Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 53

Die Abbildung $f$ ist differenzierbar.
Das totale Differential von $f$ in $0$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen $f_{i}, i = 1, \dots, n$ , die Ableitungen in $0$ nicht $0$ sind.
$f$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von $0$ bijektiv, wenn die einzelnen $f_{i}$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

φ : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3}, (x, y, z) ⟼ (\sin x y, y z \cos (x^{2}), e^{x y z}) .

Zeige, dass $φ$ im Punkt $P = (1, π, 1)$ lokal umkehrbar ist, und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt $Q = φ (P)$ .

Aufgabe

Es seien $P = a + b X + c Y + \dots$ und $Q = d + e X + f Y + \dots$ Polynome in zwei Variablen und

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, (x, y) ⟼ (P (x, y), Q (x, y)),

die zugehörige Abbildung. Wann besitzt $φ$ in $φ (0, 0)$ lokal eine Umkehrabbildung? Wie sieht in diesem Fall das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt $φ (0, 0)$ aus?

Kommentar:

Die Komponentenfunktionen der Abbildung $φ$ sind Polynome, sodass $φ$ nach Korollar 48.12 total differenzierbar ist. Die Abbildung ist auf ganz $ℝ^{2}$ definiert, sodass wir die Jacobi-Matrix im Punkt $(0, 0)$ bestimmen können, um mittels des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit auf die Umkehrbarkeit von $φ$ im Punkt $φ (0, 0)$ zu schließen.

Bei der Berechnung der Jacobi-Matrix im Punkt $(0, 0)$ fällt auf, dass diese nur von den Koeffizienten der Monome vom Grad $1$ abhängt. Koeffizienten zu Monomen höheren Grades liefern keinen Beitrag. Beispielsweise gilt

\frac{\partial X^{2}}{\partial X} (0, 0) = (2 X) (0, 0) = 0

und

\frac{\partial X Y}{\partial X} (0, 0) = Y (0, 0) = 0

und das Gleiche gilt für alle anderen höheren Terme. Somit ergibt sich für die Jacobi-Matrix

Jak (φ)_{(0, 0)} = (\begin{matrix} b & c \\ e & f \end{matrix}) .

Falls die Determinante nicht verschwindet, also $b f - c e \neq 0$ gilt, so ist $φ$ nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit in einer Umgebung von $φ (0, 0)$ umkehrbar – besitzt dort also eine total differenzierbare Umkehrabbildung. Wie sieht nun das totale Differential der Umkehrabbildung konkret aus?

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit liefert nur ein hinreichendes Kriterium für die Umkehrbarkeit in regulären Punkten – die anderen Fälle sind schwer zu charakterisieren. Falls beispielsweise die Polynome $P = x^{3}$ und $Q = y^{3}$ sind, so ist die Jacobi-Determinante Null, sodass wir den Satz nicht verwenden können. Tatsächlich besitzt $φ$ aber in $(0, 0)$ (und sogar global) eine stetige Umkehrfunktion, die durch $(x, y) ⟼ (\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{y})$ gegeben ist. Diese ist jedoch in $(0, 0)$ nicht differenzierbar.

Diskutieren und Fragen

Aufgabe *

Es sei

f : ℝ ⟶ ℝ

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei $g$ eine Stammfunktion zu $f$ . Es sei

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}

mit

φ (x, y) = (\frac{x}{f (y)}, g (y)) .

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu $φ$ .

b) Zeige, dass man auf $φ$ in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass $φ$ injektiv ist.

Aufgabe *

Es sei

φ : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n}

eine total differenzierbare Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl $c \in [0, 1 [$ gibt mit

‖ {(D φ)}_{P} ‖ \leq c

für alle $P \in ℝ^{n}$ . Zeige, dass $φ$ die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.

Im Beweis des Umkehrsatzes wurde mit folgender Definition gearbeitet.

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei

φ : V ⟶ W

eine lineare Abbildung. Dann nennt man

‖ φ ‖ := \sup (‖ φ (v) ‖, ‖ v ‖ = 1)

die Norm von $φ$ .

Aufgabe

Begründe, warum die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen wohldefiniert ist.

Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei

φ : V ⟶ W

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es einen Vektor $v \in V$ , $‖ v ‖ = 1$ , mit

‖ φ (v) ‖ = ‖ φ ‖

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen folgende Eigenschaften erfüllt.

Es ist $‖ φ (v) ‖ \leq ‖ φ ‖ \cdot ‖ v ‖$ .
Es ist $‖ φ ‖ = 0$ genau dann, wenn $φ = 0$ ist.
Es ist $‖ c φ ‖ = | c | \cdot ‖ φ ‖$ .
Es ist $‖ φ_{1} + φ_{2} ‖ \leq ‖ φ_{1} ‖ + ‖ φ_{2} ‖$ .

Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Es sei $λ \in ℝ$ ein Eigenwert von $φ$ . Zeige, dass die Abschätzung

| λ | \leq ‖ φ ‖

gilt.

Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung derart, dass eine Orthogonalbasis von $V$ aus Eigenvektoren von $φ$ existiert. Zeige, dass

‖ φ ‖ = max (| λ |, λ ist Eigenwert von φ)

gilt.

Aufgabe

Es sei

φ : ℝ^{n} ⟶ ℝ, (x_{1}, \dots, x_{n}) ⟼ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i},

eine lineare Abbildung $\neq 0$ . Bestimme einen Vektor $v \in ℝ^{n}$ auf der abgeschlossenen Kugel mit Mittelpunkt $0$ und Radius $1$ , an dem die Funktion

B (0, 1) ⟶ ℝ, v ⟼ | φ (v) |,

ihr Maximum annimmt. Bestimme die Norm von $φ$ .

Mit diffeomorph ist im Folgenden stets $C^{1}$ -diffeomorph gemeint.

Aufgabe

Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen $ℝ^{n}$ und einer offenen Kugel $U (0, r) \subseteq ℝ^{n}$ .

Aufgabe

Zeige, dass eine offene Kreisscheibe $U (P, r) \subseteq ℝ^{2}$ ( $r > 0$ ) und ein offenes Rechteck $] a, b [\times] c, d [$ ( $b > a, d > c$ ) diffeomorph sind.

Aufgabe

Zeige die folgenden Aussagen.

Die Identität ist ein Diffeomorphismus.
Eine lineare bijektive Abbildung ist ein Diffeomorphismus.
Die Umkehrabbildung eines Diffeomorphismus ist wieder ein Diffeomorphismus.
Die Hintereinanderschaltung von Diffeomorphismen ist ein Diffeomorphismus.

Aufgabe

Es seien $U_{1} \subseteq V_{1}$ , $U_{2} \subseteq V_{2}$ , $U_{3} \subseteq V_{3}$ , und $U_{4} \subseteq V_{4}$ offene Teilmengen in reellen endlichdimensionalen Vektorräumen. Es seien

φ : U_{1} ⟶ U_{3}

und

ψ : U_{2} ⟶ U_{4}

$C^{1}$ -Diffeomorphismen. Zeige, dass auch die Produktabbildung

φ \times ψ : U_{1} \times U_{2} ⟶ U_{3} \times U_{4}

ein $C^{1}$ -Diffeomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei

U_{1} = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ x > y} \subseteq ℝ^{2}

und

U_{2} = {(u, v) \in ℝ^{2} ∣ u^{2} > 4 v} \subseteq ℝ^{2} .

a) Skizziere $U_{1}$ und $U_{2}$ .

b) Zeige, dass $U_{1}$ und $U_{2}$ offen sind.

c) Zeige, dass die Abbildung

φ : U_{1} ⟶ U_{2}, (x, y) ⟼ (x + y, x y),

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, (x, y) ⟼ (x^{2} y, x - \sin y) .

