Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 14

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jede algebraische Funktion auf einer offenen Menge

die Form mit nicht kürzbaren und mit besitzt.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine -Algebra von endlichem Typ, die ein faktorieller Integritätsbereich sei. Zeige, dass jede algebraische Funktion auf einer offenen Menge

die Form mit nicht kürzbaren und mit besitzt.


Aufgabe

Ergänze den Beweis zu Lemma 14.4.


Aufgabe

Zeige, dass der Ring reduziert ist.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten den Punkt

Es sei . Beschreibe eine algebraische Funktion auf , die sich nicht zu einer algebraischen Funktion auf ganz ausdehnen lässt.



Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine -Algebra von endlichem Typ, die ein Integritätsbereich sei. Es sei eine offene Menge zu einem Ideal . Zeige, dass für den Ring der algebraischen Funktionen die Gleichheit

gilt, wobei der Durchschnitt im Quotientenkörper genommen wird.


Aufgabe

Sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Sei eine offene Teilmenge und eine Funktion. Es sei eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft, dass die Einschränkungen algebraische Funktionen sind. Zeige, dass dann selbst algebraisch ist.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine -Algebra von endlichem Typ, die ein Integritätsbereich sei. Zeige, dass zu offenen Mengen die Restriktionsabbildung

injektiv ist.


Aufgabe

Betrachte . Beschreibe eine offene Menge derart, dass der zu gehörende Ringhomomorphismus

nicht surjektiv ist.


In der folgenden Aufgabe wird das Konzept des Limes einer Abbildung verwendet. Dabei könnte Aufgabe 1.6 hilfreich sein.

Aufgabe

Wir betrachten die durch

gegebene Kurve, den Punkt und das offene Komplement .

  1. Zeige, dass eine algebraische Funktion auf ist, die nicht auf ganz algebraisch ausdehnbar ist.
  2. Zeige, dass der Abbildungslimes zur Funktion

    nicht existiert.

  3. Zeige, dass es Folgen und in gibt, die beide gegen konvergieren, für die die Bildfolgen unter jeweils konvergieren, aber gegen unterschiedliche Werte.


Wir kommen zu einer Reihe von äußerst wichtigen Begriffen, die wesentliche Eigenschaften der Strukturgarbe auf einem -Spektrum prägnant zusammenfassen.


Es sei ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe auf versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge eine Menge und zu je zwei offenen Mengen eine Abbildung

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

  1. Zu ist
  2. Zu offenen Mengen

    ist stets


Die Abbildungen heißen dabei Restriktionsabbildungen.


Eine Prägarbe von Gruppen auf einem topologischen Raum heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge die Menge eine Gruppe und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Eine Prägarbe von Gruppen auf einem topologischen Raum heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge die Menge ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung

ein Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Zuordnung, die jeder offenen Menge den Ring der algebraischen Funktionen und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung (siehe Lemma 14.6)

zuordnet, eine Prägarbe von -Algebren ist.


Es sei ein topologischer Raum. Unter einer Garbe auf versteht man eine Prägarbe auf , die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

  1. Zu jeder offenen Überdeckung und Elementen mit für alle gilt .
  2. Zu jeder offenen Überdeckung und Elementen mit für alle gibt es ein mit für alle .


Aufgabe

Es seien und topologische Räume. Zu jeder offenen Teilmenge betrachten wir

Zeige, dass dies eine Garbe auf ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum. Zu jeder offenen Teilmenge betrachten wir

Zeige, dass dies eine Garbe von kommutativen -Algebren auf ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge betrachten wir die Menge der differenzierbaren Funktionen auf . Es sei eine offene Überdeckung.

  1. Zeige, dass zu offen und auch die Einschränkung zu gehört.
  2. Sei . Zeige, dass genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen sind.
  3. Es sei eine Familie von Funktionen gegeben, die die „Verträglichkeitsbedingung“ für alle erfüllen. Zeige, dass es ein gibt mit für alle .


Aufgabe

Zeige, dass die Zuordnung, die jeder offenen Menge den Ring der algebraischen Funktionen und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung (siehe Lemma 14.6)

zuordnet, eine Garbe von -Algebren ist.


In den folgenden Aufgaben werden Ultrafilter und minimale Primideale besprochen. Wir geben die Definition.

Ein Primideal in einem kommutativen Ring heißt minimales Primideal, wenn es kein Primideal mit gibt.


Sei ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System nennt man einen Ultrafilter, wenn ist und wenn maximal mit dieser Eigenschaft ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein multiplikatives System mit . Zeige, dass genau dann ein Ultrafilter ist, wenn es zu jedem , , ein und eine natürliche Zahl gibt mit .


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von ein minimales Primideal in ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein multiplikatives System mit . Zeige, dass in einem Ultrafilter enthalten ist.

(Man benutze das Lemma von Zorn).

Aufgabe

Sei ein kommutativer, reduzierter Ring. Zeige, dass jeder Nullteiler in einem minimalen Primideal enthalten ist.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein Radikal mit dem zugehörigen Restklassenring , der der Koordinatenring zu ist. Zeige, dass die irreduziblen Komponenten von den minimalen Primidealen von entsprechen.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die minimalen Primideale von den irreduziblen Komponenten von entsprechen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte die affine Ebene . Es sei ein Punkt und das offene Komplement davon. Zeige

(Dies besagt, dass eine außerhalb eines Punktes der Ebene definierte algebraische Funktion sich in den Punkt fortsetzen lässt. In der komplexen Analysis nennt man den entsprechenden Satz den Riemannschen Hebbarkeitssatz).

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Neilsche Parabel

  1. Zeige, dass auf die Gleichheit gilt.
  2. Zeige, dass auf durch eine algebraische Funktion definiert ist, die sich nicht auf als algebraische Funktion ausdehnen lässt.
  3. Zeige, dass die stetige Funktion

    eine stetige Fortsetzung auf ganz besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine integre -Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Sei ein Element im Quotientenkörper von . Zeige, dass

ein Ideal in ist. Zeige ferner, dass der (maximale) Definitionsbereich der algebraischen Funktion ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und seien Elemente, die das Einheitsideal erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen noethersch sind für . Zeige, dass dann auch noethersch ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und eine endlichdimensionale, reduzierte -Algebra. Zeige, dass dann ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ist.

Hinweis: Man darf ohne Beweis benutzen, dass es in nur endlich viele Primideale gibt.


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