Kurs:Funktionentheorie/1/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	3	4	3	3	7	3	4	5	2	5	9	2	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Stammfunktion einer Abbildung ${}f:D\rightarrow {\mathbb {K} }$ auf einer offenen Menge ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$.
2. Eine offene Abbildung

   $f\colon X\longrightarrow Y$

   zwischen topologischen Räumen.

3. Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

4. Eine analytische Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.
5. Der Hauptteil zu einer Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$.
6. Eine elliptische Funktion zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.

Lösung

1. Eine Funktion

   $F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}D$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in D$ gilt.

2. Stetige Abbildung/Offene Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt
3. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ mit

   $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$

   gibt.

4. Analytische Funktion/Eine Variable/Komplex/Definition/Begriff/Inhalt
5. Laurent-Reihe/Formal/Hauptteil/Definition/Begriff/Inhalt
6. Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
2. Das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.
3. Der Satz über die Homotopieinvarianz von Wegintegralen.

Lösung

1. Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt ${}P\in G$ reell total differenzierbare Abbildung. Es sei ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei ${}z=x+{\mathrm {i} }y$. Dann ist ${}f$ genau dann in ${}P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen

   ${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

   gelten.
2. Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt ${}a\in G$ mit

   ${}\vert {f(z)}\vert \leq \vert {f(a)}\vert \,$

   für alle ${}z\in G$.

   Dann ist ${}f$ konstant.
3. Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und seien

   $\alpha ,\beta \colon [a,b]\longrightarrow U$

   stetige Wege mit ${}\alpha (a)=\beta (a)$ und ${}\alpha (b)=\beta (b)$, die zueinander homotop seien.

   Dann ist

   ${}\int _{\alpha }f(z)dz=\int _{\beta }f(z)dz\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Schildern Sie wesentliche Unterschiede zwischen der reellen Analysis und der komplexen Analysis in einer Variablen (Funktionentheorie).

Lösung Funktionentheorie/Vergleich mit R/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Charakterisiere diejenigen komplex differenzierbaren Abbildungen

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit der Eigenschaft, dass

${}\operatorname {Im} \,{\left(f(z)\right)}=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gilt.

Lösung C nach C/Komplex-differenzierbar/Imaginärteil identisch/Charakterisierung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die holomorphe Ableitung die Quotientenregel

${}{\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial z}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial z}}-f{\frac {\partial g}{\partial z}}}{g^{2}}}\,$

auf dem nullstellenfreien Ort zu ${}g$ erfüllt.

Lösung

Wir verwenden die Quotientenregel für die beiden partielle Ableitungen, also

${}{\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial x}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial x}}-f{\frac {\partial g}{\partial x}}}{g^{2}}}\,$

und

${}{\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial y}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial y}}-f{\frac {\partial g}{\partial y}}}{g^{2}}}\,,$

die in dieser Form auf Aufgabe 4.3 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) beruht. Somit ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial y}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {g{\frac {\partial f}{\partial x}}-f{\frac {\partial g}{\partial x}}}{g^{2}}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {g{\frac {\partial f}{\partial y}}-f{\frac {\partial g}{\partial y}}}{g^{2}}}\\&={\frac {1}{g^{2}}}{\left(g{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}-f{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{g^{2}}}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial z}}-f{\frac {\partial g}{\partial z}}\right)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}2$ der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z)={\frac {z^{2}-z+3}{z}},$

im Entwicklungspunkt ${}{\mathrm {i} }$.

Lösung

Es ist

${}f({\mathrm {i} })={\frac {{\mathrm {i} }^{2}-{\mathrm {i} }+3}{\mathrm {i} }}={\frac {-{\mathrm {i} }+2}{\mathrm {i} }}=-1-2{\mathrm {i} }\,.$

Für die erste Ableitung gilt

${}f'(z)={\frac {(2z-1)z-z^{2}+z-3}{z^{2}}}={\frac {z^{2}-3}{z^{2}}}\,$

und somit

${}f'({\mathrm {i} })={\frac {{\mathrm {i} }^{2}-3}{{\mathrm {i} }^{2}}}={\frac {-4}{-1}}=4\,.$

