Kurs:Differentialgeometrie/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	${}\sum$
Punkte	3	3	8	7	8	3	5	5	6	4	12	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Normalenfeld ${}N$ auf einer differenzierbaren Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
2. Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
3. Der Kotangentialraum in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
4. Ein regulärer Punkt ${}Q\in L$ zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.

5. Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.
6. Ein Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel ${}E\rightarrow M$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.

Lösung

1. Ein Normalenfeld auf ${}Y$ ist ein auf einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiertes stetiges Vektorfeld ${}F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit

   ${}F(P)\in N_{P}Y\,$

   für alle ${}P\in Y$.

2. Ein topologischer Raum ${}X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

   $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}$

   eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

   ${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

   ist.

3. Unter dem Kotangentialraum an ${}P$ versteht man den Dualraum des Tangentialraumes ${}T_{P}M$ an ${}P$.
4. Der Punkt ${}Q\in L$ heißt regulär für ${}\varphi$, wenn die Tangentialabbildung

   $T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M$

   im Punkt ${}Q$ maximalen Rang besitzt.

5. Es seien ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von ${}M$ und ${}N$. Dann nennt man den Produktraum ${}M\times N$ versehen mit den Karten

   $\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$

   (mit $(i,j)\in I\times J$ und $U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.

6. Unter einem Zusammenhang auf ${}E$ versteht man eine direkte Summenzerlegung des Tangentialbündels ${}TE=V\oplus H$ in zwei Untervektorbündel ${}V$ und ${}H$, wobei ${}V\subseteq TE$ das Vertikalbündel ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen Krümmung und Einheitsnormalenvektor einer bogenparametrisierten ebenen Kurve.
2. Das Theorema egregium.
3. Der Satz von Green für den Flächeninhalt.

Lösung

1. Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve. Dann ist die Krümmung von ${}\gamma$ in ${}t$ gleich

   ${}\kappa (t)=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle =\pm \Vert {\gamma ^{\prime \prime }(t)}\Vert \,,$

   wobei

   ${}N(t)={\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t)\\\gamma _{1}'(t)\end{pmatrix}}\,$

   ein Einheitsnormalenvektor in ${}\gamma (t)$ ist.
2. Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

   ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$.

   Dann gilt für die Gaußsche Krümmung unter Verwendung der Christoffelsymbole die Beziehung

   $K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,.$

3. Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\delta M$. Dann ist der Flächeninhalt von ${}M$ gleich

   ${}\lambda ^{2}(M)=\int _{\partial M}xdy=-\int _{\partial M}ydx\,.$

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei

${}f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy\,.$

Bestimme die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen des Graphen zu ${}f$ im Nullpunkt.

Lösung

Wir verwenden Lemma 4.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)), wobei im Nullpunkt der Vorfaktor gleich ${}1$ ist und somit die Weingartenabbildung direkt durch die Hesse-Matrix beschrieben wird. Die Hesse-Matrix der Funktion ist

${\begin{pmatrix}2a&c\\c&2b\end{pmatrix}},$

das charakteristische Polynom davon ist

${}{\begin{aligned}(t-2a)(t-2b)-c^{2}&=t^{2}-2(a+b)t+4ab-c^{2}\\&={\left(t-(a+b)\right)}^{2}-(a+b)^{2}+4ab-c^{2}\\&={\left(t-(a+b)\right)}^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab-c^{2}\\&={\left(t-(a+b)\right)}^{2}-(a-b)^{2}-c^{2}.\end{aligned}}$

Die Eigenwerte (und dies sind die Hauptkrümmungen) sind also

${}\lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b\,.$

Bei ${}a=b$ und ${}c=0$ ist die Weingartenabbildung Multiplikation mit ${}2a$ und jeder Vektor ist ein Eigenvektor, sei dies jetzt ausgeschlossen. Für

${}\lambda _{1}={\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b\,$

ist der Kern der Matrix

${\begin{pmatrix}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+b-a&-c\\-c&{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\end{pmatrix}}$

zu bestimmen, dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\\c\end{pmatrix}}.$

Eine Hauptkrümmungsrichtung ist also ${}{\begin{pmatrix}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\\c\end{pmatrix}}$ mit der Hauptkrümmung ${}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b$.

Entsprechend ergibt sich die Hauptkrümmungsrichtung ${}{\begin{pmatrix}-c\\{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\end{pmatrix}}$ mit der Hauptkrümmung ${}-{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b$.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Existenzsatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Lösung

Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung

$F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$

das die Bedingungnen

1. ${}F(t)\in T_{\gamma (t)}Y\,$

   für alle ${}t\in I$,

2. ${}F'(t)\in N_{\gamma (t)}Y\,$

   für alle ${}t\in I$,

3. ${}F(t_{0})=v\,$

erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass ${}F(t)$ senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors ${}N(\gamma (t))$ steht, also

${}\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle =0\,.$

Daher ist auch

${}0=\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle '=\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle +\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle \,.$

Die zweite Bedingung, dass ${}F'(t)$ im Normalenraum liegt, bedeutet

${}F'(t)-\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle N(\gamma (t))=0\,$

für alle ${}t\in I$, was wir mit Hilfe der vorstehenden Gleichung zu

${}F'(t)+\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))=0\,$

für alle ${}t\in I$ bzw. zu

${}F'(t)=-\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))\,$

für alle ${}t\in I$ umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für ${}F$, die zusammen mit der Anfangsbedingung ${}F(t_{0})=v$ nach Satz 56.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) eine eindeutige Lösung besitzt. Es kann also höchstens eine Lösung der Ausgangsgleichung geben. Wenn ${}F$ die eindeutige Lösung der Differentialgleichung ist, so liegt in der Tat eine Lösung der Ausgangsgleichung vor.

Aufgabe (8 Punkte)

Zeige, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ der Dimension ${}n\geq 1$ unendlich viele Diffeomorphismen

$\varphi \colon M\longrightarrow M$

besitzt.

Lösung

Wir betrachten Funktionen der Bauart

$\psi _{c}\colon [0,1]\longrightarrow [0,1],\,x\longmapsto x+\varphi _{c}(x),$

mit

${}\varphi _{c}(x)={\begin{cases}0{\text{ für }}x\leq {\frac {1}{3}}\,,\\c{\left(x-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {2}{3}}\right)}^{2}{\text{ für }}{\frac {1}{3}}<x<{\frac {2}{3}}\,,\\0{\text{ für }}x\geq {\frac {2}{3}}\,.\end{cases}}\,$

mit einem Parameter ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Dabei ist ${}\varphi _{c}$ stetig und auch stetig differenzierbar, da die Nullstellen des Polynoms doppelt sind. Somit ist auch ${}\psi _{c}$ stetig differenzierbar. Für ${}c$ hinreichend klein ist ${}\psi _{c}$ streng wachsend und definiert eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung des Einheitsintervalls in sich, die im unteren und im oberen Drittel die Identität ist.

Mit ${}\psi _{c}$ definieren wir Diffeomorphismen des offenen Einheitsballes in sich, durch

$U{\left(0,1\right)}\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto \psi _{c}{\left({\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\right)}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}.$

Es wird also der Punkt abhängig vom Radius gestreckt, wobei auf ${}U{\left(0,{\frac {1}{3}}\right)}$ und auf ${}U{\left(0,1\right)}\setminus U{\left(0,{\frac {2}{3}}\right)}$ die Identität vorliegt.

Wenn nun ${}M$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension ${}\geq 1$ ist, so wählen wir eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, wobei wir (durch verkleinern) davon ausgehen können, dass ${}V$ (ein offener Ball und dann auch) der offene Einheitsball ist. Die konstruierten Diffeomorphismen auf ${}V$ liefern Diffeomorphismen auf ${}U$. Da diese für den äußeren Ball (ab Radius ${}{\frac {2}{3}}$) die Identität sind, kann man diese Diffeomorphismen auf ${}M$ durch die Identität auf ${}M\setminus \alpha ^{-1}{\left(U{\left(0,{\frac {2}{3}}\right)}\right)}$ diffeomorph ausdehnen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Die Funktion habe im Punkt ${}P\in M$ ein lokales Extremum. Zeige

${}(df)_{P}=0\,.$

Lösung

Es sei ${}P\in U\subseteq M$ ein Kartengebiet mit der Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Dann besitzt auch ${}f\circ \alpha ^{-1}$ im Punkt ${}\alpha (P)$ ein lokales Extremum. Daher ist nach Fakt *****  (2) das totale Differential

$\left(Df\circ \alpha ^{-1}\right)_{\alpha (P)}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

die Nullabbildung. Daher ist ${}(df)_{P}=0$.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die ${}1$- Differentialform

${}\omega =-vdu+udv\,$

auf der ${}1$- Sphäre ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$, wobei die Koordinaten des umgebenden ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}u$ und ${}v$ bezeichnet seien. Bestimme ${}\pi ^{*}\omega$ unter der stetig differenzierbaren Abbildung

$\pi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}(x,y).$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\pi ^{*}du&=d(u\circ \pi )\\&=d{\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}\\&={\frac {\partial {\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial {\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}}{\partial y}}dy\\&={\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x^{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}}{x^{2}+y^{2}}}dx-{\frac {xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\\&={\frac {x^{2}+y^{2}-x^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx-{\frac {xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\\&={\frac {y^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx-{\frac {xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}\pi ^{*}dv&=d(v\circ \pi )\\&=d{\left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}\\&={\frac {\partial {\left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial {\left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}}{\partial y}}dy\\&={\frac {-xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx+{\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-y^{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}}{x^{2}+y^{2}}}dy\\&={\frac {-xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx+{\frac {x^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\pi ^{*}(-vdu+udv)&=-(v\circ \pi )\pi ^{*}du+(u\circ \pi )\pi ^{*}dv\\&=-{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\left({\frac {y^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx-{\frac {xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\right)}+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\left({\frac {-xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx+{\frac {x^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\right)}\\&={\frac {1}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}{\left({\left(-y^{3}-x^{2}y\right)}dx+{\left(xy^{2}+x^{3}\right)}dy\right)}\\&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\left(-ydx+xdy\right)}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Lösung

Gemäß der Definition . müssen wir die Differentialform ${}{\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega$ für jeden Punkt ${}Q\in V$ berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt ${}c_{Q}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und ist durch ihren Wert auf ${}e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}$ festgelegt. Es ist

${\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega {\left(Q,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}\right)}=\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}\,.$

Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist

${}g_{ij}(Q)=\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,.$

Nach Satz 7.8 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist

${}{\begin{aligned}\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}&={\left(\det {\left(\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle \right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\left(\det {\left(g_{ij}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\sqrt {g(Q)}}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (6 (1+1+3+1) Punkte)

Begründe, dass der ${}\mathbb {R} ^{2}$ keine Struktur einer Mannigfaltigkeit mit Rand derart trägt, dass die angegebene Teilmenge ${}T$ der Rand ist.

a) ${}T={]0,1[}$, wobei das Intervall auf der ${}x$-Achse liegt.

b) ${}T=[0,1]$, wobei das Intervall auf der ${}x$-Achse liegt.

c) ${}T=\mathbb {R}$, wobei ${}\mathbb {R}$ die ${}x$-Achse sei.

d) ${}T=S^{1}$.

Lösung

a) Der Rand ${}\partial M$ einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist nach Lemma 21.3 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (2) abgeschlossen, das offene Intervall als Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist aber nicht abgeschlossen.

b) Der Rand ${}\partial M$ einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist nach Satz 21.4 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine Mannigfaltigkeit ohne Rand, das abgeschlossene Intervall besitzt aber Randpunkte.

c) Es sei angenommen, dass ${}\mathbb {R} ^{2}$ eine Mannigfaltigkeit mit dem Rand ${}\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \{0\}$ ist. Zu ${}P\in \mathbb {R}$ gibt es dann eine offene Umgebung ${}P\in U$ und eine Homöomorphie

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit einer offenen Menge ${}V\subseteq H$, wobei ${}H$ eine Halbebene bezeichnet. Dabei können wir ${}V$ durch eine kleinere offene Halbballumgebung um ${}P$ ersetzen. Bei einer solchen Karte werden nach Lemma 21.3 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (2) Randpunkte auf Randpunkte abgebildet, d.h. es ist

${}\alpha (U\cap \mathbb {R} )=V\cap \delta H\,.$

Damit erhält man auch eine Homöomorphie zwischen den Komplementen, also zwischen ${}U\setminus U\cap \mathbb {R}$ und ${}V\setminus V\cap \delta H$. Die Halbballumgebung rechts ist aber wegzusammenhängend, wohingegen die Menge links die disjunkte Vereinigung der Schnitte mit der positiven bzw. der negativen Hälfte ist, die beide offen und auch nicht leer sind, da ${}U$ eine Ballumgebung von ${}P$ enthält. Daher ist die Menge links nicht zusammenhängend und es kann keine Homöomorphie geben.

d) wie c).

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}n-1$- Differentialform auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und sei die äußere Ableitung gleich

${}d\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

mit einer Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige für ${}P\in U$ die Gleichheit

${}f(P)={\frac {1}{\beta _{n}}}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{S^{n-1}(P,\epsilon )}\omega \,,$

wobei ${}\beta _{n}$ das Volumen der ${}n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Lösung

Wir wenden den Satz von Stokes auf die Kugeln ${}B^{n}(P,\epsilon )$ mit dem Rand ${}S^{n-1}(P,\epsilon )$ (mit Mittelpunkt ${}P$ und Radius ${}\epsilon$) an und erhalten

${}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{S^{n-1}(P,\epsilon )}\omega &=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{\partial B^{n}(P,\epsilon )}\omega \\&=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{B^{n}(P,\epsilon )}d\omega \\&=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{B^{n}(P,\epsilon )}fd\lambda ^{n}\\&=\beta _{n}\cdot f(P),\end{aligned}}$

wobei wir für das letzte Gleichheitszeichen die Stetigkeit von ${}f$ benutzt haben.

Aufgabe (12 Punkte)

Beweise den Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Lösung

Es sei ${}U_{i}$, ${}i\in I$, eine offene Überdeckung von ${}M$ mit orientierten Karten und es sei ${}h_{j}$, ${}j\in J$, eine dieser Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins, die nach Satz 22.10 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) existiert. Zu jedem ${}P\in M$ gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V_{P}\subseteq M$ derart, dass ${}h_{j}{|}_{V_{P}}=0$ bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Es sei ${}Y$ der Träger von ${}\omega$. Die Überdeckung ${}Y\subseteq \bigcup _{P\in M}V_{P}$ besitzt wegen der vorausgesetzten Kompaktheit eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir

${}Y\subseteq V_{1}\cup \ldots \cup V_{r}=V\,.$

Daher sind überhaupt nur endlich viele der ${}h_{j}$ auf ${}V$ von ${}0$ verschieden. Wir setzen ${}\omega _{j}=h_{j}\omega$; diese Differentialformen sind ebenfalls stetig differenzierbar. Der Träger von ${}h_{j}$ ist eine in ${}M$ abgeschlossene Teilmenge, die in ${}U_{i(j)}$ liegt, daher liegt der Träger von ${}\omega _{j}$ in ${}Y\cap U_{i(j)}$ und ist selbst kompakt nach Aufgabe 13.10 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)). Es gilt

${}\omega =\sum _{j\in J}\omega _{j}\,,$

wobei nur endlich viele dieser Differentialformen ${}\omega _{j}$ von ${}0$ verschieden sind, da ${}\omega _{j}{|}_{M\setminus Y}=0$ für alle ${}j$ ist und

${}\omega _{j}{|}_{V}=0\,$

für alle ${}j$ bis auf endlich viele Ausnahmen. Wegen der Additivität des Integrals von Differentialformen und der Additivität der äußeren Ableitung kann man die Aussage für die einzelnen ${}\omega _{j}$ getrennt beweisen. Wir können also annehmen, dass eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$-Differentialform gegeben ist, die kompakten Träger besitzt, der ganz in einer Kartenumgebung ${}U$ liegt.
Es liegt ein Diffeomorphismus ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ mit ${}V\subseteq H$ offen vor, der zugleich einen Diffeomorphismus zwischen den Rändern ${}\partial U=\partial M\cap U$ und ${}\partial V=\partial H\cap V$ induziert. Dabei gilt

${}\int _{\partial U}\omega =\int _{\partial V}\alpha ^{-1*}\omega \,$

und

${}\int _{U}d\omega =\int _{V}\alpha ^{-1*}(d\omega )=\int _{V}d{\left(\alpha ^{-1*}\omega \right)}\,$

nach Lemma 20.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (5). Wir können also von einer auf ${}V\subseteq H$ definierten stetig differenzierbaren Differentialform mit kompaktem Träger ausgehen, die wir auf ganz ${}H$ außerhalb des Trägers als Nullform fortsetzen können.
Wegen der Kompaktheit des Trägers gibt es einen hinreichend großen Quader ${}Q\subseteq H$, dessen eine Seite ${}S$ auf ${}\partial H$ liegt und der den Träger von ${}\omega$ nur in ${}S$ trifft. Auf allen anderen Seiten von ${}Q$ ist ${}\omega$ (und damit auch ${}d\omega$) die Nullform. Daher gilt einerseits

${}\int _{H}d\omega =\int _{Q}d\omega \,$

und andererseits

${}\int _{\partial H}\omega =\int _{S}\omega =\int _{\partial Q}\omega \,.$

Somit folgt die Aussage aus der Quaderversion des Satzes von Stokes.