Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Algebraische Zahlentheorie

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Seien und quadratfrei und zueinander teilerfremd. Wir interessieren uns für den Ganzheitsring zur reinen kubischen Körpererweiterung .

Wir setzen

dies ist ein -Modul vom Rang .

Wenn eine Primzahl weder in noch in vorkommt und nicht ist, so ist die Faser über reduziert und damit ist die Nenneraufnahme an normal. Sei ein Teiler von .

Dann ist

da man schreiben kann, da in eine Einheit ist. Modulo ist dies , somit ist das einzige Primideal oberhalb von gleich . Da wir

mit und teilerfremd schreiben können, gilt

und daher wird dieses Primideal von erzeugt. Diese Nenneraufnahmen sind also auch normal.

Betrachten wir nun

und nehmen weiter an, dass weder in noch in vorkommt. Dann kann man wieder die Nenneraufnahme monogen als beschreiben. Modulo ist dies

und somit liegt über das einzige Primideal .

Wir schreiben und .


Modulo ist also , da ja eine Einheit ist.

Es ist



Definition  

Zu einer endlichen Körpererweiterung nennt man die Abbildung

die Spurform auf .



Lemma  

Zu einer endlichen Körpererweiterung besitzt die Spurform

die folgenden Eigenschaften.

  1. Die Spurform ist eine symmetrische Bilinearform.
  2. Bei separabel ist die Spurform nichtausgeartet.
  3. Zu einer -Basis von ist die Diskriminante gleich der Determinante der Gramschen Matrix der Spurform bezüglich der Basis.

Beweis  

  1. Die Bilinearität ergibt sich aus der -Linearität der Spur und die Symmetrie aus der Kommutativität der Multiplikation von .
  2. Sei von verschieden. Im separablen Fall ist die Spurabbildung nicht die Nullabbildung, es gibt also ein mit . Dann zeigt

    dass die Spurform nichtausgeartet ist.

  3. Ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen.


Es sei ein Körper und ein -dimensionaler -Vektorraum Es sei eine symmetrische Bilinearform auf . Dann definiert jeder Vektor über

eine Linearform auf , also ein Element des Dualraumes . Wenn die Bilinearform nichtausgeartet ist, so kann man jede Linearform so realisieren, siehe Fakt, das zugehörige heißt dann der Gradient der Linearform. Wenn eine endliche Körpererweiterung ist, so ist die Spurform auf , also die Abbildung

eine besondere und natürliche symmetrische Bilinearform, die nicht ausgeartet ist, falls die Körpererweiterung separabel ist.

Es sei und wieder ein -dimensionaler -Vektorraum, versehen mit einer symmetrischen Bilinearform. Zu einem -Untermodul setzt man

und nennt dies den Dualmodul zu (bezüglich der fixierten Bilinearfrom und dem fixierten Unterring). Man denke etwa an , einer endlichen Körpererweiterung von , an ein gebrochenes Ideal und an die Spurform.


Definition  

Es sei ein Dedekindbereich, eine separable endliche Körpererweiterung, der ganze Abschluss von in und ein gebrochenes Ideal von . Man nennt

die Kodifferente zu .

Zum Einheitsideal

nennt man die Kodifferente des Ideals auch die Kodifferente von oder den Dedekindschen Komplementärmodul.



Lemma  

Es sei ein Dedekindbereich, eine separable endliche Körpererweiterung, der ganze Abschluss von in .

Dann ist die Kodifferente zu einem gebrochenen Ideal von ein gebrochenes Ideal von .

Beweis  




Lemma  

Es sei ein Dedekindbereich, eine separable endliche Körpererweiterung, der ganze Abschluss von in .

Dann ist

ein -Modulisomorphismus zwischen der Kodifferente zum gebrochenen Ideal und dem angegebenen Homomorphismenmodul.

Beweis  

Die -Modulstruktur auf der Homomorphismenmenge ist durch

festgelegt. Nach der Definition der Kodifferente legt in der Tat eine Abbildung nach fest. Die Injektivität folgt aus der vorausgesetzten Separabilität. Zum Nachweis der Surjektivität sei eine -lineare Abbildung

gegeben. Diese können wir aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einer -linearen Abbildung

fortsetzen, wobei der Isomorphismus links auf dem Beweis zu Fakt beruht. Da die Spur im separablen Fall eine nichtausgeartete Bilinearform definiert, gibt es ein mit



Definition  

Es sei ein Dedekindbereich, eine separable endliche Körpererweiterung, der ganze Abschluss von in und ein gebrochenes Ideal von . Man nennt das inverse gebrochene Ideal zur Kodifferente, also , die Differente zu .

Die Differente zum Einheitsideal heißt wieder die Differente schlechthin zu .


Riemannsche_Zetafunktion/Kehrwertdivergenz/Einführung/Textabschnitt

Riemannsche Zetafunktion/Ableitungseigenschaften/Textabschnitt