Hilbertscher Nullstellensatz/Algebraisch und geometrisch/Textabschnitt

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Wir wollen die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes beweisen. Dazu benötigen wir die folgenden beiden Lemmata.



Lemma  

Sei ein noetherscher kommutativer Ring und eine endlich erzeugte -Algebra. Es sei eine -Unteralgebra, über der endlich (als -Modul) sei.

Dann ist auch eine endlich erzeugte -Algebra.

Beweis  

Wir schreiben und mit . Wir setzen und mit Koeffizienten . Wir betrachten die von diesen Koeffizienten erzeugte -Unteralgebra von und den -Untermodul . Die Produkte gehören wieder zu diesem Modul, daher ist sogar eine -Algebra. Weil die ebenfalls zu gehören, gilt sogar . Dies bedeutet, dass ein endlicher -Modul ist. Nach Fakt ist ein noetherscher Ring und nach Fakt ist der -Untermodul ebenfalls endlicher -Modul. Die Kette zeigt schließlich, dass eine endlich erzeugte -Algebra ist.




Lemma  

Sei ein Körper und der zugehörige rationale Funktionenkörper.

Dann ist keine endlich erzeugte -Algebra.

Beweis  

Sei angenommen, dass die rationalen Funktionen , , ein endliches Erzeugendensystem von bilden, mit , . Durch Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass konstant ist. Die Annahme bedeutet also insbesondere, dass der Körper der rationalen Funktionen sich durch Nenneraufnahme an nur einem Element ergeben würde. Da keine Konstante ist (sonst wäre , was nicht der Fall ist), ist und daher ist . Also gibt es eine Darstellung

mit einem geeigneten . Daraus folgt . Da und das Einheitsideal in erzeugen, folgt daraus, dass bereits das Einheitsideal erzeugt, also selbst eine Einheit ist. Dann wäre aber doch eine Konstante, was es nicht ist.


Die folgende Aussage ist die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.



Satz  

Sei ein Körper und sei eine Körpererweiterung, die (als -Algebra) endlich erzeugt sei.

Dann ist endlich über .

Beweis  

Wir setzen . Sei der Quotientenkörper von (innerhalb von ). Wir haben also eine Körperkette

Wir wollen zeigen, dass endlich über ist, und dazu genügt es nach Fakt zu zeigen, dass jeder Schritt in der Körperkette endlich ist. Sei angenommen, dass nicht endlich ist, aber alle folgenden Schritte endlich sind. Wir wenden Fakt auf

an und erhalten, dass endlich erzeugt über ist. Dann ist insbesondere auch endlich erzeugt über . Andererseits ist der Quotientenkörper von . Wir haben also eine Kette

wo endlich erzeugt über ist, aber nicht endlich. Wäre algebraisch über , so auch endlich, und dann wäre bereits ein Körper nach Aufgabe. Dann wäre die letzte Kette insgesamt endlich, im Widerspruch zur Wahl von . Also ist transzendent über . Dann ist aber isomorph zu einem Polynomring in einer Variablen und ist isomorph zum rationalen Funktionenkörper über . Dieser ist aber nach Fakt nicht endlich erzeugt, so dass sich erneut ein Widerspruch ergibt.




Satz  

Sei ein Körper und seien und zwei -Algebren von endlichem Typ. Es sei ein -Algebrahomomorphismus.

Dann ist für jedes maximale Ideal aus auch das Urbild ein maximales Ideal.

Beweis  

Sei ein maximales Ideal aus . Wir wissen nach Aufgabe, dass unter jedem Ringhomomorphismus das Urbild eines Primideals wieder prim ist, also ist zunächst ein Primideal, das wir nennen. Wir erhalten induzierte Ringhomomorphismen

wobei ein Körper ist und wobei beide Homomorphismen injektiv und von endlichem Typ sind. Da die Gesamtabbildung von endlichem Typ ist und und Körper sind, folgt aus Fakt, dass diese Abbildung endlich ist. Wir wollen zeigen, dass der Zwischenring ein Körper ist. Dies folgt aber aus Aufgabe.




Satz  

Sei ein Körper und sei eine -Algebra von endlichem Typ.

Dann ist jedes Radikal in der Durchschnitt von maximalen Idealen.

Beweis  

Nach Aufgabe ist jedes Radikal der Durchschnitt von Primidealen. Es genügt also zu zeigen, dass jedes Primideal in einer endlich erzeugten Algebra der Durchschnitt von maximalen Idealen ist. Sei ein Primideal und . Dann ist ein Primideal in der Nenneraufnahme . Es gibt ein (in ) maximales Ideal oberhalb von . Wir fassen als endlich erzeugte -Algebra auf und betrachten

Dann ist und . Nach Fakt ist maximal.



Satz  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine endlich erzeugte -Algebra.

Dann ist jeder Restklassenkörper von isomorph zu .

Anders formuliert: Jedes maximale Ideal in ist ein Punktideal.

Beweis  

Sei ein maximales Ideal der endlich erzeugten -Algebra und betrachte

Hier ist ein Körper und zugleich eine endlich erzeugte -Algebra. Nach Fakt muss also eine endliche -Algebra sein. Da algebraisch abgeschlossen ist, muss sein.




Satz  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal beschrieben werde. Es sei ein Polynom, das auf verschwindet.

Dann gehört zum Radikal von , d.h. es gibt ein mit .

Beweis  

Angenommen, gehöre nicht zum Radikal von . Dann gibt es nach Fakt auch ein maximales Ideal mit und mit . Nach Fakt ist

für gewisse . Die Eigenschaft bedeutet, dass im zugehörigen Restekörper nicht ist, und das bedeutet . Wegen ist aber ein Punkt von , so dass dort nach Voraussetzung verschwindet. Das ist also ein Widerspruch.




Satz  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring und dem affinen Raum .

Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in und Radikalidealen in .

Dabei gehen Radikale auf ihre Nullstellengebilde und affin-algebraische Mengen auf ihre Verschwindungsideale.

Beweis  

Sei affin-algebraisch. Dann gilt nach Fakt  (3). Für ein Radikal gilt die Inklusion ebenfalls nach Fakt  (2). Die umgekehrte Inklusion, also , ist der Inhalt des Hilbertschen Nullstellensatzes.




Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien , , Polynome mit

Dann erzeugen die das Einheitsideal in .

Beweis  

Sei das von den erzeugte Ideal. Die Voraussetzung besagt, dass

leer ist. Dann ist , da ja ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von , also selbst, zu in gehört. D.h. dass das Einheitsideal ist.




Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und zwei affin-algebraische Mengen in .

Dann gilt

Beweis  

Sei und . Die Aussage ergibt sich aus

wobei die erste Gleichung auf dem Hilbertschen Nullstellensatz beruht.


Auch diese Eigenschaften gelten nicht ohne die Voraussetzung algebraisch abgeschlossen, wie das folgende Beispiel zeigt.

Disjoint ellipses.png



Beispiel  

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

Bei sind das beides irreduzible Quadriken. Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal

Da das Polynom im Reellen keine Nullstelle hat, ist der Durchschnitt leer. Das Verschwindungsideal des (leeren) Durchschnittes ist natürlich das Einheitsideal, die Summe der beiden Verschwindungsideale ist aber nicht das Einheitsideal.




Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine endlich erzeugte -Algebra mit Nullstellengebilde . Es sei ein Ideal in und ein Element, das auf verschwindet.

Dann gibt es ein mit in .

Beweis  

Die Verschwindungsbedingung in besagt zurückübersetzt in den affinen Raum, dass dort gilt, wobei jetzt ein repräsentierendes Polynom aus und das Urbildideal in sei. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz (für den affinen Raum) gibt es ein mit . Dies bedeutet modulo , dass in die Beziehung gilt.




Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal beschrieben werde. Es seien , , Polynome mit

Dann erzeugen die das Einheitsideal in .

Beweis  

Sei das von allen , , erzeugte Ideal in . Die Voraussetzung besagt, dass

(auf ) leer ist. Dann ist , da ja ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von , also selbst, zu in gehört.




Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal beschrieben werde. Es sei ein Polynom, das auf keine Nullstelle besitzt.

Dann ist im Restklassenring eine Einheit.

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.



Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine affine Varietät über mit dem affinen Koordinatenring .

Dann stimmt die Dimension von mit der Krulldimension von überein.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt.