Kurs:Analysis/Teil II/16/Klausur mit Lösungen/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 6 3 6 6 3 7 3 2 6 4 3 5 2 62




Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Für , , heißt die Funktion

    die Fakultätsfunktion.

  2. Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass

    gilt.

  3. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten ist eine Differentialgleichung der Form

    wobei

    eine Matrix mit Einträgen ist.

  4. Die -fache stetige Differenzierbarkeit liegt vor, wenn für jede Auswahl von Vektoren aus die höhere Richtungsableitung

    in Richtung existiert und stetig ist.

  5. Die Niveaumenge zu zum Wert ist
  6. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

    ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl gibt mit

    für alle und .


Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Die Abbildung ist genau dann im Punkt stetig, wenn für jede konvergente Folge in mit auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert ist.
  2. Es sei eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei eine Basis von . Es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

    seien alle von verschieden für . Es sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

    Dann ist vom Typ

    .
  3. Es seien und euklidische Vektorräume, sei offen und es sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt derart, dass das totale Differential

    bijektiv ist. Dann gibt es eine offene Menge und eine offene Menge mit und mit derart, dass eine Bijektion

    induziert, und dass die Umkehrabbildung

    ebenfalls stetig differenzierbar ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale.


Lösung

Wenn das uneigentliche Integral existiert, so betrachten wir die Abschätzung

die darauf beruht, dass die linke Seite das Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion für auf ist. Da die rechte Seite beschränkt ist, gilt dies auch für die linke Seite, so dass wegen die Reihe konvergiert.
Ist umgekehrt die Reihe konvergent, so betrachten wir die Abschätzung

die gilt, da die rechte Seite das Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion ist. Wegen ist die Integralfunktion wachsend und beschränkt, da die rechte Seite wegen der Konvergenz der Reihe beschränkt ist. Daher besitzt die Integralfunktion für einen Grenzwert und das uneigentliche Integral existiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Dreiecksungleichung für die Norm zu einem Skalarprodukt.


Lösung

Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

Aufgrund von Satz 32.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist dies . Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Bestimme den Abschluss für die folgenden Teilmengen von .

  1. Sei fixiert. ist die Menge der reellen Zahlen , deren Dezimalentwicklung nach der -ten Nachkommastelle abbricht.
  2. ist die Menge aller reellen Zahlen , deren Dezimalentwicklung irgendwo abbricht.


Lösung

  1. Ein Element hat im Dezimalsystem die Form

    Die Menge besteht also aus allen reellen Zahlen, die von der Form

    mit einer natürlichen Zahl sind. Der Abstand von zwei solchen verschiedenen Zahlen ist also zumindest . Daher gibt es zu jedem Punkt eine offene Intervallumgebung, in der nur dieser Punkt liegt. Somit ist diese Menge abgeschlossen.

  2. Der Abschluss der Menge ist ganz . Eine jede reelle Zahl besitzt eine Dezimalentwicklung

    Hierbei ist der Grenzwert der Folge

    Dabei besitzt eine abbrechende Dezimalentwicklung (mit höchstens Nachkommastellen) und gehört somit zu .


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Integralabschätzung für stetige Kurven.


Lösung

Wenn ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also

Es sei . Das ergänzen wir zu einer Orthonormalbasis von . Es seien die Koordinatenfunktionen von bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung

da ja ein Vielfaches von ist und somit die anderen Koeffizienten gleich sind. Daher ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld

auf zum Weg


Lösung

Es ist

und somit ist der Integrand des Wegintegrals gleich

Eine Stammfunktion davon ist

Somit ist


Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

  1. Bestimme die Eigenwerte der Matrix und die zugehörigen Basislösungen.
  2. Beschreibe ein Fundamentalsystem aus Basislösungen mit den Hyperbelfunktionen.
  3. Löse das lineare Anfangswertproblem

    mit den beiden Fundamentalsystemen aus (1) und (2).


