Kurs:Riemannsche Flächen/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	10	5	2	4	3	3	4	2	2	8	3	4	3	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine riemannsche Fläche.
2. Ein eindimensionaler komplexer Torus.
3. Die analytische Fortsetzung eines holomorphen Funktionskeimes längs eines stetigen Weges ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$.
4. Der Hauptteil zu einer meromorphen Funktion ${}f$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$.
5. Die Divisorenklassengruppe einer riemannschen Fläche.
6. Das Periodengitter einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche ${}X$.

Lösung Riemannsche Flächen/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Decktransformationen und Fixpunkte.
2. Der Satz über holomorphe Differentialformen auf einem komplexen Torus.
3. Der Satz von Riemann-Roch.

Lösung

1. Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Dabei sei ${}Y$ hausdorffsch, lokal wegzusammenhängend und zusammenhängend. Dann ist eine Decktransformation, die einen Fixpunkt besitzt, bereits die Identität.
2. Auf einem komplexen Torus ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ sind die holomorphen Differentialformen gleich ${}sdz$ mit ${}s\in {\mathbb {C} }$, wobei ${}dz$ die durch die ${}\Gamma$-invariante Differentialform ${}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ induzierte Form auf ${}X$ bezeichnet. Insbesondere ist der Raum der holomorphen Differentialformen auf ${}X$ eindimensional.
3. Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ mit der zugehörigen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$. Dann ist

   ${}h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))-h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\operatorname {Grad} \,(D)+1-g\,.$

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe Aspekte der linearen Algebra, die für die Theorie der riemannschen Flächen besonders relevant sind.

Lösung Riemannsche Flächen/Lineare Algebra/Aspekte/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die holomorphe Kurve

$\gamma \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,t\longmapsto \left(\exp t,\,\sin t\right),$

im Punkt ${}t=0$. Bestimme eine affin-lineare Kurve

$\delta \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},$

die im Punkt ${}\gamma (0)$ tangential äquivalent zu ${}\gamma$ ist.

Lösung

Es ist

${}\gamma (0)=\left(1,\,0\right)\,$

und es ist

${}\gamma '(0)=\left(\exp 0,\,\cos 0\right)=\left(1,\,1\right)\,.$

Eine tangential-äquivalente affine-lineare Kurve ist daher

$\delta \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}$

mit

${}\delta (t)=\left(1,\,0\right)+t\left(1,\,1\right)\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass

${}V_{+}{\left(X^{4}+Y^{4}+X^{2}Y^{2}+XZ^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

eine kompakte riemannsche Fläche definiert.

Lösung

Wir verwenden Fakt *****, es ist also zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen von

${}F=X^{4}+Y^{4}+X^{2}Y^{2}+XZ^{3}\,$

auf keinem Punkt von ${}V_{+}(F)$ simultan verschwinden. Die partiellen Ableitungen sind

${}{\frac {\partial F}{\partial X}}=4X^{3}+2XY^{2}+Z^{3}\,,$

${}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=4Y^{3}+2X^{2}Y^{2}\,,$

${}{\frac {\partial F}{\partial Z}}=3XZ^{2}\,.$

Es sei ${}(x,y,z)\in V_{+}(F)$ ein Punkt, in dem alle partiellen Ableitungen ${}0$ sind. Dann ist nach der letzten Ableitung ${}x=0$ oder ${}z=0$. Aus ${}x=0$ folgt aus der ersten und der zweiten partiellen Ableitung sofort ${}y=z=0$, was aber kein projektiver Punkt ist. Also ist

${}z=0\,.$

Die Bedingungen werden dann zu

${}0=4x^{3}+2xy^{2}=x(4x^{2}+2y^{2})\,$

und

${}0=4y^{3}+2x^{2}y=y(4y^{2}+2x^{2})\,.$

Wir wissen bereits ${}x\neq 0$. Aus ${}y=0$ folgt ebenfalls aus der ersten Bedingung direkt ${}x=0$. Also werden die Bedingungen zu

${}4x^{2}+2y^{2}=0=2x^{2}+4y^{2}\,.$

Aus

${}4x^{2}+2y^{2}-2(2x^{2}+4y^{2})=-6y^{2}=0\,$

folgt dann aber wieder ${}y=0$, was wir schon ausgeschlossen haben.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}X$ hausdorffsch. Zeige, dass dann auch ${}Y$ hausdorffsch ist.

