Kurs:Funktionentheorie/7/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	4	5	2	4	2	4	3	5	3	1	4	2	10	62

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Differenzierbarkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
2. Eine winkeltreue Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

3. Der Ring der konvergenten Potenzreihen.
4. Eine geschlossene Differentialform.
5. Der Nebenteil zu einer Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$.
6. Eine Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ zwischen topologischen Räumen.

Lösung

1. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

   $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

   existiert.

2. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren ${}v,w\in V$ die Beziehung

   ${}\angle (\varphi (v),\varphi (w))=\angle (v,w)\,$

   gilt.

3. Konvergente Potenzreihen/1/Lokaler Ring/Definition/Begriff/Inhalt
4. Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Geschlossen/Definition/Begriff/Inhalt
5. Laurent-Reihe/Formal/Nebenteil/Definition/Begriff/Inhalt
6. Überlagerung/Diskret/Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Winkeltreue und komplexe Differenzierbarkeit.
2. Der Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.
3. Der Residuensatz.

Lösung

1. Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung derart, dass das totale Differential in jedem Punkt invertierbar sei. Dann ist ${}f$ auf ${}G$ genau dann komplex differenzierbar, wenn ${}\left(Df\right)_{P}$ in jedem Punkt ${}P\in G$ winkeltreu und orientierungstreu ist.
2. Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und ${}a\in U$ ein Punkt. Dann wird ${}f$ in einer Umgebung von ${}a$ durch die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ beschrieben, wobei die Koeffizienten durch

   ${}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,$

   gegeben sind, und ${}\gamma$ einen einfachen Umlaufweg um ${}a$ innerhalb von ${}U$ bezeichnet.
3. Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, ${}D\subseteq G$ eine endliche Teilmenge,

   $\gamma \colon I\longrightarrow G\setminus D$

   ein geschlossener stetiger Weg und sei

   $f\colon G\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   eine holomorphe Funktion.

   Dann ist

   ${}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz=\sum _{P}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)\,,$

   wobei über alle Punkte ${}P\in D$

   summiert wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestätige, dass bei ${}b\geq 0$ die Zahl

${}u={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,$

eine Quadratwurzel der komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}u^{2}&={\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\right)}^{2}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\vert {z}\vert +a-{\left(\vert {z}\vert -a\right)}+2{\mathrm {i} }{\sqrt {{\left(\vert {z}\vert +a\right)}{\left(\vert {z}\vert -a\right)}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert ^{2}-a^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {b^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }b\right)}\\&=a+b{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form ${}z\mapsto {\frac {z+c}{1+{\overline {c}}z}}$ mit ${}\vert {c}\vert <1$ die offene Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ in sich abbilden.

Lösung

Es ist

${}{\frac {z+c}{1+{\overline {c}}z}}<1\,$

für ${}\vert {z}\vert <1$ zu zeigen, was mit

${}\vert {z+c}\vert <\vert {1+{\overline {c}}z}\vert \,$

äquivalent ist. Mit Hilfe der komplexen Konjugation bedeutet dies

${}{\begin{aligned}{\left(z+c\right)}{\left({\overline {z+c}}\right)}&=z{\overline {z}}+z{\overline {c}}+c{\overline {z}}+c{\overline {c}}\\&<{\left(1+{\overline {c}}z\right)}{\overline {\left(1+{\overline {c}}z\right)}}\\&=1+{\overline {c}}z+c{\overline {z}}+c{\overline {c}}z{\overline {z}},\end{aligned}}$

was zu

${}z{\overline {z}}+c{\overline {c}}<1+c{\overline {c}}z{\overline {z}}\,$

bzw. zu

${}1+c{\overline {c}}z{\overline {z}}-z{\overline {z}}-c{\overline {c}}={\left(1-c{\overline {c}}\right)}{\left(1-z{\overline {z}}\right)}>0\,$

äquivalent ist. Wegen ${}\vert {c}\vert <1$ ist dies richtig.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.

Lösung

Die reelle Jacobi-Matrix von ${}(x,y)\mapsto (g(x,y),h(x,y))$ im Punkt ${}P$ ist

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}.$

Diese beschreibt eine reell-lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ und die komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass sie auch komplex-linear ist. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${}a+b{\mathrm {i} }$ wird reell durch die Matrix

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

beschrieben, und die Bedingungen im Satz beschreiben genau diese Beziehungen.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.

Lösung

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$

mit ${}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {z^{i}}{i!}}{\frac {w^{n-i}}{(n-i)!}}$. Diese Reihe ist nach Lemma 6.11 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der ${}n$-te Summand der Exponentialreihe von ${}z+w$ nach der allgemeinen binomischen Formel gleich

${}{\frac {(z+w)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}z^{i}w^{n-i}=c_{n}\,,$

so dass die beiden Seiten übereinstimmen.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu ${}1-T$ an.

Lösung Formale Potenzreihe/Inverses von 1-T/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ der Ring der Keime stetiger Funktionen in Punkt ${}0\in \mathbb {R}$. Zeige, dass in ${}R$ das maximale Ideal nicht von ${}X$ (also der Identität) erzeugt wird.

Lösung

Wir betrachten die stetige Funktion

${}f(x)={\begin{cases}{\sqrt {x}},\,{\text{ für }}x\geq 0\,,\\{\sqrt {-x}},\,{\text{ für }}x<0\,,\end{cases}}\,$

auf ${}\mathbb {R}$. Wir behaupten, dass ${}f$ nicht zu dem von der Funktion ${}x$ erzeugten Hauptideal gehört, und zwar in keiner offenen Umgebung des Nullpunktes. Nehmen wir

${}f(x)=g(x)x\,$

mit einer stetigen Funktion ${}g$ an. Dann gilt außerhalb des Nullpunktes im positiven Bereich die Gleichung

${}g(x)={\frac {f(x)}{x}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}={\frac {1}{\sqrt {x}}}\,.$

Für ${}x\rightarrow 0$ geht aber ${}{\sqrt {x}}$ gegen ${}0$ und daher geht ${}{\frac {1}{\sqrt {x}}}$ gegen unendlich und somit kann ${}g$ nicht stetig in den Nullpunkt hinein fortgesetzt werden.

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}3\\5\\-6\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}3\\5\\-6\end{pmatrix}}&=(4e_{1}-e_{2}+2e_{3})\wedge (3e_{1}+5e_{2}-6e_{3})\\&=20e_{1}\wedge e_{2}-24e_{1}\wedge e_{3}-3e_{2}\wedge e_{1}+6e_{2}\wedge e_{3}+6e_{3}\wedge e_{1}+10e_{3}\wedge e_{2}\\&=20e_{1}\wedge e_{2}-24e_{1}\wedge e_{3}+3e_{1}\wedge e_{2}+6e_{2}\wedge e_{3}-6e_{1}\wedge e_{3}-10e_{2}\wedge e_{3}\\&=23e_{1}\wedge e_{2}-30e_{1}\wedge e_{3}-4e_{2}\wedge e_{3}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei

$\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(u,v)\longmapsto \varphi (u,v)=\varphi _{1}(u,v)+{\mathrm {i} }\varphi _{2}(u,v)=x+{\mathrm {i} }y=z,$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug ${}\varphi ^{*}d{\overline {z}}$ gilt (mit ${}w=u+{\mathrm {i} }v$)

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(d{\overline {z}})&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}du+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}dv\\&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial w}}dw+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial {\overline {w}}}}d{\overline {w}}.\end{aligned}}$

Lösung

Es ist

${}d{\overline {z}}=dx-{\mathrm {i} }dy\,.$

Nach Lemma 11.15 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist daher

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(d{\overline {z}})&=\varphi ^{*}(dx-{\mathrm {i} }dy)\\&={\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}du+{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}dv-{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}du+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}dv\right)}\\&={\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}-{\mathrm {i} }{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\right)}du+{\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}-{\mathrm {i} }{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\right)}dv\\&={\overline {\left({\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right)}}du+{\overline {\left({\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)}}dv\\&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}du+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}dv\\&={\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}\right)}du+{\left({\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)}dv\\&={\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}\right)}d{\left(u+{\mathrm {i} }v\right)}+{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}\right)}d{\left(u-{\mathrm {i} }v\right)}\\&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial w}}dw+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial {\overline {w}}}}d{\overline {w}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}z^{2}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ bezüglich des Weges

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto 2t^{2}-{\mathrm {i} }t.$

Lösung

Die Differentialform ist exakt, eine Stammfunktion ist

${}f(z)={\frac {1}{3}}z^{3}\,.$

Es ist

${}\gamma (-1)=2+{\mathrm {i} }\,$

und

${}\gamma (0)=0\,.$

Daher ist nach Satz 12.11 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }z^{2}dz&=f(\gamma (0))-f(\gamma (-1))\\&=f(0)-f(2+{\mathrm {i} })\\&=-{\frac {1}{3}}{\left(2+{\mathrm {i} }\right)}^{3}\\&=-{\frac {1}{3}}{\left(8+12{\mathrm {i} }-6-{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {-2-11{\mathrm {i} }}{3}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die durch

$f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

Zeige, dass es zu jedem ${}\lambda ,\,-1\leq \lambda \leq 1$, eine Nullfolge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

${\frac {f(x_{n})-f(0)}{x_{n}}}$

gegen ${}\lambda$ konvergiert.

Lösung

Zu jedem ${}\lambda \in [-1,1]$ gibt es ein ${}u\in {]0,2\pi ]}$ mit ${}\sin u=\lambda$. Wir setzen

${}x_{n}:={\frac {1}{u+2\pi n}}\,.$

Dies ist offenbar eine Nullfolge in ${}\mathbb {R} _{+}$. Die zugehörigen Differenzenquotienten sind

${}{\begin{aligned}{\frac {f(x_{n})}{x_{n}}}&={\frac {x_{n}\sin {\frac {1}{x_{n}}}}{x_{n}}}\\&=\sin {\frac {1}{x_{n}}}\\&=\sin \left(u+2\pi n\right)\\&=\sin u\\&=\lambda .\end{aligned}}$

Also ist die Folge dieser Differenzenquotienten konstant gleich ${}\lambda$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Residuum für die rationale Funktion

${}f(z)={\frac {1}{z^{2}-z}}\,$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Lösung

Es ist

${}f(z)={\frac {1}{z^{2}-z}}={\frac {1}{z(z-1)}}=-{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z-1}}\,.$

Das Residuum im Nullpunkt ist also gleich ${}-1$, das Residuum in ${}1$ ist gleich ${}1$, und das Residuum in allen anderen Punkten ist ${}0$, da dort die Funktion holomorph ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere eine „möglichst verrückte“ einfach zusammenhängende offene Teilmenge von ${}{\mathbb {C} }$.

Lösung C/Einfach zusammenhängend/Verrückt/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom vom Grad ${}\geq 2$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ keine Überlagerung ist.

Lösung

Die Ableitung ${}P'$ besitzt den Grad ${}d-1\geq 1$ und damit zumindest eine Nullstelle ${}a\in {\mathbb {C} }$. Es sei ${}b=P(a)$. Das Polynom ${}P-b$ und seine Ableitung ${}(P-b)'=P'$ besitzen somit in ${}a$ eine Nullstelle, d.h. ${}a$ ist eine mehrfache Nullstelle von ${}P-b$. D.h. ${}P-b=(X-a)^{r}Q$ mit ${}r\geq 2$ und daher besitzt ${}P-b$ höchstens ${}d-1$ verschiedene Nullstellen, also besteht die Faser zu ${}\varphi$ über ${}b$ aus höchstens ${}d-1$ Elementen. Die Fasern von ${}\varphi$ sind aber außerhalb der Nullstellen der Ableitung ${}d$-elementig. Bei einer Überlagerung über einer zusammenhängenden Menge ist aber die Faseranzahl konstant.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit ${}0\notin U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Es sei

${}L(\exp z)=z+b\,$

auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$ (mit einer Konstanten ${}b$). Zeige, dass

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,$

ist.

Lösung

Wenn

${}L(\exp z)=z+b\,$

gilt, so ergibt sich durch ableiten

${}L'(\exp z)\cdot \exp z=1\,,$

also

${}L'(\exp z)={\frac {1}{\exp z}}\,.$

Da die Exponentialfunktion alle Werte ${}\neq 0$ annimmt, ist

${}L'(w)={\frac {1}{w}}\,.$

Aufgabe (10 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f_{k}\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion ${}f$ kompakt konvergiert. Zeige, dass dann ${}f$ holomorph ist und dass die Folge der Ableitungsfunktionen ${}f_{k}^{(n)}$ kompakt gegen ${}f^{(n)}$ konvergiert.

Lösung

Da die Aussagen lokal sind, können wir nach Fakt ***** und nach einer Verschiebung direkt davon ausgehen, dass die Folge auf ${}U{\left(0,s\right)}$ gleichmäßig gegen ${}f$ konvergiert. Es sei ${}0<r<s$ und sei ${}\gamma$ die Standardumrundung von ${}0$ mit Radius ${}r$. Nach Korollar 13.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) und Satz 14.1 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist für ${}P\in U{\left(0,r\right)}$

${}f_{k}^{(n)}(P)={\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz\,.$

Es sei ${}C_{k}$ das Maximum von ${}\vert {f-f_{k}}\vert$. Dann gilt unter Verwendung von Lemma 12.10 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))

${}{\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz-f_{k}^{(n)}(P)}\vert &=\vert {{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz-{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz}\vert \\&={\frac {n!}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)-f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz}\vert \\&\leq n!{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}.\end{aligned}}$

Es sei ${}n$ fixiert, wir behaupten, dass ${}f_{k}^{(n)}(P)$ auf ${}U{\left(0,r\right)}$ lokal gleichmäßig gegen ${}{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz$ konvergiert. Sei ${}P\in U{\left(0,r\right)}$ fixiert und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wir zeigen die gleichmäßige Konvergenz auf ${}U{\left(P,t\right)}$ mit ${}t={\frac {r-\vert {P}\vert }{2}}$. Für ${}Q\in U{\left(P,t\right)}$ ist insbesondere

${}{\frac {r-\vert {P}\vert }{r-\vert {Q}\vert }}\leq 2\,.$

Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der ${}f_{k}$ gegen ${}f$ gibt es ein ${}k_{0}$ derart, dass für alle ${}k\geq k_{0}$ die Abschätzung ${}C_{k}\leq {\frac {\epsilon (r-\vert {P}\vert )^{n+1}}{2^{n+1}r\cdot (n!)}}$ gilt. Daher ist

${}{\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(z)}{(z-Q)^{n+1}}}dz-f_{k}^{(n)}(Q)}\vert &\leq n!{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {Q}\vert )^{n+1}}}\\&=n!{\left({\frac {r-\vert {P}\vert }{r-\vert {Q}\vert }}\right)}^{n+1}{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}\\&\leq n!2^{n+1}{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$

Insbesondere ist

${}f(P)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)}}dz\,$

und daher gilt für den Differenzenquotienten

${}{\begin{aligned}{\frac {f(P)-f(Q)}{P-Q}}&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)}}-{\frac {f(z)}{(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)(z-Q)-f(z)(z-P)}{(z-P)(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)(P-Q)}{(z-P)(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)(z-Q)}}dz.\end{aligned}}$

Für ${}Q\rightarrow P$ konvergiert auf dem Kreisrand ${}{\frac {f(z)}{(z-P)(z-Q)}}$ gleichmäßig gegen ${}{\frac {f(z)}{(z-P)(z-P)}}$ und daher existiert der Limes des Integrals nach Lemma 23.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und somit ist ${}f$ komplex differenzierbar. Somit ist die oben bestimmte Grenzfunktion von ${}f_{k}^{(n)}$ nach Satz 14.1 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gleich der ${}n$-ten Ableitung von ${}f$.