Kurs:Funktionentheorie/5/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	6	4	6	4	2	3	2	0	5	3	2	5	0	0	54

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine gebrochen-lineare Funktion auf ${}{\mathbb {C} }$.
2. Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.
3. Die eingesetze Potenzreihe ${}F(G)$.
4. Der Rückzug einer Differentialform.
5. Die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes ${}X$ zu einem Aufpunkt ${}x_{0}\in X$.
6. Der Körper der elliptischen Funktionen.

Lösung

1. Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Definition/Begriff/Inhalt
2. Die Exponentialreihe in ${}z$ ist die Reihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

3. Es sei ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$ eine Potenzreihe und es sei ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$. Dann nennt man die Potenzreihe

   ${}{\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$

   die eingesetzte Potenzreihe.
4. Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Definition/Begriff/Inhalt
5. Topologischer Raum/Fundamentalgruppe/Definition/Begriff/Inhalt
6. Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Wurzeln aus holomorphen Funktionen.
2. Der Hauptsatz über holomorphe Funktionen.
3. Der Satz über den Repräsentant eines Gitters.

Lösung

1. Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit ${}f(P)\neq 0$. Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion ${}h\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}f=h^{k}$.
2. Für eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte Funktion

   $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   sind folgende Aussagen äquivalent.

   1. ${}f$ ist komplex differenzierbar.
   2. ${}f$ ist unendlich oft (stetig) komplex differenzierbar.
   3. ${}f$ lässt sich in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln, d.h. ${}f$ ist komplex-analytisch.
3. Jedes Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form ${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} u$ mit ${}u\in {\mathbb {H} }$.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Abbildung

$\psi \colon \mathbb {C} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}$

in reellen Koordinaten.

Lösung

Wir schreiben ${}w=a+b{\mathrm {i} }$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\psi (a+b{\mathrm {i} })&={\frac {{\left(a+b{\mathrm {i} }+1\right)}{\mathrm {i} }}{1-a-b{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {a{\mathrm {i} }+{\mathrm {i} }-b}{1-a-b{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {{\left(a{\mathrm {i} }+{\mathrm {i} }-b\right)}{\left(1-a+b{\mathrm {i} }\right)}}{{\left(1-a-b{\mathrm {i} }\right)}{\left(1-a+b{\mathrm {i} }\right)}}}\\&={\frac {{\left(a+1\right)}{\left(1-a\right)}{\mathrm {i} }-b^{2}{\mathrm {i} }-b{\left(1-a\right)}-b{\left(a+1\right)}}{{\left(1-a\right)}^{2}+b^{2}}}\\&={\frac {{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}{\mathrm {i} }-2b}{{\left(1-a\right)}^{2}+b^{2}}}.\end{aligned}}$

In reellen Koordinaten ist daher

${}\psi {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\frac {1}{-2a+1+a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}-2b\\1-a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}{\text{ und }}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

zwei absolut konvergente Potenzreihen in ${}z\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$

gegeben ist.

Lösung

Der ${}i$-te Summand der Reihe links ist

${}d_{i}=a_{i}z^{i}\,$

und der ${}j$-te Summand der Reihe rechts ist

${}e_{j}=b_{j}z^{j}\,.$

Damit ist der ${}k$-te Summand des Cauchy-Produktes der beiden Reihen gleich

${}{\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{i=0}^{k}d_{i}e_{k-i}\\&=\sum _{i=0}^{k}a_{i}z^{i}b_{k-i}z^{k-i}\\&=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}z^{i}z^{k-i}\\&={\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\right)}z^{k}.\end{aligned}}$

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass der Ring der konvergenten Potenzreihen ${}{\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle$ ein diskreter Bewertungsring ist.

Lösung

Als Unterring des formalen Potenzreihenringes handelt es sich nach Korollar 9.17 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) um einen Integritätsbereich. Für ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\neq 0$ sei ${}k$ der minimale Index mit ${}a_{k}\neq 0$. Dann ist

${}F=T^{k}G\,$

mit der formalen Potenzreihe

${}G=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}T^{n-k}\,.$

Die Konvergenz von ${}F$ sichert, dass auch ${}G$ konvergiert. Dabei ist ${}G$ nach Lemma 10.2 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) eine Einheit im Ring der konvergenten Potenzreihen und somit ist das von ${}F$ erzeugte Ideal gleich ${}(T^{k})$. Das von einer Elementfamilie ${}F_{j}$, ${}j\in J$, erzeugte Ideal ist gleich dem von der Familie ${}T^{k_{j}}$, ${}j\in J$, erzeugten Ideal, wobei

${}F_{j}=T^{k_{j}}G_{j}\,$

mit einer Einheit ${}G_{j}$ ist. Dieses Ideal ist gleich dem Hauptideal ${}(T^{k})$, wobei ${}k$ das Minimum der ${}k_{j}$ ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit dem einzigen maximalen Ideal ${}(T)$ und damit ein diskreten Bewertungsring vor.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei

$\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(u,v)\longmapsto \varphi (u,v)=\varphi _{1}(u,v)+{\mathrm {i} }\varphi _{2}(u,v)=x+{\mathrm {i} }y=z,$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug ${}\varphi ^{*}dz$ gilt (mit ${}w=u+{\mathrm {i} }v$)

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(dz)&={\frac {\partial \varphi }{\partial u}}du+{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}dv\\&={\frac {\partial \varphi }{\partial w}}dw+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\overline {w}}}}d{\overline {w}}.\end{aligned}}$

Lösung

Es ist

${}dz=dx+{\mathrm {i} }dy\,.$

Nach Lemma 11.15 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist daher

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(dz)&=\varphi ^{*}(dx+{\mathrm {i} }dy)\\&={\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}du+{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}dv+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}du+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}dv\right)}\\&={\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\right)}du+{\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\right)}dv\\&={\frac {\partial \varphi }{\partial u}}du+{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}dv\\&={\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial u}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)}du+{\left({\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)}dv\\&={\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial u}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)}d{\left(u+{\mathrm {i} }v\right)}+{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)}d{\left(u-{\mathrm {i} }v\right)}\\&={\frac {\partial \varphi }{\partial w}}dw+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\overline {w}}}}d{\overline {w}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume.

1. Es sei ${}U\subseteq V$ eine zusammenhängende offene Menge und sei ${}\omega \colon U\rightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$ eine exakte Differentialform auf ${}U$. Zeige, dass die Stammform zu ${}\omega$ bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
2. Es seien ${}S,T\subseteq V$ offene sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass ${}S\cap T$ zusammenhängend ist. Es sei

   $\omega \colon S\cup T\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$

   eine stetig differenzierbare geschlossene Differentialform. Zeige, dass ${}\omega$ exakt ist.

Lösung

1. Es seien ${}\varphi ,\psi \colon U\rightarrow W$ Stammformen für die exakte Differentialform, d.h. es gilt

   ${}{\left(D\varphi \right)}=\omega ={\left(D\psi \right)}\,.$

   Dann ist

   ${}{\left(D(\varphi -\psi )\right)}=\omega -\omega =0\,,$

   es ist also zu zeigen, dass die Nullform nur die konstanten Abbildungen als Stammformen besitzt. Es seien ${}P,Q$ Punkte in ${}U$ und sei ${}\gamma$ ein stetig differenzierbarer Weg, der ${}P$ und ${}Q$ verbindet. Für das Wegintegral zur Nullform ${}N$ über ${}\gamma$ und einer Stammform ${}\theta$ gilt nach Satz 12.11 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))

   ${}0=\int _{\gamma }N=\theta (Q)-\theta (P)\,,$

   d.h. ${}\theta$ ist konstant.

2. Nach Satz 12.16 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) besitzt ${}\omega$ auf ${}S$ eine Stammform, sagen wir ${}\varphi$, und ebenso besitzt ${}\omega$ auf ${}T$ eine Stammform, sagen wir ${}\psi$. Es sei ${}P\in S\cap T$ ein Punkt des Durchschnittes. Wir ersetzen die Stammform ${}\psi$ auf ${}T$ durch die verschobene Stammform

   ${}{\tilde {\psi }}=\psi +\varphi (P)-\psi (P)\,.$

   Es ist dann

   ${}{\tilde {\psi }}(P)=\varphi (P)\,.$

   Da ${}S\cap T$ zusammenhängend ist, unterscheiden sich zwei Stammformen darauf nur um eine Konstante. Daher stimmt die Stammform ${}\varphi$, eingeschränkt auf ${}S\cap T$, mit der Stammform ${}{\tilde {\psi }}$, eingeschränkt auf ${}S\cap T$, überein, da sie in einem Punkt übereinstimmen. Die beiden Stammformen ${}\varphi$ und ${}{\tilde {\psi }}$ passen also auf der Übergangsmenge ${}S\cap T$ zusammen und definieren daher auf ${}S\cup T$ eine Stammform.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine ganze Funktion. Zeige, dass das Bild von ${}f$ dicht in ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Lösung

Nehmen wir an, dass das Bild von ${}f$ nicht dicht ist. Dann gibt es einen Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ und ein ${}r>0$ derart, dass die offene Kreisscheibe ${}U{\left(P,r\right)}$ disjunkt zum Bild ist. Durch verschieben können wir ${}P=0$ erreichen, es ist dann

${}\vert {f(z)}\vert \geq r\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Die Hintereinanderschaltung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (f(z))^{-1},$

ist ebenfalls holomorph und es gilt

${}\vert {(f(z))^{-1}}\vert \leq {\frac {1}{r}}\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$, im Widerspruch zu Satz 15.2 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)).

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt ${}a\in G$ mit ${}f(a)\neq 0$ und

${}\vert {f(z)}\vert \geq \vert {f(a)}\vert \,$

für alle ${}z\in G$. Zeige, dass dann ${}f$ konstant ist.

Lösung

Wegen

${}\vert {f(z)}\vert \geq \vert {f(a)}\vert >0\,$

ist ${}f$ auf ${}G$ invertierbar. Es gilt

${}\vert {\frac {1}{f(z)}}\vert ={\frac {1}{\vert {f(z)}\vert }}\leq {\frac {1}{\vert {f(a)}\vert }}=\vert {\frac {1}{f(a)}}\vert \,.$

Man kann daher das Maximumsprinzip auf ${}{\frac {1}{f}}$ anwenden und erhält die Konstanz.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe möglichst viele Charakterisierungen des lokalen Exponenten einer nichtkonstanten holomorphen Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

in einem Punkt ${}P\in U$.

Lösung Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktion/Lokaler Exponent/Charakterisierungen/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt ${}a\in {\mathbb {C} }$ der rationalen Funktion ${}{\frac {2z}{z^{2}-1}}$.

Lösung

Es ist ${}{\frac {2z}{z^{2}-1}}={\frac {2z}{(z-1)(z+1)}}={\frac {1}{z-1}}+{\frac {1}{z+1}}$. Daher ist der Haupteil für ${}z=1$ gleich ${}(z-1)^{-1}$ und der Haupteil für ${}z=-1$ gleich ${}(z+1)^{-1}$. In allen anderen Punkten ist der Hauptteil gleich ${}0$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom. Es sei ${}L$ die Menge der Nullstellen der Ableitung, es sei ${}M$ die Bildmenge zu ${}L$ unter ${}F$ und sei ${}N$ das Urbild von ${}M$ unter ${}F$. Zeige, dass

${\mathbb {C} }\setminus N\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus M$

eine Überlagerung ist.

Lösung

Wir verwenden Aufgabe 21.4 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)), der Grad von ${}F$ sei ${}n$. Wegen ${}F'(Q)\neq 0$ für ${}Q\notin N$ ist ${}F$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus N$ ein lokaler Homöomorphismus nach Aufgabe 21.35 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)). Wir betrachten zu jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }\setminus M$ das Urbild ${}F^{-1}(P)$. Dieses ist gegeben durch die Nullstellen von ${}F-P$. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es eine Faktorisierung

${}F-P=c(Z-Q_{1})\cdots (Z-Q_{n})\,,$

wobei ${}Q_{i}$ die Urbilder sind. Wäre ${}Q_{i}=Q_{j}$ für ein ${}i\neq j$, so wäre (mehrfache Nullstelle)

${}F'(Q_{i})=(F-P)'(Q_{i})=0\,.$

Die Nullstellen sind also alle verschieden und die Faseranzahl ist konstant gleich ${}n$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die komplexe Potenzfunktion ${}z^{a}$ (bezüglich eines fixierten Logarithmus auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$) die Ableitungseigenschaft

${}{\left(z^{a}\right)}'=az^{a-1}\,$

erfüllt.

Lösung

Der zugrunde liegende Logarithmus sei mit ${}L$ bezeichnet. Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(z^{a}\right)}'&=\exp \left(a\cdot L(z)\right)'\\&={\frac {a}{z}}\cdot \exp \left(a\cdot L(z)\right)\\&=a\cdot \exp \left(a\cdot L(z)\right)\exp \left(-L(z)\right)\\&=a\cdot \exp \left(a\cdot L(z)-L(z)\right)\\&=a\cdot \exp \left((a-1)\cdot L(z)\right)\\&=az^{a-1}.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.

Lösung Windungszahl/Skizze/Teilgebiete/3/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}T\subseteq \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf ${}U$, die nicht lokal beschränkt sei. Zeige, dass es dann eine Folge in ${}T$ gibt, die keine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.

Lösung

Es sei ${}P\in U$ ein Punkt derart, dass die Funktionsfamilie in keiner offenen Ballumgebung beschränkt ist. Dann gibt es insbesondere zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Funktion ${}f_{n}\in T$ derart, dass ${}\vert {f_{n}}\vert$ auf ${}U{\left(P,{\frac {1}{n}}\right)}$ nicht durch ${}n$ beschränkt ist. Insbesondere gibt es dann einen Punkt ${}P_{n}\in U{\left(P,{\frac {1}{n}}\right)}$ mit ${}\vert {f_{n}(P)}\vert \geq n$. Die Menge ${}A=\{P\}\cup {\left\{P_{n}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$ ist kompakt. Würde es eine Teilfolge geben, die gleichmäßig auf ${}A$ konvergiert, so würde es insbesondere eine stetige Grenzfunktion ${}f$ geben. Es gibt dann insbesondere ein ${}n_{0}$ mit

${}\vert {f(Q)-f_{n}(Q)}\vert \leq 1\,$

für alle ${}n\geq n_{0}$ (aus der Indexmenge der Teilfolge) und alle ${}Q\in A$. Ebenso gilt wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der ${}f_{n}$ auf ${}A$ für ${}n$ hinreichend groß

${}\vert {f_{n}(P)-f_{n}(P_{n})}\vert \leq 1\,.$

Dies zeigt, dass ${}f(P)$ beliebig groß ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung