Lösung

Wir betrachten in ${}0\in \mathbb {R}$ einerseits den Keim der Nullfunktion und andererseits den Keim der Funktion ${}f$, die im Negativen die Nullfunktion und im Positiven die Identität ist. Diese Funktion ist stetig, da sie ja im Nullpunkt den Wert ${}0$ besitzt. Wir behaupten, dass man die beiden Keime ${}(0,0)$ und ${}(0,f)$ im Ausbreitungsraum nicht durch offene Mengen trennen kann. Jede offene Umgebung von ${}(0,0)$ im Ausbreitungsraum ist von der Form ${}(U,g)$ mit einer offenen Umgebung ${}U$ des Nullpunktes und einer darauf definierten stetigen Funktion ${}g$, die im Halm zur Nullfunktion wird. Daher ist ${}g$ eingeschränkt auf einer eventuell kleineren offenen Umgebung ${}U'$ die Nullfunktion. Jede offene Umgebung von ${}(0,f)$ im Ausbreitungsraum ist von der Form ${}(V,h)$ mit einer offenen Umgebung ${}V$ des Nullpunktes und einer darauf definierten stetigen Funktion ${}h$, die im Halm mit ${}f$ übereinstimmt und daher auf der negativen Seite eines offenen Intervalls ${}V'$ des Nullpunkes die Nullfunktion wird. Für die Punkte ${}x$ aus ${}U'\cap V'\cap \mathbb {R} _{-}$ gilt daher ${}(x,0)\in (U',0)\cap (V',h)$ und es gibt keine disjunkten Umgebungen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega =df$ eine exakte Differentialform auf ${}M$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$ ein stetig differenzierbarer Weg in ${}M$. Zeige, dass für das Wegintegral die Beziehung

${}\int _{\gamma }\omega =f(\gamma (b))-f(\gamma (a))\,$

gilt.

Lösung

Nach Voraussetzung ist

${}\omega =df\,$

mit einer differenzierbaren Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Wir wenden die Kettenregel auf

$[a,b]{\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$

an und erhalten damit und mit dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t),\gamma '(t))dt\\&=\int _{a}^{b}(df)_{\gamma (t)}(\gamma '(t))dt\\&=\int _{a}^{b}(f(\gamma (t))'dt\\&=f(\gamma (b))-f(\gamma (a)).\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme für die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in ${}1$ den Hauptteil ${}{\frac {3}{z(z-1)^{2}}}$ und in ${}4$ den Hauptteil ${}-{\frac {1}{z(z-4)}}$ besitzt.

Lösung

Wir bringen die Hauptteile mit Hilfe der Partialbruchzerlegung auf eine Form, woraus die Realisierung als rationale Funktion ablesbar ist. Für den Punkt ${}1$ machen wir den Ansatz

${}{\frac {3}{z(z-1)^{2}}}={\frac {a}{z}}+{\frac {b(z-1)+c}{(z-1)^{2}}}\,$

bzw.

${}3=a(z-1)^{2}+{\left(b(z-1)+c\right)}z\,.$

Mit ${}z=0$ ergibt sich ${}a=3$ und mit ${}z=1$ ergibt sich ${}c=3$. Betrachten von ${}z^{2}$ ergibt ${}b=-3$. Da der erste Summand ${}{\frac {a}{z}}$ in ${}1$ holomorph ist, kann man den vorgegebenen Hauptteil als

${}{\frac {-3(z-1)+3}{(z-1)^{2}}}=-3{\frac {1}{z-1}}+3{\frac {1}{(z-1)^{2}}}\,$

schreiben. Diese rationale Funktion realisiert den ersten Hauptteil.

Für den Punkt ${}4$ machen wir den Ansatz

${}-{\frac {1}{z(z-4)}}={\frac {r}{z}}+{\frac {s}{(z-4)}}\,$

bzw.

${}-1=r(z-4)+sz\,.$

Es folgt ${}r={\frac {1}{4}}$ und ${}s=-r=-{\frac {1}{4}}$. Also ist ${}-{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{(z-4)}}$ ebenfalls ein repräsentierender Hauptteil. Die Summe dieser rationalen Funktionen realisiert insgesamt die Hauptteilverteilung.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen kompakten riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und einer meromorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}Y$ mit dem zugehörigen Divisor ${}D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}$ der zurückgezogene Divisor ${}\varphi ^{*}D$ im Allgemeinen nicht der Divisor (und auch nicht die Divisorklasse) zur zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist.

Lösung

Wir betrachten die endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},\,z\longmapsto z^{2}.$

Die meromorphe Differentialform ${}dz$ besitzt auf der projektiven Geraden den Divisor ${}-2\{\infty \}$. Der zurückgezogene Divisor unter ${}\varphi$ dazu ist ${}-4\{\infty \}$. Die zurückgezogene Differentialform ist

${}\varphi ^{*}dz=dw^{2}=2wdw\,$

mit dem zugehörigen Divisor ${}1\{0\}-3\{\infty \}$. Das sind verschiedene Divisoren und verschiedene Divisorenklassen, da ihr Grad verschieden ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Formuliere den Satz von Riemann-Roch ohne erste Kohomologie.

Lösung

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ mit der zugehörigen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$. Es sei ${}K$ ein kanonischer Divisor von ${}X$. Dann ist

${}h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))-h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))=\operatorname {Grad} \,(D)+1-g\,.$

Dies beruht darauf, dass aufgrund der Serre-Dualität die Vektorräume ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))$ und ${}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D),\Omega _{X}\right)}$ dual zueinander sind und deshalb die gleiche Dimension besitzen. Ferner ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D),\Omega _{X}\right)}&=\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D)\otimes \Omega _{X}\right)}\\&=\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(K)\right)}\\&=\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D)\right)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Es sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ vom Grad ${}4$ und sei ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe auf ${}X$.

1. Zeige, dass ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ die Dimension ${}4$ besitzt.
2. Es sei ${}x,y,z,w$ eine Basis von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$. Zeige, dass es in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(2D)\right)}$ zumindest zwei linear unabhängige Beziehungen zwischen den Monomen in ${}x,y,z,w$ vom Grad ${}2$ geben muss.

Lösung

1. Für jede invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ von positivem Grad auf einer riemannschen Fläche vom Geschlecht ${}1$ ist nach Aufgabe 30.8 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) die erste Kohomologie gleich ${}0$ und nach Riemann-Roch ist daher

   ${}h^{0}(X,{\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})\,.$

   Wenn speziell ${}D$ den Grad ${}4$ besitzt, so ist der Raum ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ vierdimensional.

2. Nach Teil (1) ist der Raum ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(2D)\right)}$ achtdimensional. Die Basis ${}x,y,z,w$ von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ definiert mit Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) Elemente ${}x^{2},y^{2},z^{2},w^{2},xy,xz,xw,yz,yw,zw$ in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(2D)\right)}$. Dies sind zehn Elemente in einem achtdimensionalen Vektorraum, also müssen sie zumindest zwei linear unabhängige lineare Relationen erfüllen.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$.

1. Zeige, dass der Rückzug von holomorphen Differentialformen injektiv ist.
2. Man folgere aus (1), dass für die Geschlechter die Abschätzung

   ${}g(X)\geq g(Y)\,$

   gilt.

Lösung

1. Der Rückzug von Differentialformen ist eine lineare Abbildung

   $\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,\omega \longmapsto \varphi ^{*}\omega ,$

   es genügt also zu zeigen, dass der Kern trivial ist. Wegen der Voraussetzungen ist die Abbildung endlich und besitzt lokal in jedem Punkt ${}P\in X$ die Gestalt ${}z\mapsto z^{k}=w$ mit einem lokalen Parameter im Bildpunkt ${}Q$. Eine Differentialform ${}\omega$ besitzt lokal in ${}Q$ die Gestalt ${}fdw$ mit einer holomorphen Funktion ${}f(w)$. Bei ${}\omega \neq 0$ ist ${}f\neq 0$. Die Form wird auf

   ${}f(z^{k})dz^{k}=kz^{k-1}f(z^{k})dz\,$

   zurückgezogen und dies ist nicht die Nullform.

2. Nach Teil (1) ist das Bild von ${}\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}$ unter dem Rückzug ein Untervektorraum von ${}\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ und besitzt daher höchstens dessen Dimension. Die Aussage folgt somit mit Fakt *****.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine holomorphe Abbildung ${}p\colon X\rightarrow Y$ zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ in natürlicher Weise einen Homomorphismus

$J(X)\longrightarrow J(Y)$

zwischen den zugehörigen jacobischen Varietäten induziert.

Lösung

Über den Rückzug erhält man eine lineare Abbildung

$\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,\sigma \longmapsto p^{*}\sigma ,$

und dazu die duale Abbildung

${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}\longrightarrow {\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}}^{*}.$

Unter dieser Abbildung wird die Auswertung ${}\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega$ zu einem stetigen Weg ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ auf die Abbildung ${}\sigma \mapsto \int _{\gamma }p^{*}\sigma$ abgebildet. Dies stimmt nach Fakt ***** mit der Abbildung ${}\sigma \mapsto \int _{p\circ \gamma }\sigma$ überein. Dies bedeutet insgesamt, dass unter der dualen Abbildung das Periodengitter von ${}X$ auf das Periodengitter von ${}Y$ abgebildet wird. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

$J(X)={H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}/\operatorname {Per} (X)\longrightarrow J(Y)={H^{0}(Y,\Omega _{Y})}^{*}/\operatorname {Per} (Y).$

Da er von einer linearen Abbildung herrührt, ist er holomorph.