Lösung
- Man sagt, dass die Folge konvergiert, wenn es ein gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
Zu jedem
, ,
gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
-
gilt.
- Es sei ein
metrischer Raum
und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn zu jedem der Durchschnitt
-
- Man nennt
-
die Gesamtlänge des Streckenzugs.
- Unter der Richtungsableitung von in in Richtung versteht man den
Grenzwert
-
falls dieser existiert.
- Unter dem Dualraum zu versteht man den
Homomorphismenraum
-
- Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
-
derart gibt, dass es zu jedem ein gibt mit
-
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Satz über das Maximum
von Funktionen auf kompakten Teilmengen.
- Die Integralabschätzung für stetige Kurven.
- Der
Satz über den Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung.
Lösung
- Es sei eine nichtleere
kompakte
Teilmenge und sei
-
eine
stetige Funktion.
Dann gibt es ein mit -
- Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
-
eine
stetige Abbildung.
Dann gilt
-
- Es sei offen,
ein Punkt und sei
-
eine
Abbildung.
Dann ist in genau dann
partiell differenzierbar,
wenn die
Richtungsableitungen
von sämtlichen Komponentenfunktionen in in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
Beweise das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale.
Lösung
Wir behandeln den Fall, wo die obere Intervallgrenze ist. Für alle
ist
-
wegen
für alle
.
Wegen der Nichtnegativität von und von wachsen beide Seite bei , und die rechte Seite ist durch das uneigentliche Integral beschränkt. Nach
Satz 7.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
existiert der
Grenzwert
-
Lösung
Es sei zunächst
.
Das bedeutet, dass zu jedem
die Menge
-
ist. Dies gilt insbesondere für die Stammbrüche . Somit gibt es zu
ein Element
.
Dies ergibt eine Folge in . Diese Folge konvergiert gegen , da jede gewünschte Genauigkeit durch einen Stammbruch unterboten wird.
Es sei ungekehrt der Grenzwert einer Folge mit Folgengliedern in ist. Sei
vorgegeben. Für hinreichend groß ist
.
Somit ist
-
und ist ein Berührpunkt von , also
.
Lösung
Es sei eine
Cauchy-Folge
in . Zu
gibt es ein mit
-
für alle
.
Da es bei der diskreten Metrik nur die beiden Abstände
und
möglich sind, muss
-
und damit
-
für alle
sein. Dies bedeutet, dass die Folge ab einem bestimmten Index konstant ist, und dass die Folge gegen das Folgenglied konvergiert.
Lösung
- Es ist
-
daher ist ein Fixpunkt. Die Ableitung von ist
auf , daher ist im negativen Bereich streng fallend und somit besitzt dort keine weitere Nullstelle, also ist dort
-
- Es ist
-
für alle
.
Daher ist nach
dem Mittelwertstz
-
für alle
.
Somit ist
-
was die Lipschitz-Eigenschaft mit Lipschitzfaktor bedeutet.
- Wir betrachten den Differenzenquotienten
-
Für konvergiert dies gegen den Differentialquotienten an der Stelle von , also gegen . Würde eine starke Kontraktion vorliegen, so würde es ein
geben, wofür insbesondere
-
gelten würde. Dann wäre
-
im Widerspruch zur Konvergenzeigenschaft.
- Nach Teil (1) ist auf streng fallend und daher ist
,
also
.
Dies bedeutet, dass eine durch gegebene rekursive Folge wachsend ist. Da ferner
gilt, liegt eine wachsende, nach oben beschränkte Folge vor, die in konvergieren muss. Es sei der Grenzwert, der zu gehört. Aufgrund der Stetigkeit ist
,
also muss nach Teil (1)
sein.
Bestimme die
Länge
der Kurve
-
Lösung
Es ist
-
und
-
Die Länge der Kurve ist nach
Satz 38.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gleich
-
Beweise den Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.
Lösung
Es seien die Komponentenfunktionen von und die Komponentenfunktionen von . Dann gilt mit der Substitution
-
unter Verwendung von
Korollar 25.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
Lösung
Wir machen den Ansatz
-
wobei sich die ersten beiden Koeffizienten aus den Anfangsbedingungen ergeben. Es ist also noch
und
zu bestimmen. Die linke Seite der Gleichung ist
-
Von der rechten Seite müssen wir also die Koeffizienten zu ausrechnen, um drei Gleichungen zu bekommen. Zur Auswertung des Nenners verwenden wir
-
Daher gilt mit
die Beziehung
-
Wenn man darin für die Potenzreihe einsetzt, erhält man
Somit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gleich
Somit ist
(rechts ist der Koeffizient zu gleich )
-
aus
-
folgt
-
aus
-
folgt
-
Der Anfang der Potenzreihe ist also
-
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Wir betrachten die Funktion
-
Die partiellen Ableitungen sind
-
Damit sind alle gemischten zweiten Ableitungen und es ist
-
Die Hesse-Matrix ist also eine Diagonalmatrix mit positiven und negativen Einträgen. Nach
dem Trägheitssatz von Sylvester
besitzt die Hesse-Form den Typ .
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Lösung
Die partiellen Ableitungen der Funktion sind
-
und
-
Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ist. Aus
-
folgt sofort
-
also und daraus
-
Es kann also allenfalls im Punkt
-
ein lokales Extremum vorliegen.
Die Hesse-Matrix der Funktion ist
-
Der Eintrag links oben ist also negativ und die Determinante ist positiv. Daher ist die Hesse-Matrix negativ definit und somit liegt in ein lokales Maximum vor. Da es sonst kein weiteres lokales Extremum gibt, ist dieses Maximum isoliert und global.
Wir betrachten die Abbildung
-
- Bestimme die
Jacobi-Matrix
zu in einem beliebigen Punkt
- Bestimme die Punkte , für die
regulär
ist.
- Ist injektiv?
- Ist surjektiv? Tipp: Die Funktion ist nach unten beschränkt.
Lösung
- Es ist
-
und
-
Somit ist die Jacobi-Matrix gleich
-
- Die Determinante der Jacobi-Matrix ist
-
Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist die Determinante genau dann gleich , wenn
-
ist. Dies ist genau bei
-
und
-
bzw.
-
der Fall. Dies charakterisiert die kritischen Punkte, die Punkte mit
oder
-
sind regulär.
- Wir betrachten die Einschränkung von auf die durch
-
gegebene Gerade. Die beiden Komponentenfunktionen haben darauf die Form
-
Die Ableitung davon ist
-
mit einer Nullstelle an
-
Wegen
-
liegt dort ein isoliertes Minimum von vor. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher
-
mit
-
Daher haben
und
unter den gleichen Wert und die Abbildung ist nicht injektiv.
- Die Abbildung ist nicht surjektiv. Wir zeigen, dass Elemente der Form
-
mit hinreichend klein nicht zum Bild gehören. Die Bedingung
(der zweiten Komponente)
-
führt auf
-
und damit auf
-
und somit ergibt sich
(aus der ersten Komponente)
die Bedingung
-
Da nach
Aufgabe 20.57 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
nach unten beschränkt ist, ist auch nach unten beschränkt, und für
-
unterhalb dieser Schranke gibt es kein Urbild.
Wir betrachten die Abbildung
-
- Bestimme das
totale Differential
von in jedem Punkt .
- Bestimme die
kritischen Punkte
von .
- Bestimme eine
Basis
für den
Tangentialraum an die Faser
von durch den Punkt .
Lösung
- Das
totale Differential
ist
-
- Für einen kritischen Punkte müssen alle Komponenten des totalen Differentials gleich sein. Daher muss wegen der zweiten Komponente
sein und damit
und
.
Der einzige kritische Punkt liegt also in vor.
- Das totale Differential in ist
-
Der Tangentialraum ist der Kern dieser linearen Abbildung, eine Basis davon ist
und .
Es seien
und
endlichdimensionale reelle Vektorräume,
und
offene Teilmengen
und
-
ein
Diffeomorphismus.
Es sei
-
ein
Vektorfeld
auf . Es sei das durch
-
definierte Vektorfeld auf . Zeige, dass
-
genau dann eine
Lösung des Anfangswertproblems
-
wenn eine Lösung des Anfangswertproblems
-
ist.
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung