Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 53

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven differenzierbaren Abbildung

mit einer stetigen Umkehrabbildung derart, dass nicht differenzierbar ist.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist. Man gebe explizit eine Umkehrabbildung an.


Aufgabe

Es sei

eine Funktion. Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

Was besagt in der vorstehenden Aufgabe der Satz über die Umkehrabbildung, wenn differenzierbar ist?

Aufgabe

Es seien

stetig differenzierbare Funktionen. Betrachte die Abbildung

Zeige:
  1. Die Abbildung ist differenzierbar.
  2. Das totale Differential von in ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen , die Ableitungen in nicht sind.
  3. ist genau dann auf einer offenen Umgebung von bijektiv, wenn die einzelnen in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.


Aufgabe

Betrachte die Abbildung

Zeige, dass im Punkt lokal umkehrbar ist, und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt .


Aufgabe

Es seien und Polynome in zwei Variablen und

die zugehörige Abbildung. Wann besitzt in lokal eine Umkehrabbildung? Wie sieht in diesem Fall das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt aus?


Aufgabe *

Es sei

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei eine Stammfunktion zu . Es sei

mit

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu .

b) Zeige, dass man auf in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe *

Es sei

eine total differenzierbare Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl gibt mit

für alle . Zeige, dass die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.


Im Beweis des Umkehrsatzes wurde mit folgender Definition gearbeitet.


Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Dann nennt man

die Norm von .


Aufgabe

Begründe, warum die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen wohldefiniert ist.


Aufgabe

Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es einen Vektor , , mit

gibt.


Aufgabe

Zeige, dass die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist .
  4. Es ist .


Aufgabe

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von . Zeige, dass die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung derart, dass eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren von existiert. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei

eine lineare Abbildung . Bestimme einen Vektor auf der abgeschlossenen Kugel mit Mittelpunkt und Radius , an dem die Funktion

ihr Maximum annimmt. Bestimme die Norm von .


Mit diffeomorph ist im Folgenden stets -diffeomorph gemeint.

Aufgabe

Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen und einer offenen Kugel .


Aufgabe

Zeige, dass eine offene Kreisscheibe () und ein offenes Rechteck () diffeomorph sind.


Aufgabe

Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Identität ist ein Diffeomorphismus.
  2. Eine lineare bijektive Abbildung ist ein Diffeomorphismus.
  3. Die Umkehrabbildung eines Diffeomorphismus ist wieder ein Diffeomorphismus.
  4. Die Hintereinanderschaltung von Diffeomorphismen ist ein Diffeomorphismus.


Aufgabe

Es seien , , , und offene Teilmengen in reellen endlichdimensionalen Vektorräumen. Es seien

und

-Diffeomorphismen. Zeige, dass auch die Produktabbildung

ein -Diffeomorphismus ist.


Aufgabe

Sei

und

a) Skizziere und .

b) Zeige, dass und offen sind.

c) Zeige, dass die Abbildung

ein Diffeomorphismus ist.


Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

Zeige, dass in regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von in , wobei eine offene Umgebung von sei (die nicht explizit angegeben werden muss).


Aufgabe *

Man gebe für jedes eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.


Aufgabe

Seien euklidische Vektorräume und seien und differenzierbare Abbildungen. Es sei regulär in und regulär in . Ist dann regulär in ? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?


Aufgabe

Das komplexe Quadrieren

kann man reell als

schreiben. Untersuche auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist umkehrbar?


Aufgabe

Finde möglichst große offene Teilmengen und derart, dass die Abbildung

einen Diffeomorphismus von nach induziert.


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung .

b) Zeige, dass in lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung besitzt, und bestimme das totale Differential von im Punkt .

c) Man gebe alle Punkte an, in denen nicht lokal invertierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Transformation

auf geeigneten offenen Teilmengen ein Diffeomorphismus ist und berechne die Jacobi-Determinante in jedem Punkt.


Aufgabe

Es seien und Punkte in der Ebene . Zeige, dass die beiden offenen Mengen und zueinander diffeomorph sind.


Aufgabe

Es sei

und

Zeige, dass und zueinander diffeomorph sind.


Aufgabe

Es sei

und

Zeige, dass und zueinander nicht homöomorph sind.


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass in regulär ist.


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass ein Punkt genau dann ein regulärer Punkt von ist, wenn die Koordinaten von paarweise verschieden (also , und ) sind.


Aufgabe *

Es sei offen und

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die Menge der regulären Punkte von offen ist.


Aufgabe *

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, und offene Teilmengen und

ein Diffeomorphismus. Es sei

ein Vektorfeld auf . Es sei das durch

definierte Vektorfeld auf . Zeige, dass

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems

wenn eine Lösung des Anfangswertproblems

ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Seien und offene Mengen in euklidischen Vektorräumen und . Es sei

eine bijektive Abbildung, die in einem Punkt differenzierbar sei derart, dass die Umkehrabbildung in auch differenzierbar ist. Zeige, dass das totale Differential bijektiv ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, offen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt das totale Differential bijektiv ist. Zeige, dass dann das Bild offen in ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Zeige, dass ein Punkt genau dann ein kritischer Punkt von ist, wenn in zwei Zahlen doppelt vorkommen.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Zeige, dass die Menge der kritischen Punkte von eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere (mindestens einen) Punkte enthält.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte, die Fasern  (also die Urbilder zu einem Punkt ), das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen derart an, dass

ein Diffeomorphismus ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und offene Teilmengen mit und es sei

ein Diffeomorphismus, der eine Bijektion zwischen und induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von auf nach ein Diffeomorphismus ist.



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