Lösung

Es seien ${}y,y'\in Y$ verschiedene Punkte. Wenn ${}p(y)\neq p(y')$ ist, so gibt es nach der Hausdorffeigenschaft von ${}X$ offene Mengen ${}p(y)\in U$ und ${}p(y')\in U'$ mit ${}U\cap U'=\emptyset$. In diesem Fall sind ${}p^{-1}(U)$ und ${}p^{-1}(U')$ trennende offene Umgebungen der beiden Punkte. Bei ${}p(y)=p(y')$ sei ${}p(y)\in U$ eine offene Umgebung, über der die Überlagerung trivialisiert. Dann ist ${}p^{-1}(U)$ eine disjunkte Vereinigung von offenen Mengen ${}V_{j}$ und die beiden Punkte liegen auf verschiedenen Kopien von ${}U$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

die Quadratabbildung. Bestimme eine stetige Liftung ${}{\tilde {\gamma }}$ zum linearen Weg

$\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t,$

mit der Anfangsbedingung ${}{\tilde {\gamma }}(-1)={\mathrm {i} }$. Ist die Liftung eindeutig?

Lösung

Wir nehmen

${}{\tilde {\gamma }}(t):={\begin{cases}{\sqrt {t}}{\text{ für }}t\geq 0\,,\\{\mathrm {i} }{\sqrt {-t}}{\text{ für }}t<0\,,\end{cases}}\,$

wobei stets die positive reelle Quadratwurzel genommen wird. Die Abbildung ist stetig und es gilt auf beiden Abschnitten

${}({\tilde {\gamma }}(t))^{2}=t\,,$

es liegt also eine stetige Liftung vor. Die Liftung ist nicht eindeutig, im positiven Abschnitt könnte man genausso gut die negative Wurzel ${}-{\sqrt {t}}$ nehmen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für das Polynom

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}+4z^{2}+3z+1,$

den Verzweigungsort, die Verzweigungsordnungen in den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.

Lösung

Die Ableitung von ${}F(z)=z^{3}+4z^{2}+3z+1$ ist

${}F'(z)=3z^{2}+8z+3=3{\left(z^{2}+{\frac {8}{3}}z+1\right)}\,$

mit den Nullstellen

${}z_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {7}}-4}{3}}\,.$

Daher ist ${}F$ in den beiden Punkten ${}{\frac {\pm {\sqrt {7}}-4}{3}}$ verzweigt, jeweils mit dem Verzweigungsindex ${}2$, da diese Punkte keine Nullstelle der zweiten Ableitung

${}F^{\prime \prime }(z)=6z+8\,$

sind. Das Verzweigungsbild besteht aus den beiden Punkten

${}{\begin{aligned}F{\left({\frac {{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)}&=\left({\frac {{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)^{3}+4\left({\frac {{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)^{2}+3\left({\frac {{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)+1\\&={\frac {{\left(55{\sqrt {7}}-84-64\right)}+12{\left(23-8{\sqrt {7}}\right)}+27{\sqrt {7}}-108+27}{27}}\\&={\frac {-14{\sqrt {7}}+47}{27}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}F{\left({\frac {-{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)}&=\left({\frac {-{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)^{3}+4\left({\frac {-{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)^{2}+3\left({\frac {-{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)+1\\&={\frac {{\left(-55{\sqrt {7}}-84-64\right)}+12{\left(23+8{\sqrt {7}}\right)}-27{\sqrt {7}}-108+27}{27}}\\&={\frac {14{\sqrt {7}}+47}{27}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass auf ${}\mathbb {R}$ die folgenden Prägarben verschieden sind.

1. Die Prägarbe der konstanten Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$.
2. Die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$.
3. Die Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$.

Lösung

Die ersten ebdein Prägarben sind verschieden, da beispielsweise auf der offenen Menge ${}]0,1]\cup ]2,3[$ die erste den Wert ${}\mathbb {R}$, die zweite dagegen ${}\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ liefert. Diese beiden Prägarben haben auf ganz ${}\mathbb {R}$, da dieser zusammenhängend ist, den Wert ${}\mathbb {R}$, es gibt aber stetige nichtkonstante Funktionen auf ${}\mathbb {R}$, etwa die lineare Funktion ${}17x$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob das Polynom ${}T^{2}-\exp z\in \Gamma {\left({\mathbb {C} },{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }\right)}[T]$ irreduzibel ist. Skizziere das zugehörige reelle Nullstellengebilde.

Lösung

Es ist

${}T^{2}-\exp z={\left(T-\exp {\frac {z}{2}}\right)}{\left(T+\exp {\frac {z}{2}}\right)}\,$

das Polynom ist also nicht irreduzibel.

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche, seien ${}P_{1},\ldots ,P_{k}\in X$ Punkte auf ${}X$ und sei ${}D=\sum _{i=1}^{k}P_{i}$ der Divisor, ${}k\geq 1$. Es sei

${}R_{D}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}=\Gamma {\left(X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\cap \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,,$

vergleiche Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)). Zeige, dass ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ der Quotientenkörper von ${}R$ ist.

Lösung

Es genügt, die Aussage für einen einzigen Punkt ${}P$ zu zeigen, da die natürlichen Inklusionen

${}R=R_{P}\subseteq R_{D}\subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,$

vorliegen. Nach dem Beweis zu Fakt ***** und Fakt ***** gibt es eine endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},$

die ${}P$ auf ${}\infty$ und alle anderen Punkte auf ${}{\mathbb {C} }={\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \}$ abbildet. Dabei ist nach Fakt ***** ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\right)}={\mathbb {C} }(t)\subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ eine endliche Körpererweiterung. Auf der projektiven Geraden ist

${}{\mathbb {C} }[t]=\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\right)}\cap {\mathbb {C} }(t)\,,$

da eine rationale Funktion genau dann ein Polynom ist, wenn sie innerhalb von ${}{\mathbb {C} }$ keinen Pol besitzt. Wegen

${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\right)}\subseteq \Gamma {\left(X\setminus \varphi ^{-1}(\{\infty \}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}=\Gamma {\left(X\setminus \{P\}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$

gehört ${}t$ zu ${}R$. Es sei

${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}={\mathbb {C} }(t)[f]/Q(f)\,$

eine endliche Beschreibung von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ mit einem Erzeuger ${}f\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ und einem normierten Minimalpolynom ${}Q=f^{d}+a_{d-1}f^{d-1}+\cdots +a_{1}f+a_{0}\in {\mathbb {C} }(t)[Z]$. Es sei ${}b\in {\mathbb {C} }[t]$ der Hauptnenner der Koeffizientenfunktionen ${}a_{j}\in {\mathbb {C} }(t)$. Wir multiplizieren die Gleichung

${}f^{d}+a_{d-1}f^{d-1}+\cdots +a_{1}f+a_{0}=0\,$

mit ${}g^{d}$ und erhalten eine entsprechende Gleichung für ${}h=gf$, wobei die Koeffizientenfunktionen jetzt zu ${}{\mathbb {C} }[t]$ gehören, sagen wir

${}h^{d}+b_{d-1}h^{d-1}+\cdots +b_{1}h+b_{0}=0\,.$

Für jeden Punkt ${}Q\in X$, ${}Q\neq P$, ist somit

${}h(Q)^{d}+b_{d-1}(Q)h(Q)^{d-1}+\cdots +b_{1}(Q)h(Q)+b_{0}(Q)=0\,,$

was zeigt, dass ${}h(Q)$ zu ${}{\mathbb {C} }$ gehört und nicht ${}\infty$ ist. Also ist ${}h\in \Gamma {\left(X\setminus \{P\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und somit ${}h\in R$. Damit gehört ${}f$ zum Quotientenkörper von ${}R$ und daher ist ${}Q(R)=\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in ${}0$ den Hauptteil ${}{\frac {1}{z}}$, in ${}2$ den Hauptteil ${}{\frac {4}{(z-2)^{3}}}$ und in ${}\infty$ den Hauptteil ${}{\frac {1}{w^{2}}}=z^{2}$ besitzt.

