Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 56

Übungsaufgaben

Aufgabe

Formuliere und beweise den „Satz über die surjektive Abbildung“.

Aufgabe *

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(s,t)\longmapsto (s,-s-t^{2},t^{3})=(x,y,z).$

a) Erstelle die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$.

b) Bestimme die regulären Punkte ${}(s,t)$ von ${}\varphi$.

c) Zeige, dass ${}\varphi (s,t)$ die Bedingung

${}(x+y)^{3}+z^{2}=0\,$

erfüllt.

d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe *

Es sei

${}U=(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} )\setminus \{(2,4),(4,2)\}\,.$

Begründe, ob die Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).$

injektiv ist oder nicht.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn ${}f$ (als Abbildung) Lipschitz-stetig ist, so genügt das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung.

b) Wenn das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, so sind für jedes feste ${}t\in I$ die Abbildungen

$U\longrightarrow V,\,v\longmapsto f(t,v),$

Lipschitz-stetig.

c) Man gebe Beispiele, die zeigen, dass die Implikationen aus a) und b) nicht umkehrbar sind.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$, die gegen ${}x\in M$ konvergiert. Es sei ${}T$ eine Menge und es seien

$f_{n}\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f_{n}(t)=x_{n},$

die zu ${}x_{n}$ gehörenden konstanten Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen die konstante Funktion

$f\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f(t)=x,$

konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine endliche Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow X$

eine Abbildungsfolge in einen metrischen Raum ${}X$. Zeige, dass diese Folge genau dann punktweise konvergiert, wenn sie gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}(Y,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq Y$ eine Teilmenge. Es sei ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\overline {T}}$ und

$g_{n}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass diese Folge genau dann gleichmäßig konvergiert, wenn die auf ${}T$ eingeschränkte Folge ${}f_{n}=g_{n}{|}_{T}$ gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei ${}M=\operatorname {Abb} \,(T,E)$ versehen mit der Supremumsnorm. Beweise die folgenden Eigenschaften für diese „Norm“ (dabei ist der Wert ${}\infty$ erlaubt und sinnvoll zu interpretieren).

1. ${}\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle ${}f\in M$.
2. ${}\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und ${}f\in M$ gilt

   ${}\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$

4. Für ${}g,f\in M$ gilt

   ${}\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$

Aufgabe

Es sei

$C=C^{0}([0,1],\mathbb {R} )$

die Menge der stetigen Funktionen, die mit der Supremumsnorm versehen sei. Skizziere zu ${}\epsilon >0$ die offene und die abgeschlossene ${}\epsilon$-Umgebung von einem ${}f\in C$.

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum. Eine Abbildung

$\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle ${}v,w\in V$ gelten.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$ für alle ${}v\in V$.
2. Es ist ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Die Norm zu einem Skalarprodukt erfüllt diese Eigenschaften.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei

${}M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf ${}M$ eine Norm ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein normierter ${}\mathbb {R}$- Vektorraum durch

${}d(u,v):=\Vert {u-v}\Vert \,$

zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge, ${}E$ ein euklidischer Vektorraum und

${}M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$. Zeige, dass eine Folge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${}M$ genau dann gegen ${}f\in M$ gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum ${}M$ konvergiert.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume. Zeige, dass die Menge ${}C$ der stetigen Abbildungen von ${}L$ nach ${}M$ durch

${}d(f,g):={\min {\left({\operatorname {sup} \,(d(f(x),g(x)),x\in L)},1\right)}}\,$

zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume, wobei ${}M$ vollständig sei. Zeige, dass die Menge ${}C$ der stetigen Abbildungen von ${}L$ nach ${}M$ durch

${}d(f,g):={\min {\left({\operatorname {sup} \,(d(f(x),g(x)),x\in L)},1\right)}}\,$

zu einem vollständigen metrischen Raum wird.

Aufgabe *

Es sei

${}b\geq 1\geq a>0\,$

fixiert und sei

${}M={\left\{f:[a,b]\rightarrow [a,b]\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$

a) Zeige, dass die Abbildung

$H\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto H(f)={\sqrt {f}},$

wohldefiniert ist.

b) Es sei nun zusätzlich ${}a>{\frac {1}{4}}$. Zeige, dass die Abbildung ${}H$ aus a) eine starke Kontraktion ist (wobei ${}M$ mit der Maximumsnorm versehen sei).

c) Zeige, dass ${}M$ durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.

d) Bestimme den Fixpunkt von ${}H$.

Aufgabe

Es sei

$f\colon I\times U\longrightarrow V$

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge ${}U\subseteq V$ eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ${}W\subseteq V$ ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle ${}t\in I$ und ${}P\in U\cap W$ die Beziehung ${}f(t,P)\in W$ gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w\in U\cap W$

ganz in ${}W$ verläuft.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=y+1{\text{ mit }}y(0)=0.$

mit der Picard-Lindelöf-Iteration.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 56.7 eine explizite Formel für die Iterationen ${}\varphi _{n}$.

Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=y^{2}+t+yt^{2}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}y(0)=0$.

Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-1&3\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=2$ und ${}y(0)=-7$.

Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-t&t^{2}\\2&t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=1$ und ${}y(0)=-1$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,u,v)\longmapsto (t^{2}uv,u^{2}-tv^{2}).$

Bestimme für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes

$f_{t}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(u,v)\longmapsto (t^{2}uv,u^{2}-tv^{2}).$

Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(1)=(3,2,6)$

zum ortsunabhängigen Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(t,x,y,z)\longmapsto t^{3}(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^{2}e^{t})(0,4,5)+(2,2,2).$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=4$ und ${}y(0)=5$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t^{2}&-1\\t&t^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=1$ und ${}y(0)=1$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare reguläre Kurve. Zeige, dass die Faser über jedem Punkt ${}c\in \mathbb {R} ^{n}$ endlich ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine in ${}P\in G$ total differenzierbare Abbildung mit injektivem totalen Differential. Zeige, dass es eine offene Umgebung ${}U$ von ${}P$ mit ${}\varphi ^{-1}(\varphi (P))\cap U=\{P\}$ gibt.

Tipp: Betrachte das totale Differential auf der Einheitssphäre. Der Satz über die injektive Abbildung ist hier nicht anwendbar.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und ${}E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei ${}C=C^{0}(T,E)$ der Raum der stetigen Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$, versehen mit der Supremumsnorm. Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in T$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}\in E$ Punkte. Zeige, dass die Teilmenge

${\left\{f\in C\mid f(x_{1})=y_{1},\ldots ,f(x_{n})=y_{n}\right\}}$

abgeschlossen in ${}C$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M_{k}=({(a_{ij}})_{k})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$ eine Folge von reellen ${}m\times n$-Matrizen und

$\varphi _{k}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge ${}({a_{ij}})_{k}$ für alle ${}i,j$ genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen punktweise konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass ${}f_{n}$ genau dann gegen eine Grenzabbildung

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

gleichmäßig konvergiert, wenn die Komponentenfunktionen ${}(f_{i})_{n}$ gleichmäßig gegen ${}f_{i}$ konvergieren.