Zeige, dass $φ$ in $P = (1, 0)$ regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von $φ |_{U}$ in $φ (P)$ , wobei $U$ eine offene Umgebung von $P$ sei (die nicht explizit angegeben werden muss).

Kommentar:

Die Abbildung ist auf ganz $ℝ^{2}$ definiert und überall partiell differenzierbar. Nach Satz 48.11 ist $φ$ folglich total differenzierbar. Die regulären Punkte $Q$ sind genau diejenigen, in denen das totale Differential vollen Rang besitzt, also $rang (D φ)_{Q} = 2$ . Als lineare Abbildung wird das totale Differential durch die Jacobi-Matrix beschrieben. In unserem Fall ist die zugehörige Jacobi-Matrix quadratisch, sodass wir mittels der Determinante überprüfen können, ob das totale Differential maximalen Rang besitzt. Entsprechend ist $Q$ genau dann ein regulärer Punkt, wenn

det (Jak (φ)_{Q}) \neq 0

gilt. Für welche Punkte gilt dies, wenn man das berechnet?

Für die regulären Punkte gilt nun nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit, dass $φ$ in einer (möglicherweise sehr kleinen) Umgebung von $φ (Q)$ eine Umkehrabbildung existiert, die sogar stetig differenzierbar ist. Ist dies ein Diffeomorphismus? Im Allgemeinen existiert eine solche Umkehrabbildung nicht global, sondern nur lokal in einer Umgebung von $φ (Q)$ . Für $φ$ kann man das auch direkt nachvollziehen, weil $φ$ nicht injektiv ist (der Punkt $(0, 0)$ hat beispielsweise viele Urbilder).

In der Regel ist es schwierig, diese Umkehrabbildung explizit zu berechnen, aber wir können zumindest das totale Differential der lokalen Umkehrabbildung (die wir mit $ψ$ bezeichnen) angeben. Für die Hintereinanderschaltung $ψ \circ φ$ wissen wir, dass dies die Identitätsabbildung in einer Umgebung von $Q$ ist. Durch Verwenden der der Kettenregel können wir daher folgern, dass

Jak (ψ)_{φ (Q)} \circ Jak (φ)_{Q}

die Identitätsmatrix sein muss. Die Jacobi-Matrizen sind also invers zueinander. Für $P = (1, 0)$ lässt sich das totale Differential der Umkehrabbildung somit über die Inverse der Jacobi-Matrix von $φ$ berechnen.

Falls $Q$ kein regulärer Punkt ist, so wird dies als kritischer Punkt bezeichnet. In diesem Fall macht der Satz über die lokale Umkehrbarkeit keine Aussage darüber, ob die Abbildung in diesem kritischen Punkt lokal invertierbar ist. Tatsächlich können beide Fälle auftreten, was man dann durch spezifische Überlegungen entscheiden muss.

Diskutieren und Fragen

Aufgabe *

Man gebe für jedes $n \in ℕ_{+}$ eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

φ_{n} : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n}

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.

Aufgabe

Es seien $U, V, W$ euklidische Vektorräume und seien $φ : U ⟶ V$ und $ψ : V ⟶ W$ differenzierbare Abbildungen. Es sei $φ$ regulär in $P \in U$ und $ψ$ regulär in $Q = φ (P) \in V$ . Ist dann $ψ \circ φ$ regulär in $P$ ? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?

Aufgabe

Das komplexe Quadrieren

ℂ ⟶ ℂ, z ⟼ z^{2},

kann man reell als

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, x + i y = (x, y) ⟼ (x + i y)^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 i x y = (x^{2} - y^{2}, 2 x y),

schreiben. Untersuche $φ$ auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist $φ$ umkehrbar?

Aufgabe

Finde möglichst große offene Teilmengen $G \subseteq ℂ ≅ ℝ^{2}$ und $H \subseteq ℂ$ derart, dass die Abbildung

ℂ ⟶ ℂ, z ⟼ z^{3},

einen Diffeomorphismus von $G$ nach $H$ induziert.

