Kurs:Differentialgeometrie/7/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	4	5	4	9	0	8	6	0	3	3	0	0	7	55

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Gaußkrümmung zu einer differenzierbaren Fläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ in einem Punkt ${}P\in Y$.
2. Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$.
3. Ein zeitunabhängiges Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
4. Eine Differentialform vom Grad ${}k$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
6. Ein torsionsfreier linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Lösung

1. Man nennt das Produkt ${}\kappa _{1}\cdot \kappa _{2}$ der beiden Hauptkrümmungen in ${}P$ die Gaußkrümmung der Fläche ${}Y$ in ${}P$.
2. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$, wenn es eine offene Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass jedes ${}U_{i}$ homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.
3. Eine Abbildung

   $F\colon M\longrightarrow TM$

   mit der Eigenschaft, dass ${}F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt ${}P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.

4. Eine ${}k$-Differentialform ist ein Schnitt im ${}k$-fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels.
5. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum ${}T_{P}M$, ${}P\in M$, ein Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für $1\leq i,j\leq n$)

   $g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$

   ${}C^{1}$- differenzierbar sind.

6. Der Zusammenhang heißt torsionsfrei, wenn

   ${}\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,$

   für beliebige Vektorfelder ${}V,W$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Existenzsatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche.
2. Der Satz über die lokale Beschreibung von Differentialformen.
3. Die Quaderversion des Satzes von Stokes.

Lösung

1. Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Es sei ${}t_{0}\in I$, ${}\gamma (t_{0})=P$ und sei ${}v\in T_{P}Y$ ein Tangentialvektor. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes tangentiales Vektorfeld ${}F$ längs ${}\gamma$, das parallel ist und

   ${}F(t_{0})=v\,$

   erfüllt.
2. Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien

   $x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   die zugehörigen Koordinatenfunktionen, ${}1\leq j\leq n$. Dann lässt sich jede auf ${}U$ definierte ${}k$-Differentialform

   ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eindeutig schreiben als

   ${}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}\,$

   mit eindeutig bestimmten Funktionen

   $f_{J}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

3. Es sei ${}Q\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein achsenparalleler ${}n$-dimensionaler Quader (mit Seiten aber ohne Kanten) mit dem Rand ${}\partial Q$ und ${}\omega$ eine auf ${}Q$ definierte stetig-differenzierbare ${}(n-1)$- Differentialform. Dann ist

   ${}\int _{Q}d\omega =\int _{\partial Q}\omega \,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}M$ die durch

${}x^{2}+3y^{2}=2\,$

gegebene Ellipse im ${}\mathbb {R} ^{2}$, ${}P={\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{pmatrix}}$ und ${}Q={\begin{pmatrix}-1\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{pmatrix}}$ Punkte auf ${}M$.

1. Zeige, dass

   ${}v={\begin{pmatrix}-{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}}\,$

   ein Tangentialvektor in ${}P$ an ${}M$ ist.

2. Bestimme das Bild von ${}v$ unter einem Paralleltransport auf ${}M$ von ${}P$ nach ${}Q$.

Lösung

1. Der Tangentialraum in einem Punkt ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ steht senkrecht auf dem Gradienten ${}{\begin{pmatrix}2x\\6y\end{pmatrix}}$, in ${}P$ also senkrecht auf

   ${}{\begin{pmatrix}2\\{\frac {6}{\sqrt {3}}}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}\,.$

   Dies erfüllt der Vektor ${}v$.

2. Der Paralleltransport längs eines Weges ${}\gamma$ auf ${}M$ von ${}P$ nach ${}Q$ ist eine Isometrie ${}T_{P}M\rightarrow T_{Q}M$. Der Tangentialraum an ${}Q$ steht senkrecht auf ${}{\begin{pmatrix}-1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}$ und wird erzeugt von ${}{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}}$. Da sich die Norm nicht ändert, kommt als Ergebnis nur ${}\pm {\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}}$ in Frage. Da ${}v$ gegen den Uhrzeigersinn auf ${}M$ zeigt, muss dies auch für das Ergebnis gelten (etwa wegen Aufgabe 6.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))), also ist ${}-{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}}$ das Ergebnis.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Orientierungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche.

Lösung

Nach Lemma 2.4 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) gibt es ein Einheitsnormalenfeld, das eine Orientierung repräsentiert, und die Negation davon liefert eine weitere Orientierung. Diese nennen wir ${}G$ bzw. ${}-G$. Es sei nun

$N\colon Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein beliebiges stetiges Einheitsnormalenfeld. Wir betrachten die Übereinstimmungsorte

${}Y_{1}={\left\{P\in Y\mid N(P)=G(P)\right\}}\,$

und

${}Y_{2}={\left\{P\in Y\mid N(P)=-G(P)\right\}}\,.$

Da es für jeden Punkt ${}P\in Y$ nur die beiden möglichen Werte

${}N(P)=\pm G(P)\,$

gibt, ist ${}Y$ die disjunkte Vereinigung von ${}Y_{1}$ und ${}Y_{2}$. Als Übereinstimmungsort von stetigen Funktionen sind ${}Y_{1}$ und ${}Y_{2}$ abgeschlossen (und damit auch offen in ${}Y$). Aufgrund des Zusammenhangs ist also ${}Y=Y_{1}$ oder ${}Y=Y_{2}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Fläche versehen mit einem Einheitsnormalenfeld ${}N$. Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine stetig differenzierbare Kurve und sei

$F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

ein differenzierbares tangentiales Vektorfeld längs ${}\gamma$, das parallel sei. Zeige, dass dann auch das Vektorfeld

$I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto N(\gamma (t))\times F(t),$

parallel ist, wobei ${}\times$ das Kreuzprodukt im ${}\mathbb {R} ^{3}$ bezeichnet.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}(N(\gamma (t))\times F(t))'&=(N(\gamma (t)))'\times F(t)+N(\gamma (t))\times F'(t)\\&={\left(DN\right)}_{\gamma (t)}{\left(\gamma '(t)\right)}\times F(t)+N(\gamma (t))\times F'(t).\end{aligned}}$

Es ist zu zeigen, dass dieser Vektor stets senkrecht auf dem Tangentialraum ${}T_{\gamma (t)}Y$ steht. Da ${}F'(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum steht, ist er linear abhängig zum Normalenvektor ${}N(\gamma (t))$ und daher ist der rechte Summand gleich ${}0$ nach Satz 33.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))  (3). Im linken Summanden ist ${}F(t)$ tangential nach Voraussetzung und ${}{\left(DN\right)}_{\gamma (t)}{\left(\gamma '(t)\right)}$ ist tangential nach Lemma 4.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)). Daher ist nach Satz 33.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))  (6) der linke Summand senkrecht auf dem Tangentialraum und somit ist insgesamt das Vektorfeld parallel.

Aufgabe (9 Punkte)

Es sei ${}M\neq \emptyset$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

${}M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_{n}=M\,$

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M_{i}$ die Dimension ${}i$ besitzt.

Lösung

Es sei ${}P\in M$ ein Punkt und ${}P\in U$ eine offene Kartenumgebung zusammen mit einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n},$

wobei ${}V=B(0,3)$ die offene Kugel mit Mittelpunkt ${}0$ und Radius ${}3$ sei und wobei ${}\alpha (P)=0$ gelte. Für ${}i=1,\ldots ,n-1$ betrachten wir

$B_{i}={\left\{x\in V\mid (x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1,\,x_{i+2}=0,\,x_{i+3}=0,\ldots ,x_{n}=0\right\}}.$

Es ist also ${}B_{n-1}$ die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt ${}(1,0,\ldots ,0)$ und Radius ${}1$, ${}B_{n-2}$ ist darin der durch ${}x_{n}=0$ definierte „Äquator“ u.s.w. Man erhält ${}B_{i}$ aus ${}B_{i+1}$, indem man zusätzlich noch ${}x_{i+2}=0$ setzt. Daher liegt eine absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen

$B_{n-1}\supseteq B_{n-2}\supseteq \ldots \supseteq B_{1}\supseteq B_{0}$

vor

(${}B_{0}$ besteht aus den beiden Punkten ${}(\pm 1,0,\ldots ,0)$). Wir fassen ${}B_{i}$ als die Faser über dem Nullpunkt der Abbildung

$\varphi _{i}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-i},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto ((x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1,x_{i+2},\ldots ,x_{n}),$

auf. Die Jacobimatrix dieser Abbildung ist

${\begin{pmatrix}2x_{1}-2&2x_{2}&\ldots &2x_{i+1}&2x_{i+2}&\ldots &2x_{n-1}&2x_{n}\\0&0&\ldots &0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}}.$

Der Rang dieser Matrix ist nur bei ${}x_{1}=1,\,x_{2}=\cdots =x_{i+1}=0$ kleiner als ${}n-i$, ein solcher Punkt liegt also nicht auf ${}B_{i}$. Das bedeutet, dass die Abbildung ${}\varphi _{i}$ in der Faser ${}B_{i}$ regulär ist, so dass ${}B_{i}$ aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}V$ der Dimension ${}i$ ist.

Wir setzen nun ${}M_{i}=\alpha ^{-1}(B_{i})$ für ${}i=1,\ldots ,n-1$ und ${}M_{n}=M$. Da die ${}B_{i}$ kompakt sind, sind die ${}M_{i}$ auch abgeschlossene Teilmengen in ${}M$. Da die Bedingung für eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit eine lokale Eigenschaft ist, handelt es sich um abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von ${}M$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei

$\psi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion und

$M={\left\{\left(x_{1},\,,\ldots ,,\,x_{n},\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\right)\mid (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \,$

der Graph von ${}\psi$. Zeige, dass ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit ist und dass für die kanonische Volumenform ${}\omega$ auf ${}M$ die Formel

${}(\operatorname {Id} \times \psi )^{*}(\omega )={\left(1+\sum _{i=1}^{n}{\left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\right)}^{2}\right)}^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

gilt.

Lösung

Es sei ${}W=\mathbb {R} ^{n}$. Die Abbildung

$\varphi =\operatorname {id} \times \psi \colon W\longrightarrow W\times \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (x,\psi (x)),$

ist ein Diffeomorphismus zwischen ${}W$ und dem Graphen ${}M$. Der Graph ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}W\times \mathbb {R}$ und trägt daher die induzierte riemannsche Struktur und (da sich die Orientierung von ${}W$ auf ${}M$ überträgt) eine kanonische Volumenform ${}\omega$. Auf diese Situation kann man Satz 16.8 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) anwenden. Die partiellen Ableitungen von ${}\varphi$ nach der ${}i$-ten Variablen sind

${}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\\{\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,.$

Es sei ${}Q\in W$ ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, so dass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge ${}b_{ij}$ der Matrix ${}B$ bilden (von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen), sind gleich

${}b_{ij}=\left\langle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(Q),{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}(Q)\right\rangle \,$

Wir schreiben ${}B=E_{n}+A$ mit ${}A={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Mit ${}c_{i}={\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}(Q)$ können wir ${}a_{ij}=c_{i}c_{j}$ und insgesamt die Matrix ${}A$ als

${}A={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)\,$

schreiben. Daher beschreibt ${}A$ eine lineare Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{n}$ nach ${}\mathbb {R} ^{n}$, die durch ${}\mathbb {R}$ faktorisiert, und besitzt damit einen Kern, der zumindest ${}(n-1)$-dimensional ist. Nennen wir ihn ${}K$. Wenn er die Dimension ${}n$ besitzt, so ist ${}A=0$ und ${}B$ ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Es sei also ${}A\neq 0$. Dann ist ${}v={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor von ${}A$ zum Eigenwert ${}c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}\neq 0$. Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von ${}B$ zum Eigenwert ${}1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$ und ${}K$ bildet den ${}(n-1)$-dimensionalen Eigenraum für ${}B$ zum Eigenwert ${}1$. Insgesamt ist ${}B$ diagonalisierbar und ihre Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, also gleich ${}1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$.

Aufgabe (6 Punkte)

Berechne die Oberfläche der Einheitskugel.

Lösung Kugeloberfläche/Berechnung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der ${}1$- Differentialform

${}\omega ={\frac {x^{2}}{y}}dx-{\frac {x}{y^{2}}}dy\,$

auf ${}U={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y\neq 0\right\}}$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}d\omega &=d{\frac {x^{2}}{y}}\wedge dx-d{\frac {x}{y^{2}}}\wedge dy\\&=-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}dy\wedge dx-{\frac {1}{y^{2}}}dx\wedge dy\\&={\frac {x^{2}-1}{y^{2}}}dx\wedge dy.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen Kreisen ${}S^{1}$ besteht.

Lösung

Wir berachten

${}M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \biguplus _{n\in \mathbb {Z} }U{\left((n,0),{\frac {1}{3}}\right)}\,.$

Es werden also aus der reellen Ebene längs der ${}x$-Achse unendlich viele disjunkte offene Bälle herausgenommen. Dadurch entsteht zu jedem Ball ein Teilrand von ${}M$, der diffeomorph zur Kreissphäre ${}S^{1}$ ist. ${}M$ ist offenbar wegzusammenhängend.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}TM$ gegeben, der metrisch und torsionsfrei sei. Zeige, dass für Vektorfelder ${}X,Y,Z$ die Formel

${}\left\langle \nabla _{X}Y,Z\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(D_{X}\left\langle Y,Z\right\rangle +D_{Y}\left\langle Z,X\right\rangle -D_{Z}\left\langle X,Y\right\rangle -\left\langle Y,[X,Z]\right\rangle -\left\langle Z,[Y,X]\right\rangle +\left\langle X,[Z,Y]\right\rangle \right)}\,$

gilt.

Lösung

Wegen der Torsionsfreiheit gilt

${}\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,,$

${}\nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V=[V,Z]\,$

und

${}\nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W=[W,Z]\,,$

wobei wir die erste Identität auch als

${}\nabla _{V}W+\nabla _{W}V=2\nabla _{V}W-[V,W]\,$

auffassen. Wegen metrisch gelten die Identitäten

${}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,,$

${}D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle =\left\langle \nabla _{W}Z,V\right\rangle +\left\langle Z,\nabla _{W}V\right\rangle \,$

und

${}D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{Z}V,W\right\rangle +\left\langle V,\nabla _{Z}W\right\rangle \,.$

Wir addieren die Gleichungen zusammen und erhalten

$D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W+\nabla _{W}V,Z\right\rangle +\left\langle \nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W,V\right\rangle +\left\langle \nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V,W\right\rangle \,.$

In die rechte Seite setzen wir die oben erzielten Ausdrücke ein und erhalten

${}{\begin{aligned}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle &=\left\langle 2\nabla _{V}W-[V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle \\&=2\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle -\left\langle [V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle .\end{aligned}}$

Eine Umstellung ergibt die Formel.

Aufgrund der Gleichung ist ${}\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle$ für beliebige Vektorfelder durch die rechte Seite festgelegt, in der der Zusammenhang gar nicht vorkommt. Da dies für jedes Vektorfeld ${}Z$ gilt, ist dadurch auch die vertikale Ableitung ${}\nabla _{V}W$ und damit der lineare Zusammenhang eindeutig festgelegt.