Lösung
- Eine Teilmenge heißt
affiner Unterraum,
wenn
-
ist, mit einem Punkt und einem
-
Untervektorraum
.
- Eine
Basis
, ,
von heißt Orthogonalbasis, wenn
-
gilt.
- Eine
Isometrie
heißt eigentlich, wenn ihre
Determinante
gleich ist.
- In einem
Dreieck
in einer
euklidischen Ebene
heißt der Schnittpunkt der
Höhe
durch mit der Geraden durch
und
der
Höhenfußpunkt
dieser Höhe.
- Ein
Endomorphismus
-
heißt
normal,
wenn und
vertauschbar
sind.
- Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine
Relation,
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
(für beliebige ).
- .
- Aus folgt .
- Aus und folgt .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Spektralsatz für komplexe Isometrien.
- Der
Kongruenzsatz für Dreiecke.
- Der Satz über die Untergruppen von .
Lösung
- Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
-
eine Isometrie. Dann besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu .
- Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene sind genau dann zueinander kongruent, wenn ihre Seitenlängen übereinstimmen.
- Die Untergruppen von sind genau die Teilmengen der Form
-
mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl .
Lösung
- Es ist
-
- Es ist
-
- Es ist
Beschreibe die
affine Gerade
-
als
Urbild
über einer
affinen Abbildung
.
Lösung
Der Richtungsvektor gehört jeweils zum
Kern
der beiden
linear unabhängigen Linearformen
und .
Daher machen wir den Ansatz
-
Für den Aufpunkt ergibt sich die Bedingung
-
also ist
und
.
Somit ist
-
eine affine Abbildung mit Urbild über wie gewünscht.
Lösung
Die Abbildung ist die
direkte Summe
der beiden durch
-
und
-
gegebenen linearen Abbildungen. Diese sind beide Achsenspiegelungen und können daher auf die Form
-
gebracht werden. Die Eigenwerte sind demnach und , die algebraische und geometrische Vielfachheit ist jeweils .
Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
-
des an.
Lösung
Der Vektor besitzt die Norm , somit ist
-
der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu sein und zusammen mit den Untervektorraum aufspannen. Dies führt zum Ansatz
-
sodass
-
und ist. Der normierte Vektor dazu ist
-
Der dritte Vektor muss senkrecht auf
und
stehen. Ein solcher Vektor ist offenbar . Daher kann man
-
als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.
Berechne das
Kreuzprodukt
-
im .
Lösung
Es ist
Es sei
-
eine
obere Dreiecksmatrix
derart, dass die zugehörige
lineare Abbildung
-
winkeltreu
ist. Zeige
-
Lösung
Wir führen Induktion über den Index der Spalten, wir zeigen also, dass in den ersten Spalten oberhalb der Diagonalen nur stehen. Für die erste Spalte ist dies klar. Es sei also nun als Induktionsvoraussetzung schon bewiesen, dass in den ersten Spalten oberhalb der Diagonalen nur stehen. Wir betrachten die -te Spalte
-
Da winkeltreu ist, ist insbesondere
-
Die Spalten der Matrix sind . Daher ist für
-
unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung
-
d.h. auch die Einträge in der -Spalte oberhalb der Diagonalen sind .
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
mit
-
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
mit
-
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
und eine rationale Zahl
mit
-
Lösung
a) Es ist
-
daher ist
-
und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.
b) Wir nehmen
und
und
.
Die Summe ist
-
c) Wir setzen
-
diese Zahl ist irrational, da irrational ist. Es gilt
-
Mit
ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.
Lösung
Es sei
-
der Mittelpunkt der beiden Eckpunkte und ein zu senkrechter Vektor, sodass die Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich mit sind.
Es sei zunächst ein Punkt der Mittelsenkrechte, den wir als
-
ansetzen können. Es ist unter Verwendung
des Satzes des Pythagoras
-
Das gleiche Ergebnis ergibt sich für .
Es sei nun ein Punkt, der zu
und
den gleichen Abstand besitzt. Der
Abstand
von zur Geraden durch
und
werde im Punkt angenommen. Dann steht die Gerade durch
und
senkrecht auf der Geraden durch
und
und nach
dem Satz des Pythagoras
gilt
-
und entsprechend
-
Nach Voraussetzung ist also
-
und somit ist
-
der Mittelpunkt der Strecke von
nach .
Also liegt auf der Mittelsenkrechten.
Lösung
Wegen
-
-
-
-
ist die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem gleich
-
Skizziere für einen zweidimensionalen
Minkowski-Raum
den Lichtkegel und die Menge der Beobachtervektoren und zeichne dabei eine Zukunftsrichtung aus.
Lösung Minkowski-Raum/2/Relevante Teilmengen/Skizze/Aufgabe/Lösung
Der sei mit der
Standard-Minkowski-Form
versehen. Zeige, dass zu jedem
Beobachtervektor
die Raumkomponente des Beobachters die Spiegelung seiner Zeitkomponente an der Hauptdiagonalen ist.
Lösung
Lösung
Unter Verwendung der Isometrieeigenschaft und der Adjungiertheit ist
also ist der adjungierte Endomorphismus zu gleich ist.
Lösung
Für eine hermitesche Form gilt
-
Somit ist speziell
-
und damit ist reell.
Lösung
Es seien reelle Zahlen mit
.
Zeige, dass die Abbildung
-
ein
innerer Automorphismus
ist.
Lösung
Lösung
Lösung
Wegen
-
ist
,
die Relation ist also reflexiv. Es sei nun
.
Dies bedeutet
-
Somit ist auch
-
und damit ist auch
,
was die Symmetrie bedeutet. Es sei schließlich
und
.
Dies bedeutet
-
und
-
Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit
-
was
bedeutet. Dies ergibt die Transitivität.
Beweise den Satz von Lagrange.
Lösung