Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Forum

Lemma 31.10

In der Polarisationsformel ist sowohl auf der Seite zu Vorlesung 31 als auch in der Liste mit den wichtigsten Aussagen ein "bei mir war kein (besonderes) Interesse, allerdings sollte ich" in die Definition eingebettet.

Danke, das gehört da überhaupt nicht hin und ist jetzt weg.

Beweis Lemma 33.3

Hallo,

in diesem Beweis

https://de.wikiversity.org/wiki/K%5E3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt/Beweis

hat sich in (2) ein kleiner Fehler eingeschlichen. Hinter dem ersten Gleichheitszeichen wurde im untersten Eintrag des linken Vektors versehentlich das b mit einer 3 indiziert.

Danke, ist korrigiert.

Fehlerhafte Lösung

Hallo,

wenn man auf die Lösung dieser Aufgabe

https://de.wikiversity.org/wiki/Orthogonales_Komplement/(-2,8,9)/Aufgabe

klickt, erscheint lediglich

"(8,2,0); (9,0,2)",

da scheint etwas mit der Darstellung schief gelaufen zu sein.

Lieben Gruß!

die Lösung ist nicht von mir.

Definition 35.5

Definieren wir zu zwei Teilmengen d(A,B) = 0 wenn für diese gilt, dass ihr Schnitt ≠ 0 ist?

ja (ergibt sich aus INfimium)

Dazu auch noch die Frage, ob wir bei Aufgabe 35.23 auch auf den Fall das K1 und K2 sich schneiden eingehen müssen, denn wenn wir obiges definieren könnten auch Punkte die nicht auf der Verbindungsgeraden von M1 nach M2 liegen sowohl in K1 als auch in K2 vorhanden sein und somit den minimalen Abstand 0 haben.

gute Bemerkung; wenn man unter Kreis hier die Kreislinie (Peripherie) versteht, muss man disjunkt voraussetzen. Wenn man darunter den Vollkreis versteht, dann nicht. Ich schreib noch disjunkt dazu.

Beweis zu Satz 37.10

Hallo,

im ersten Satz vom Beweis zu Satz 37.10 in der Onlineversion und in der PDF-Datei ist der Vektor AB zweimal als anliegender Vektor an Punkt A ausgewiesen, anstatt AB und AC.

Danke

Symmetrische Bilinearform

Hallo,

ich hab eine Frage zu Aufgabe 39.17. Wenn die Gramsche Matrix eine symmetrische Bilinearform beschreiben soll, muss die Matrix selbst dann nicht auch symmetrisch sein? Oder habe ich das falsch verstanden?

Sie haben völlig recht, ich hab die Zahlen geändert (1KP).

Dazu eine weitere Frage: Müsste die Bilinearform in Aufgabe 39.19 nicht auch als symmetrisch deklariert werden? Schließlich besitzt die Bilinearform einen Ausartungsraum, aber als wir den Ausartungsraum definiert haben, haben wir dies nur für eine symmetrische, nicht für eine beliebige Bilinearform gemacht:

https://de.wikiversity.org/wiki/Symmetrische_Bilinearform/Ausartungsraum/Definition

auch da haben Sie recht, auch Typ definiert man nur für symmetrische Bilinearformen. Bei nicht symmetrischen Bilinearformen könnte man auch von einem Links- und einem Rechtsausartungsraum sprechen, das haben wir aber nicht gemacht.

Aufgabe 41.17

Kann in Aufgabe 41.17 vom Standardskalarprodukt ausgegangen werden?

ja

42.7. Lösung

Muss in der Lösung Aufgabe 42.7. nicht anstelle der 33 eine 41 stehen?

Doch, da muss eine 41 stehen. Vielen Dank. Dafür gebe ich einen halben Kollektivpunkt.

Beweis Satz 48.4

Hallo,

im Beweis von Satz 48.4 schreiben sie

"phi ist mit der Addition verträglich" bzw. "phi ist mit der Skalarmultiplikation" verträglich. Ich glaube, da müsste jeweils phi mit dieser Welle oben drüber stehen. phi ist ja bereits linear nach Voraussetzung.

Liebe Grüße!

Das ist richtig. Vielen Dank, ich habe es korrigiert.

Lösung zu 36.18.

Ist in der drittletzten Zeile der Lösung zum Beweis des Kosinussatzes (36.18.) nicht das Quadrat des Skalarproduktes falsch und in der folgenden Zeile auch die Wahl von u bzw. v an zwei Stellen?

ist korrigiert, Danke.

Satz 36.17

Hallo,

in Satz 36.17 ist 0 anstatt v als ein von 0 verschiedener Vektor angegeben. Gruß

Danke, ist geaendert.

48.18 möglicherweise nicht lösbar?

Hallo,

ich grübele schon eine Weile über der Aufgabe 48.18, hege aber mittlerweile den Verdacht, dass diese gar nicht lösbar ist. Die UVR U_1, U_2 und U sind beliebig, also darf ich U_1 = U_2 = 0 und U = V ungleich 0 setzen. Dann wäre der Durchschnitt in Aussage 2 schlicht 0, aber in Aussage 3 wäre er V, also kann der Schluss von (2) => (3) überhaupt gar nicht für beliebige UVR gelten.

Liebe Grüße!

Sie haben recht, ich hab die Aufgabe geändert, sorry +1KP. (Sie meinen 48.14)

Lösung zu 31.14

Hallo,

kann es sein, dass es bei der Lösung zur Aufgabe 31.14 a) in der letzten Zeile ein "≤-Zeichen" sein muss statt eines "=-Zeichens"?

Def. 63: Polynomring in n Variablen

Guten Abend,

Bei der o.g. Definition muss es an folgender Stelle [...]:=X1^r1+s1 statt s2 heißen.

Danke

Aufgabe 35.9

Hallo, ist die Zeile "50t=67" nicht falsch? Müsste es nicht 58t=49 heißen?

Danke. Da braucht man keine Europameisterschaft, um auf viele Punkte zu kommen.

Beispiel 49.6

Hallo,

Sie schreiben in Beispiel 49.6, dass phi und psi den Vektor (1,0,0) auf S und den Vektor (0,1,0) auf T schicken. Dann betrachten Sie psi^(-1) und schreiben, dass phi den Punkt (1,0,0) auf S schickt und dass psi^(-1) den Punkt S "auf (0,1,0) zurückschickt", obwohl der Punkt doch eigentlich auf (1,0,0) zurückgeschickt wird.

Liebe Grüße!

Danke, 1KP.

Lösung Aufgabe 36.18

Hallo, in der drittletzten Zeile müssen die Quadrate bei den Skalarprodukten von v und u weg.

Danke, 1KP.

Lösung zu 31.14

Hallo,

scheinbar ist die Frage bei all den neuen Beiträgen untergegangen...

Kann es sein, dass es bei der Lösung zur Aufgabe 31.14 a) in der letzten Zeile ein "≤-Zeichen" sein muss statt eines "=-Zeichens"?

nein, das ist so ok, nach Definition ist ja der Abstand die Anzahl der Stellen, wo sich die Einträge unterscheiden.

Aufgabe 41.13

Ist es möglich, dass in der letzten Umformung ein Fehler vorliegt ? Müsste beim Ergebnis nicht noch ein +(ad)/2 stehen ? Kann man daraus immer die Wurzel ziehen?

richtig, man kann aber die Quadratwurzel immer ziehen.1 KP

33.1

Die neue Aufgabe 33.1. hat als Lösung eine Zahl, es muss aber ein Vektor beim Kreuzprodukt sein. Konkret: (51 | -38 | -62), nicht 108.

das stimmt, diese 'Lösung' ist aber nicht von mir gewesen.

47.11

Kann es sein, dass bei der Definition 47.11, bei Punkt 5 eigentlich 1*I stehen müsste anstatt 1+I?!

nein, das ist so richtig.

40.17.

In der Lösung zu 40.17. wurden bei der Nutzung der Defintion einer hermiteschen Form nur komplex konjugiert, nicht aber vertauscht. Nach Defintion muss <v,w> = <w,v> (rechts mit Strich drüber) sein.

Danke, da wollen Sie aber keinen KP für, oder?

Das würde sicherlich viele freuen.

also noch einen.

