Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesung F/Referenzsuche

Zu jeder rationalen Zahl kann man die Potenzen , betrachten. Bei ganzzahligem

sind die (beliebig) groß für positives und (beliebig) klein für negatives Solche Potenzen stellen ein wichtiges Vergleichsmaß für die Größenordnung von Zahlen dar. Da wir im Dezimalsystem arbeiten, sind insbesondere die Zehnerpotenzen , wichtig. Für

treten die Zehnerpotenzen insbesondere bei der Dezimaldarstellung natürlicher Zahlen auf. Die Zehnerpotenzen zu negativem spielen auch eine wichtige Rolle bei der Erfassung und Beschreibung von beliebigen rationalen Zahlen.

Definition

Eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann, heißt Dezimalbruch

Dezimalbrüche sind beispielsweise sämtliche ganzen Zahlen (man kann

als Nenner nehmen), ferner Zahlen wie

Nach unserer Definition liegt ein Dezimalbruch vor, wenn man die dadurch gegebene rationale Zahl mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann. Das heißt nicht, dass die Zahl in dieser Form vorliegen muss. Beispielsweise sind auch die Brüche

Dezimalbrüche, da man sie nach einer Erweiterung mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann. Dies gilt für alle Brüche mit der Eigenschaft, dass in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur Potenzen von und von vorkommen. Wenn der Bruch gekürzt ist, so sind genau die Brüche der Form die Dezimalbrüche, siehe Aufgabe 26.15.

Einen Dezimalbruch (mit $m\geq 0$) kann man auch in der Form schreiben. Dies ergibt wohl die kompakteste Charakterisierung eines Dezimalbruches, eine rationale Zahl der Form

Aus dieser Darstellung ist unmittelbar ersichtlich, dass man Dezimalbrüche miteinander addieren und multiplizieren kann und dabei wieder einen Dezimalbruch erhält.

Lemma

Die Summe und das Produkt von zwei Dezimalbrüchen ist wieder ein Dezimalbruch. Das Negative eines Dezimalbruches ist ein Dezimalbruch.

Die Menge der Dezimalbrüche bilden einen kommutativen Ring innerhalb der rationalen Zahlen.

Beweis

Die Brüche seien

und

mit

und mit

Wegen der Symmetrie können wir

annehmen. Dann ist

wieder von der gleichen Bauart, also ein Dezimalbruch. Für das Produkt ist

Die anderen Behauptungen sind ebenfalls klar.

$\Box$

Die Menge der Dezimalbrüche bilden keinen Körper, da zwar sämtliche ganzen Zahlen Dezimalbrüche sind, ihre inversen Elemente aber im Allgemeinen nicht. Beispielsweise sind

keine Dezimalbrüche. Für zwei Dezimalbrüche ist es einfach, einen Hauptnenner zu finden, da die Nenner im gekürzten Fall grundsätzlich von der Form sind. Insofern spielt sich bei Rechnungen mit Dezimalbrüchen alles Wesentliche im Zähler ab.

Beispiel

Es ist

und

Wenn man für einen Dezimalbruch, sagen wir

für den Zähler die Dezimalentwicklung einsetzt, so erhält man

In diesem Sinne kann man jeden Dezimalbruch auf die Form

mit Ziffern

und ganzen Zahlen

bringen, wobei der untere Summationsindex bei einem echten Dezimalbruch (also keiner ganzen Zahl) negativ ist. Von dieser Beobachtung her ist es naheliegend, die Dezimaldarstellung auf Dezimalbrüche auszudehnen. Dadurch erhält man abbrechende

Definition

Es sei ein Dezimalbruch

mit , und

gegeben, und es sei

die Dezimaldarstellung von Dann nennt man

die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem

Diese Darstellung verwendet also direkt die Zifferndarstellung von wobei allein ein Komma eingeführt wird, und zwar so, dass hinter dem Komma genau Ziffern stehen, nämlich die hinteren Ziffern von Dabei darf man hintere Nullen weglassen. Wenn weniger als Stellen besitzt, muss man dies vorne durch hinreichend viele Nullen auffüllen. Wegen Satz 14.3 ist diese Darstellung eindeutig.

Für

ergibt sich die folgende Tabelle.

	Potenz	Bruch	Kommazahl

Die Potenz ist also der Bruch, wo im Nenner Ziffern stehen, nämlich eine und Nullen, und das ist zugleich die Kommazahl, bei der nach dem Komma Ziffern stehen, nämlich Nullen und eine Für Umrechnungen ist auch folgende Beobachtung hilfreich: Wenn man eine Kommazahl mit multipliziert, so verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach rechts, wenn man sie mit multipliziert, verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links. Die Stelle zu nennt man auch die te Nachkommastelle, die entsprechende Ziffer die te Nachkommaziffer.

Das Rechnen mit Kommazahlen ist einfach, allerdings ist das richtige Setzen des Kommas eine Fehlerquelle.

Bemerkung  

Der Größenvergleich zwischen zwei Dezimalbrüchen im Dezimalsystem ist einfach (wir beschränken uns auf positive Zahlen). Man schreibt die beiden Zahlen übereinander, wobei die beiden Kommata übereinander stehen müssen. Dann vergleicht man wie bei den ganzen Zahlen (siehe Korollar 15.4) von links nach rechts.

Beispiel

Dezimalbrüche im Dezimalsystem addiert man wie ganze Zahlen im Zehnersystem, d. h., man addiert von hinten nach vorne mit Übertrag, wobei die beiden Kommata deckungsgleich sein müssen. Beispielsweise ist

Dieses Verfahren ist korrekt nach Satz 15.6, da im Wesentlichen die Zähler bezogen auf einen gemeinsamen Nenner addiert werden.

Bemerkung  

Dezimalbrüche im Dezimalsystem multipliziert man wie ganze Zahlen im Zehnersystem, d.h. man multipliziert die eine Zahl nacheinander mit allen Ziffern der anderen Zahl. Abschließend muss man das Komma richtig setzen. Dazu zählt man die Stellen hinter den Kommata der beiden Zahlen zusammen und setzt an der entsprechenden Stelle im Produkt von hinten gezählt das Komma. Dabei muss man, wenn hinten die Zahlen mit

enden, die sich ergebende mitzählen (bei ganzen Zahlen darf man die ja auch nicht weglassen), auch wenn sie letztendlich weggelassen werden darf. Dieses Verfahren ist korrekt, da ihm die Gleichung

zugrunde liegt. Bei nicht zu großen und nicht zu kleinen Zahlen kann man auch durch eine Überschlagsrechnung entscheiden, wo das Komma hingehört.

Wenn man beispielsweise rechnen möchte, so kann man zuerst berechnen und dann zwei Stellen von hinten gezählt das Komma setzen, also

Eine wichtige Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen war, beliebige Längen, die beispielsweise bei der gleichmäßigen Unterteilung einer gegebenen Strecke auftreten, möglichst gut messen zu können. Dies können wir erst dann präzise formulieren, wenn wir die reellen Zahlen zur Verfügung haben. Die folgende Aussage zeigt, dass man rationale Zahlen selbst schon beliebig gut mit Dezimalbrüchen (annähern) kann. Wenn es also nur darum geht, beliebige Längen approximativ zu beschreiben, so sind die Dezimalbrüche genauso gut wie die deutlich größere Menge aller rationalen Zahlen.

Lemma

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Dann gibt es zu jedem

und jedem

ein eindeutig bestimmtes

derart, dass

gilt.

D.h., dass man jedes Element des Körpers beliebig gut (nämlich mit einem Fehler, der maximal gleich ist) durch Dezimalbrüche approximieren kann.

Beweis

Es sei

was aufgrund von Lemma 25.3 existiert. Dann ist

Division durch ergibt die Behauptung. Der Zusatz ergibt sich daraus, dass man nach Korollar 25.10 jede beliebige positive Fehlergenauigkeit durch eine geeignete Zehnerpotenz mit einem negativen Exponenten unterbieten kann.

$\Box$

In diesem Lemma gibt das über die Potenz vor, wie groß der Fehler sein darf. Man sagt dann auch, dass die Approximation bis zur ten Nachkommaziffer genau ist. Das Lemma ist insbesondere für rationale Zahlen anwendbar.

Es sei

Wenn man beispielsweise einen Taschenrechner mit acht Nachkommastellen hat, so ergibt sich zu

die Zahl als Ergebnis, wenn man eingibt und das Komma in der Darstellung ignoriert.

Bemerkung  

Für eine rationale Zahl

und ein gegebenes

kann man die approximierenden Dezimalbrüche, die es nach Lemma 26.8 geben muss, folgendermaßen finden. Man berechnet und führt die Division mit Rest

durch  durch, wobei sich die Darstellung

mit einem Rest zwischen

ergibt. Es ist dann

und daher

Beispiel

Wir wenden Lemma 26.8 bzw. Bemerkung 26.9 auf

mit

an. Es ist

es ist also in die Division mit Rest von durch durchzuführen. Es ist

(wobei der Rest im jetzigen Kontext nicht weiter verarbeitet wird). Es ist also

und mit Division durch ergibt sich

Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also eine Approximation des wahren Bruches mit einem Fehler, der kleiner als ist.

