Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Aufgaben A/Referenzsuche

Löse das lineare Gleichungssystem

Überprüfe, ob die folgenden Tupel Lösungen der linearen Gleichung

sind.

Wähle eine Dreiertupel. Ist es eine Lösung der Gleichung?

Löse das lineare Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem

Skizziere die Lösungsmenge der linearen Gleichung

im

Finde zum linearen Gleichungssystem

ein äquivalentes Gleichungssystem  (also eines mit der gleichen Lösungsmenge), dessen Koeffizienten zu gehören.

Entscheide, ob die folgenden Tupel Lösungen des linearen Gleichungssystems

sind.

a)

b)

c)

Die Punkte (zwischen und) in einem Kurs setzen sich aus der mündlichen Note, die zu einem Drittel eingeht, und der schriftlichen Note, die zu zwei Dritteln eingeht, zusammen.

1. Erstelle eine Funktion, die die Gesamtpunktzahl aus den Teilergebnissen berechnet.
2. Erstelle eine Gleichung, die beschreibt, dass die Gesamtpunktzahl gleich ist.
3. Lucy Sonnenschein war während der Unterrichtsstunden etwas unaufmerksam, was sich in ihrer mündlichen Note mit Punkten niederschlägt. Wie muss sie schriftlich abschneiden, um auf ihre gewünschte Gesamtpunktzahl von Punkten zu kommen?
4. Löse das Gleichungssystem aus Teil (2). Unterscheide zwischen mathematisch korrekten Lösungen und korrekten Lösungen, die im Kontext sinnvoll interpretiert werden können.
5. Finde für mathematisch korrekte Lösungen, die auf den ersten Blick im gegebenen Kontext nicht sinnvoll interpretiert werden können, doch eine sinnvolle Interpretation.
6. Interpretiere die zugehörige homogene Gleichung.

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?

Mustafa Müller und Heinz Ngolo sind im Fanshop von Borussia Dortmund. Mustafa zahlt für drei Pappspieler und vier handsignierte Fotos zusammen 55 Euro und Heinz zahlt für fünf Pappspieler und drei handsignierte Fotos zusammen Euro. Wie viel kostet ein Pappspieler und wie viel kostet ein handsigniertes Foto?

Löse das lineare Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem

über dem Körper mit zwei Elementen.

Löse das lineare Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem

Sie wollen für eine Party Liter an Getränken einkaufen und dafür € ausgeben. Sorte kostet Cent pro Liter-Flasche, Sorte B kostet € pro ml-Flasche. Wie viele Flaschen kaufen Sie von jeder Sorte? Zusatzfrage: Weil man nur ganze Flaschen kaufen kann, kommt man nicht exakt auf Liter und €. Wie groß ist der Fehler?

Löse das lineare Gleichungssystem

Es sei ein lineares Gleichungssystem durch die Gleichungen und ein zweites lineares Gleichungssystem durch die Gleichungen gegeben, beide über dem Körper

und in den Variablen  Wie verhält sich die Lösungsmenge  zum ersten System und die Lösungsmenge  zum zweiten System zur Lösungssmenge des Systems, das aus den beiden Systemen zusammengesetzt ist?

Über dem Körper

sei ein 

lineares Gleichungssystem in den Variablen und ein zweites lineares Gleichungssystem in den Variablen gegeben. Wie verhält sich die Lösungsmenge zum ersten System und die Lösungsmenge zum zweiten System zur Lösungssmenge des Systems, das aus den beiden Systemen zusammengesetzt ist?

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

Finde Tupel die je zwei dieser Gleichungen erfüllen, aber nicht die dritte.

Interpretiere Lemma 31.3, wenn nur eine Variable vorliegt.

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, so dass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

Überprüfe, ob die folgenden Tupel Lösungen der linearen Gleichung

sind.

Löse das lineare Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.

Löse das lineare Gleichungssystem

aus Beispiel 31.4.

Gibt es eine Lösung

für das lineare Gleichungssystem

aus Beispiel 31.6?

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür €. Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür €. Mustafa kauft einen Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür einen €. Heinz kauft zwei Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und eine saure Zunge und zahlt dafür €. Wie viel kostet ein Schokoriegel, eine Packung Brausepulver, eine saure Zunge?

Benötigt man die volle Information, um dies herauszufinden?

Es sei der Einkauf von Gabi und von Lucy bekannt, ferner sei bekannt, dass Lucys kleine Schwester Veronika für drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen einen Euro zahlt. Kann man daraus die Preise rekonstruieren?

In einer Familie leben und Dabei ist dreimal so alt wie

zusammen, ist älter als und ist älter als wobei der Altersunterschied von zu doppelt so groß wie der von zu ist. Ferner ist siebenmal so alt wie und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.

Löse das inhomogene Gleichungssystem

Löse das inhomogene Gleichungssystem

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass darin der Betrag aller Koeffizienten kleiner als ist.

Zeige, dass die lineare Gleichung

über unendlich viele Lösungen besitzt, aber keine ganzzahlige Lösung.

Bestimme sämtliche ganzzahligen Lösungen der Gleichung

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem über gegeben, das eine nichttriviale Lösung besitze. Zeige, dass es auch eine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.

Bringe das lineare Gleichungssystem

in Standardgestalt und löse es.

Löse das lineare Gleichungssystem

mit dem Einsetzungsverfahren.

Löse das lineare Gleichungssystem

mit dem Einsetzungsverfahren.

Löse das lineare Gleichungssystem

mit dem Gleichsetzungsverfahren.

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene lineare Gleichungssystem nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem äquivalent sein muss.

