Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)

Information

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• Information zur Klausur

Vorlesungen

• 1 - Komplexe Differenzierbarkeit

• 2 - Biholomorphe Abbildungen

• 3 - Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

• 4 - Winkeltreue

• 5 - Umkehrabbildung

• 6 - Reihen und Summierbarkeit

• 7 - Potenzreihen

• 8 - Konvergenzradius

• 9 - Formale Potenzreihen

• 10 - Konvergente Umkehrreihe

• 11 - Differentialformen

• 12 - Wegintegrale

• 13 - Integralsatz von Cauchy

• 14 - Potenzreihenentwicklung

• 15 - Lokale Beschreibung

• 16 - Laurent-Entwicklung

• 17 - Meromorphe Funktionen

• 18 - Wesentliche Singularitäten

• 19 - Residuum

• 20 - Fundamentalgruppe

• 21 - Überlagerungen

• 22 - Homotopieprinzip

• 23 - Der Residuensatz

• 24 - Konvergenz von holomorphen Funktionen

• 25 - Der riemannsche Abbildungssatz

• 26 - Gitter

• 27 - Elliptische Funktionen

• 28 - Eisenstein-Reihen

Arbeitsblätter

• Arbeitsblatt 1

• Arbeitsblatt 2

• Arbeitsblatt 3

• Arbeitsblatt 4

• Arbeitsblatt 5

• Arbeitsblatt 6

• Arbeitsblatt 7

• Arbeitsblatt 8

• Arbeitsblatt 9

• Arbeitsblatt 10

• Arbeitsblatt 11

• Arbeitsblatt 12

• Arbeitsblatt 13

• Arbeitsblatt 14

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• Arbeitsblatt 16

• Arbeitsblatt 17

• Arbeitsblatt 18

• Arbeitsblatt 19

• Arbeitsblatt 20

• Arbeitsblatt 21

• Arbeitsblatt 22

• Arbeitsblatt 23

• Arbeitsblatt 24

• Arbeitsblatt 25

• Arbeitsblatt 26

• Arbeitsblatt 27

• Arbeitsblatt 28

Weitere Materialien

• Definitionsliste

• Definitionsabfrage

• Wichtigste Aussagen

• Aussagen (Abfrage)

• Beispielklausuren

Forum

Literatur

Links

Unter Funktionentheorie versteht man die Theorie der komplex-differenzierbaren Funktionen von (einer offenen Teilmenge von) ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}{\mathbb {C} }$. Auf den ersten Blick werden dabei viele bekannte Funktionen vom Reellen ins Komplexe fortgesetzt. Das Erstaunliche ist aber, dass im Komplexen deutlich stärkere Gesetzmäßigkeiten gelten, beispielsweise, dass jede komplex-differenzierbare Funktion bereits unendlich oft differenzierbar ist, siehe Satz 14.2. Dagegen ist es keineswegs so, dass jede komplex-differenzierbare Funktion eine Stammfunktion besitzt, im starken Gegensatz zu Korollar 24.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Die Funktionentheorie bietet ein faszinierendes Zusammenspiel von Analysis (Differenzierbarkeit, Konvergenzbegriffe), Integrationstheorie (Integralsatz von Cauchy, Residuum), Differentialgleichungen (Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, Differentialgleichung für die Weierstraßfunktion), linearer Algebra (lineare und antilineare Abbildungen, Winkeltreue Abbildungen), Algebra (Potenzreihenring, Funktionenkörper, Gitter) und Topologie (Fundamentalgruppe, Überlagerung, Homotopieprinzip, riemannscher Abbildungssatz).