Lösung

  1. Das charakteristische Polynom ist

    die Eigenwerte sind also . Ein Eigenvektor zu ist und ein Eigenvektor zu ist . Nach Lemma 42.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) sind somit und Basislösungen des Systems.

  2. Wir betrachten die beiden (linear unabhängigen) Linearkombinationen

    und

    Also bilden auch und ein Fundamentalsystem.

  3. Die Anfangsbedingung führt auf

    und somit auf und . Die Lösung des Anfangswertproblemes ist also

    gegeben als Linearkombination zum ersten Fundamentalsystem.

    Eine lineare Umrechnung ergibt

    dies ist die Darstellung im zweiten Fundamentalsystem.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung von

im Punkt in Richtung .


Lösung

Es geht um die Ableitung der zusammengesetzten Funktion

mit dem linearen Weg

im Nullpunkt. Es ist

mit einem Polynom , das aber für die Ableitung an irrelevant ist. Die Richtungsableitung ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum , sei eine total differenzierbare Funktion und eine differenzierbare Funktion. Zeige

für .


Lösung

Nach der Kettenregel ist

Da eine Funktion von nach ist, ist das totale Differential einfach die Multiplikation mit , dies ist die Behauptung.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Wir betrachten die Abbildung

mit

Man erhält also aus der Funktion die neue Funktion , indem man an einem Punkt die Richtungsableitung der Funktion in Richtung berechnet.

  1. Zeige

    für .

  2. Es sei mit . Zeige, dass auf allen (Bildern der) Lösungen zur Differentialgleichung konstant ist.


Lösung

  1. Nach der Produktregel für das totale Differential und dem Zusammenhang zwischen Richtungsableitung und totalem Differential ist
    für jeden Punkt .
  2. Es sei

    eine auf einem Intervall definierte Lösungskurve zur Differentialgleichung , d.h. es gilt für alle . Wir betrachten die Ableitung der Verknüpfung

    Nach der Kettenregel ist

    Also ist die Ableitung von gleich für alle und daher ist konstant.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.


Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Das Polynom hat an der Stelle einen negativen Wert, deshalb besitzt es eine positive und eine negative Nullstelle. Da eine weitere Nullstelle des charakteristische Polynoms ist, besitzt dieses positive und eine negative Nullstelle. Daher ist der Typ der Bilinearform gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Lösung

Der Gradient der Funktion ist

Zur Bestimmung der kritischen Punkte setzen wir und . Die erste Bedingung führt auf und die zweite Bedingung auf . Die kritischen Punkte sind also und .


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass ein Punkt genau dann ein regulärer Punkt von ist, wenn die Koordinaten von paarweise verschieden (also , und ) sind.


Lösung

Die Jacobi-Matrix von ist

Ein Punkt ist genau dann ein regulärer Punkt, wenn der Rang dieser Matrix ist, wenn die Matrix also invertierbar ist.

Wenn ist, so stimmen die erste und die zweite Spalte überein; wenn ist, so stimmen die erste und die dritte Spalte überein; wenn ist, so stimmen die zweite und die dritte Spalte überein. Daher liegt bei Punkten, bei denen zwei Koordinaten übereinstimmen, eine lineare Abhängigkeit zwischen den Spalten vor und der Rang der Matrix ist nicht . Solche Punkte sind also nicht regulär.

Zum Beweis der Umkehrung berechnen wir die Determinante der Matrix. Diese ist (Entwicklung nach der ersten Zeile)

Wenn die Koordinaten paarweise verschieden sind, so ist die Determinante nicht und die Matrix ist invertierbar, also sind diese Punkte regulär (mit diesem Argument beweist man gleichzeitig auch die Hinrichtung).


Aufgabe (2 Punkte)

Finde eine Lösung für die Integralgleichung


Lösung

Wir behaupten, dass

eine Lösung der Integralgleichung ist. Die rechte Seite der Integralgleichung ist ja