Es sei der in Beispiel 11.4 eingeführte Körper mit zwei Elementen. Löse in das inhomogene Gleichungssystem

In den folgenden vier Aufgaben geht es im Sinne von Bemerkung 32.9 insbesondere darum, ein für die Aufgabenstellung angemessenes Lösungsverfahren zu finden und durchzuführen.

Löse das lineare Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über

Löse das inhomogene Gleichungssystem

Löse das lineare Gleichungssystem in den Variablen das durch die beiden Gleichungen

und

gegeben ist.

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.

Löse das lineare Gleichungssystem

mit dem Einsetzungsverfahren.

Zeige, dass ein lineares Gleichungssystem

genau dann nur die triviale Lösung besitzt, wenn

ist.

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.

Bestimme die (ungefähren) Koordinaten des skizzierten Punktes (eine Kästchenlänge repräsentiere eine Einheit).

Markiere die folgenden Punkte in der kartesischen Ebene

Es sei ein Punkt

in der Ebene gegeben. Skizziere die Punkte

Es sei ein Punkt

in der Ebene gegeben. Skizziere die Menge aller Punkte

Markiere zwei Punkte

in der kartesischen Ebene und addiere sie.

Zeige, dass der Zahlenraum zu einem Körper mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation die Eigenschaften

erfüllt.

Im Rahmen einer Werbeaktion verkauft ein Baumarkt Schraubensets, die jeweils große, mittlere und kleine Schrauben enthalten. Set enthält große, mittlere und kleine Schrauben, Set enthält große, mittlere und kleine Schrauben, Set enthält große, mittlere und kleine Schrauben. Da das Angebot sehr günstig ist, läuft der Verkauf hervorragend. Allerdings gibt es kaum jemand, der genau eines der vorgebenen Sets brauchen kann, daher entwickelt sich auf dem Parkplatz eine rege Tauschbörse für Schrauben. Lässt sich jeder Schraubenwunsch mit den gegebenen Sets exakt erfüllen?

Finde für die Vektoren

im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Finde für die Vektoren

im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Es sei ein Körper und der dimensionale Zahlenraum. Es sei , eine Familie von Vektoren im und ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

ein Erzeugendensystem von ist und dass sich als Linearkombination der , darstellen lässt. Zeige, dass dann schon , ein Erzeugendensystem von ist.

Zeige, dass im die drei Vektoren

eine Basis bilden.

Bestimme, ob im die drei Vektoren

eine Basis bilden.

Es sei ein Körper und seien Zeige, dass der Matrizenraum in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.

Berechne das Matrizenprodukt

Berechne das Matrizenprodukt

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Bestimme das Matrizenprodukt

wobei links der te Standardvektor (der Länge) als Zeilenvektor und rechts der te Standardvektor (ebenfalls der Länge) als Spaltenvektor aufgefasst wird.

Es sei eine Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt

mit dem ten

Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die te Spalte von ergibt. Was ist wobei der te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?

Zu einer quadratischen Matrix bezeichnet man mit die fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von ten der Matrix.

Berechne zur Matrix

die Potenzen

Es sei

eine Diagonalmatrix und eine Matrix. Beschreibe

Es sei

eine Diagonalmatrix und

ein Tupel über einem Körper

und es sei

ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem

und wie löst man es?

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.

Finde für die Vektoren

im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Wir betrachten die Matrix

über einem Körper

Zeige, dass die vierte 

Potenz von gleich ist, also

Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Genauer: Es sei ein Körper und es sei eine Matrix,

eine Matrix und  eine Matrix über  Zeige, dass

ist.

Es sei

Finde und beweise eine Formel für die te Potenz der Matrix

Finde neben den beiden Matrizen und vier weitere Matrizen mit der Eigenschaft

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

Zeige, dass ein Körper

aufgefasst als

Vektorraum, nur zwei Untervektorräume besitzt, nämlich den Nullraum und sich selbst.

Bestimme, ob die folgenden Teilmengen

Untervektorräume sind.

3. Der Graph der linearen Funktion
4. Das Quadrat
6. Die Vereinigung aus der Achse und der Achse (das),
8. Die Lösungsmenge zur linearen Gleichung

Beschreibe sämtliche Untervektorräume des

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

1. Man gebe zu zwei Punkten die Koordinaten des Mittelpunktes an.
2. Es seien in der Produktmenge fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?

Zeige, dass ein Untervektorraum

insbesondere eine Untergruppe des ist.

Es seien Vektoren und sei

Zeige, dass ein Untervektorraum des ist.

Wir betrachten im die Untervektorräume

und

Zeige

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

Im seien zwei Vektoren gegeben und es sei

der von den beiden Vektoren erzeugte Untervektorraum. Zeige, dass die Vektoren genau dann eine Basis von bilden, wenn weder ein Vielfaches von noch ein Vielfaches von ist.

Es seien Untervektorräume. Zeige, dass der Durchschnitt ebenfalls ein Untervektorraum ist.

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

über

Es sei

und

1. Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems
2. Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im die durch die beiden Punkte

verläuft.

Es seien im zwei Geraden

in Gleichungsform durch

bzw.

gegeben. Zeige, dass der Durchschnitt der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist, das aus beiden Gleichungen besteht. Zeige ferner, dass es hierbei die drei Möglichkeiten gibt:

1. Es ist
2. Es ist
3. Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Vorlage:Inputaufga

Es seien Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.

Wir betrachten die beiden Mengen

und

Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt

wie in Beispiel 34.13.

Im seien die beiden Untervektorräume

und

gegeben. Bestimme eine Basis für

Wir betrachten die drei Ebenen im die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

Bestimme sämtliche Punkte

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im auf der die drei Punkte

liegen.

Erstelle ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum die Gerade

ist.

Es sei ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

ist.

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

Es sei

ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung durch ersetzt?

Wir betrachten im die Untervektorräume

und

Zeige

Es sei

und

1. Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems
2. Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.

Betrachte im die beiden Ebenen

Bestimme die Schnittgerade

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im auf der die drei Punkte

liegen.

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne

Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer linearen Abbildung von nach auftreten?

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne

Es sei ein Körper und Zeige, dass zu die Abbildung

linear ist.

Es sei ein Körper und Zeige, dass zu die Abbildung

linear ist.

Es sei ein Körper und seien

und

lineare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung

eine lineare Abbildung ist.

Es sei ein Körper und sei

eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist
2. Für jede Linearkombination in gilt

Es sei ein Körper und seien

und

lineare Abbildungen. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Die Hintereinanderschaltung ist ebenfalls linear.
2. Wenn bijektiv ist, so ist auch die Umkehrabbildung linear.

Lucy Sonnenschein arbeitet als Fahrradkurier und bekommt einen Stundenlohn von €. Am Obststand kosten Himbeeren €, Erdbeeren kosten € und Äpfel € (jeweils pro Hundert Gramm). Beschreibe die Abbildung, die einem Einkauf die Zeit zuordnet, die Lucy für den Einkauf arbeiten muss, als eine Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen.

In Beispiel 35.12 wurde beschrieben, welche Zutaten für Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen benötigt werden. Die folgende Tabelle zeigt die Preise der einzelnen Zutaten (pro Kilogramm).

Produkt
Preis

Beschreibe die Abbildung, die einem Kuchentupel den Preis zuordnet, als Hintereinanderschaltung der Zutatenabbildung und der Preisabbildung.

Im Laden kostet Schokolade €, Kartoffeln € und Spinat € pro Tafel bzw. Sack bzw. Packung. Oma Müller kauft zwei Tafeln Schokolade, drei Säcke Kartoffeln und drei Packungen Spinat und zahlt dafür €. Mustafa ist vom Einkauf etwas enttäuscht und sagt: Gabi Hochster ist zu Besuch und sagt:

1. Finde weitere Möglichkeiten, den Einkauf abzuändern, ohne den Gesamtpreis zu ändern.
2. Bestimme den Kern der Preisabbildung.
3. Welche Elemente des Kerns lassen sich im eingangs beschriebenen Kontext sinnvoll interpretieren (wenn nur ganzzahlige Einkäufe möglich sind)?

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

Es sei

die durch die lineare Gleichung

gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung

derart, dass das Bild von gleich ist.

Zeige, dass das Bild einer Geraden

unter einer linearen Abbildung

entweder eine Gerade oder ein Punkt im ist.

Es sei eine Matrix über dem Körper die zugehörige lineare Abbildung und

das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem. Zeige, dass die Lösungsmenge des Systems gleich dem Kern von ist.

Es sei eine Matrix über dem Körper die zugehörige lineare Abbildung und

das (vom Störvektor

abhängige) zugehörige lineare Gleichungssystem. Zeige, dass die Lösungsmenge des Systems gleich dem Urbild von unter der linearen Abbildung ist.

Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das Urbild eines Punktes ein affiner Unterraum des ist.

Ergänze den Beweis zu Satz 35.10 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.

Es sei ein Körper und Es sei , eine Basis des und seien , Elemente in Zeige, dass es genau eine lineare Abbildung

mit

gibt.

Zeige, dass die Addition

eine lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix dieser Abbildung bezüglich der Standardbasis aus?

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Bestimme die Anzahl der linearen Abbildungen

Es sei ein Körper,

und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung ein Untervektorraum von ist.

Mustafa Müller hat seinen neunten Geburtstag. Für die Feier backt seine Oma drei Himbeerkuchen, zwei Käsekuchen und vier Apfelkuchen. Berechne die insgesamt benötigten Zutaten mit Hilfe von Beispiel 35.12.

Beschreibe die Situation aus Beispiel 31.4 mit Hilfe einer linearen Abbildung.

In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle (in geeigneten Maßeinheiten) wiedergegeben:

Sorte	Kalorien	Vitamin C	Fett
Schokokeks	10	5	3
Waffelröllchen	8	7	6
Mandelstern	7	3	1
Nougatring	12	0	5

a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel das Aufnahmetupel berechnet.

b) Heinz isst Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.

c) Ludmilla isst Nougatringe und Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.

d) Peter isst Mandelsterne mehr und Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.

Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von bleiben zu bei wechseln zu wechseln zu und werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von bleiben zu bei wechseln zu wechseln zu und werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von bleiben zu bei niemand wechselt zu wechseln zu und werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Die Telefonanbieter und kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr durch das Kundentupel ausgedrückt wird (dabei steht für die Anzahl der Kunden von im Jahr usw.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

1. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu je zu bzw. zu
2. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu
3. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel aus berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel in vier Jahren?

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne

Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass der Kern von ein Untervektorraum des ist.

Auf dem reellen Vektorraum

der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

und

Wir stellen uns als Preisfunktion und als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für für und für .

Es sei ein Körper und sei eine Familie von Vektoren im Zeige, dass für die lineare Abbildung

die folgenden Beziehungen gelten.

1. ist surjektiv genau dann, wenn ein Erzeugendensystem von ist.
2. ist bijektiv genau dann, wenn eine Basis von ist.

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr wird daher durch ein Tupel

angegeben.

Von den Traglingen erreichen tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen tel das reife Alter und von den Reifen erreichen tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und Halbstarke zeugen Nachkommen und Reife zeugen Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand aus dem Bestand berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand in fünf Jahren?

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?