Mit der Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalzahlen geht die Dezimalrundung einher. Bei der Rundung auf eine ganze Zahl schaut man einfach nach der ganzzahligen Approximation im Sinne von Lemma 25.3 und nimmt von der unteren und der oberen Approximation diejenige, die näher ist (wobei man bei gleichem Abstand aufrundet). Bei der Dezimalrundung von zur Stellenanzahl (bzw. zur Genauigkeit $10^{-k}$) führt man dies für die Nenner

in der Approximation

aus Lemma 26.8 durch. Die Zahl ist beispielsweise auf zwei Nachkommastellen gerundet gleich Häufig finden sich auch Rundungsangaben von der Form

Einen im Dezimalsystem gegebenen Dezimalbruch kann man einfach durch teilen, indem man einfach das Komma um eine Stelle nach links verschiebt. Die Zahl die die Grundlage des Dezimalsystems ist, hat die beiden Teiler

Durch diese beiden Zahlen kann man ebenfalls teilen und erhält wieder einen Dezimalbruch (was für andere Primzahlen nicht stimmt). Ein wichtiger Gesichtspunkt in diesem Zusammenhang ist, dass die Division durch das gleiche ist wie Multiplikation mit

(also im Wesentlichen Multiplikation mit) und dass die Division durch das gleiche ist wie die Multiplikation mit

Daher sind diese Divisionen im Dezimalsystem algorithmisch besonders einfach durchzuführen. Eine Besonderheit liegt darin, dass die Ziffern des Ergebnisses nur von der entsprechenden und von der um eins höherstelligen Ziffer des Dividenden abhängen. Man braucht keinen Übertrag und kann an jeder beliebigen Stelle anfangen.

Verfahren  

Es sei

ein Dezimalbruch, für den die Halbierung (also die Division durch) durchgeführt werden soll. Dazu führt man für jede Ziffer für

die Division mit Rest durch durch, d.h. man berechnet

Aus diesen Zahlen berechnet man

Dies sind die Ziffern der Halbierung von also

Da die Ziffern zwischen

liegen, sind die zwischen

und die sind

Ohne die Division mit Rest kann man diesen Algorithmus auch mit der folgenden Fallunterscheidung darstellen. Es ist

Kurz gesagt: Man nehme von die abgerundete Hälfte und erhöhe dies um falls die davorstehende Ziffer ungerade ist. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl durch und schreibe davon die Einerziffer an die te Stelle hin (die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden). Man muss also nur zweistellige Zahlen durch dividieren können.

Beispiel

Wir wollen den Dezimalbruch mit dem Verfahren halbieren. Wir fangen hinten an, auch wenn wir an jeder Stelle anfangen könnten, und zwar an der Stelle mit dem Index (die Zehntausendstel-Stelle). Es ist (das Aufschreiben ist mühseliger als die Durchführung)

und weil

ungerade ist, ist

Aus

ergibt sich

und da

ungerade ist, ist

Aus

ergibt sich

und da

gerade ist, ist

So fährt man fort und erhält schließlich

Lemma

Der Algorithmus zur Berechnung der Halbierung eines Dezimalbruches ist korrekt.

Beweis

Die Division durch ist die Multiplikation mit also die Multiplikation mit Man muss also die Zahl mit multiplizieren und anschließend durch dividieren, was in der Dezimaldarstellung lediglich eine Kommaverschiebung bedeutet. Die Korrektheit des Algorithmus beruht daher auf der Korrektheit des speziellen Algorithmus für die Multiplikation mit siehe Bemerkung 16.5.

$\Box$

Auch für die Division durch gibt es einen entsprechenden Algorithmus.

Verfahren  

Es sei

ein Dezimalbruch, für den der fünfte Anteil (also die Division durch) berechnet werden soll. Dazu führt man für jede Ziffer für

die Division mit Rest durch durch, d.h. man berechnet

Aus diesen Zahlen berechnet man

Dies sind die Ziffern der Fünftelung von also

Kurz gesagt: Man nehme von das abgerundete Fünftel (das

ist) und addiere das Doppelte des Fünferrestes der Ziffer dazu. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl durch und schreibe davon die Einerziffer hin (die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden). Man muss also nur zweistellige Zahlen durch dividieren können.

Lemma

Der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches ist korrekt.

Beweis

Siehe Aufgabe 26.33.

$\Box$

Wenn man beispielsweise durch teilt, so hängt die Ziffer des Ergebnisses nicht nur von zwei Ziffern, sondern von drei Ziffern ab, wie

und

zeigt.

Die in dieser Vorlesung angestellten Betrachtungen kann man in jedem Zahlensystem wie hier im Zehnersystem durchführen. Die Aussagen gelten entsprechend, wobei die zuletzt genannten Ergebnisse dann für die Teiler der Grundzahl gelten.

Definition

Ein Prozent ist

Definition

Ein Promille ist

Dafür gibt es spezielle Zeichen, und Von der Definition her ist die Prozentrechnung ein Spezialfall des Rechnens mit rationalen Zahlen, und zwar mit Dezimalbrüchen. Eine rationale Zahl zwischen

gibt den Anteil von einer gegebenen Grundgröße an. Diese Anteilsgröße wird in vielen alltäglichen Kontexten am besten durch einen Dezimalbruch angeben, da dieser eine unmittelbare Größenvorstellung mitliefert, da Dezimalbrüche untereinander einfach vergleichbar sind, wie in Bemerkung 26.5 erwähnt wurde. Bei der Größenordnung will man es häufig gar nicht so genau wissen, sondern nur eine ungefähre Größenvorstellung haben. Deshalb werden viele Größenanteile in Hunderstel oder seltener in Tausendstel angegeben, wofür sich die Bezeichnungen Prozent und Promille eingebürgert haben. Die beschäftigt sich mit dem Rechnen von Größenangaben, die in Prozent gemacht werden. Prozentrechnung ist einfach, wenn man erkennt, dass es sich um Rechnungen mit rationalen Zahlen handelt. Dennoch gibt es einige, für die Prozentrechnung typische Formulierungen, bei denen man sich die zugrunde liegende mathematische Bedeutung erst klar machen muss. Im Prozentkontext werden die Angaben grundsätzlich nur mit einer gewissen Fehlergenauigkeit gemacht.

Wenn eine endliche Grundmenge und eine Teilmenge

gegeben ist, so versteht man unter dem von in einfach den Quotienten der Anzahlen, also den Bruch

Diese Zahl liegt zwischen

Wenn man daraus eine Prozentangabe machen will, so macht man die Umformung

Durch die Multiplikation mit dem Faktor kommt der Anteil, der ja eigentlich zwischen

liegt, in einen Zahlenbereich zwischen

der für die meisten Menschen vertrauter ist (in einer solchen Situation ist die Prozentangabe unterhalb von in vielen anderen Kontexten ist aber auch ein größerer Anteil sinnvoll). Überhaupt werden Prozentangaben nur in einer Größenordnung verwendet, in der sie suggestiv sind, wo also die Multiplikation mit dem Vorstellungsvermögen entgegenkommt. Ob man sagt, dass der Anteil von Gold an der Gesamtmasse des Universums gleich ist oder beträgt, macht keinen Unterschied.

Bemerkung  

Wenn eine Grundmenge gegeben ist und davon Anteile durch Prozente beschrieben werden, und die Anteile disjunkt zueinander sind, so muss man die Prozentangaben addieren, um den Gesamtanteil zu erhalten. Wenn beispielsweise die Inhaltsstoffe eines Getränkes in Prozent angegeben werden, sagen wir Wasser, Orangensaft, Himbersaft und Heidelbeersaft und Cola, so liegt der Fruchtsaftanteil wegen

bei Prozent. Die Gesamtsumme der Prozentwerte sollte sich auf addieren; da man bei Prozentangaben aber häufig gerundete Werte nimmt, muss das nicht immer stimmen.

Bemerkung  

Häufig ändert sich, auch in einem bestimmten Kontext, die Bezugsmenge bei verschiedenen Prozentangaben. Wenn beipielsweise die Lebenshaltungskosten prozentual nach Essen, Wohnung, Körperpflege, Vergnügen aufgelistet wird, so werden die Vergnügungskosten eventuell weiter prozentual unterteilt, nach Kino, Theater, Kneipe, Spielhölle, und diese Angaben beziehen sich dann häufig auf die Gesamtvergnügungskosten. Den prozentualen Anteil an den Gesamtlebenshaltungskosten vom Kino muss man dann ausrechnen, indem man die relativen Prozentangaben als Brüche interpretiert, diese miteinander multipliziert und daraus wieder einen Prozentwert macht. Wenn die Vergnügungskosten der Lebenshaltungskosten ausmachen und Kinobesuche an den Vergnügungskosten, so muss man

ausrechnen und erhält, dass die Kinobesuche der Lebenshaltungskosten ausmachen.

Bemerkung  

Wenn man zwei Mengen (Vermögen, Einwohnerzahl, ...)

der Größe nach vergleicht, so kann man das durch einen Anteil und als Prozent ausdrücken. Man muss dabei deutlich machen, welche Menge man als Grundmenge betrachten möchte. Wenn man als Grundmenge nimmt, so ist

und

(bzw. ${\frac {100\cdot {\#\left(B\right)}}{\#\left(A\right)}}\cdot \%$ in Prozent) beschreibt die Größe von in Bezug auf Beispielsweise kann das Vermögen einer Person des Vermögens einer anderen Person betragen. Wenn man die Verhältnisgröße umgekehrt wissen möchte, also die Größe von in Bezug auf so muss man den inversen Bruch berechnen. Um aus der ersten Prozentangabe die neue Prozentangabe zu erhalten, muss man invertieren und mit 10000 multiplizieren (!), also

Prozent. Die zweite Person hat also Prozent des Vermögens der ersten Person.

Wenn Angaben üblicherweise in Prozenten gemacht werden, wie beispielsweise das Ergebnis von Wahlen, so drückt man die Änderung zwischen zwei Wahlen durch aus, also nicht prozentual! Wenn die Partei vor vier Jahren erzielt hat und bei den neuen Wahlen erzielt, so spricht man von einem Verlust von Prozentpunkten.

Bemerkung  

Es sei eine endliche Menge und

eine Abbildung in eine geordnete Menge Man denke an die Größenmessung eines bestimmten Personenkreises (mit Werten in) oder die Benotung von Klausuren. Man sagt, dass zu einem gewissen gehört (ausgedrückt mit einem Prozentwerte), wenn höchstens der Menge den Wert von also übertreffen. Im Größenbeispiel besteht der Prozentrang aus allen Personen, die dem größten Zehntel der Bevölkerung angehören.

Viele Wachstumsprozesse in Natur und Gesellschaft sind von der Form, dass sich die Größe nach einem bestimmten Zeitraum (beispielsweise nach einem Jahr) zur Ausgangsgröße proportional mit einem bestimmten konstanten Proportionalitätsfaktor verhält. Beispiele hierfür sind das Wachstum einer Population oder die Inflation. Bei konstanten Bedingungen hängt das Wachstum einer Population mit einem festen Faktor, genannt von der Größe der Population ab. Wenn sich beispielsweise eine gewisse Population, sagen wir Mäuse, auf katzenfreien, kornreichen Feldern, in einem Jahr verdoppelt, so werden in einem Jahr aus Mäusen Mäuse, aus Mäusen Mäuse u.s.w. Das Verhältnis der Population nach einem Jahr zur Population vor einem Jahr ist also konstant gleich Wenn die Bedingungen über einem längeren Zeitraum konstant sind, so ändert sich dieser Faktor nicht, und man muss von Jahr zu Jahr mit diesem Faktor multiplizieren. Nach Jahren gibt es dann Mäuse, wenn die Größe der jetzigen Mauspopulation bezeichnet.

Jahre
Mäuse

Der Wachstumsfaktor ist recht groß. Häufiger sind Wachstumsfaktoren wie und ähnliches. Bei einem Preisentwicklungsfaktor von erhält man beispielsweise (gerundete Werte)

Jahre
Bierpreis auf der Wiesn

Ein Wachstum wird häufig nicht mit dem Wachstumsfaktor beschrieben, sondern mit dem proportionalen Zuwachs, dem Es wird also der proportionale Anteil in Bezug auf die Vorgängergröße angegeben, der hinzukommt. Bei einem Wachstumsfaktor von ist der Zuwachsfaktor gleich (die Größe der Population kommt in einem Jahr neu hinzu), in den weiteren genannten Beispielen ist der Zuwachsfaktor gleich Dieser Zuwachsfaktor wird zumeist in Prozent angegeben, man spricht von einem jährlichen Wachstum von von Eine Prozentangabe bei Wachstumsprozessen von bedeutet also einen Zuwachsfaktor von und einen Wachstumsfaktor von Wenn man einen Wachstumsprozess, der mit einer Prozentangabe beschrieben wird, über mehrere Jahre verstehen will, muss man also den Wachstumsfaktor ausrechnen und diesen potenzieren (mit der Anzahl der Jahre im Exponenten). Es ist falsch, die Prozentwerte mit der Anzahl der Jahre zu multiplizieren und dies als Gesamtzuwachs zu nehmen. Im Wiesnbeispiel führt die falsche Rechnung zu folgendem Ergebnis

Jahre
Bierpreis auf der Wiesn (falsch gerechnet)

Die Abweichung wird zunehmend größer, für kleine Zeiträume ist die einfachere falsche Rechnung als Überschlagsrechnung akzeptabel. Aufgrund der allgemeinen binomischen Formel ist

und ist das Ergebnis bei der falschen Rechnung. Wenn wie häufig klein, etwa ist, so sind die höheren Potenzen besonders klein, und das wird auch durch die Binomialkoeffizienten (bei nicht allzu großem) nicht sehr groß gemacht. Der Fehler wird aber, egal wie klein der Prozentsatz ist, bei hinreichend großem beliebig groß.

Wir studieren das Wachstumsverhalten bei konstanten Bedingungen genauer mit dem Begriff der (ganzzahligen) Exponentialfunktion.

Definition

Es sei ein angeordneter Körper und

ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung

die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis

Die Basis ist dabei der Wachstumsfaktor.  Später werden wir Exponentialfunktionen für beliebige reelle Zahlen erklären, bis jetzt aber haben wir Ausdrücke wie oder noch nicht zur Verfügung. In den Skizzen werden wir aber diese Fortsetzung gelegentlich schon benutzen.