Lösung

Für jeden Punkt sind die Hauptteile unmittelbar in einer Form, dass sie direkt durch diese rationale Funktion realisiert wird. Deshalb muss man die drei rationalen Funktionen einfach miteinander addieren, es ist also

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{z}}+{\frac {4}{(z-2)^{3}}}+z^{2}&={\frac {(z-2)^{3}+4z+z^{3}(z-2)^{3}}{z(z-2)^{3}}}\\&={\frac {z^{3}-6z^{2}+12z-8+4z+z^{3}{\left(z^{3}-6z^{2}+12z-8\right)}}{z{\left(z^{3}-6z^{2}+12z-8\right)}}}\\&={\frac {z^{6}-6z^{5}+12z^{4}-7z^{3}-6z^{2}+16z-8}{z^{4}-6z^{3}+12z^{2}-8z}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine nichtkompakte zusammenhängende riemannsche Fläche ${}X$ zusammen mit einer meromorphen Funktion ${}f$ mit einem Hauptdivisor der Form ${}P-Q$ und einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ derart, dass ${}\int _{\gamma }\omega$ nicht zur Periodengruppe von ${}\omega$ gehört, wobei ${}\gamma$ ein Verbindungsweg von ${}Q$ nach ${}P$ ist.

Lösung

Wir betrachten ${}X={\mathbb {C} }$ und die rationale Funktion

${}f(z)={\frac {z}{z-1}}\,,$

derer Hauptdivisor gleich ${}1\cdot \{0\}-1\cdot \{1\}$ ist. Wir nehmen die Differentialform ${}\omega =dz$ und den linearen Verbindungsweg ${}\gamma$ von ${}1$ nach ${}0$, also

${}\gamma (t)=1-t\,$

für ${}t\in [0,1]$. Dann ist

${}\int _{\gamma }dz=\int _{0}^{1}\gamma '(t)dt=\int _{0}^{1}-1=-1\,.$

dagegen ist die Periodengruppe zu ${}\omega$ trivial, da die Fundamentalgruppe von ${}{\mathbb {C} }$ trivial ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}1$. Zeige, dass ${}\Omega _{X}$ isomorph zur Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ ist.

Lösung

Nach Fakt ***** ist ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ eindimensional, wir wählen eine globale Differentialform ${}\omega \neq 0$. Dazu gehört ein Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X},\,1\longmapsto \omega ,$

den wir als Isomorphismus nachweisen. Als nichttrivialer Homomorphismus zwischen invertierbaren Garben ist er injektiv. Nach Fakt ***** ist der Grad des kanonischen Divisors gleich ${}0$, d.h. der Grad von ${}\Omega _{X}$ ist ${}0$. Aus Fakt ***** folgt, dass die Quotientengarbe ${}\Omega _{X}/{\mathcal {O}}_{X}\omega$ die Nullgarbe ist und daher ist die Abbildung auch surjektiv.

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[z]$ ein Polynom vom Grad ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, ${}z\longmapsto F(z)$, die zugehörige holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

1. Bestimme den Verzweigungsdivisor ${}R$ von ${}\varphi$.
2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

   ${}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$

   in diesem Fall direkt.

Lösung

1. Verzweigung findet in den Nullstellen der Ableitung von ${}F$ und eventuell im unendlich fernen Punkt statt. Es sei

   ${}F'=c(z-a_{1})^{s_{1}}\cdots (z-a_{k})^{s_{k}}\,$

   die Primfaktorzerlegung der Ableitung. In ${}{\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ findet Verzweigung genau in den Punkten ${}a_{i}$ statt und die Ordnung des Verzweigungsdivisors in diesen Punkten ist nach Fakt *****  (3) genau ${}s_{i}$. Der unendlich ferne Punkt wird mit Vielfachheit ${}n$ angenommen, das ist die Verzweigungsordnung. Die Ordnung des Verzweigungsdivisors in diesem Punkt ist also ${}n-1$. Daher ist der Verzweigungsdivisor gleich

   $\sum _{i=1}^{k}s_{i}\{a_{i}\}+(n-1)\infty .$

2. Der Grad von ${}\varphi$ ist gleich dem Grad des Polynoms, also gleich ${}n$. Die Ableitung ${}F'$ besitzt den Grad ${}n-1$ und dies stimmt mit der Summe ${}\sum s_{i}$ überein. Der Verzweigungsdivisor besitzt den Grad

   ${}\sum s_{i}+(n-1)=2(n-1)=2(\operatorname {Grad} \,(\varphi )1)\,.$

Anhang

Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022))