Kommentar:

Wir fassen die Abbildung als reelle Abbildung $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ auf. Hier bietet es sich an, mit der Polardarstellung der komplexen Zahlen zu arbeiten, also $z = r e^{i α}$ mit $r \geq 0$ und $0 \leq α < 2 π$ . Über den komplexen Zahl ist das Potenzieren zum Exponenten $3$ nicht injektiv (wohl aber surjektiv). Für

z^{'} = r e^{i (α + \frac{2 π}{3})}

gilt zum Beispiel

(z^{'})^{3} = r^{3} e^{3 i (α + \frac{2 π}{3})} = r^{3} e^{3 i α} e^{i 2 π} = z^{3} .

Wenn wir die Abbildung auf eine offene Teilmenge einschränken wollen, auf der sie bijektiv ist, können folglich keine Punkte enthalten sein, die sich genau um eine $120$ -Grad-Drehung unterscheiden. Beispielsweise können wir als offene Menge $G$ die Punkte mit $0 < α < \frac{2 π}{3}$ und $r > 0$ wählen, aber es sind viele andere Definitionsgebiete denkbar. Auf diesem Gebiet $G$ ist die Abbildung nach den vorherigen Überlegungen injektiv und folglich bijektiv. Mit $H = {z = r e^{i α} ∣ r > 0, 0 < α < 2 π}$ können wir die Umkehrabbildung durch

H ⟶ G, z = r e^{i α} ⟼ \sqrt[3]{r} e^{i \frac{α}{3}}

angeben, sodass die Umkehrabbildung stetig ist. Die auf $G$ eingeschränkte Abbildung könnten wir daher auch als $C^{0}$ -Diffeomorphismus bezeichnen.

Der Begriff Diffeomorphismus selbst steht für $C^{1}$ -Diffeomorphismus. Wir müssen also noch begründen, dass die eingeschränkte Abbildung auf $G$ und deren Umkehrung differenzierbar sind – zum Beispiel durch Betrachtung der Jacobi-Matrix.

Diskutieren und Fragen

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

φ : ℝ ∖ {0} \times ℝ ⟶ ℝ^{2}, (x, y) ⟼ (\frac{y^{2}}{x}, \frac{y^{3}}{x^{2}}) .

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung $φ$ .

b) Zeige, dass $φ$ in $P = (1, 2)$ lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung

ψ = φ^{- 1}

besitzt, und bestimme das totale Differential von $ψ$ im Punkt $φ (P)$ .

c) Man gebe alle Punkte $Q \in ℝ ∖ {0} \times ℝ$ an, in denen $φ$ nicht lokal invertierbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Transformation

[0, 2 π] \times [0, 1] ⟶ B (0, 1), (α, w) ⟼ (\sqrt{w} \cos α, \sqrt{w} \sin α),

auf geeigneten offenen Teilmengen ein Diffeomorphismus ist und berechne die Jacobi-Determinante in jedem Punkt.

Aufgabe

Es seien $P_{1}, \dots, P_{n}$ und $Q_{1}, \dots, Q_{n}$ Punkte in der Ebene $ℝ^{2}$ . Zeige, dass die beiden offenen Mengen $U = ℝ^{2} ∖ {P_{1}, \dots, P_{n}}$ und $V = ℝ^{2} ∖ {Q_{1}, \dots, Q_{n}}$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe

Es sei

T = {\frac{1}{n} ∣ n \in ℕ_{+}} \cup {0},

U = ℝ ∖ T

und

V = ℝ ∖ ℕ .

Zeige, dass $U$ und $V$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe

Es sei

T = {(\frac{1}{n}, 0) ∣ n \in ℕ_{+}} \cup {(0, 0)},

U = ℝ^{2} ∖ T

und

V = ℝ^{2} ∖ ℕ .

Zeige, dass $U$ und $V$ zueinander nicht homöomorph sind.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

φ : ℝ^{6} ⟶ ℝ^{4}, (a, b, c, d, u, v) ⟼ (a u + b v + c + d, a d - b c, a c - b^{2}, b d - c^{2}) .

