Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 56

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Formuliere und beweise den „Satz über die surjektive Abbildung“.


Aufgabe *

Betrachte die Abbildung

a) Erstelle die Jacobi-Matrix von .

b) Bestimme die regulären Punkte von .

c) Zeige, dass die Bedingung

erfüllt.

d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.


Aufgabe *

Es sei

Begründe, ob die Abbildung

injektiv ist oder nicht.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn (als Abbildung) Lipschitz-stetig ist, so genügt das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung.

b) Wenn das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, so sind für jedes feste die Abbildungen

Lipschitz-stetig.

c) Man gebe Beispiele, die zeigen, dass die Implikationen aus a) und b) nicht umkehrbar sind.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Es sei eine Menge und es seien

die zu gehörenden konstanten Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig gegen die konstante Funktion

konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine endliche Menge und

eine Abbildungsfolge in einen metrischen Raum . Zeige, dass diese Folge genau dann punktweise konvergiert, wenn sie gleichmäßig konvergiert.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Es sei und

eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass diese Folge genau dann gleichmäßig konvergiert, wenn die auf eingeschränkte Folge gleichmäßig konvergiert.


Aufgabe

Sei eine Menge und ein euklidischer Vektorraum. Es sei versehen mit der Supremumsnorm. Beweise die folgenden Eigenschaften für diese „Norm“ (dabei ist der Wert erlaubt und sinnvoll zu interpretieren).

  1. für alle .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt


Aufgabe

Es sei

die Menge der stetigen Funktionen, die mit der Supremumsnorm versehen sei. Skizziere zu die offene und die abgeschlossene -Umgebung von einem .


Es sei ein -Vektorraum. Eine Abbildung

heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle gelten.

  1. .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt


Die Norm zu einem Skalarprodukt erfüllt diese Eigenschaften.

Aufgabe

Es sei eine Menge und ein euklidischer Vektorraum. Es sei

die Menge der beschränkten Abbildungen von nach . Zeige, dass die Supremumsnorm auf eine Norm ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein normierter -Vektorraum durch

zu einem metrischen Raum wird.


Aufgabe

Es sei eine Menge, ein euklidischer Vektorraum und

die Menge der beschränkten Abbildungen von nach . Zeige, dass eine Folge aus genau dann gegen gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum konvergiert.


Aufgabe

Es seien und metrische Räume. Zeige, dass die Menge der stetigen Abbildungen von nach durch

zu einem metrischen Raum wird.


Aufgabe

Es seien und metrische Räume, wobei vollständig sei. Zeige, dass die Menge der stetigen Abbildungen von nach durch

zu einem vollständigen metrischen Raum wird.


Aufgabe *

Sei

fixiert und sei

a) Zeige, dass die Abbildung

wohldefiniert ist.

b) Sei nun zusätzlich . Zeige, dass die Abbildung aus a) eine starke Kontraktion ist (wobei mit der Maximumsnorm versehen sei).

c) Zeige, dass durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.

d) Bestimme den Fixpunkt von .


Aufgabe

Sei

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle und die Beziehung gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

ganz in verläuft.


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

mit der Picard-Lindelöf-Iteration.


Aufgabe

Bestimme in Beispiel 56.7 eine explizite Formel für die Iterationen .


Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme für jedes die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

zum ortsunabhängigen Vektorfeld


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine reguläre Kurve. Zeige, dass die Faser über jedem Punkt endlich ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei offen und

eine in total differenzierbare Abbildung mit injektivem totalen Differential. Zeige, dass es eine offene Umgebung von mit gibt.

Tipp: Betrachte das totale Differential auf der Einheitssphäre. Der Satz über die injektive Abbildung ist hier nicht anwendbar.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine kompakte Teilmenge und ein euklidischer Vektorraum. Es sei der Raum der stetigen Abbildungen von nach , versehen mit der Supremumsnorm. Es seien und Punkte. Zeige, dass die Teilmenge

abgeschlossen in ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Folge von reellen -Matrizen und

die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge für alle genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen punktweise konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine Menge und

eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass genau dann gegen eine Grenzabbildung

gleichmäßig konvergiert, wenn die Komponentenfunktionen gleichmäßig gegen konvergieren.



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