Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 5/kontrolle

Aufgaben

Aufgabe Aufgabe 5.1 ändern

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

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Zeige, dass die Spektrumsabbildung zur Reduktion

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {n}}_{R}$

eines kommutativen Ringes ${}R$ eine Homöomorphie ist.

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Beschreibe das Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$ einer Lokalisierung eines kommutativen Ringes ${}R$ an einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme für die Ringerweiterung

${}\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}\,$

die Faserringe zu den Primzahlen ${}p=2,3,5,11$. Bestimme insbesondere, ob sie reduziert sind, ob ein Körper vorliegt, wie viele Primideale sie enthalten und wie die Restekörper aussehen.

Zur vorstehenden Aufgabe vergleiche auch Aufgabe 18.9.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)$. Bestimme die Primideale in ${}R$, die über den Primzahlen ${}p=2,3,5,7$ liegen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Bestimme die Fasern zur Spektrumsabbildung zur Ringerweiterung ${}R\subseteq R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre, endlich erzeugte ${}K$- Algebren. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ${}K$- Algebrahomomorphismus und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in ${}S$ mit ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}$. Die Abbildung induziere einen Isomorphismus ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}$. Zeige, dass es dann auch ein ${}f\in R$, ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$, gibt derart, dass ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal mit Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann ${}R_{\mathfrak {m}}$ auch eine Lokalisierung von ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu ${}\mathbb {R} [X]\subseteq {\mathbb {C} }[X]$.

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Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu ${}\mathbb {Q} [X]\subseteq \mathbb {R} [X]$. Welche sind endlich?

Aufgabe Aufgabe 5.11 ändern

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe. Zeige, dass ${}A$ genau dann eine ${}R$- Algebra ist, wenn ${}A$ ein ${}R$- Modul ist, für den zusätzlich

$r(ab)=(ra)b{\text{ für alle }}r\in R,\,a,b\in A$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass ${}G$ auf genau eine Weise die Struktur eines ${}\mathbb {Z}$- Moduls trägt. Kommutative Gruppen und ${}\mathbb {Z}$-Moduln sind also äquivalente Objekte.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein Modul über dem kommutativen Ring ${}R$. Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{k}\in R$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige

${}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ und ${}N$ zwei ${}R$- Moduln und sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ein Modulhomomorphismus. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für einen ${}R$- Untermodul ${}S\subseteq M$ ist auch das Bild ${}\varphi (S)$ ein Untermodul von ${}N$.
2. Insbesondere ist das Bild ${}\operatorname {bild} \varphi =\varphi (M)$ der Abbildung ein Untermodul von ${}N$.
3. Für einen Untermodul ${}T\subseteq N$ ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ ein Untermodul von ${}M$.
4. Insbesondere ist der Kern ${}\varphi ^{-1}(0)$ ein Untermodul von ${}M$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}L$ ein ${}K$- Vektorraum ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}1$. Zeige, dass ${}L=K$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}L$ ein Körper und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

ein Automorphismus. Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf den Primkörper von ${}L$ die Identität ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ das Inverse von ${}2+5{\sqrt {7}}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in L$ Elemente, die eine ${}K$- Basis von ${}L$ bilden. Sei ${}x\in L$, ${}x\neq 0$. Zeige, dass auch ${}xv_{1},\ldots ,xv_{n}\in L$ eine ${}K$-Basis von ${}L$ bilden.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein ${}x\in L$, ${}x\notin K$, mit ${}x^{2}\in K$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathbb {C} }\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige ${}{\mathbb {C} }=L$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${}K\subseteq L\subseteq M$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}p$, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Es sei ${}x\in L$, ${}x\not \in K$. Zeige, dass ${}K[x]=L$ ist.

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Bestimme den Grad von

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt[{3}]{2}}]\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ eine Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ vom Grad ${}n$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine ${}K$- Basis von ${}L$. Zeige, dass die Multiplikation auf ${}L$ durch die Produkte

$x_{i}x_{j},1\leq i\leq j\leq n,$

eindeutig festgelegt ist.

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Es seien ${}\mathbb {Q} \subseteq K\subset {\mathbb {C} }$ und ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subset {\mathbb {C} }$ zwei endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ vom Grad ${}d$ bzw. ${}e$. Es seien ${}d$ und ${}e$ teilerfremd. Zeige, dass dann

${}K\cap L=\mathbb {Q} \,$

ist.

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Zeige, dass man ${}{\sqrt {3}}$ nicht als ${}\mathbb {Q}$- Linearkombination von ${}1$ und ${}{\sqrt {2}}$ schreiben kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}p$ eine Primzahl. Es sei ${}a\in K$ ein Element, das in ${}K$ keine ${}p$-te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom ${}X^{p}-a$ irreduzibel ist.

Aufgabe * Aufgabe 5.31 ändern

Das Polynom ${}F=X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel und definiert daher eine Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Die Restklasse von ${}X$ in ${}L$ sei mit ${}\alpha$ bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus ${}L$

${}\beta =\alpha ^{2}-2\,$

und

${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$

Nullstellen von ${}F$ sind.

Aufgabe * Aufgabe 5.32 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ eine Ringerweiterung vom Grad zwei. Zeige, dass es dann die folgenden drei Möglichkeiten gibt.

1. ${}L$ ist ein Körper.
2. ${}L$ ist von der Form ${}L=K[\epsilon ]/\epsilon ^{2}$.
3. ${}L$ ist der Produktring ${}L=K\times K$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ nicht endlich ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ die Menge aller Zwischenkörper zwischen ${}\mathbb {Q}$ und ${}{\mathbb {C} }$. Für Körper ${}K_{1},K_{2}\in M$ setzen wir ${}K_{1}\sim K_{2}$, falls es einen Körper ${}L\in M$ mit ${}K_{1}\subseteq L$ und ${}K_{2}\subseteq L$ endlich gibt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Ist ${}\mathbb {R} \sim {\mathbb {C} }$?
3. Ist ${}\mathbb {Q} \sim {\mathbb {C} }$?

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Zeige, dass die Körpererweiterung ${}\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} (X)$, wobei ${}\mathbb {R} (X)$ den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.

Aufgabe Aufgabe 5.36 ändern

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ${}R$ ein Körper ist.

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Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte (dabei ist ${}p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte. Zeige, dass die ${}e$-te Hintereinanderschaltung des Frobeniushomomorphismus

$F\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

durch ${}f\mapsto f^{q}$ mit ${}q=p^{e}$ gegeben ist.

Aufgabe Aufgabe 5.39 ändern

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik ${}p>0$. Zeige, dass die Spektrumsabbildung zum Frobeniushomomorphismus

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

eine Homöomorphie ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$

bezüglich einer geeigneten ${}{\mathbb {F} }_{p}$- Basis von ${}{\mathbb {F} }_{q}$ für ${}p=2$ und ${}q=4$ bzw. ${}q=8$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Primzahl mit ${}p=3\mod 4$ und sei

${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq \mathbb {Z} /(p)[{\mathrm {i} }]=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}+1\right)}={\mathbb {F} }_{p^{2}}\,$

die quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Z} /(p)$. Zeige, dass die Konjugation ${}{\mathrm {i} }\mapsto -{\mathrm {i} }$ mit dem Frobeniushomomorphismus ${}f\mapsto f^{p}$ übereinstimmt.