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass $φ$ im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass $φ$ in $(1, 1, 0, 0, 1, 1)$ regulär ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

F : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3}, (x, y, z) ⟼ (x + y + z, x y + x z + y z, x y z) .

Zeige, dass ein Punkt $P = (x, y, z)$ genau dann ein regulärer Punkt von $F$ ist, wenn die Koordinaten von $P$ paarweise verschieden (also $x \neq y$ , $x \neq z$ und $y \neq z$ ) sind.

Aufgabe *

Es sei $G \subseteq ℝ^{n}$ offen und

φ : G ⟶ ℝ^{n}

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die Menge der regulären Punkte von $φ$ offen ist.

Aufgabe *

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $U \subseteq V$ und $U^{'} \subseteq W$ offene Teilmengen und

φ : U ⟶ U^{'}

ein Diffeomorphismus. Es sei

F : I \times U ⟶ V, (t, x) ⟼ F (t, x),

ein Vektorfeld auf $U$ . Es sei $G$ das durch

G (t, y) := {(D φ)}_{φ^{- 1} (y)} (F (t, φ^{- 1} (y)))

definierte Vektorfeld auf $U^{'}$ . Zeige, dass

α : J ⟶ U

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems

x^{'} = F (t, x) mit x (t_{0}) = x_{0},

wenn $φ \circ α$ eine Lösung des Anfangswertproblems

y^{'} = G (t, y) mit y (t_{0}) = φ (x_{0})

ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Seien $U_{1}$ und $U_{2}$ offene Mengen in euklidischen Vektorräumen $V_{1}$ und $V_{2}$ . Es sei

φ : U_{1} ⟶ U_{2}

eine bijektive Abbildung, die in einem Punkt $P \in U_{1}$ differenzierbar sei derart, dass die Umkehrabbildung in $Q = φ (P)$ auch differenzierbar ist. Zeige, dass das totale Differential ${(D φ)}_{P}$ bijektiv ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $V_{1}$ und $V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $G \subseteq V_{1}$ offen und sei

φ : G ⟶ V_{2}

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $U \subseteq G$ eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt $P \in U$ das totale Differential ${(D φ)}_{P}$ bijektiv ist. Zeige, dass dann das Bild $φ (U)$ offen in $V_{2}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung

ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, (x, y) ⟼ (x + y^{2}, - y^{4} - 2 x y^{2} - x^{2} + y^{2} + x + y) .

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

φ : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3}, (x, y, z) ⟼ (x + y + z, x y + x z + y z, x y z) .

Zeige, dass ein Punkt $(x, y, z)$ genau dann ein kritischer Punkt von $φ$ ist, wenn in $(x, y, z)$ zwei Zahlen doppelt vorkommen.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

φ : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{2}, (x, y, z) ⟼ (x^{2} - y^{2} z, y + \sin x z) .

Zeige, dass die Menge der kritischen Punkte von $φ$ eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere (mindestens einen) Punkte enthält.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, (x, y) ⟼ (x, x y) .

Bestimme die regulären Punkte, die Fasern (also die Urbilder zu einem Punkt $(u, v) \in ℝ^{2}$ ), das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen $U_{1}, U_{2} \subseteq ℝ^{2}$ derart an, dass

φ |_{U_{1}} : U_{1} ⟶ U_{2}

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $U_{1}, U_{2} \subseteq ℝ^{k}$ und $V_{1}, V_{2} \subseteq ℝ^{n}$ offene Teilmengen mit $0 \in V_{1}, V_{2}$ und es sei

φ : U_{1} \times V_{1} ⟶ U_{2} \times V_{2}

ein Diffeomorphismus, der eine Bijektion zwischen $U_{1} \times {0}$ und $U_{2} \times {0}$ induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von $φ$ auf $U_{1} ≅ U_{1} \times {0}$ nach $U_{2} ≅ U_{2} \times {0}$ ein Diffeomorphismus ist.

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