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper und

ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion

zur Basis die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist für alle
2. Es ist
3. Es ist
4. Es ist für
5. Für ist

Beweis

Die erste Aussage folgt für

aus der Verträglichkeit der Ordnung mit der Multiplikation und für negativ aus Lemma 24.5  (1), die anderen Eigenschaften folgen aus den Potenzgesetzen.

$\Box$

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper und

ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion

zur Basis die folgenden Eigenschaften.

1. Bei ist die Exponentialfunktion streng wachsend.
2. Bei ist die Exponentialfunktion streng fallend.

Beweis

1. Sei und Wir müssen zeigen, dass ist. Nach Lemma 27.8  (4) ist mit Wegen Lemma 19.13  (8) ist und daher ist auch
2. Dies folgt aus Teil (1), wenn man die Identität und Lemma 24.5  (3) verwendet.

$\Box$

Lemma

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und

ein positives Element und

die zugehörige (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis Es seien

und , vorgegebene Zahlen.

Dann gibt es eine ganze Zahl

mit

und eine ganze Zahl

mit

Beweis

Für

und ist dies eine Umformulierung von Lemma 25.9, für

und ist dies eine Umformulierung von Korollar 25.10. Die anderen Fälle können darauf zurückgeführt werden, indem man negative Exponenten betrachtet.

$\Box$

Häufig findet man die Vorstellung, dass exponentielles Wachstum etwas wie ist. Das ist so nicht richtig. Wenn der Wachstumsfaktor zwischen

liegt, so ist die Exponentialfunktion sogar fallend und wenn der Faktor knapp oberhalb von so ist das Wachstum langsam. Exponentielles Wachstum ist ein natürliches Phänomen und hat nichts mit unkontrollierbaren Entwicklungen zu tun. Allerdings zeigt der folgende Satz, dass sich exponentielles Wachstum gegenüber jedem Wachstum, das durch eine Potenzfunktion beschrieben wird, letztlich durchsetzt. Man beachte auch, dass sowohl eine Exponentialfunktion als auch eine Potenzfunktion durch den gleichen funktionalen Ausdruck, nämlich als Potenz beschrieben wird. Der Unterschied besteht darin, ob die Grundzahl oder der Exponent als variabel betrachtet wird.

Beispiel

Wir vergleichen die Werte der Identität und der Quadratfunktion mit der Exponentialfunktion zur Basis

Es ergibt sich die folgende Wertetabelle.

Im Vergleich mit der identischen Funktion ist die Exponentialfunktion schon durchgängig größer (außer bei), im Vergleich mit der Quadratfunktion bleibt die Exponentialfunktion im angegebenen Bereich (außer bei) zurück. Man sieht aber, dass sie aufholt.

Satz

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und

gegeben mit der zugehörigen Exponentialfunktion

zur Basis Es sei eine natürliche Zahl.

Dann gibt es ein

derart, dass für alle

die Abschätzung

gilt.

Beweis

Wir zeigen die Existenz des durch Induktion über für jedes

Für

ist die Aussage klar. Sei

Wir schreiben

mit

und betrachten (für $n\geq 2$) die auf dem binomischen Lehrsatz in Verbindung mit

beruhende Abschätzung

Da positiv ist, gibt es nach Lemma 25.7 eine natürliche Zahl mit

Für

ist dann

wie gewünscht. Es sei nun die Aussage für

und alle

schon bewiesen, und wir müssen sie für beweisen. Wir schreiben

mit Zahlen

die es nach Aufgabe 24.20 gibt. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle

die Abschätzung

gilt. Ebenso gibt es eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle

die Abschätzung

gilt. Damit gilt für alle

die Abschätzung

$\Box$

Aus der Schule wissen wir, dass es neben den abbrechenden Kommazahlen (den Dezimalbrüchen) auch gibt, wobei dabei die Ziffernentwicklung wiederum periodisch oder nicht periodisch sein kann. Es ist eine echte Herausforderung, die mathematische Natur solcher Ausdrücke zu verstehen, und wir werden uns einen Großteil des zweiten Semesters damit beschäftigen. Auf den ersten Blick ist jedenfalls eine solche Zahl dadurch gegeben, dass jeder natürlchen Zahl, die eine Nachkommastelle bezeichnet, mehr oder weniger willkürlich eine Ziffer zwischen

zugeordnet wird. Eine solche Zuordnung erfassen wir generell mit dem Konzept einer Folge.

Definition

Es sei eine Menge. Eine Abbildung

nennt man auch eine Folge in Eine Folge wird häufig in der Form

geschrieben.

Die Elemente heißen dabei die

Wir besprechen nun das Verfahren des den Divisionsalgorithmus.

Verfahren  

Es seien natürliche Zahlen mit positiv. Beim führt man sukzessive die (unendlich vielen) Divisionen mit Rest

aus, d.h. man berechnet rekursiv aus mittels

die und die Die Folge , heißt die und die Folge , heißt die des Divisionsalgorithmus.

Man schaut also, wie oft in hineinpasst (das ergibt den ganzzahligen Anteil der Division) und welcher Rest dabei übrigbleibt. Dann schaut man, wie oft in das Zehnfache dieses Restes hineinpasst (das ergibt die erste Nachkommaziffer der Division) und welcher Rest dabei übrigbleibt, und wiederholt diesen Rechenschritt unendlich oft. Dieses Verfahren ist aus der Schule bekannt. Als Ergebnis wird die

notiert, wobei die ganze Zahl selbst in ihrer Dezimalentwicklung genommen wird. Unklar ist dabei, welchen genauen Sinn ein solcher Ausdruck besitzt. Dies lässt sich im Rahmen der Konvergenz von Folgen befriedigend präzisieren. Die Indizierung ist hier so gewählt, dass sich die Ziffer (für $i\geq 1$) auf bezieht. D.h. ist die te Nachkommaziffer des Ergebnisses der Division.

Lemma

Es seien natürliche Zahlen mit positiv und es seien , und , die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die liegen zwischen
2. Die , liegen zwischen
3. Wenn für ein der Rest ist, so sind für alle auch und
4. Es gibt ein und ein mit derart, dass für die Ziffern mit die Beziehung gilt.
5. Wenn man statt den Divisionsalgorithmus mit ausführt, so ändert sich die Ziffernfolge nicht (wohl aber die Restefolge). Die Ziffernfolge ist also für die rationale Zahl wohldefiniert.
6. Bei der Division von durch eine Zehnerpotenz ist (was bei als zu lesen ist) und (was für als zu lesen ist). Die Ziffernfolge ist also einfach eine verschobene Version der Zifferndarstellung des Dividenden.
7. Der Bruch ist genau dann ein Dezimalbruch, wenn ein Rest gleich ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Ziffernfolge ab einem konstant gleich ist.

Beweis

1. Ist eine Eigenschaft der Division mit Rest.
2. Wegen ist Bei der Division von durch ist somit der ganzzahlige Anteil echt kleiner als
3. Dies folgt unmittelbar aus dem rekursiven Aufbau des Divisionsalgorithmus.
4. Im Fall, dass für ein der Rest ist, ergibt sich dies unmittelbar aus (3), wobei man wählen kann. Nehmen wir also an, dass alle von verschieden sind. Da die Reste allesamt zwischen liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass gilt. Da und allein von abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge unendlich oft periodisch.
5. Aus der Division mit Rest ergibt sich direkt die entsprechende Division mit Rest woraus die Behauptung folgt.
6. Der Divisionsalgorithmus ist in diesem Fall u.s.w., woraus die Aussagen ablesbar sind.
7. Wenn ein Dezimalbruch vorliegt, so können wir wegen (5) annehmen, dass eine Zehnerpotenz ist. Dann folgt die Aussage mit der abbrechenden Ziffernfolge aus (6). Wenn ein so sind nach (3) alle folgenden Ziffern gleich Wenn umgekehrt für alle gilt, so wird die Rekursionsbedingung für zu Nehmen wir an. Dann ist u.s.w., was zu einem Widerspruch führt, da nach Lemma 25.9 die Zehnerpotenzen schließlich die Zahl überschreiten. Wenn ein ist, so folgt rekursiv aus bzw. dass die Brüche Dezimalbrüche sind. Somit ist auch ein Dezimalbruch.

$\Box$

Wir haben insbesondere bewiesen, dass beim Divisionsalgorithmus irgendwann eine Periodizität auftritt und gezeigt, wie diese zu finden ist. Das kleinste positve das die Eigenschaft aus (4) erfüllt, heißt die der Division. Die Eigenschaft (6) bedeutet, dass die Ziffernfolge, die sich aus dem allgemeinen Divisionsalgorithmus im Falle der Division durch eine Zehnerpotenz ergibt, mit der endlichen Kommazahl aus Definition 26.4 übereinstimmt. Das Ergebnis des Divisionsalgorithmus wird als

notiert, wobei die überstrichenen Zahlen die Periode darstellen.

Bemerkung  

Über die Periodenlänge kann man einige präzise Aussagen machen, die über Lemma 28.3  (4) hinausgehen und die wir im Moment noch nicht beweisen können. Es seien

teilerfremd und sei auch teilerfremd zu Dann hängt die Periodenlänge der Division allein davon ab, welche minimale Zehnerpotenz mit

bei Division durch den Rest besitzt. Für den Fall

siehe Aufgabe 28.14. Der minimale Exponent ist die Periodenlänge. Wenn

eine Primzahl ist, so ist diese Periodenlänge ein Teiler von Wenn die Periodenlänge von genau ist, so gilt dies bei sämtlichen Divisionen mit teilerfremd zu und die Reihenfolge der Ziffern ist eine zyklische Vertauschung der Reihenfolge der Ziffern zu Siehe als Beispiel hierzu Aufgabe 28.3.