Für die zweite Ableitung gilt

${}f^{\prime \prime }(z)={\frac {(2z)z^{2}-(z^{2}-3)2z}{z^{4}}}={\frac {2(z^{2}-z^{2}+3)}{z^{3}}}={\frac {6}{z^{3}}}\,$

und somit

${}f'({\mathrm {i} })={\frac {6}{{\mathrm {i} }^{3}}}=6{\mathrm {i} }\,.$

Das Taylor-Polynom vom Grad ${}2$ ist daher

$-1-2{\mathrm {i} }+4(z-{\mathrm {i} })+3{\mathrm {i} }(z-{\mathrm {i} })^{2}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

${}G=S+3S^{2}-2S^{3}=S+S^{2}(3-2S)=S+S^{2}H\in {\mathbb {C} }[\![S]\!]\,$

eine formale Potenzreihe mit ${}H=3-2S$. Berechne ${}F_{1}$ und ${}F_{2}$ in der Rekursion ${}F_{n+1}=T-F_{n}^{2}\cdot H(F_{n})$ mit ${}F_{0}=T$.

Lösung

Es ist

${}F_{1}=T-T^{2}(3-2T)=T-3T^{2}+2T^{3}\,$

und

${}{\begin{aligned}F_{2}&=T-{\left(T-3T^{2}+2T^{3}\right)}^{2}{\left(3-2{\left(T-3T^{2}+2T^{3}\right)}\right)}\\&=T-{\left(T^{2}-6T^{3}+13T^{4}-12T^{5}+4T^{6}\right)}{\left(3-2T+6T^{2}-4T^{3}\right)}\\&=T-3T^{2}+20T^{3}-57T^{4}+102T^{5}-138T^{6}+132T^{7}-72T^{8}+16T^{9}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und sei

$\psi \colon W\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$

gilt, wobei ${}\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Lösung

Es sei ${}P\in W$ und ${}v\in \mathbb {R} ^{m}$. Es ist einerseits

${}d(\psi ^{*}f)(P,v)=D_{P}(f\circ \psi )(v)={\left({\left(D_{\psi (P)}f\right)}\circ {\left(D_{P}\psi \right)}\right)}(v)=D_{\psi (P)}(f){\left(D_{P}\psi (v)\right)}\,.$

Andererseits ist auch

${}{\left(\psi ^{*}(df)\right)}(P,v)=(df){\left(\psi (P),(D_{P}\psi )(v)\right)}=D_{\psi (P)}(f){\left(D_{P}\psi (v)\right)}\,.$

Aufgabe (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{-1}),$

und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},uv,-u+v^{2}),$

und die Differentialform

${}\omega =xdx-zdy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$.

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform ${}\omega$ zum Weg ${}\varphi \circ \gamma$.

Lösung

a) Die zurückgezogene Differentialform ist

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=u^{2}du^{2}-(-u+v^{2})duv+d(-u+v^{2})\\&=2u^{3}du+(u-v^{2})(vdu+udv)-du+2vdv\\&=(2u^{3}+uv-v^{3}-1)du+(u^{2}-uv^{2}+2v)dv.\end{aligned}}$

b) Das Wegintegral ist

${}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}(2t^{3}+1-t^{-3}-1)dt+(t^{2}-t^{-1}+2t^{-1})dt^{-1}&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt+(t^{2}+t^{-1})dt^{-1}\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt-(1+t^{-3})dt\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-2t^{-3}-1)dt\\&={\left({\frac {1}{2}}t^{4}+t^{-2}-t\right)}|_{1}^{2}\\&=8+{\frac {1}{4}}-2-{\frac {1}{2}}-1+1\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}$

c) Der verknüpfte Weg ist

${}\psi (t)=(t^{2},1,-t+t^{-2})\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}\psi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=\int _{1}^{2}t^{2}dt^{2}+d(-t+t^{-2})\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-1-2t^{-3})dt\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz von Liouville.

Lösung

Es sei ${}\vert {f(z)}\vert \leq B$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Man kann dann Lemma 15.1 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) für die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ (für einen beliebigen Entwicklungspunkt ${}a$) für jeden Radius ${}r$ anwenden und erhält

${}\vert {c_{n}}\vert \leq {\frac {B}{r^{n}}}\,,$

woraus ${}c_{n}=0$ für alle ${}n\geq 1$ folgt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den lokalen Exponenten von

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cosh z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}},$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Lösung

Der Vorfaktor ist irrelvant, wir arbeiten mit

${}f(z)=e^{z}+e^{-z}\,.$

Es ist

${}f'(z)=e^{z}-e^{-z}\,,$

die Bedingung

${}e^{z}-e^{-z}=0\,$

führt auf ${}e^{z}=e^{-z}$ und durch Multiplikation mit ${}e^{z}$ auf

${}e^{2z}=e^{z}\cdot e^{z}=1\,.$

Die Lösungen sind

${}z=n\pi {\mathrm {i} }\,$

mit ${}n\in \mathbb {Z}$. Die zweite Ableitung hat keine Nullstelle, also ist der lokale Exponent in den Punkten ${}n\pi {\mathrm {i} }$ gleich ${}2$ und in alle anderen Punkten gleich ${}1$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt ${}a\in {\mathbb {C} }$ der meromorphen Funktion ${}{\frac {1}{\sin z}}$.

Lösung

Die Nullstellen des Sinus sind ${}z=n\pi$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$. Außerhalb davon sind alle Hauptteile gleich ${}0$. Wegen der ${}2\pi$-Periodizität stimmen die Potenzreihenentwicklungen für den Sinus in ${}n\pi$ für ${}n$ gerade untereinander und die Potenzreihenentwicklungen für den Sinus in ${}n\pi$ für ${}n$ ungerade untereinander überein (abgesehen davon, dass sie sich auf verschobene Variablen beziehen). Wir müssen also im Wesentlichen die Hauptteile für ${}z=0$ und ${}z=\pi$ bestimmen.

Die Entwicklung in ${}0$ beginnt

${}z-{\frac {1}{6}}z^{3}+\cdots +=z{\left((1-{\frac {1}{6}}z^{2}+\cdots +\right)}\,.$

Der hintere Faktor ist eine Einheit, und die Potenzreihenentwicklung der inversen Reihe beginnt mit ${}1$. Daher ist die Polordnung gleich ${}1$ und der Hauptteil ist ${}{\frac {1}{z}}$. Für ${}z=n\pi$ mit ${}n$ gerade ist der Hauptteil gleich ${}{\frac {1}{z-n\pi }}$.

Die Entwicklung in ${}\pi$ beginnt (wegen der Ableitung)

${}-z+\cdots +=z{\left((-1+\cdots +\right)}\,.$

Der hintere Faktor ist eine Einheit, und die Potenzreihenentwicklung der inversen Reihe beginnt mit ${}-1$. Daher ist die Polordnung gleich ${}1$ und der Hauptteil ist ${}-{\frac {1}{z-\pi }}$. Für ${}z=n\pi$ mit ${}n$ ungerade ist der Hauptteil gleich ${}-{\frac {1}{z-n\pi }}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$. Zeige, dass es ${}n$ Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in {\mathbb {C} }$ derart gibt, dass es auf

${}U={\mathbb {C} }\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\,$

eine von der Identität verschiedene biholomorphe Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow U$ gibt.

Lösung

Es seien ${}P_{k}=e^{2k\pi {\mathrm {i} }/n}$, ${}k=0,\ldots ,n-1$ die ${}n$ verschiedenen ${}n$-ten Einheitswurzeln und

${}U={\mathbb {C} }\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\,.$

Dann ist die Multiplikation mit ${}P_{1}$ eine nichttriviale biholomorphe Abbildung von ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}{\mathbb {C} }$, die ${}P_{k}$ in ${}P_{k+1}$ überführt und dadurch einen Automorphismus auf ${}U$ induziert.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit ${}0\notin U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$

Zeige, dass

${}\exp \left(L(z)\right)=az\,$

(mit einer Konstanten ${}a\neq 0$) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}U$ gilt.

