Kurs:Differentialgeometrie/4/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	4	5	4	0	4	6	2	6	4	10	10	0	61

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Weingartenabbildung in ${}T_{P}Y$ zu einem Punkt ${}P\in Y$ auf einer orientierten differenzierbaren Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
2. Eine reelles Vektorbündel ${}V$ vom Rang ${}r$ über einem topologischen Raum ${}X$.
3. Das Wegintegral zu einer ${}1$-Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
4. Eine positive Volumenform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Eine geschlossene Differentialform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
6. Die tangentiale Beschleunigung einer zweifach stetig differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Lösung

1. Es sei ${}N$ ein Einheitsnormalenfeld auf ${}Y$, das die Orientierung festlegt. Dann nennt man

   $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$

   die Weingartenabbildung in ${}T_{P}Y$.

2. Ein reelles Vektorbündel ${}V$ vom Rang ${}r$ ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung ${}p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser ${}p^{-1}(x)$ ein ${}r$- dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen

   $\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$

   über ${}U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus

   ${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$

   induzieren.

3. Das Wegintegral ist durch

   ${}\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega \,$

   definiert.

4. Eine ${}n$- Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   (mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform

   ${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

   die Funktion ${}f$ überall positiv ist.

5. Eine differenzierbare Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ${}d\omega =0$ ist.
6. Man nennt ${}\pi _{\text{vert}}\circ TT(\gamma )$ die die tangentiale Beschleunigung von ${}\gamma$, wobei die Projektion vom Levi-Civita-Zusammenhang herrührt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Normalkrümmung.
2. Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
3. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Lösung

1. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch ${}P$ an ${}Y$. Dann ist die Normalkrümmung von ${}Y$ in ${}P$ gleich der Krümmung der ebenen Kurve ${}Y\cap (P+E)\subseteq P+E\cong \mathbb {R} ^{2}$ im Punkt ${}P$.
2. Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   eine orientierte Karte mit

   ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

   offen mit Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix ${}G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ${}g=\det G$. Dann ist

   ${}\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

   Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U$ ist

   ${}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

3. Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$- Differentialform mit kompaktem Träger auf ${}M$. Dann ist

   ${}\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen Krümmung und Einheitsnormalenvektor einer bogenparametrisierten ebenen Kurve.

Lösung

Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Definition

${}\kappa (t)=\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)-\gamma _{2}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)\,.$

Aus

${}{\left(\gamma _{1}'(t)\right)}^{2}+{\left(\gamma _{2}'(t)\right)}^{2}=1\,$

folgt

${}\gamma _{1}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)+\gamma _{2}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)=0\,,$

daher steht ${}\gamma ^{\prime \prime }(t)$ senkrecht auf ${}\gamma '(t)$ und ist linear abhängig zu ${}N(t)$. Somit ist

${}\gamma ^{\prime \prime }(t)=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle N(t)=\kappa (t)N(t)\,$

und somit ist

${}\Vert {\gamma ^{\prime \prime }(t)}\Vert =\vert {\kappa (t)}\vert \,.$

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre ${}Y$ das tangentiale Vektorfeld

${}F{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}F$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.
2. Bestimme für den Punkt ${}P={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\in Y$ eine Matrix für die Abbildung

   $T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$

   bezüglich einer geeigneten Basis.

3. Bestimme für den Punkt ${}Q={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\in Y$ eine Matrix für die Abbildung

   $T_{Q}Y\longrightarrow T_{Q}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$

   bezüglich einer geeigneten Basis.

Lösung

1. Die Jacobi-Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

2. Als Normalenfeld nehmen wir ${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$, in ${}P={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ bilden ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ eine Basis des Tangentialraumes. Es ist

   ${}{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$

   Dabei ist ${}{\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}$ ein Vielfaches zum Normalenvektor und daher ist seine orthogonale Projektion auf den Tangentialraum ebenfalls der Nullvektor. Die Abbildung ${}v\mapsto \nabla _{v}F$ ist also die Nullabbildung.

3. In ${}Q={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ bilden ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ eine Basis des Tangentialraumes. Es ist

   ${}{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$

   Beide Bildvektoren sind bereits tangential zu ${}Y$ in ${}Q$. Eine beschreibende Matrix zu ${}v\mapsto \nabla _{v}F$ ist

   ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die Ellipse

${}E={\left\{(u,v)\mid 2u^{2}+5v^{2}=4\right\}}\,.$

1. Definiere eine surjektive stetig differenzierbare Abbildung ${}\mathbb {R} \rightarrow E$.
2. Beschreibe einen Diffeomorphismus zwischen der Sphäre ${}S^{1}$ und ${}E$.

Lösung

Wir arbeiten mit der Beschreibung

${}E={\left\{(u,v)\mid {\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {5}{4}}v^{2}=1\right\}}\,.$

1. Die Abbildung

   $\mathbb {R} \longrightarrow E,\,\alpha \longmapsto \left({\sqrt {2}}\cos \alpha ,\,{\frac {2}{\sqrt {5}}}\sin \alpha \right)$

   ist als Abbildung in den ${}\mathbb {R} ^{2}$ stetig differenzierbar und das Bild liegt auf ${}E$. Daher ist sie auch als Abbildung nach ${}E$ stetig differenzierbar. Die Surjektivität wird in (2) mitbewiesen.

2. Wir betrachten die Abbildung

   $S^{1}\longrightarrow E,\,(x,y)\longmapsto \left({\sqrt {2}}x,\,{\frac {2}{\sqrt {5}}}y\right).$

   Diese ist als Einschränkung einer bijektiven linearen Abbildung des ${}\mathbb {R} ^{2}$ stetig differenzierbar und injektiv und landet (aufgrund der expliziten Gleichungen) in der Tat in ${}E$. Sie ist auch surjektiv, da man direkt die Umkehrabbildung

   $E\longrightarrow S^{1},\,(u,v)\longmapsto \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}u,\,{\frac {\sqrt {5}}{2}}v\right),$

   angeben kann. Da die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreisen surjektiv ist, folgt, dass auch die in (1) angegebene Abbildung surjektiv ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein stetiges Vektorfeld auf ${}S^{2}$ an, das nur eine Nullstelle besitzt.

Lösung

Wir betrachten auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ das stetige Vektorfeld ${}F$, das durch

${}F(x,y)={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}e_{1}\,$

gegeben sei. Dieses hat keine Nullstelle und ist stetig. Wir transportieren dieses Vektorfeld mittels der stereographischen Projektion auf ${}\mathbb {R} ^{2}\cong S^{2}\setminus \{N\}$ und ergänzen es im Nordpol durch den Wert ${}0\in T_{N}S^{2}$. Wir behaupten, dass dieses Vektorfeld stetig ist. Dazu sei ${}P_{n}$ sei eine Folge auf ${}S^{2}$, die gegen ${}N$ konvergiert. Dabei können wir direkt annehmen, dass alle ${}P_{n}\neq N$ sind. Das Kartenbild dieser Folge ist

${}P'_{n}=(x_{n},y_{n})\,,$

und da ${}P_{n}$ gegen den Nordpol konvergiert, divergiert ${}\vert {P_{n}'}\vert$ bestimmt gegen ${}\infty$. Daher konvergiert die Folge

${}F(P'_{n})=F(x_{n},y_{n})={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}e_{1}\,$

gegen ${}0$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Verklebungsdatum ${}U_{i}$, ${}i\in I$, für topologische Räume gegeben. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten topologischen Raum ${}X$, eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ und Homöomorphismen ${}\psi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V_{i}$ derart gibt, dass

${}\psi _{i}{\left(U_{ij}\right)}=V_{i}\cap V_{j}\,$

ist und

${}\psi _{i}{|}_{U_{ij}}=\psi _{j}{|}_{U_{ji}}\circ \varphi _{ji}\,$

gilt.

Lösung

Es sei ${}Y$ die disjunkte Vereinigung der ${}U_{i}$. Wir definieren auf ${}Y$ eine Äquivalenzrelation ${}\sim$, wobei wir Punkte ${}x_{i}\in U_{i}$ und ${}x_{j}\in U_{j}$ als äquivalent ansehen, wenn ${}x_{i}\in U_{ij}$, ${}x_{j}\in U_{ji}$ und ${}\varphi _{ji}(x_{i})=x_{j}$ ist. Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind dabei durch die Kozykelbedingung gesichert, siehe Aufgabe . (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)). Wir setzen

${}X:=Y/\sim \,$

und versehen ${}X$ mit der Quotiententopologie. Die Verknüpfungen

$U_{i}\longrightarrow Y\longrightarrow X$

sind die ${}\psi _{i}$, und ${}V_{i}$ sind die Bilder dieser Abbildungen. Daher liegen Homöomorphismen ${}\psi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V_{i}$ vor. Dabei ist zu ${}x\in U_{i}$

${}\psi _{i}(x)\in V_{j}\,$

genau dann, wenn ${}x\in U_{ij}$ ist, da genau in diesem Fall ${}x$ mit ${}\varphi _{ij}(x)$ identifiziert wird. Daher ist ${}\psi _{i}(U_{ij})=V_{i}\cap V_{j}$. Die Kommutativität des Diagramms

${\begin{matrix}U_{ij}&{\stackrel {\varphi _{ji}}{\longrightarrow }}&U_{ji}&\\&\!\!\!\!\!\psi _{i}\searrow &\downarrow \psi _{j}\!\!\!\!\!&\\&&V_{i}\cap V_{j}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

folgt ebenso.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ eine differenzierbare Kurve in ${}M$ und ${}\omega$ eine differenzierbare ${}1$- Form auf ${}M$. Zeige, dass

${}\gamma ^{*}(d\omega )=0\,$

ist.

Lösung

Es ist ${}d\omega$ eine ${}2$-Form auf ${}M$ und das überträgt sich auf ${}\gamma ^{*}(d\omega )$. Auf einer eindimensionalen Mannigfaltigkeit sind aber alle ${}2$-Formen gleich ${}0$.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit zumindest zwei Punkten.

1. Zeige, dass eine exakte stetige ${}1$- Differentialform auf ${}M$ zumindest zwei Nullstellen besitzt.
2. Zeige, dass dies für eine geschlossene Differentialform nicht gelten muss.

Lösung

1. Eine exakte Differentialform kann man als

   ${}\omega =df\,$

   mit einer differenzierbaren Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   ansetzen. Wenn ${}f$ konstant ist, ist ${}df=0$ und die Aussage ist klar. Sei ${}f$ also nicht konstant. Nach Fakt ***** nimmt die stetige Funktion ein globales Maximum und ein globales Minimum an, sagen wir in den Punkten ${}P$ bzw. ${}Q$. Nach Aufgabe ***** ist dann

   ${}(df)_{P}=(df)_{Q}=0\,.$

2. Wir betrachten auf der kompakten eindimensionalen Sphäre ${}S^{1}$ die Differentialform

   ${}\omega (x,y)=ydx-xdy\,.$

   Dies ist in der Tat eine Differentialform auf dem Kreis, da ${}\left(y,\,-x\right)$ tangential zum Ortsvektor ${}(x,y)$ ist. Diese Form ist geschlossen, da wir in der Dimension ${}1$ sind. Sie hat keine Nullstelle, da auf dem Kreis nicht ${}x$ und ${}y$ gleichzeitig ${}0$ sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen ${}\mathbb {R} ^{1}$ besteht.

Lösung

Die Funktion

$h\colon ]-1,1[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x^{2}-1}},$

läuft an den beiden Grenzen gegen unendlich, der Graph zu ${}h$ ist diffeomorph zu ${}]-1,1[$ und damit auch zu ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten nun zu ${}n\in \mathbb {Z}$ die entsprechende Funktion, deren Definitonsbereich um ${}4n$ verschoben wird (also mit dem Definitionsbereich ${}]4n-1,4n+1[$). Es sei ${}G_{n}$ der zugehörige Graph und ${}U_{n}$ der zugehörige offene (!) Epigraph. Wir setzen

${}M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \biguplus _{n\in \mathbb {Z} }U_{n}\,.$

Diese ist eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand und der Rand ist die disjunkte Vereinigung der ${}G_{n}$.

Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Partition der Eins.

Lösung

Nach Lemma 22.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) können wir davon ausgehen, dass eine offene Überdeckung aus Kartengebieten ${}U_{j}$, ${}j\in J$, (${}J$ abzählbar) mit

$\alpha _{j}\colon U_{j}\longrightarrow V_{j}$

und mit Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$

(mit ${}\delta _{j}<\epsilon _{j}$) vorliegt derart, dass auch die ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ eine Überdeckung von ${}M$ bilden und dass jeder Punkt ${}P\in M$ nur in endlich vielen der ${}U_{j}$ und insbesondere nur in endlich vielen dieser ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ enthalten ist. Auf ${}V_{j}$ betrachten wir die Funktion ${}g_{j}$, die durch

${}g_{j}(v)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{{\left(\delta _{j}^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}}{\text{ für }}\Vert {v}\Vert <\delta _{j}\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definiert ist. Diese Funktion hat genau auf ${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen positiven Wert und ihr Träger ist ${}B\left(0,\delta _{j}\right)$. Eine Betrachtung auf den beiden offenen Teilmengen (die ${}V_{j}$ überdecken) ${}U{\left(0,\epsilon _{j}\right)}$ und ${}V_{j}\setminus B\left(0,\delta _{j}\right)$ zeigt, dass ${}g_{j}$ unendlich oft differenzierbar ist. Wir definieren eine Funktion

${\tilde {g}}_{j}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

durch

${}{\tilde {g}}_{j}(x)={\begin{cases}g(\alpha _{j}(x)){\text{ für }}x\in \alpha _{j}^{-1}(U{\left(0,\delta _{j}\right)})\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf ${}M$, da der „Streifen“ ${}B\left(0,\epsilon _{j}\right)\setminus U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen glatten Übergang erlaubt. Wir setzen

${}{\tilde {g}}(x):=\sum _{j\in J}{\tilde {g}}_{j}(x)\,,$

wobei dies für jeden Punkt eine endliche Summe ist, da der Träger von ${}{\tilde {g}}_{j}$ in

${}\alpha ^{-1}{\left(B\left(0,\delta _{j}\right)\right)}\subset U_{j}\,$

liegt. Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf ${}M$ und überall positiv, da die ${}{\tilde {g}}_{j}(x)$ auf den überdeckenden Mengen ${}\alpha ^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ positiv sind. Dann bilden die

${}h_{j}={\frac {{\tilde {g}}_{j}}{\tilde {g}}}\,$

die gesuchte Partition der Eins.

Aufgabe (10 (2+6+2) Punkte)

Wir betrachten die ${}2$- Differentialform

${}\omega =xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy\,$

auf der Einheitskugel ${}B\left(0,1\right)$.

a) Zeige, dass ${}d\omega$ das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist.

b) Zeige, dass ${}\omega {|}_{S^{2}}$ die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist.

c) Berechne die Kugeloberfläche aus dem Kugelvolumen mit dem Satz von Stokes.

Lösung

a) Es ist

${}{\begin{aligned}d\omega &=d{\left(xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy\right)}\\&=dx\wedge dy\wedge dz-dy\wedge dx\wedge dz+dz\wedge dx\wedge dy\\&=dx\wedge dy\wedge dz+dx\wedge dy\wedge dz+dx\wedge dy\wedge dz\\&=3dx\wedge dy\wedge dz,\end{aligned}}$

wobei wir verwendet haben, dass sich das Vorzeichen bei der Vertauschung von Faktoren im Dachprodukt ändert.

b) Für einen Punkt ${}P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in S^{2}$ und zwei orthonormale, (zusammen mit ${}P$) die Orientierung repräsentierende Tangentialvektoren ${}u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}$ und ${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}$ ist nach Satz 58.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))

${}{\begin{aligned}\omega {|}_{S^{2}}(u,v)&=\omega (u,v)\\&=z\det {\begin{pmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{pmatrix}}-y\det {\begin{pmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{pmatrix}}+x\det {\begin{pmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}x&u_{1}&v_{1}\\y&u_{2}&v_{2}\\z&u_{3}&v_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Die Determinante eines die Orientierung repräsentierenden Orthonormalsystems ist aber ${}1$. Also erfüllt die eingeschränkte Differentialform die Eigenschaft, die die Standardvolumenform charakterisiert.

c) Die Oberfläche der Kugel ist unter Verwendung von a), b), des Satzes von Stokes und des Kugelvolumens gleich

${}\int _{S^{2}}\omega =\int _{B\left(0,1\right)}d\omega =\int _{B\left(0,1\right)}3dx\wedge dy\wedge dz=3\lambda ^{3}(B\left(0,1\right))=4\pi \,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung