Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Algebraische Zahlentheorie

Aufgabe *

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Galoiserweiterung mit zugehörigem Zahlbereich ${}R$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Jedes System von Fundamentaleinheiten ist ein Algebraerzeugendensystem von ${}R$ über ${}\mathbb {Z}$.
2. Für jeden Zahlbereich ${}S\subset R$ ist der Rang der Einheitengruppe ${}S^{\times }$ echt kleiner als der Rang von ${}R^{\times }$.
3. Die Wirkung der Galoisgruppe auf ${}R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)}$ ist treu.

Wir betrachten die Gleichung

${}x^{3}=y^{2}+2\,,$

das die ganzzahlige Lösung ${}(3,5)$ (und ebenso ${}(3,-5)$) besitzt. Man spricht von der Bachet-Gleichung. Wir zeigen unter Bezug auf den Ganzheitsring zu ${}{\sqrt {-2}}$, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Dies wurde ursprünglich von Euler gezeigt. Nach Aufgabe ist ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ euklidisch und insbesondere ein Hauptidealbereich.

Satz

Die einzigen ganzzahligen Lösungen der Gleichung

${}x^{3}=y^{2}+2\,$

sind ${}(3,\pm 5)$.

Beweis

Zunächst kann ${}y$ nicht gerade sein, denn dann wäre auch ${}x$ gerade und die beiden Seiten der Gleichung liefern widersprüchliche Bedingungen an den Exponenten für die ${}2$.

Wir schreiben in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ die Gleichung als

${}x^{3}=(y+{\sqrt {-2}})(y-{\sqrt {-2}})\,.$

Die beiden Faktoren rechts erzeugen das Einheitsideal. Aus der Annahme

${}(y+{\sqrt {-2}},y-{\sqrt {-2}})=(y+{\sqrt {-2}},2y,2{\sqrt {-2}})\subseteq {\mathfrak {m}}\,$

folgt ${}{\sqrt {-2}},2,y\in {\mathfrak {m}}$, was wegen ${}y$ ungerade einen Widerspruch darstellt. Die beiden Faktoren sind also teilerfremd. Da ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ faktoriell ist, müssen sich die Primfaktoren von ${}x$ in der dritten Potenz auf die einzelnen Faktoren aufteilen. D.h. die Faktoren sind selbst dritte Potenzen. Da es nur die trivialen Einheiten gibt, ist also ${}y+{\sqrt {-2}}=(a+b{\sqrt {-2}})^{3}$ mit ${}a,b\in \mathbb {Z}$. Dies ergibt die beiden Bedingungen

${}y=a^{3}-6ab^{2}\,$

und

${}1=3a^{2}b-2b^{3}=b(3a^{2}-2b^{2})\,.$

Aus der letzten Gleichung ergibt sich ${}b=1$ und ${}a=\pm 1$. Somit ist ${}y=\pm 5$.

$\Box$

Wir betrachten einige weitere Beispiele, wo eine dritte Potenz „nahe“ an einer zweiten Potenz ist. Es ist

${}2^{3}+1=3^{2}\,.$

Wir betrachten die Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=z^{3}\,.$

Lösungen sind beispielsweise ${}(2,2,2)$ oder ${}(11,2,5)$. Wenn man eine Lösung ${}(x,y,z)$ hat, so kann man das Lösungstupel mit ${}u^{6}$ multiplizieren und erhält wegen

${}(u^{3}x)^{2}+(u^{3}y)^{2}=u^{6}(x^{2}+y^{2})=u^{6}z^{3}=(u^{2}z)^{3}\,$

eine neue Lösung ${}(u^{3}x,u^{3}y,u^{2}z)$. Insbesondere gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn ${}x$ und ${}y$ in einer Lösung einen gemeinsamen Primteiler ${}p$ haben, so kommt er wegen der linken Seite mit einer geraden Vielfachheit und wegen der rechten Seite mit einer durch drei teilbaren Vielfachheit vor. Er kommt also insgesamt mit einer durch sechs teilbaren Vielfachheit vor und man kann den eben beschriebenen Prozess umkehren. Es geht also im Wesentlichen darum, Lösungen für ${}x,y$ teilerfremd zu finden.

Es ist

${}x^{2}+y^{2}=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)=z^{3}\,$

im Ring der Gaußschen Zahlen. Bei ${}x,y$ teilerfremd ist

${}(x+{\mathrm {i} }y,x-{\mathrm {i} }y)=(2x,2y,x+{\mathrm {i} }y)\,.$

Bei

${}x=y=1\,$

liegt das im Ideal ${}(1+{\mathrm {i} })$. Sonst handelt es sich um das Einheitsideal. Letzterer Fall entspricht keiner Lösung. Also sind ${}x+{\mathrm {i} }y$ und ${}x-{\mathrm {i} }y$ teilerfremd und daher muss jeder Primteiler von ${}z$ in einem der Faktoren inder dirtten Potenz aufgehen. D.h. die bieden Zahlen sind selbst bis auf Einheiten dritte Potenzen. Der Ansatz

${}x+{\mathrm {i} }y=w(a+{\mathrm {i} }b)^{3}\,$

mit einer Einheit ${}w$. Da man die Negation reinziehen kann und man die Rollen von ${}x$ und ${}y$ vertauschen kann, darf man ${}w=1$ annehmen. Das führt auf die beiden Gleichungen ${}x=a^{3}-3ab^{2}=a(a^{2}-3b^{2})$ und ${}y=3a^{2}b-b^{3}=b(3a^{2}-b^{2})$. Man kann also ${}a$ und ${}b$ frei vorgeben. In der Tat ist

${}(a(a^{2}-3b^{2}))^{2}+(b(3a^{2}-b^{2}))^{2}=(a^{2}+b^{2})^{3}\,.$

Sei nun ${}y$ fixiert. Dann gibt es nur endlich viele Teiler ${}b$ von ${}y$, und dies legt auch ${}a$ fest. Bei ${}y=1$ ist ${}b=1$ und es gibt keine Lösung für ${}a$. Der Fall

${}b=-1\,$

führt auf ${}a=0$, was wir ausgeschlossen haben. Bei ${}y=2$ hat man die Lösungen

${}(a,b)=(1,1),(1,-2)\,$

(${}b=-1$ oder ${}b=2$ führen nicht auf eine Lösung). Diese führen auf die Lösungen

${}x=\pm 2,\pm 11\,.$

Wir betrachten die Gleichung

${}X^{3}+Y^{3}=Z^{2}\,.$

Als ganzzahlige Lösungen fallen einem ${}(0,1,1),\,(1,2,3)$ und ${}(2,2,4)$ sofort ein. Ferner erhält man mit jeder Lösung ${}(x,y,z)$ neue Lösungen ${}(u^{2}x,u^{2}y,u^{3}z)$. Man wird also vor allem nach Lösungen mit teilerfremden ${}x,y$ suchen. Eine nicht unmittelbar naheliegende ganzzahlige, aber nicht positive Lösung ist ${}(-7,8,13)$, es ist ja

${}(-7)^{3}+8^{3}=-343+512=169=13^{2}\,,$

oder ${}(-104,105,181)$. Da wir nach ganzzahligen Lösungen suchen, ist die Gleichung äquivalent zu

${}X^{3}-Y^{3}=Z^{2}\,.$

Im Ring der Eisensteinzahlen ist

${}(x-y)(x-\eta y)(x-\eta ^{2}y)=z^{2}\,.$

Bei ${}x-y=1$, also ${}x=y+1$, gelangt man zur Bedingung

${}{\left(y+1-\eta y\right)}{\left(y+1-\eta ^{2}y\right)}=z^{2}\,.$

Die Differenz der beiden Faktoren ist ${}(\eta ^{2}-\eta )y$. Daraus folgt, dass die Faktoren teilerfremd sind, und daraus folgt

${}y+1-\eta y=(a+b\eta )^{2}=a^{2}+b^{2}\eta ^{2}+2ab\eta =a^{2}-b^{2}+(2ab-b^{2})\eta \,.$

Dies ergibt das Gleichungssystem

${}y+1=a^{2}-b^{2}\,$

und

${}-y=2ab-b^{2}\,,$

was aufaddiert auf die Gleichung

${}a^{2}+2ab-2b^{2}=1\,$

bzw.

${}(a+b)^{2}-3b^{2}=1\,$

führt. Mit

${}c=a+b\,$

ist

${}c^{2}-3b^{2}=1\,$

eine Pellsche Gleichung, und zwar die (positive) Einheitenbedingung im quadratischen Zahlbereich zu ${}{\sqrt {3}}$. Die Fundamentaleinheit ist ${}2+{\sqrt {3}}$.

Einheit	${}a$	${}b$	${}c$	${}x$	${}y$	${}z$
${}2+{\sqrt {3}}$	${}1$	${}1$	${}2$	${}0$	${}-1$	${}1$

Einheit	${}a$	${}b$	${}c$	${}x$	${}y$	${}z$
${}2-{\sqrt {3}}$	${}3$	${}-1$	${}2$	${}8$	${}7$	${}13$

Einheit	${}a$	${}b$	${}c$	${}x$	${}y$	${}z$
${}7+4{\sqrt {3}}$	${}3$	${}4$	${}7$	${}-7$	${}-8$	${}13$

Einheit	${}a$	${}b$	${}c$	${}x$	${}y$	${}z$
${}7-4{\sqrt {3}}$	${}11$	${}-4$	${}7$	${}105$	${}104$	${}181$

Satz

Es seien ${}\mathbb {Q} \subseteq K,L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen mit ${}K\cap L=\mathbb {Q}$ und ${}KL=M$. Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ eine Ganzheitsbasis von ${}K$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ eine Ganzheitsbasis von ${}L$, wobei die Diskriminanten zueinander teilerfremd seien.

Dann ist ${}x_{i}y_{j}$, ${}1\leq i\leq m$, ${}1\leq j\leq n$, eine Ganzheitsbasis von ${}M$.

Beweis

Zahlbereich/Teilerfremde Diskriminante/Ganzheitsbasis/Fakt/Beweis

$\Box$

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine biquadratische Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq M$ mit quadratischen Zwischenkörpern ${}\mathbb {Q} \subseteq K,L\subseteq M$ derart, dass zu einer Ganzheitsbasis ${}1,x$ von ${}K$ und einer Ganzheitsbasis ${}1,y$ von ${}L$ die Produktbasis ${}1,x,y,xy$ keine Ganzheitsbasis von ${}M$ ist.

Bemerkung  

In der Situation von Fakt mit ${}q=\pm 1\mod 9$ ist der Ring

${}A=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{3}-Y^{2}+{\frac {1-q^{2}}{3}}Y-{\frac {(q^{2}-1)^{2}}{27}}\right)}\,$

nicht normal. Im Beweis wird nur gezeigt, dass die Lokalisierung an ${}(3)$ normal ist. Wenn ${}p$ ein Primteiler ${}\neq 3$ von ${}q^{2}-1$ ist, so wird darüber das Polynom zu ${}Y^{3}-Y^{2}$ und besitzt dort eine nichtreduzierte Faser.

ist

${}{\begin{aligned}y^{2}&={\frac {x^{4}+q^{2}x^{2}+1+2qx^{3}+2qx+2x^{2}}{9}}\\&={\frac {qx+q^{2}x^{2}+1+2q^{2}+2qx+2x^{2}}{9}}\\&={\frac {(q^{2}+2)x^{2}+3qx+2q^{2}+1}{9}}.\end{aligned}}$

Daraus kann man

${}x=y^{2}-{\frac {(q^{2}+2)}{3}}y\,$

Beispiel

Es sei

${}R=\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(X^{3}+5X+2)\,,$

in ${}R$ liegt die Faktorzerlegung ${}2=-x(x^{2}+5)$ vor. Modulo ${}(2)$ ist

${}x^{3}+x=x(x^{2}+1)=x(x+1)^{2}\,.$

Da der zweite Faktor doppelt vorkommt, kann man Fakt nicht anwenden, und es wird sich auch gleich ergeben, dass ${}R$ in der Tat nicht normal ist. Das Element ${}x$ ist ein Primelement in ${}R$, da der Restklassenring modulo ${}x$ gleich

${}\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(X^{3}+5X-2,X)=\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(2,X)=\mathbb {Z} _{(2)}/(2)=\mathbb {Z} /(2)\,$

ist. Dagegen ist ${}x^{2}+5$ kein Primelement, da

${}\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(X^{3}+5X+2,X^{2}+5)=\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(2,X^{2}+5)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+1)\,$

nicht reduziert ist. In ${}R$ wird das durch die Eigenschaft

${}{\begin{aligned}(x+1)(x+1)&=(x^{2}+5)+2(x-2)\\&=(x^{2}+5)-(x^{3}+5x)(x-2)\\&=(x^{2}+5)(1-x(x-2))\\&=(x^{2}+5)(-x^{2}+2x+1).\end{aligned}}$

widergespiegelt. Das Element ${}x+1$ ist kein Primelement in ${}R$, sein Restklassenring ist ${}\mathbb {Z} /(4)$. Jedenfalls haben wir in ${}R$ die beiden Primideale ${}{\mathfrak {p}}=(x)$ und ${}{\mathfrak {q}}=(2,x+1)$, wobei ${}R_{\mathfrak {p}}$ normal ist und ${}R_{\mathfrak {q}}$ nicht. was darauf beruht, dass weder ${}2$ noch ${}x+1$ ein Erzeuger ist. Wir wollen die Normalisierung bestimmen.

Die definierende Gleichung kann man auch als

${}(x+1)^{3}-3(x+1)^{2}+8(x+1)-4=0\,$

schreiben. Somit ist

${}{\begin{aligned}\left({\frac {2}{x+1}}\right)^{2}&={\frac {4}{(x+1)^{2}}}\\&={\frac {(x+1)^{3}-3(x+1)^{2}+8(x+1)}{(x+1)^{2}}}\\&=(x+1)-3+{\frac {8}{(x+1)}}\\&=(x+1)-3+4{\frac {2}{(x+1)}},\end{aligned}}$

d.h.

${}y={\frac {2}{x+1}}\,$

erfüllt die Ganzheitsgleichung

${}y^{2}-4y+x-2=0\,.$

Nach Hinzunahme von diesem ganzen Element wird ${}(2,x+1)$ zu einem Hauptideal, erzeugt von ${}x+1$. Da einerseits

${}x={\frac {2}{y}}-1\,$

und andererseits

${}x=-y^{2}+4y+2\,$

gilt, erfüllt ${}y$ die Gleichung

${}y^{3}-4y^{2}-3y+2=0\,.$

Somit gilt

${}R\subseteq \mathbb {Z} _{(2)}[Y]/(Y^{3}-4Y^{2}-3Y+2)=S\,.$

Dabei gilt die Faktorzerlegung

${}-2=y(y^{2}-4y-3)\,,$

vor, der Restklassenring ${}S/(2)$ hat wieder die Darstellung ${}\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y(Y-1)^{2})$. Das zum zweiten Primfaktor zugehörige Ideal ${}(2,y-1)$ wird wieder nicht von einem Element erzeugt.

Es ist nun zu zeigen, dass die von ${}x,y,z$ erzeugte Algebra normal ist, wobei wir über ${}\mathbb {Z} _{(3)}$ arbeiten und damit auch ${}y$ ersetzen können. Wir setzen

${}B=\mathbb {Z} [X,U]/(X^{3}-ab^{2},3U-(1+aX+X^{2}),P(U))\,,$

wobei

${}P(T)=U^{3}-U^{2}+{\frac {1-a^{2}b^{2}}{3}}U-{\frac {1}{27}}{\left(1+a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2}-3)\right)}\,$

das charakteristische Polynom von ${}z$ ist. Der Faserring über ${}(3)$ ist ${}\mathbb {Z} /(3)[X,U]/((X-ab^{2})^{3},(1+aX+X^{2}),{\overline {P}}(U))$, in einem Restklassenkörper davon gilt ${}X=ab^{2}$. Bei ${}t=7$ ist

${}{\overline {P}}(U)=U^{3}-U^{2}-U+1=(U-1)^{2}(U+1)\,.$

Daher liegen zwei Primideale oberhalb von ${}(3)$. Das zu ${}(U+1)$ ist normal. Wir betrachten ${}B/(U-1)$, dies wird durch das Ideal ${}(X^{3}-ab^{2},3-(1+aX+X^{2}))$ beschrieben.

und in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$ gilt die Beziehung

${}X^{p}-1=(X-1)(X^{p-1}+\cdots +X+1)=(X-1)^{p}\,,$

woraus

${}X^{p-1}+\cdots +X+1=(X-1)^{p-1}\,$

folgt. Deshalb liegt oberhalb von ${}(p)$ in ${}S$ allein das Primideal ${}(1-\zeta )$ mit identischem Restekörper.

${}\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{p-1}+\cdots +X+1,X-1)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(X-1)^{p}\,$

Wir haben also die Situation

${}\mathbb {Z} _{(p)}\subseteq S_{(1-\zeta )}\subseteq R_{\mathfrak {q}}\,,$

wobei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal im ganzen Abschluss oberhalb von ${}(1-\zeta )$ sei. Da wegen der Verzweigungsordung der Grad der Erweiterung schon aufgebraucht ist, folgt ${}S_{(1-\zeta )}=R_{\mathfrak {q}}$.

Die Elemente ${}1-\zeta$ und ${}1-\zeta ^{k}$ für ${}k$ zwischen ${}1$ und ${}k-1$ sind zueinander konjugiert und haben insbesondere die gleiche Norm.

Wir behaupten ${}(p)S=(1-x)^{p-1}$. Modulo ${}p$ hat man in

${}\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1)=\,$

die Gleichheit

${}(X-1)^{p}=X^{p}-1=0\,.$

Auch

${}(X-1)^{p-1}=X^{p}-1=0\,.$

${}X^{p-1}+...=(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\,$

Definition

Zu einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ nennt man die Abbildung

$L\times L\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(xy\right)},$

die Spurform auf ${}L$.

Lemma

Zu einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ besitzt die Spurform

$L\times L\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(xy\right)},$

die folgenden Eigenschaften.

1. Die Spurform ist eine symmetrische Bilinearform.
2. Bei ${}K\subseteq L$ separabel ist die Spurform nichtausgeartet.
3. Zu einer ${}K$-Basis ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ von ${}L$ ist die Diskriminante ${}\triangle (y_{1},\ldots ,y_{n})$ gleich der Determinante der Gramschen Matrix der Spurform bezüglich der Basis.

Beweis

1. Die Bilinearität ergibt sich aus der ${}K$-Linearität der Spur und die Symmetrie aus der Kommutativität der Multiplikation von ${}L$.
2. Sei ${}x\in L$ von ${}0$ verschieden. Im separablen Fall ist die Spurabbildung nicht die Nullabbildung, es gibt also ein ${}y\in L$ mit ${}\operatorname {Spur} {\left(y\right)}\neq 0$. Dann zeigt

   ${}\operatorname {Spur} {\left(x\cdot {\frac {y}{x}}\right)}=\operatorname {Spur} {\left(y\right)}\neq 0\,,$

   dass die Spurform nichtausgeartet ist.

3. Ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen.

$\Box$

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum Es sei ${}\Phi$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Dann definiert jeder Vektor ${}v\in V$ über

$\Phi (v,-)\colon V\longrightarrow K,\,u\longmapsto \Phi (v,u),$

eine Linearform auf ${}V$, also ein Element des Dualraumes ${}{V}^{*}$. Wenn die Bilinearform ${}\Phi$ nichtausgeartet ist, so kann man jede Linearform so realisieren, siehe Fakt, das zugehörige ${}v$ heißt dann der Gradient der Linearform. Wenn ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist, so ist die Spurform auf ${}L$, also die Abbildung

$L\times L\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(xy\right)},$

eine besondere und natürliche symmetrische Bilinearform, die nicht ausgeartet ist, falls die Körpererweiterung separabel ist.

Es sei ${}R\subseteq Q(R)=K$ und wieder ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum, versehen mit einer symmetrischen Bilinearform. Zu einem ${}R$-Untermodul ${}U\subseteq V$ setzt man

${}U^{*}={\left\{v\in V\mid \Phi (v,u)\in R{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$

und nennt dies den Dualmodul zu ${}U$ (bezüglich der fixierten Bilinearfrom und dem fixierten Unterring). Man denke etwa an ${}R=\mathbb {Z}$, ${}V=L$ einer endlichen Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$, an ein gebrochenes Ideal ${}U={\mathfrak {a}}$ und an die Spurform.

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich, ${}Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}K$ und ${}{\mathfrak {a}}$ ein gebrochenes Ideal von ${}S$. Man nennt

${}{\mathfrak {a}}^{*}={\left\{f\in L\mid \operatorname {Spur} {\left(fa\right)}\in R{\text{ für alle }}a\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$

die Kodifferente zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Zum Einheitsideal

${}{\mathfrak {a}}=S\,$

nennt man die Kodifferente des Ideals auch die Kodifferente von ${}S$ oder den Dedekindschen Komplementärmodul.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich, ${}Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}K$.

Dann ist die Kodifferente zu einem gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ von ${}S$ ein gebrochenes Ideal von ${}S$.

Beweis

Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Eigenschaften/Fakt/Beweis

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich, ${}Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}K$.

Dann ist

${\mathfrak {a}}^{*}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left({\mathfrak {a}},R\right)},\,f\longmapsto {\left(a\mapsto \operatorname {Spur} {\left(af\right)}\right)},$

ein ${}S$-Modulisomorphismus zwischen der Kodifferente zum gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ und dem angegebenen Homomorphismenmodul.

Beweis

Die ${}S$-Modulstruktur auf der Homomorphismenmenge ist durch

${}(s\varphi )(a):=\varphi (sa)\,$

festgelegt. Nach der Definition der Kodifferente legt ${}a\in {\mathfrak {a}}^{*}$ in der Tat eine Abbildung nach ${}S$ fest. Die Injektivität folgt aus der vorausgesetzten Separabilität. Zum Nachweis der Surjektivität sei eine ${}R$-lineare Abbildung

$\theta \colon {\mathfrak {a}}\longrightarrow R$

gegeben. Diese können wir aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einer ${}K$-linearen Abbildung

$\theta \colon {\mathfrak {a}}_{R\setminus \{0\}}\cong L\longrightarrow R_{R\setminus \{0\}}\cong K$

fortsetzen, wobei der Isomorphismus links auf dem Beweis zu Fakt beruht. Da die Spur im separablen Fall eine nichtausgeartete Bilinearform definiert, gibt es ein ${}f\in L$ mit

${}\theta (x)=\operatorname {Spur} {\left(f\cdot x\right)}\,.$

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich, ${}Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}K$ und ${}{\mathfrak {a}}$ ein gebrochenes Ideal von ${}S$. Man nennt das inverse gebrochene Ideal zur Kodifferente, also ${}{\left({\mathfrak {a}}^{*}\right)}^{-1}$, die Differente zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Die Differente zum Einheitsideal heißt wieder die Differente schlechthin zu ${}S$.

Definition

Separable Erweiterung/Differente/Spurdual/Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}S=R[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom

${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]\,.$

Dann ist ${}S$ eine freie Algebra mit der ${}R$-Basis ${}1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$, wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichnet. Für eine endliche separable Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ liegt diese Situation stets vor. Wenn ${}L=K[X]/(F)$ ist, ${}R\subseteq Q(R)=K$ und ${}T$ der Ganzheitsring von ${}R$ in ${}L$, so ist

${}S\cong R[X]/(F)=R[x]\subseteq T\,,$

und ${}T$ ist die Normalisierung von ${}S$. Im Allgemeinen gilt ${}S\neq T$, dennoch ist ${}S$ eine gute Annäherung an ${}T$ und oft besitzt ${}T$ die Gestalt ${}T=R[Y]/(G)$ mit einem anderen Erzeuger, Fakt beschreibt eine instruktive Beispielklasse.

Eine besondere Rolle spielt die formale Ableitung ${}F'$ bzw. ${}F'(x)$ als Element von ${}S$. Die Relevanz des von ${}F'(x)$ definierten Hauptideals in ${}S$ wird schon durch die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,(F'(x))\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{S{|}R}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

deutlich, wobei rechts der Modul der Kählerdifferentiale steht. Die Exaktheit rechts, also die Surjektivität, beruht auf Fakt.

Bei einer freien Algebra wird die Norm und die Spur wie im Körperfall definiert. Bei Integritätsbereichen kann man direkt die Definitionen von den Quotientenkörpern her einschränken. Der Homomorphismenmodul ${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}$ zu einem freien endlichen ${}R$-Modul ${}M$, also der Dualmodul zu ${}M$, ist selbst frei vom gleichen Rang, und eine ${}R$-Basis von ${}M$ liefert über die Dualbasis eine Basis des Dualmoduls. Wenn ${}M=S$ eine ${}R$-Algebra ist, so ist der Dualmodul nicht nur ein ${}R$-Modul, sondern auch ein ${}S$-Modul, über die Multiplikation ${}(x\varphi )(y):=\varphi (xy)$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}S=R[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom ${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$. Es sei ${}\epsilon _{j}$ die Dualbasis zu ${}x^{j}$, ${}j=0,1,\ldots ,n-1$.

Dann ist der ${}R$-Dualmodul ${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,R\right)}$ als ${}S$-Modul frei vom Rang ${}1$ mit ${}\epsilon _{n-1}$ als Basiselement.

Beweis

Jedes Element ${}s\in S$ besitzt eine eindeutige Darstellung

${}s=\sum _{i=0}^{n-1}s_{i}x^{i}\,,$

und ${}\epsilon _{j}$ ist die Abbildung, die ${}s$ auf den ${}j$-ten Koeffizienten ${}s_{j}$ abbildet. Wir geben explizit Elementen ${}b_{j}\in S$, ${}j=0,1,\ldots ,n-1$ mit

${}b_{j}\epsilon _{n-1}=\epsilon _{j}\,$

an, was bedeutet, dass man jede Linearform als ein ${}S$-Vielfaches von ${}\epsilon _{n-1}$ schreiben kann. Da ${}x$ eine Nullstelle des Polynoms ${}F$ ist, liegt in ${}S[X]$ die Zerlegung

${}F=(X-x)G\,$

mit einem normierten Polynom

${}G=\sum b_{j}X^{j}\,$

vom Grad ${}n-1$ vor. Zwischen den Koeffizienten von ${}F$ und ${}G$ besteht der Zusammenhang

${}c_{j}=b_{j-1}-b_{j}x\,.$

Umgekehrt gilt

${}b_{n-1}=1\,,$

${}b_{n-2}=c_{n-1}+x\,$

${}b_{n-3}=c_{n-2}+b_{n-2}x=c_{n-2}+c_{n-1}x+x^{2}\,$

$\vdots$

${}b_{0}=c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-2}+x^{n-1}\,.$

In Matrixschreibweise besteht also die Beziehung

${}{\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\\vdots \\b_{n-2}\\b_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n-1}&1\\c_{2}&c_{3}&\ldots &1&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\c_{n-1}&1&\ldots &0&0\\1&0&\ldots &0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\\vdots \\x^{n-2}\\x^{n-1}\end{pmatrix}}\,.$

Die Übergangsmatrix ist also eine (bei dieser Induzierung links oben) Dreiecksmatrix mit ${}1$ auf der Gegendiagonalen, daher ist die Determinante ${}\pm 1$ und ${}b_{j}$ ist auch eine ${}R$-Basis.

Zwischen den ${}\epsilon _{j}$ und ${}\epsilon _{i-1}$ besteht der Zusammenhang

${}x\epsilon _{j}=\epsilon _{j-1}-c_{j}\epsilon _{n-1}\,,$

wie eine Überprüfung auf den Potenzen von ${}x$ zeigt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}S=R[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom ${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$. Es sei ${}\epsilon _{j}$ die Dualbasis zu ${}x^{j}$, ${}j=0,1,\ldots ,n-1$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Spur von ${}S$ über ${}R$ ist

   ${}\operatorname {Spur} {\left(-\right)}=(F'(x)\cdot \epsilon _{n-1})(-)\,.$

2. Es ist

   ${}\vert {N(F'(x))}\vert =\vert {\det \left(\operatorname {Spur} {\left(x^{i+j}\right)}_{0\leq i,j\leq n-1}\right)}\vert \,.$

Beweis

Wir schreiben ${}F=(X-x)G$ mit einem normierten Polynom ${}G=\sum b_{j}X^{j}$ wie im Beweis zu Fakt. Aus

${}F'=(X-x)G'+G\,$

folgt ${}F'(x)=G(x)$. Für die Spur gelten deshalb nach Fakt und wieder nach dem Beweis von Fakt die Gleichheiten

${}{\begin{aligned}\operatorname {Spur} {\left(s\right)}&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}\epsilon _{j}(s)\\&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}b_{j}\epsilon _{n-1}(s)\\&={\left(\sum _{j=0}^{n-1}b_{j}x^{j}\right)}\epsilon _{n-1}(s)\\&=G(x)\epsilon _{n-1}(s)\\&=F'(x)\epsilon _{n-1}(s).\end{aligned}}$

Zum Beweis des zweiten Teils gehen wir von der Matrixbeziehung

${}{\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\\vdots \\b_{n-2}\\b_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n-1}&1\\c_{2}&c_{3}&\ldots &1&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\c_{n-1}&1&\ldots &0&0\\1&0&\ldots &0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\\vdots \\x^{n-2}\\x^{n-1}\end{pmatrix}}\,$

aus. Nach Fakt ist

${}\vert {\det \left(\operatorname {Spur} {\left(x^{i+j}\right)}_{0\leq i,j\leq n-1}\right)}\vert =\vert {\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{0\leq i,j\leq n-1}\right)}\vert \,.$

$\Box$

Sei weiterhin

${}S=R[X]/(F)\,$

mit einem normierten Polynom ${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$ vom Grad ${}n$ und sei ${}S$ integer. Dann liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{S{|}R}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor. Bezüglich der ${}R$-Basis ${}X^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,n-1$, wird die Abbildung ${}1\mapsto F'$ durch die Multiplikationsmatrix zu ${}F'$,

${\begin{pmatrix}c_{1}&-c_{0}&&&&\\2c_{2}&(1-n)c_{1}&&&&\\3c_{3}&(2-n)c_{2}&c_{1}&&&\\\vdots &&&&&\\(n-2)c_{n-1}&-2c_{n-2}&&&&\\n&-c_{n-1}&&&&\end{pmatrix}},$

beschrieben. Deren Determinante ist nach Definition die Norm von ${}F'$ und dieses ist nach Fakt gleich der Diskriminante zur Basis ${}x^{i}$.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}f\in K[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad ${}n$. Wir betrachten die endliche freie Ringerweiterung

${}K[Y]\subseteq K[Y][X]/(f(X)-Y)\cong K[X]\,$

mit der ${}K[Y]$-Basis ${}1,X,\ldots ,X^{n-1}$. Wir sind damit in der Situation von Fakt mit ${}R=K[Y]$ und

${}F(X)=f(X)-Y\,.$

Für die Ableitung nach ${}X$ gilt ${}F'(X)=f'(X)$. Der Faserring über dem ${}K$-Punkt ${}b\in K$ wird durch ${}K[X]/(f(X)-b)$ beschrieben. Die passende geometrische Vorstellung zur Spektrumsabbildung dieser Ringerweiterung ist die Projektion des Graphen zu ${}f$ auf die ${}y$-Achse. Eine Nullstelle der Ableitung ist ein Verzweigungspunkt dieser Projektion.

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Z} \subseteq R$ eine Zahlbereichserweiterung und

Dann ist

${}\operatorname {Ann} _{}{\left(\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }\right)}={\left(F'(x),\,F{\text{ ist das Minimalpolynom zu }}x\in R{\text{ und }}\mathbb {Q} (x)=Q(R)\right)}\,.$

Beweis

Das Element ${}x\in R$ erfülle die angegebenen Eigenschaften mit dem Minimalpolynom ${}F$. Dann ist ${}\mathbb {Z} [x]\subseteq R$ eine endliche Erweiterung mit dem gleichen Quotientenkörper. Nach Fakt liegt ein surjektiver ${}R$-Modulhomomorphismus

$\Omega _{\mathbb {Z} [x]{|}\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} [x]}R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$

vor, da ja

${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} [x]}=0\,$

ist. Somit wird jedes Element ${}r\otimes dx$ von ${}F'(x)$ annulliert.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}D$ eine quadratfreie Zahl ${}\neq 0,1$ mit

${}D=2,3\mod 4\,$

und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich, der nach Fakt die Restklassenbeschreibung ${}A_{D}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)$ besitzt. Der Modul der Kähler-Differentiale ist daher nach Fakt gleich

${}\Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }=A_{D}/(2x)dx\,,$

der Annullator ist also ${}2x$. Die Norm von ${}2x$ ist gleich

${}\vert {2x\cdot -2x}\vert =\vert {4x^{2}}\vert =\vert {4D}\vert \,,$

was nach Fakt der Betrag der Diskriminante von ${}A_{D}$ ist.

Beispiel

Es sei ${}D$ eine quadratfreie Zahl ${}\neq 0,1$ mit

${}D=1\mod 4\,$

und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich, der nach Fakt die Restklassenbeschreibung ${}A_{D}=\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}})$ mit ${}y={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ besitzt. Der Modul der Kähler-Differentiale ist daher nach Fakt gleich

${}\Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }=A_{D}/(2y-1)dy\,,$

der Annullator ist also ${}2y-1$. Die Norm von ${}2y-1$ ist gleich

${}\vert {(2y-1)\cdot (2{\overline {y}}-1)}\vert =\vert {{\sqrt {D}}(-{\sqrt {D}})}\vert =\vert {D}\vert \,,$

was nach Fakt der Betrag der Diskriminante von ${}A_{D}$ ist.

Riemannsche Zetafunktion/Kehrwertdivergenz/Einführung/Textabschnitt

Riemannsche Zetafunktion/Ableitungseigenschaften/Textabschnitt

Dirichletreihen

Definition

Zu einer Folge ${}a_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, von komplexen Zahlen nennt man

$\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$

die Dirichletreihe (oder ${}L$-Reihe) zu den Koeffizienten ${}a_{n}$ an der Stelle ${}s\in {\mathbb {C} }$.

Die ${}a_{n}$ heißen die Koeffizienten der ${}L$-Reihe. Die Riemannsche Zetafunktion ist durch die ${}L$-Reihe gegeben, bei der alle Koeffizienten ${}1$ sind. Man kann nicht erwarten, dass eine solche Reihe überall, also für jedes ${}s$, konvergiert. Ein typisches Verhalten ist aber, dass sie konvergiert, wenn der Realteil von ${}s$ hinreichend groß ist.

Bemerkung  

Formal und oberflächlich gesehen sind eine Folge ${}{\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und die zugehörige ${}L$-Reihe äquivalente Objekte. Bei den relevanten ${}L$-Reihen ist es aber so, dass die Koeffizienten ${}a_{n}$ eine gewisse inhaltliche, häufig arithmetische Bedeutung haben, beispielsweise die Anzahl von Lösungen zählen. Bei einem solchen Problem ist es erstmal nicht klar, ob es irgendeine Beziehung zwischen den ${}a_{n}$ untereinander gibt. Es ist nun in ziemlich verschiedenen Kontexten so, dass sich ein zunächst verborgener Zusammenhang zwischen den Koeffizienten in Eigenschaften der Reihe niederschlägt und erst dadurch sichtbar wird.

Bemerkung  

Typische Fragestellungen für eine ${}L$-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ sind:

1. Für welche ${}s$ konvergiert die Reihe?
2. Welchen Wert hat die Reihe für spezielle Werte ${}s$?
3. Welche Eigenschaften erfüllt die durch die Reihe gegebene Funktion?
4. Gibt es eine Funktionalgleichung?
5. Kann man was über Nullstellen und Pole sagen?
6. Gibt es weitere Darstellungen der Funktion (Produktdarstellung, Potenzreihe in ${}s$, Fourierreihe)?
7. Gibt es eine analytische (holomorphe, meromorphe) Fortsetzung der Reihe?
8. Sind Rückschlüsse auf die Koeffizienten ${}a_{n}$ möglich?

Lemma

Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe, die für reelles ${}c$ absolut konvergiere.

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle ${}s$ mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}\geq c$ absolut.

Beweis

Sei ${}s=r+{\mathrm {i} }t$ mit ${}r\geq c$. Es ist unter Verwendung von Fakt

${}{\begin{aligned}\vert {a_{n}n^{-s}}\vert &=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-s\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n-{\mathrm {i} }t\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n}}\vert \cdot \vert {e^{-{\mathrm {i} }t\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n}}\vert \\&\leq \vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-c\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot n^{-c}.\end{aligned}}$

Die zugehörige Reihe konvergiert nach Voraussetzung, also nach dem Majorantenkriterium auch die Dirichletreihe zu ${}s$.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ und ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}b_{n}n^{-s}$ Dirichletreihen, die beide für

${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}\geq c\,$

absolut konvergieren.

Dann ist die Produktreihe gleich ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}c_{n}n^{-s}$ mit

${}c_{n}=\sum _{d{|}n}a_{d}b_{n/d}\,.$

Beweis

Die über das Cauchyprodukt definierte Reihe ist nach Fakt ebenfalls für ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}\geq c$ absolut konvergent. Bei einer absolut konvergenten Reihe darf man nach Fakt beliebig umordnen. Die angegebene Dirichletreihe ist eine spezielle Anordnung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe mit beschränkten Koeffizienten ${}a_{n}$.

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle ${}s$ mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ absolut.

Beweis

Dies beruht auf der Konvergenz von ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}n^{-s}$ für reelles ${}s>1$, siehe Uneigentliches Integral/Vergleichskriterium für Reihen/Riemannsche Zetafunktion/Textabschnitt.

$\Box$

Definition

Eine zahlentheoretische Funktion

$f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen ${}m,n$ stets

${}f(mn)=f(m)f(n)\,$

gilt.

Lemma

Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe mit beschränkten multipliaktiven Koeffizienten ${}a_{n}$.

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle ${}s$ mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ absolut und besitzt die Produktdarstellung

${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}=\prod _{p}F_{p}(s)\,$

mit den Faktoren

${}F_{p}(s):=\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{p^{k}}p^{-ks}\,.$

Beweis

Die Reihe und die Faktoren konvergieren für Realteil ${}>1$ wegen der Beschränktheit nach Fakt. Für eine endliche Teilmenge an Primzahlen sei ${}N(E)$ die von diesen Primzahlen multiplikativ dargestellen Zahlen. Dann ist wegen der Multiplikativität

${}\sum _{n\in N(E)}a_{n}n^{-s}=\prod _{p\in E}F_{p}\,.$

Die Aussage folgt dann aus dem Limesübergang, wenn ${}E$ zunehmend alle Primzahlen umfasst.

$\Box$

Dedekindsche Zetafunktion

Definition

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Man nennt

${}\zeta _{R}(s)=\sum _{{\mathfrak {a}}\neq 0}{\frac {1}{N({\mathfrak {a}})^{s}}}\,$

die Dedekindsche Zetafunktion zu ${}R$.

Die angegebene Reihe läuft über sämtliche von ${}0$ verschiedene Ideale von ${}R$. Sie konvergiert für gewisse komplexe Zahlen ${}s$ und für andere nicht, s.u.

Es gibt die multiplikative Version

${}\zeta _{R}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}\,,$

wobei das Produkt sich über die Primideale erstreckt.

Lemma

Für die Dedekindsche Zetafunktion eines Zahlbereiches ${}R$ gilt

${}\zeta _{R}(s)=\sum _{{\mathfrak {a}}\neq 0}N({\mathfrak {a}})^{-s}=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}\,,$

wobei die Konvergenz absolut ist.

Beweis

${}1+N({\mathfrak {p}})^{-s}<{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}\leq 1+2N({\mathfrak {p}})^{-s}\,$

ergibt sich aus Aufgabe.

$\Box$

Die Klassenzahlformel

Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle _{R}$, mit ${}r$ reellen Einbettungen, ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen, mit der Klassenzahl ${}h_{R}$, dem Regulator ${}\operatorname {Reg} (R)$ und der Einheitswurzelgruppe ${}\mu _{}{\left(R\right)}$.

Dann gilt für das Residuum der Dedekindschen Zetafunktion im Punkt ${}1$ die Klassenzahlformel

${}\operatorname {Res} _{1}\left(\zeta _{R}\right)={\frac {2^{r+s}\pi ^{s}\cdot h_{R}\cdot \operatorname {Reg} (R)}{{\#\left(\mu _{}{\left(R\right)}\right)}\cdot {\sqrt {\vert {\triangle _{R}}\vert }}}}\,.$

Beweis

Zahlbereich/Zetafunktion/Klassenzahlformel/Residuum/Fakt/Beweis

$\Box$