Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 56

Übungsaufgaben

Aufgabe

Formuliere und beweise den „Satz über die surjektive Abbildung“.

Aufgabe *

Betrachte die Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^3,(s,t)⟼(s,-s-t^2,t^3)=(x,y,z).$

a) Erstelle die Jacobi-Matrix von $\phi$.

b) Bestimme die regulären Punkte $(s,t)$ von $\phi$.

c) Zeige, dass $\phi (s,t)$ die Bedingung

$(x+y{)}^3+z^2=0$

erfüllt.

d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe *

Es sei

$U=({ℝ}_{+}\times ℝ)\setminus \{(2,4),(4,2)\}.$

Begründe, ob die Abbildung

$\phi :U⟶{ℝ}^3,(x,y)⟼(x+y,xy,x^y)=(u,v,w).$

injektiv ist oder nicht.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  $I\subseteq ℝ$  ein reelles Intervall,  $U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f:I\times U⟶V,(t,v)⟼f(t,v),$

ein Vektorfeld auf $U$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn $f$ (als Abbildung) Lipschitz-stetig ist, so genügt das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung.

b) Wenn das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, so sind für jedes feste $t\in I$ die Abbildungen

$U⟶V,v⟼f(t,v),$

Lipschitz-stetig.

c) Man gebe Beispiele, die zeigen, dass die Implikationen aus a) und b) nicht umkehrbar sind.

Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $M$, die gegen $x\in M$ konvergiert. Es sei $T$ eine Menge und es seien

$f_n:T⟶M,t⟼f_n(t)=x_n,$

die zu $x_n$ gehörenden konstanten Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gleichmäßig gegen die konstante Funktion

$f:T⟶M,t⟼f(t)=x,$

konvergiert.

Aufgabe

Es sei $T$ eine endliche Menge und

$f_n:T⟶X$

eine Abbildungsfolge in einen metrischen Raum $X$. Zeige, dass diese Folge genau dann punktweise konvergiert, wenn sie gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei $(Y,d)$ ein metrischer Raum und  $T\subseteq Y$  eine Teilmenge. Es sei $T\subseteq \tilde{T}\subseteq \bar{T}$ und

$g_n:\tilde{T}⟶𝕂$

eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass diese Folge genau dann gleichmäßig konvergiert, wenn die auf $T$ eingeschränkte Folge $f_n=g_n{|}_T$ gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei  $M=\mathrm{Abb}(T,E)$  versehen mit der Supremumsnorm. Beweise die folgenden Eigenschaften für diese „Norm“ (dabei ist der Wert $\mathrm{\infty }$ erlaubt und sinnvoll zu interpretieren).

1.  $\Vert f\Vert \ge 0$  für alle  $f\in M$. 
2.  $\Vert f\Vert =0$  genau dann, wenn  $f=0$  ist.
3. Für  $\lambda \in ℝ$  und  $f\in M$  gilt

   $\Vert \lambda f\Vert =|\lambda |\cdot \Vert f\Vert .$

4. Für  $g,f\in M$  gilt

   $\Vert g+f\Vert \le \Vert g\Vert +\Vert f\Vert .$

Aufgabe

Es sei

$C=C^0([0,1],ℝ)$

die Menge der stetigen Funktionen, die mit der Supremumsnorm versehen sei. Skizziere zu $ϵ>0$ die offene und die abgeschlossene $ϵ$-Umgebung von einem $f\in C$.

Es sei $V$ ein $𝕂$-Vektorraum. Eine Abbildung

$\Vert -\Vert :V⟶ℝ,v⟼\Vert v\Vert ,$

heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Es ist  $\Vert v\Vert \ge 0$  für alle  $v\in V$. 
2. Es ist  $\Vert v\Vert =0$  genau dann, wenn  $v=0$  ist.
3. Für  $\lambda \in 𝕂$  und  $v\in V$  gilt

   $\Vert \lambda v\Vert =|\lambda |\cdot \Vert v\Vert .$

4. Für  $v,w\in V$  gilt

   $\Vert v+w\Vert \le \Vert v\Vert +\Vert w\Vert .$

Die Norm zu einem Skalarprodukt erfüllt diese Eigenschaften.

Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei

$M=\{f:T\to E\mid \Vert f{\Vert }_T<\mathrm{\infty }\}$

die Menge der beschränkten Abbildungen von $T$ nach $E$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf $M$ eine Norm ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein normierter $ℝ$-Vektorraum durch

$d(u,v):=\Vert u-v\Vert$

zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge, $E$ ein euklidischer Vektorraum und

$M=\{f:T\to E\mid \Vert f{\Vert }_T<\mathrm{\infty }\}$

die Menge der beschränkten Abbildungen von $T$ nach $E$. Zeige, dass eine Folge ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ aus $M$ genau dann gegen  $f\in M$  gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum $M$ konvergiert.

Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume. Zeige, dass die Menge $C$ der stetigen Abbildungen von $L$ nach $M$ durch

$d(f,g):=min(\sup (d(f(x),g(x)),x\in L),1)$

zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume, wobei $M$ vollständig sei. Zeige, dass die Menge $C$ der stetigen Abbildungen von $L$ nach $M$ durch

$d(f,g):=min(\sup (d(f(x),g(x)),x\in L),1)$

zu einem vollständigen metrischen Raum wird.

Aufgabe *

Es sei

$b\ge 1\ge a>0$

fixiert und sei

$M=\{f:[a,b]\to [a,b]\mid f\text{ stetig}\}.$

a) Zeige, dass die Abbildung

$H:M⟶M,f⟼H(f)=\sqrt{f},$

wohldefiniert ist.

b) Es sei nun zusätzlich  $a>\frac{1}{4}$.  Zeige, dass die Abbildung $H$ aus a) eine starke Kontraktion ist (wobei $M$ mit der Maximumsnorm versehen sei).

c) Zeige, dass $M$ durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.

d) Bestimme den Fixpunkt von $H$.

Aufgabe

Es sei

$f:I\times U⟶V$

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge $U\subseteq V$ eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei $W\subseteq V$ ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle $t\in I$ und $P\in U\cap W$ die Beziehung $f(t,P)\in W$ gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

$v^{\prime }=f(t,v)\text{ mit }v(t_0)=w\in U\cap W$

ganz in $W$ verläuft.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=y+1\text{ mit }y(0)=0.$

mit der Picard-Lindelöf-Iteration.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 56.7 eine explizite Formel für die Iterationen ${\phi }_n$.

Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

$y^{\prime }=y^2+t+y{t}^2$

mit der Anfangsbedingung $y(0)=0$.

Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

mit der Anfangsbedingung $x(0)=2$ und $y(0)=-7$.

Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}-t& t^2\\ 2& t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

mit der Anfangsbedingung $x(0)=1$ und $y(0)=-1$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$f:ℝ\times {ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(t,u,v)⟼(t^{2}uv,u^2-t{v}^2).$

Bestimme für jedes  $t\in ℝ$  die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes

$f_t:{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(u,v)⟼(t^{2}uv,u^2-t{v}^2).$

Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$v^{\prime }=f(t,v)\text{ und }v(1)=(3,2,6)$

zum ortsunabhängigen Vektorfeld

$f:ℝ\times {ℝ}^3⟶{ℝ}^3,(t,x,y,z)⟼t^3(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^2{e}^t)(0,4,5)+(2,2,2).$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

mit der Anfangsbedingung $x(0)=4$ und $y(0)=5$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{t}^2& -1\\ t& t^3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

mit der Anfangsbedingung $x(0)=1$ und $y(0)=1$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\gamma :[a,b]⟶{ℝ}^n$

eine stetig differenzierbare reguläre Kurve. Zeige, dass die Faser über jedem Punkt  $c\in {ℝ}^n$  endlich ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $G\subseteq {ℝ}^m$ offen und

$\phi :G⟶{ℝ}^n$

eine in $P\in G$ total differenzierbare Abbildung mit injektivem totalen Differential. Zeige, dass es eine offene Umgebung $U$ von $P$ mit  ${\phi }^{-1}(\phi (P))\cap U=\{P\}$  gibt.

Tipp: Betrachte das totale Differential auf der Einheitssphäre. Der Satz über die injektive Abbildung ist hier nicht anwendbar.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $T\subseteq {ℝ}^n$ eine kompakte Teilmenge und $E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei $C=C^0(T,E)$ der Raum der stetigen Abbildungen von $T$ nach $E$, versehen mit der Supremumsnorm. Es seien $x_1,\dots ,x_n\in T$ und $y_1,\dots ,y_n\in E$ Punkte. Zeige, dass die Teilmenge

$\{f\in C\mid f(x_1)=y_1,\dots ,f(x_n)=y_n\}$

abgeschlossen in $C$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $M_k={\left({\left(a_{ij}\right)}_k\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$  eine Folge von reellen $m\times n$-Matrizen und

${\phi }_k:{ℝ}^n⟶{ℝ}^m$

die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge ${\left(a_{ij}\right)}_k$ für alle $i,j$ genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen punktweise konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $T$ eine Menge und

$f_n:T⟶{ℝ}^m$

eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass $f_n$ genau dann gegen eine Grenzabbildung

$f:T⟶{ℝ}^m$

gleichmäßig konvergiert, wenn die Komponentenfunktionen $(f_i{)}_n$ gleichmäßig gegen $f_i$ konvergieren.