Frage zu Definition 55.2 und zu Beispielklausuren

In der letzten Gleichung von Definition 55.2 ist mir die Indizierung nicht ganz klar. Dort wird gesagt, dass man eine Summe von Vektoren u und w in der i-ten Komponente des Tensorprodukts auseinanderziehen darf. Aber auf der rechten Seite der Gleichung stehen die Vektoren u und w jeweils in der j-ten Komponente des Tensorprodukts. Jedoch kann man die Komponenten des Tensorprodukts doch eigentlich prinzipiell nicht vertauschen, da doch auch unterschiedliche Vektorräume in den einzelnen Komponenten stehen können oder?

richtig, hier ist

{}i=j

, alles passiert in der

{}i

-ten Komponente, ist geändert. 1 KP

Eine weitere Frage: Werden noch Beispielklausuren für die Klausurvorbereitung hochgeladen?

weiß ich noch nicht, eher nicht.

Beispielklausuren

Hallo! Werden wieder Beispielklausuren hochgeladen, mit denen man üben kann? Viele Grüße!

siehe oben.

Lemma 41.12/Satz 42.11

Im Satz 42.11 heißt es: "... es sei $\Psi$ eine hermitesche Form auf $V$ , die dem selbstadjungierten Endomorphismus

$\varphi :V\longrightarrow V$

im Sinne von Lemma 41.12 entspricht."

Die Abbildung aus Lemma 41.12 ist aber als Abbildung von End(V) nach Sesq(V) definiert, und weil die Surjektivität nicht gezeigt wurde, falls ich den entsprechenden Beweis nicht übersehen habe, kann man einer Sesquilinearform nicht ohne weiteres darüber einen Endomorphismus zuordnen. Im endlichdimensionalen Fall ist dieser Nachweis natürlich relativ einfach. Kann es sein, dass er im nicht vorhandenen fünften Teil des Lemmas, auf den Sie im Beweis zu 42.12 verweisen, erbracht werden sollte? Oder gilt der Satz nur für Sesquilinearformen, die im Bild dieser Abbildung liegen?

Danke, ist beides geändert. +2KP

Aufgabe 33.8

Hallo,

Aufgabe 33.8 ist als Sternchenaufgabe markiert, aber eine Lösung gibt es leider nicht. Es wird lediglich auf einen nicht-existierenden Link verwiesen.

dann hab ich vor, da eine Lösung zu schreiben.

Danke für das Hinzufügen der Lösung! Ich glaube, Sie haben einen kleinen Fehler in (3) => (1) eingebaut. Sie meinen wahrscheinlich phi(u_i), i = 1, ..., n, haben aber lediglich "i = 1," geschrieben.

Aufgabe 37.5

Sie schreiben in der Lösung von Aufgabe 37.5 zu Anfang, dass "die Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich P + su" seien, führen P aber erst in der nächsten Zeile ein. Meinen Sie hier nicht eigentlich M + su? Ferner müsste es in "Das gleiche Ergebnis ergibt sich für d(P, B)" eigentlich d(P, B)^2 heißen, oder?

ja, ist korrigiert, 1KP.

Und könnten Sie den Beweis noch einmal im Allgemeinen überfliegen? Sie setzen nämlich erst voraus, dass P einen Punkt auf der Mittelsenkrechten darstellt und weisen danach einen Zusammenhang mittels des Satzes des Pythagoras nach. Auf diesen scheinen Sie später aber gar nicht mehr zurückzugreifen, da Sie erst in der letzten Zeile schlussfolgern, dass es sich bei P überhaupt um einen Punkt auf der Mittelsenkrechte handelt.

es werden die zwei getrennten Richtungen gezeigt, wobei in beiden der Satz des Pythagoras verwendet wird.

Vielen Dank! Von welchen beiden Richtungen ist denn die Rede? Die Aufgabe liegt ja nicht in Form einer Äquivalenzaussage vor.

in dem Sinn: ein Punkt der Ebene liegt auf der Mittelsenkrechte genau dann, wenn er zu den beiden Punkten den gleichen Abstand hat.

Aufgabe 37.15

Sie setzen in

https://de.wikiversity.org/wiki/Dreieck/Grundseite_und_H%C3%B6he/Minimaler_Umfang/Aufgabe/L%C3%B6sung

die beiden Terme gleich, aber bei einer der beiden Seiten des Gleichheitszeichens scheint ein Minus zu fehlen. Im nächsten Schritt scheinen Sie das wieder korrigiert zu haben, da Sie von (s - x) sprechen.

richtig, ist korrigiert.

Aufgabe 56.17

Handelt es sich bei der Lösung dieser Aufgabe

https://de.wikiversity.org/wiki/C_%C3%BCber_R/Grad/Aufgabe

erneut nicht um Ihre eigene Lösung?

nicht von mir, ist aber richtig.

Aufgabe 17.7

Was meinen Sie in dieser Lösung

https://de.wikiversity.org/wiki/Gruppe/Elementordnung/Z_mod_d/Aufgabe/L%C3%B6sung

mit der Aussage, die Ordnung sei "maximal gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen d."? Soll das bedeuten, dass die Ordnung maximal so hoch ist wie die natürliche Zahl d oder dass sie mit d identisch ist? Und ist die Aufgabenstellung hier wieder in einem "genau dann, wenn ..."-Kontext zu lesen?

Es geht um die Gleichheit von zwei Zahlen, ord g einerseits und min (d: es gibt ...). Im ersten Schritt wird ${}\leq$ gezeigt, das kommt durch ord g ist maximal so groß wie die rechte Seite zum Ausdruck. Im zweiten Schritt wird ${}\geq$ gezeigt.

Vielen Dank! Das leuchtet ein.

Beipiele 49.6 und 7

Sie schreiben in Beisiel 49.6: "Die Dritteldrehung, die (1,0,0) auf (0,0,1) schickt, muss (0,0,1) auf (1,0,0) schicken." Muss (0,0,1) nicht auf (0,1,0) geschickt werden, sodass es auch der Matrixdarstellung entspricht?

In Beispiel 49.7 sind bei der "gleichmäßigen Unterteilung des Kreises" die Koordinaten des zweiten Eckpunktes vertauscht.

beides richtig, ist korrigiert.

Aufgabe 46.3

Handelt es sich hierbei

https://de.wikiversity.org/wiki/Kommutativer_Ring/p_Elemente/K%C3%B6rper/Aufgabe/L%C3%B6sung

wirklich um die Lösung dieser Aufgabe:

https://de.wikiversity.org/wiki/Kommutativer_Ring/p_Elemente/K%C3%B6rper/Aufgabe

Sie schreiben in der Lösung nämlich etwas von K, aber das kommt in der Aufgabenstellung nicht vor.

da wurde aus dem R ein K wegen Körper.

Aufgabe 52.14

Hier

https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexer_Betrag/Stetig/Aufgabe

wurde wieder eine fremde Lösung eingestellt. Ich bin mir nicht sicher, ob diese korrekt ist. Nach Aufgabenstellung soll die Aussage für eine Abbildung C -> C gezeigt werden. In der Lösung wird nun f: C -> R definiert, aber der Wertebereich von g ist nicht unmittelbar ersichtlich. Für die Gültigkeit der Aussage müsste g ja in C abbilden, aber da g schlicht die Wurzelfunktion ist, kann man doch nicht davon ausgehen, dass dem so ist, oder?

Die Abbildung kann man als ${}{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ , hinten die Einbettung. Die Abbildung ist stetig genau dann, wenn wie als Abbildung nach ${}\mathbb {R}$ stetig ist. Der hochgeladene Beweis ist etwas umständlich, da für die polynomiale Abbildung ${}(a,b)\rightarrow a^{2}+b^{2}$ das Folgenkriterium bemüht wird, aber ansonsten richtig.

Lemma Gramsche Matrix

https://de.wikiversity.org/wiki/Bilinearform/Gramsche_Matrix_unter_Basiswechsel/Fakt

Warum bezieht sich der Index von w_j zu Anfang noch auf die Spaltenkoeffizienten (als Sie w_j das erste Mal definiert haben), aber zu Beginn des Beweises auf die Zeilenkoffezienten? (dort schreiben Sie nämlich von w_r, und das r steht vorne und nicht hinten, wie zuvor definiert)

sorry, weil ich links und rechts durcheinander bringe.

Nachnachklausur

Wird es eine Nachnachklausur geben?

nein, allenfalls bei großem Bedarf.