Beschreibe die Umkehrabbildungen zu den elementargeometrischen Abbildungen Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung, Streckung, Verschiebung.

Bestimme die inverse Matrix von

Bestimme die inverse Matrix von

Zeige, dass eine invertierbare Matrix

weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.

Es sei eine Matrix derart, dass es Matrizen mit

und mit

gibt. Zeige

und dass invertierbar ist.

Es seien und invertierbare Matrizen. Zeige, dass auch

invertierbar ist, und dass

gilt.

Es sei ein Körper und Zeige, dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei nicht kommutativ ist.

Es seien

und

Matrizen über einem Körper

mit

Zeige, dass dann auch

gilt.

Es sei eine Matrix und

die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn es eine Matrix mit

gibt.

Es sei ein Körper und eine Matrix mit Einträgen in Zeige, dass die Multiplikation mit Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung haben.

1. Vertauschen der ten und der ten Zeile von
2. Multiplikation der ten Zeile von mit
3. Addition des fachen der ten Zeile von zur ten Zeile ($i\neq j$).

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.

Zeige, dass man eine Scherungsmatrix

als Matrizenprodukt

schreiben kann, wobei  und  

Diagonalmatrizen sind und eine Scherungsmatrix der Form

ist.

Es sei

Finde Elementarmatrizen

derart, dass  die Einheitsmatrix ist.

Es sei

Finde Elementarmatrizen

derart, dass  die Einheitsmatrix ist.

Bestimme die inverse Matrix zu

Bestimme die inverse Matrix zu

Führe für die Matrix

das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.

1. Überführe die Matrixgleichung in ein lineares Gleichungssystem.
2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Bestimme die inverse Matrix zu

Bestimme die inverse Matrix zu

Es sei

a) Zeige

b) Bestimme die inverse Matrix zu

c) Löse die Gleichung

Löse die linearen Gleichungssysteme

simultan.

Zeige, dass die Matrix

für jedes zu sich selbst invers ist.

Es sei

Finde Elementarmatrizen

derart, dass  die Einheitsmatrix ist.

1. Überführe die Matrixgleichung in ein lineares Gleichungssystem.
2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Bestimme die inverse Matrix zu

Löse die linearen Gleichungssysteme

simultan durch Invertieren der Matrix.

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

unter der Voraussetzung durch.

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.

Finden Sie in Ihrem Alltagsleben möglichst viele Relationen.

(Suchen Sie auch in Ihrem (Zweit-)Studienfach.)

Beim Speeddating treffen sich Frauen und Männer und jede Frau plaudert mit jedem Mann fünf Minuten lang. Danach schreibt jede Frau auf einen Zettel, welche Männer sie wiedersehen möchte, und ebenso schreibt jeder Mann auf einen Zettel, welche Frauen er wiedersehen möchte. Die Moderatorin sammelt die Zettel ein und erstellt daraus eine Liste von Paaren, bei denen sich beide wiedersehen wollen. Beschreibe diese Situation mit Relationen.

Wir betrachten zu der Flussmenge

und zu der Ländermenge

die Relation

1. Beschreibe diese Relation durch eine Tabelle.
2. Beschreibe diese Relation durch ein Verbindungsdiagramm.
3. Beschreibe diese Relation durch Auflistung der zugehörigen Paare.
4. Bestimme die Faser zum Rhein bezüglich dieser Relation.
5. Bestimme die Faser zur Donau bezüglich dieser Relation.
6. Bestimme die Faser zu Deutschland bezüglich dieser Relation.
7. Untersuche die Begriffe Links- und Rechtseindeutigkeit, Links- und Rechtsvollständigkeit für diese Relation.

Bestimme, ob die durch die Relationstabelle

	A	B	C
A		x	x
B	x	x
C	x	x	x

beschriebene Relation auf der Menge reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch ist.

Anna-Lena, Marie-Simone, Hans-Peter und Fritz-Franz gehen zur Farbberatung. Es ergibt sich folgende Empfehlung. Anna-Lena stehen die Farben grün, gelb und pink, Marie-Simone steht gelb und feuerrot, Hans-Peter steht grün, grau und graublau, Fritz-Franz stehen alle bisher genannten Farben außer graublau, dafür zusätzlich noch violett. Es sei die Menge der vier Personen und die Menge der erwähnten Farben zuzüglich blau.

1. Erstelle eine Tabelle und ein Verbindungsdiagramm, die die Relation aus Personen und Farben wiedergibt.
2. Bestimme die Fasern zu blau, zu grün und zu Marie-Simone.

Es sei die Menge der Städte und die Menge der Autobahnen und die in Beispiel 37.3 beschriebene Relation.

Beschreibe formal die Menge derjenigen Städte, die an mindestens einer Autobahn liegen.

Beschreibe formal die Menge derjenigen Städte, die an mindestens zwei Autobahnen liegen.

Interpretiere die Aussage

wobei und aus seien. Ist die Aussage wahr?

Formuliere formal die Aussage, dass zwei Städte stets durch maximal zwei Autobahnen miteinander verbunden sind (man darf annehmen, dass jedes Autobahnkreuz an mindestens einer Stadt liegt).

Skizziere den Graphen der Addition

Skizziere den Graphen der Multiplikation

Wir betrachten in die Punkte

und

und die Geraden

die Achse, die Achse und die durch die Gleichung

gegebene Gerade Beschreibe die zugehörige Inzidenzrelation.

Erstelle eine Tabelle für die Inzidenzrelation zu einer und elementigen Menge.

Es sei eine elementige Menge. Bestimme die Anzahl der Elemente in der Inzidenzrelation zu

Es sei die Menge aller Geraden in der Ebene. Wir sagen, dass die Geraden

in Relation stehen, wenn sie (mindestens) einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Welche Relationseigenschaften treffen für diese Relation zu, welche nicht?

Beschreibe, wie sich die Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und antisymmetrisch einer Relation

auf einer Menge  in der Relationstabelle zu  widerspiegeln.

Wir betrachten die Ländermenge

und die Relation

1. Untersuche diese Relation in Hinblick auf die Begriffe reflexiv, (anti-)symmetrisch, transitiv.
2. Bestimme die Faser zu Deutschland in dieser Relation.
3. Bestimme die Faser zu Frankreich in dieser Relation.
4. Stelle die Relation durch ein Verbindungsdiagramm dar.

Wir studieren die Relation in verschiedenen Dreier-WGs, die wir durch Relationstabellen ausdrücken, wobei in der Leitspalte das grammatische Subjekt steht. Untersuche die einzelnen Relationen hinsichtlich der Eigenschaften reflexiv, transitiv (anti-)symmetrisch.

	Andrea	Bernd	Heinz
Andrea	x
Bernd		x
Heinz			x

	Anja	Ben	Horst
Anja	x	x	x
Ben	x	x	x
Horst	x	x	x

	Hinz	Kunz	Schlonz
Hinz	x	x	x
Kunz		x
Schlonz	x	x	x

	Hänsel	Gretel	Hexe
Hänsel	x	x
Gretel	x	x
Hexe			x

	Oma	Wolf	Rotkäppchen
Oma	x		x
Wolf		x
Rotkäppchen	x		x

	Jan	Jens	Jennifer
Jan
Jens
Jennifer

	Hase	Fuchs	Igel
Hase		x
Fuchs			x
Igel	x

Bei einem vollständigen ungerichteten Graphen mit Ecken ist jede Ecke mit jeder (anderen) Ecke verbunden. Zeichne einen solchen Graphen in der Ebene ohne Überschneidungen.

Wir betrachten das Spiel Schnick Schnack Schnuck mit den Objekten Schere, Stein, Papier und Brunnen als eine Gewinnrelation.

1. Skizziere diese Gewinnrelation durch einen gerichteten Graphen (Pfeildiagramm).
2. Ist die Gewinnrelation transitiv?
3. Gibt es eine dreielementige Teilmenge der Objekte derart, dass die darauf eingeschränkte Relation transitiv ist?

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die diskrete Struktur einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von über durch einen Pfeil von nach (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.

Definiere einen Isomorphiebegriff für Spielgruppen und klassifiziere die Spielgruppen entlang geeigneter numerischer Invarianten. Wie viele Spielgruppen gibt es? Aus welchen Isomorphietypen lässt sich die Tabellenordnung ableiten, aus welchen nicht?

Es seien und Mengen. Zeige, dass man jede Relation zwischen

als eine Relation auf der Menge auffassen kann. Welche Relationen auf treten in dieser Weise auf?

Zeigen Sie, dass für Relationen die Konzepte Reflexivität, Symmetrie und Transitivität voneinander unabhängig sind (das heißt, dass zwei der Eigenschaften gelten können, ohne dass die dritte gelten muss).

Es sei eine Menge mit Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf die

1. reflexiv
2. symmetrisch
3. reflexiv und symmetrisch

sind.

Es sei

eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig (durch Auflistung aller zugehörigen Paare) die Relation auf der Potenzmenge

die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.

Es sei eine Menge und die Potenzmenge von Betrachte die Relation auf die durch

gegeben ist (dabei sind also Teilmengen von). Bestimme die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn Elemente besitzt.

Es sei eine Menge und die Potenzmenge von Betrachte die Relation auf die durch

gegeben ist (dabei sind also Teilmengen von). Bestimme die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn Elemente besitzt.

Jedes Paket hat einen eindeutig bestimmten Absender und Empfänger. Modelliere diesen Sachverhalt mit Abbildungen bzw. Relationen. Welche Pfeildiagramme sind sinnvoll, um die Situation zu beschreiben?

Es sei

eine Relation zwischen

Zeige, dass man eine Relation zwischen

erhält, indem man

setzt. Sie heißt die

zu Zeige ferner, dass bei

die Relation genau dann symmetrisch ist, wenn

ist.

Beim neutralgeschlechtlichen Speeddating treffen sich Personen, und jede Person plaudert mit jeder von ihr verschiedenen Person fünf Minuten lang. Danach schreibt jede Person auf einen Zettel, welche Personen sie wiedersehen möchte. Die Moderatorin sammelt die Zettel ein und erstellt daraus eine Liste von Paaren, bei denen sich beide wiedersehen wollen.

1. Beschreibe diese Situation mit einer Relation und einer Umkehrrelation.
2. Es sei Zeichne ein Diagramm mit sechs Punkten und verschiedenfarbigen Verbindungsstrecken zwischen den Punkten, das beschreibt, in welcher Reihenfolge die Personen miteinander plaudern (die erste Farbe soll die Gesprächspartner der ersten Runde angeben u.s.w.).

Es sei eine Menge und die Potenzmenge davon. Zeige, dass durch

eine reflexive und transitive Relation auf  definiert wird, die in aller Regel weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist.

In einer Wohngemeinschaft wohnen Albert, Beowulf, Clara, Dora, Emil und Gundula. Dabei können Albert und Beowulf kochen, die anderen vier nicht. Emil findet Beowulf doof, Dora findet Albert und Clara doof, Clara und Gundula finden beide ebenfalls den Albert doof. Charakterisiere jede Person durch einen sprachlichen Ausdruck, in dem nur auf die Kochfähigkeit und das Dooffinden Bezug genommen wird  (insbesondere dürfen in den Charakterisierungen keine Namen vorkommen).

Bestimme, ob die durch die Relationstabelle

beschriebene Relation auf der Menge reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch ist.

Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.

Beim Speeddating nehmen Anna, Berta, Clara, Dora und Elfriede und Richard, Stefan, Thomas, Uwe und Volkmar teil. Auf den Wiedersehwunschlisten schreibt Anna die Namen Richard und Thomas auf, Berta schreibt Richard und Volkmar auf, Clara schreibt alle Namen außer Uwe auf, Dora schreibt Stefan auf und Elfriede schreibt Stefan, Uwe und Volkmar auf. Richard und Thomas schreiben alle Namen auf, Stefan schreibt Dora auf, Uwe schreibt Anna, Berta und Clara auf und Volkmar gibt einen leeren Zettel ab.

1. Stelle die Frauenwunschrelation durch eine Tabelle dar.
2. Stelle die Männerwunschrelation durch ein Verbindungsdiagramm dar.
3. Was ist die Faser zu Stefan unter der Frauenwunschrelation?
4. Was ist die Faser zu Volkmar unter der Männerwunschrelation?
5. Was ist die Faser zu Berta unter der Männerwunschrelation?
6. Diskutiere die Begriffe Links- und Rechtseindeutigkeit, Links- und Rechtsvollständigkeit für die beiden Wunschrelationen.
7. Beschreibe die resultierende Wiedersehensrelation.

Wir betrachten die Einheitskreisscheibe

als Relation auf

1. Gehört zur Relation?
2. Bestimme die Faser zu in der ersten Komponente.
3. Ist die Relation reflexiv, symmetrisch, transitiv?
4. Wenn zur Relation gehört, gehört dann auch zur Relation?
5. Es sei eine lineare Abbildung. Wenn zur Relation gehört, gehört dann auch zur Relation?

Es sei

eine dreielementige Menge. Beschreibe vollständig (durch Auflistung aller zugehörigen Paare) die Relation auf der Potenzmenge

die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.

Klassifiziere (bis auf Isomorphie) die möglichen Gewinnstrukturen bei einer Vierergruppe (wie bei einer Fußballweltmeisterschaft).

(Bemerkung: Es wird also eine vollständige Liste aller möglichen Isomorphietypen verlangt. Die Liste muss systematisch sein und die Vollständigkeit begründet werden.)

Wir betrachten die Relation auf der Menge der quadratischen Matrizen, bei der Matrizen und als äquivalent angesehen werden, wenn es Elementarmatrizen

mit

gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

Es sei die Menge der Leute im Kurs. Bestimme für die folgenden, durch eine Eigenschaft festgelegten Äquivalenzrelationen auf wer zu wem äquivalent ist.

1. Hat im gleichen Monat Geburtstag.
2. Hat das gleiche Zweitfach (neben Mathematik).
3. Wohnt in der gleichen Stadt.

Wir betrachten die folgende Menge, deren Elemente gewisse Zahlenmengen sind.

Zeige, dass für Elemente

durch

falls

die gleiche Anzahl an Elementen haben, eine Äquivalenzrelation auf gegeben ist. Welche Elemente sind zueinander äquivalent, welche nicht?

Wir betrachten auf der Menge der Tiere die Äquivalenzrelation, bei der zwei Tiere als äquivalent angesehen werden, wenn sie die gleiche Anzahl an Gliedmaßen besitzen. Welche der folgenden Tiere sind zueinander in diesem Sinne äquivalent?

Ein Elefant, eine Schlange, eine Forelle, ein Delphin, eine Blindschleiche, ein Schimpanse, ein Tausendfüßer, ein Wenigfüßer, ein Eichhörnchen, ein Erdferkel, eine Ameise, ein Raptor, ein Tetrapode, ein Mensch, ein Pinguin.

In der Biologie werden die Lebewesen mittels verschiedener (mehr oder weniger feiner) Einteilungen klassifiziert. Wie nennt man die Rangstufen, zu denen der Mensch gehört? Man gebe für jede Rangstufe ein Lebewesen an, das sich bezüglich dieser Rangstufe vom Menschen unterscheidet, aber bezüglich der darüberliegenden Rangstufe mit dem Menschen übereinstimmt.

Wir sagen, dass Tage zueinander äquivalent sind, wenn sie auf den gleichen Wochentag fallen. Welche der folgenden Tage sind zueinander äquivalent, welche nicht?

1. Der
2. Der
3. Der
4. Der
5. Der
6. Der
7. Der
8. Der
9. Der
10. Der

Betrachte die zweielementige Menge

1. Bestimme alle Relationen auf
2. Welche dieser Relationen sind symmetrisch, reflexiv, transitiv?
3. Bei welchen Relationen handelt es sich um Äquivalenzrelationen?

Es seien und zwei nichtäquivalente Aussagen. Welche der folgenden zusammengesetzten Aussagen sind zueinander äquivalent, welche nicht?

Seien

Mengen und sei

eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

wenn

eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ist:

Welche Zahlen sind bei dieser Relation äquivalent zueinander?

Wir betrachten auf dem weißen Teil des angegebenen Labyrinths die Äquivalenzrelation, die dadurch festgelegt ist, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn man durch eine stetige Bewegung (also ohne Sprünge) von einem Punkt zum anderen Punkt gelangen kann. Zeige, dass ein Punkt außerhalb des äußeren Kreises und ein Punkt des inneren Kreises zueinander äquivalent sind.

Wir betrachten die Produktmenge

Wir fixieren wie in

Beispiel 38.15 die Sprünge

und sagen, dass zwei Punkte äquivalent sind, wenn man ausgehend von den Punkt mit einer Folge von diesen Sprüngen aus erreichen kann.

1. Zeige, dass die Punkte und zueinander äquivalent sind.
2. Zeige, dass die Punkte und nicht zueinander äquivalent sind.

Die Äquatorflöhe leben auf den vollen Metern eines Kilometer langen kreisrunden Bandes. Sie verfügen nur über einen Sprung, der sie sieben Meter nach vorne oder nach hinten bringt (und der beliebig oft wiederholt werden kann). Können sich alle Flöhe begegnen?

Wir betrachten die rationalen Zahlen

1. Welche dieser Zahlen sind unter der Gaußklammeräquivalenzrelation (siehe Beispiel 38.12) zueinander äquivalent?
2. Welche dieser Zahlen sind unter der Bruchanteiläquivalenzrelation () zueinander äquivalent?

Es sei ein Körper und

ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem die durch

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Es sei ein Körper und Wir betrachten die folgende Relation auf

Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.

Es sei eine Gruppe. Betrachte die Relation

auf  die durch

erklärt ist. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.

Es sei eine Menge und eine Familie von Äquivalenzrelationen auf Zeige, dass durch den Durchschnitt wieder eine Äquivalenzrelation auf definiert ist. Gilt dies auch für

Zeige, dass die folgenden Äquivalenzrelationen auf der Menge der natürlichen Zahlen übereinstimmen.

1. Die Einerziffer in der Zifferndarstellung zur Basis von ist gleich.
2. Die Differenz ist ein Vielfaches der
3. haben bei der Division durch den gleichen Rest.

Wir betrachten für je zwei Teilmengen

die symmetrische Differenz

Wir setzen

falls endlich ist. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.

Alle Springmäuse leben in und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung und den Sprung Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen

Welche Springmäuse können sich begegnen?

Es seien

Mengen und sei eine Äquivalenzrelation auf und sei eine Äquivalenzrelation auf Betrachte die Relation auf der Produktmenge

die durch
definiert ist. Zeige, dass  eine Äquivalenzrelation ist.

Zeige ferner, dass auf die durch

definierte Relation keine Äquivalenzrelation ist.

Seien

Mengen und sei

eine Abbildung. Es sei eine Äquivalenzrelation auf Zeige, dass durch falls gilt, eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.

Wir betrachten auf dem weißen Teil des angegebenen Labyrinths die Äquivalenzrelation, die dadurch festgelegt ist, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn man durch eine stetige Bewegung (also ohne Sprünge) von einem Punkt zum anderen Punkt gelangen kann. Bestimme, welche der markierten Punkte zueinander äquivalent sind. Skizziere die Äquivalenzklassen des Labyrinths durch verschiedene Farben.

Es sei die Menge der Menschen und die Verwandtschaftsrelation darauf, die wir großzügig als transitiv interpretieren. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es?

In der Klasse herrscht ein rigides Cliquensystem, jeder Schüler und jede Schülerin gehört genau einer Clique an. Es gibt die (Heinz Ngolo, Mustafa Müller, Veronika Zaitsev, Bernd Buxtehude, Paola Rodrigues und Peter Dembele), die (Lucy Sonnenschein, Fred Feuerstein, Natascha Schleckmaul, Frodo Gletscherzunge) die (Gabi Hochster, Primo von Hinten), das (Anna-Lena Müller, Annegret Maier, Ann-Kathrin Schmitt, Anabelle Belami, Antoine de la Playa, Arndt MacDermott), die (Yogi Nanging, Manfred Trutzenburg, Roberta Falstaff, Dörte Waterkant), die (Carmen Cauchy, Conchita Cauchy), sowie fünf weitere Einzelpersonen, die für sich jeweils eine Clique bilden. Die Zugehörigkeit zur gleichen Clique definiert eine Äquivalenzrelation in der Klasse

1. Bestimme
2. Bestimme
3. Bestimme
4. Bestimme
5. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es in der Klasse?
6. Wie viele Elemente besitzt die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation?
7. Um das Klima in der Klasse zu verbessern, ruft Frau Maier-Sengupta ein Treffen zusammen, zu dem jede Clique einen Repräsentanten schickt. Wie viele Möglichkeiten für ein solches Treffen gibt es? Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die fünf Einzelpersonen zusammen eine neue Clique bilden und Antoine de la Playa das Anarcho-Syndikat verlässt und sich den Eisfreunden Sonne anschließt?

Es finden ein Gipfeltreffen von Staaten statt, wobei jeder Staat entweder den Präsidenten(-in) oder den Vizepräsidenten hinschickt. Das Gastgeberland ist jedenfalls mit dem Präsidenten vertreten. Wie viele Möglichkeiten für das Gipfeltreffen (also Kombinationsmöglichkeiten an Repräsentanten) gibt es?

Es sei ein Körper und ein Vektorraum. Zeige, dass die Relation auf die durch

eine Äquivalenzrelation ist. Was sind die Äquivalenzklassen?

Es sei ein Körper und

1. Wir betrachten auf dem die Relation die durch gegeben ist, falls es eine lineare Abbildung mit gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?
2. Wir betrachten auf dem die Relation die durch gegeben ist, falls es eine bijektive lineare Abbildung mit gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?

Es sei ein Körper und Wir betrachten auf dem die Äquivalenzrelation

die durch  gegeben ist, falls es eine bijektive

lineare Abbildung

mit

gibt. Bestimme die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation.

Es sei

ein Vektorraum und Betrachte auf der Produktmenge

die folgende

Relation.

Die beiden Vektorentupel stehen also in Relation zueinander, wenn sie den gleichen Untervektorraum erzeugen. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Man gebe eine Bijektion zwischen der zugehörigen Quotientenmenge und der Menge der Untervektorräume von die durch Vektoren erzeugt werden können.