Lösung

Es sei ${}L'(z)={\frac {1}{z}}$, wobei ${}L+c$ die gleiche Eigenschaft besitzt. Wir betrachten die Bedingung

${}e^{L(z)+c}=e^{L(z)}e^{c}=z\,.$

Für einen beliebigen Punkt ${}z_{0}\in U$ legt diese über

${}e^{c}=z_{0}e^{-L(z_{0})}\,$

ein (nicht eindeutiges) ${}c_{0}$ fest. Es gilt dann

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}\,$

und

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}^{\prime \prime }={\frac {1}{z^{2}}}{\left(z{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'-e^{L(z)+c_{0}}\right)}={\frac {1}{z^{2}}}{\left({\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}-e^{L(z)+c_{0}}\right)}=0\,.$

Also ist

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}=d\,$

konstant auf jeder offenen zusammenhängenden Umgebung von ${}z_{0}$ und damit ist

${}e^{L(z)+c_{0}}=dz\,$

und wegen der durch ${}z_{0}$ festgelegten Bedingung ist ${}d=1$.

Aufgabe (9 Punkte)

Beweise den riemannschen Abbildungssatz.

Lösung

Nach Lemma 25.4 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gibt es zumindest eine injektive holomorphe Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow U{\left(0,1\right)}$. Wir betrachten von nun an direkt ${}U\subseteq U{\left(0,1\right)}$, durch einen Automorphismus der Kreisscheibe (siehe Aufgabe *****) können wir zusätzlich ${}0\in U$ annehmen. Wir betrachten die Funktionenmenge

$T={\left\{f:U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}{\text{ injektiv und holomorph}}\mid f(0)=0,\,\vert {f'(0)}\vert \geq 1\right\}}\,$

und zeigen zunächst, dass ${}T$ abgeschlossen in der Topologie der kompakten Konvergenz ist. Dazu sei ${}f_{n}$ eine in ${}C(U,{\mathbb {C} })$ kompakt konvergente Folge in ${}T$ mit der Grenzfunktion ${}f$. Aufgrund von Satz 24.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) liegt Konvergenz in ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ vor. Die Grenzfunktion ist injektiv oder konstant nach Korollar 25.3 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)). Nach Satz 24.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) konvergieren auch die Ableitungen ${}f_{n}'$ gegen ${}f'$ und somit ist insbesondere

${}\vert {f'(0)}\vert \geq 1\,.$

Dies schließt aus, dass die Grenzfunktion konstant ist, und sichert die Injektivität. Das Bild der Grenzfunktion liegt aufgrund der Konvergenz in der abgeschlossenen Kreisscheibe, aber aufgrund des Offenheitssatzes auch in der offenen Kreisscheibe. Die Funktionenmenge ${}T$ ist unmittelbar beschränkt. Der Satz von Montel ergibt mit Satz 33.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Fakt *****, dass ${}T$ kompakt ist.

Die Abbildung

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}),\,f\longmapsto f',$

ist nach Korollar 24.9 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) stetig in der Topologie der kompakten Konvergenz und daher ist auch die Abbildung

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \vert {f'(0)}\vert ,$

stetig. Nach Lemma 17.6 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist die Betragsmenge ${}{\left\{\vert {f'(0)}\vert \mid f\in T\right\}}$ ebenfalls kompakt und daher nach Satz 17.5 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) abgeschlossen und beschränkt und enthält nach Korollar 33.18 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ihr Maximum. Es sei ${}f\in T$ eine Funktion mit der Eigenschaft, dass ${}\vert {f'(0)}\vert$ dieses Maximum ist. Mit Lemma 25.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) folgt, dass ${}f$ surjektiv ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige direkt, dass

${\left\{s\in {\mathbb {C} }\mid s\Gamma \subseteq \Gamma \right\}}$

ein Unterring von ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Lösung

Es sei ${}R={\left\{s\in {\mathbb {C} }\mid s\Gamma \subseteq \Gamma \right\}}$. Es ist offenbar ${}0,1\in R$. Mit ${}s,t\in R$ und ${}u\in \Gamma$ ist

${}(s+t)u=su+tu\in \Gamma \,$

und zunächst ${}tu\in \Gamma$ und daher auch ${}(st)u=s(tu)\in \Gamma$, also ist ${}R$ unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen.