Kurs:Lineare Algebra/Teil II/Teiltest/2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 3 3 2 4 2 5 4 7 2 2 3 3 1 4 4 3 3 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein affiner Unterraum in einem affinen Raum über dem -Vektorraum .
  2. Eine Orthogonalbasis in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  3. Eine eigentliche Isometrie

    auf einem euklidischen Vektorraum .

  4. Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
  5. Ein normaler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt .

  6. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .


Lösung

  1. Eine Teilmenge heißt affiner Unterraum, wenn

    ist, mit einem Punkt und einem -Untervektorraum .

  2. Eine Basis , , von heißt Orthogonalbasis, wenn

    gilt.

  3. Eine Isometrie heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ist.
  4. In einem Dreieck in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch mit der Geraden durch und der Höhenfußpunkt dieser Höhe.
  5. Ein Endomorphismus

    heißt normal, wenn und vertauschbar sind.

  6. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).
    1. .
    2. Aus folgt .
    3. Aus und folgt .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Spektralsatz für komplexe Isometrien.
  2. Der Kongruenzsatz für Dreiecke.
  3. Der Satz über die Untergruppen von .


Lösung

  1. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
    eine Isometrie. Dann besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu .
  2. Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene sind genau dann zueinander kongruent, wenn ihre Seitenlängen übereinstimmen.
  3. Die Untergruppen von sind genau die Teilmengen der Form
    mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ein Punkt in einem affinen Raum über . Zeige, dass die folgenden Ausdrücke baryzentrische Kombinationen für sind (es sei und ).

  1. .
  2. .
  3. .


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die affine Gerade

als Urbild über einer affinen Abbildung .


Lösung

Der Richtungsvektor gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen und . Daher machen wir den Ansatz

Für den Aufpunkt ergibt sich die Bedingung

also ist und . Somit ist

eine affine Abbildung mit Urbild über wie gewünscht.


Aufgabe (2 Punkte)

Durch die Matrix

ist eine lineare Abbildung gegeben (). Bestimme die Eigenwerte und ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von .


Lösung

Die Abbildung ist die direkte Summe der beiden durch

und

gegebenen linearen Abbildungen. Diese sind beide Achsenspiegelungen und können daher auf die Form

gebracht werden. Die Eigenwerte sind demnach und , die algebraische und geometrische Vielfachheit ist jeweils .


Aufgabe (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Lösung

Der Vektor besitzt die Norm , somit ist

der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu sein und zusammen mit den Untervektorraum aufspannen. Dies führt zum Ansatz

so dass

und ist. Der normierte Vektor dazu ist

Der dritte Vektor muss senkrecht auf und stehen. Ein solcher Vektor ist offenbar . Daher kann man

als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Kreuzprodukt

im .


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix derart, dass die zugehörige lineare Abbildung

winkeltreu ist. Zeige


Lösung

Wir führen Induktion über den Index der Spalten, wir zeigen also, dass in den ersten Spalten oberhalb der Diagonalen nur stehen. Für die erste Spalte ist dies klar. Sei also nun als Induktionsvoraussetzung schon bewiesen, dass in den ersten Spalten oberhalb der Diagonalen nur stehen. Wir betrachten die -te Spalte

Da winkeltreu ist, ist insbesondere

Die Spalten der Matrix sind . Daher ist für

unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung

d.h. auch die Einträge in der -Spalte oberhalb der Diagonalen sind .


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Lösung

a) Es ist

daher ist

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen und und . Die Summe ist

c) Wir setzen

diese Zahl ist irrational, da irrational ist. Es gilt

Mit ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.


Aufgabe (7 Punkte)

Es seien verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass die Mittelsenkrechte zu und aus allen Punkten besteht, die zu und den gleichen Abstand haben.


Lösung

Es sei

der Mittelpunkt der beiden Eckpunkte und ein zu senkrechter Vektor, so dass die Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich mit sind.

Es sei zunächst ein Punkt der Mittelsenkrechte, den wir als

ansetzen können. Es ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

Das gleiche Ergebnis ergibt sich für .

Es sei nun ein Punkt, der zu und den gleichen Abstand besitzt. Der Abstand von zur Geraden durch und werde im Punkt angenommen. Dann steht die Gerade durch und senkrecht auf der Geraden durch und und nach dem Satz des Pythagoras gilt

und entsprechend

Nach Voraussetzung ist also

und somit ist

der Mittelpunkt der Strecke von nach . Also liegt auf der Mittelsenkrechten.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem bezüglich der Standardbasis.


Lösung

Wegen

ist die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere für einen zweidimensionalen Minkowski-Raum den Lichtkegel und die Menge der Beobachtervektoren und zeichne dabei eine Zukunftsrichtung aus.


Lösung Minkowski-Raum/2/Relevante Teilmengen/Skizze/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu jedem Beobachtervektor die Raumkomponente des Beobachters die Spiegelung seiner Zeitkomponente an der Hauptdiagonalen ist.


Lösung

Die Zeitkomponente des Beobachters ist . Dazu senkrecht bezüglich der Minkowski-Form ist , da ja

gilt. Beim Übergang von zu werden die Komponenten vertauscht, und genau dies passiert bei der Achsenspiegelung an der Hauptdiagonalen.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und euklidische Vektorräume und ein Endomorphismus mit adjungiertem Endomorphismus . Es sei eine Isometrie. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu

gleich ist.


Lösung

Unter Verwendung der Isometrieeigenschaft und der Adjungiertheit ist

also ist der adjungierte Endomorphismus zu gleich ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass für eine hermitesche Form auf einem -Vektorraum die Werte zu stets reell sind.


Lösung

Für eine hermitesche Form gilt

Somit ist speziell

und damit ist reell.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik


Lösung

Die beschreibende Matrix ist

Das charakteristische Polynom davon ist

Wir berechnen einige Werte.

Somit besitzt das Polynom eine Nullstelle zwischen und , eine Nullstelle zwischen und und eine Nullstelle zwischen und . Daher gibt es eine negative Nullstelle und zwei positive Nullstellen und somit ist die normierte Standardgestalt der quadratischen Form gleich .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien reelle Zahlen mit . Zeige, dass die Abbildung

ein innerer Automorphismus ist.


Lösung

Die Matrix ist invertierbar und die inverse Matrix ist . Mit dieser Matrix ist

somit handelt es sich bei der Abbildung um die Konjugation mit der invertierbaren Matrix .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern.

  1. Das -Brett.
  2. Das -Brett.
  3. Das -Brett.


Lösung

  1. Jeder Pferdsprung würde das -Brett verlassen, daher sind die vier einzelnen Felder die Äquivalenzklassen.
  2. Problem skoczka szachowego 3x3.jpg

    Vom zentralen Feld aus würde jeder Pferdsprung das -Brett verlassen, dieses bildet somit für sich eine Äquivalenzklasse. Die acht übrigen Felder sind mittels Pferdsprüngen untereinander verbindbar, wie die Skizze zeigt.

  3. Die in der folgenden Matrix angegebene Zugreihenfolge

    zeigt, dass alle Felder bis auf das links unten miteinander durch Pferdsprünge verbunden sind. Letzteres ist mit dem mit markierten Feld durch einen Pferdsprung verbunden. Also sind alle Felder zueinander äquivalent und es gibt nur eine Äquivalenzklasse.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem , die durch

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Lösung

Wegen

ist , die Relation ist also reflexiv. Es sei nun . Dies bedeutet

Somit ist auch

und damit ist auch , was die Symmetrie bedeutet. Sei schließlich und . Dies bedeutet

und

Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit

was bedeutet. Dies ergibt die Transitivität.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.


Lösung

Betrachte die Linksnebenklassen für sämtliche . Es ist

eine Bijektion zwischen und , so dass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von , so dass ein Vielfaches von sein muss.