Die Ziffern die sich beim Divisionsalgorithmus ergeben, sind in ihrer genauen Bedeutung nicht einfach zu verstehen. Im Spezialfall, dass ein Dezimalbruch vorliegt, erhalten wir nach Lemma 28.3  (6) eine abbrechende Entwicklung wobei wir diese Ziffern direkt aus der Dezimalentwicklung des Zählers ablesen können. Wenn kein Dezimalbruch vorliegt, so erhalten wir eine unendliche Ziffernfolge Zunächst muss man sich klar machen, dass jeder an einer bestimmten Ziffer abbrechende Ausschnitt daraus, also

nicht die Zahl ist, obwohl es sich in einem zu präzisierenden Sinn um eine Approximation davon handelt. Eine Formulierung wie

hingegen ist ziemlich aussagelos. Eine Formulierung wie

kodiert zwar die volle Information aus dem Divisionsalgorithmus, das Problem ist aber, ob und inwiefern dies eine Zahl ist.

Definition

Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge der Form

mit

und

heißt Dezimalbruchfolge

Achtung! Eine Dezimalbruchfolge ist nicht das gleiche wie eine Folge von Dezimalbrüchen. Die Folge, die abwechselnd die Werte

besitzt, besteht auch nur aus Dezimalbrüchen. Hier ist wichtig, das bei einer Dezimalbruchfolge bei jedem Folgenglied sich die um ein erhöht, das folgende Glied liegt im Intervall

der Länge  das vom Vorgänger  festgelegt ist. 

Wir werden zeigen, dass es für jedes Element in einem archimedisch angeordneten Körper eine zugehörige kanonische Dezimalbruchfolge gibt, und dass diese im Fall einer rationalen Zahl aus dem Divisionsalgorithmus ablesbar ist. Die Folge

ist eine Dezimalbruchfolge, aber nicht die kanonische Dezimalbruchfolge zu diese ist nämlich einfach die konstante Folge.

Verfahren  

Es sei

ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper

Dann nennt man die über

durch

mit

und

gegebene Folge

die (kanonische)

zu

Die definierende Gleichung in diesem Verfahren kann man auch als von der Gleichung

herstammend interpretieren. Es ist also einfach

und

was zugleich zeigt, dass diese Folge existiert und eine Dezimalbruchfolge im Sinne der obigen Definition ist. Die Glieder dieser Folge approximieren die gegebene Zahl optimal unter allen Dezimalbrüchen mit dem vorgegebenen Nenner wie die folgende Aussage zeigt.

Satz

Es sei

ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper

und es sei 

, die zugehörige (kanonische) Dezimalbruchfolge.

Dann ist

d.h. der te Dezimalbruch der Folge approximiert die Zahl bis auf einen Fehler von maximal Es liegt eine Dezimalbruchfolge im Sinne von Definition 28.5 vor.

Beweis

In der Definition der Dezimalbruchfolge wird

mit

und

berechnet. Daher ist einerseits

und andererseits

Die Eigenschaft

ergibt sich auch unmittelbar.

$\Box$

Lemma

Es seien natürliche Zahlen mit positiv und es seien , und , die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen.

Dann ist

die Dezimalbruchfolge zu Insbesondere ist für jedes

Beweis

Aus den definierenden Gleichungen des Divisionsalgorithmus ergibt sich sukzessive

und insgesamt

Division durch ergibt

Dies stimmt mit den Festlegungen aus dem Verfahren überein, in dem die Dezimalbruchfolge zu definiert wurde.

$\Box$

Die oben beschriebene Eigenschaft, dass eine rationale Zahl durch die zugehörige (im Divisonsalgorithmus berechneten) Dezimalbruchfolge beliebig genau approximiert wird, wird durch folgenden Begriff präzisiert, der im zweiten Semester eine tragende Rolle spielen wird.

Definition

Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei

Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem , gibt es ein

derart, dass für alle

die Beziehung

gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert

Korollar

Es sei

ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper

Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge , gegen

Beweis

Nach Satz 28.7 ist

Wenn ein

vorgegeben ist, so gibt es nach Korollar 25.10 ein mit

Für alle

ist dann

$\Box$

Korollar

Zu einer rationalen Zahl

konvergiert die Dezimalbruchfolge, die man aus dem Divisionsalgorithmus erhält, gegen

Beweis

Dies folgt direkt aus Korollar 28.10 in Verbindung mit Lemma 28.8.

$\Box$