Es sei

ein Untervektorraum und die zugehörige Äquivalenzrelation im Sinne von Aufgabe 38.15.

1. Zeige, dass die affinen Unterräume der Form die Äquivalenzklassen sind.
2. Es sei ein weiterer Untervektorraum mit und derart, dass man jeden Vektor in der Form mit und schreiben kann. Zeige, dass ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation ist.

Es sei ein Faden. Man versuche, sich die folgenden Äquivalenzrelationen auf und die zugehörige Identifizierungsabbildungen vorzustellen (möglichst geometrisch).

1. Die beiden Endpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
2. Es seien zwei Punkte fixiert. Diese beiden Punkte seien zueinander äquivalent, ansonsten seien die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
3. Es seien Punkte fixiert. Diese Punkte seien untereinander äquivalent, ansonsten seien die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
4. Auf dem Faden seien abwechselnd rote Punkte und blaue Punkte markiert. Die roten Punkte sollen untereinander äquivalent sein und die blauen Punkte sollen untereinander äquivalent sein, ansonsten seien die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
5. Es sei der Mittelpunkt des Fadens. Zwei Punkte seien zueinander äquivalent, wenn sie zu den gleichen (gestreckter) Abstand haben.
6. Der Faden wird in (oder $3,4,5,\ldots$) gleichlange Teile unterteilt, die Länge eines Teiles sei Zwei Punkte sind zueinander äquivalent, wenn ihr Abstand ein Vielfaches von ist.

Es sei ein Blatt Papier (oder ein Taschentuch). Man versuche, sich die folgenden Äquivalenzrelationen auf und die zugehörige Identifizierungsabbildungen vorzustellen (möglichst geometrisch).

1. Die vier Eckpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
2. Alle Randpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
3. Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
4. Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand und jeder Punkt des oberen Randes ist äquivalent zu seinem vertikal gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
5. Jeder Punkt des Randes ist äquivalent zu seinem punktsymmetrisch (bezüglich des Mittelpunktes des Blattes) gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
6. Es sei ein Kreis (d.h. eine Kreislinie) auf dem Blatt. Alle Kreispunkte seien untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
7. Es gebe zwei Punkte die untereinander äquivalent seien, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
8. Es sei die horizontale Halbierungsgerade des Blattes. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie achsensymmetrisch zu sind.

Es sei ein angeordneter Körper und

die Betragsabbildung. Zeige, dass man diese Abbildung als Quotientenabbildung zur Äquivalenzrelation

auf  auffassen kann, für die 

bei

gilt.

Es sei

eine surjektive Abbildung mit der zugehörigen Äquivalenzrelation

auf  im Sinne von 

Lemma 38.10. Es sei die Quotientenmenge zu mit der kanonischen Projektion

Zeige, dass es eine bijektive Abbildung

mit

gibt.

Es sei

eine surjektive lineare Abbildung mit dem Kern

Es sei die Äquivalenzrelation auf zu diesem Untervektorraum im Sinne von Aufgabe 38.15 und sei

die zugehörige Quotientenabbildung. Zeige, dass es nach Satz 39.13 eine Abbildung

mit

gibt. Zeige, dass bijektiv ist.

Beschreibe typische Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation

auf  die durch die Additionsabbildung

im Sinne von Lemma 38.10 gegeben ist.

Beschreibe typische Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation

auf  die durch die Multiplikationsabbildung

im Sinne von Lemma 38.10 gegeben ist. Wie sieht die Äquivalenzklasse zu aus? Markiere in mit unterschiedlichen Farben unterschiedliche Äquivalenzklassen. Gibt es Äquivalenzklassen, die nur aus einem Element bestehen? Gibt es Äquivalenzklassen, die aus unendlich vielen Elementen bestehen? Welche Äquivalenzklassen bestehen aus zwei Elementen?

Die Schüler und Schülerinnen der Klasse 3b werden für den Schwimmunterricht in die vier Leistungsklassen eingeteilt. Wenn der Schwimmunterricht im Freibad stattfindet, so schwimmen die Leistungsklassen

im großen Becken und die Leistungsklassen

im kleinen Becken. Wenn der Schwimmunterricht im Hallenbad stattfindet, so schwimmt die Leistungsklasse auf den Bahnen

die Leistungsklassen

auf den Bahnen bis und die Leistungsklasse macht Trockenübungen. Erläutere diese Situation mit Hilfe von Satz 39.13.

Wir betrachten auf die Relation die durch

festgelegt ist, falls eine Potenz von und eine Potenz von teilt.

1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
2. Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
3. Es sei die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge Zeige, dass es eine natürliche Abbildung gibt, die zu einer injektiven Abbildung führt. Ist surjektiv?
4. Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?

Es seien und Äquivalenzrelationen auf der Menge Man sagt, dass eine Verfeinerung von ist, wenn aus stets folgt.

Wir betrachten auf der Menge aller höheren Säugetiere die Äquivalenzrelationen, die durch gegeben sind. Welche Äquivalenzrelation ist eine Verfeinerung von welcher Äquivalenzrelation? Man gebe für je zwei dieser Äquivalenzrelationen Tiere an, die bezüglich der einen Relation äquivalent sind, aber nicht bezüglich der anderen. Wie viele Äquivalenzklassen besitzt die Äquivalenzrelation zur Ordnung?

Es sei eine Menge und seien und Äquivalenzrelationen auf mit den zugehörigen kanonischen Abbildungen

und

Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ist eine Verfeinerung von
2. Für die Äquivalenzklassen zu jedem Element gilt
3. Es ist (als Teilmengen von)
4. Es gibt eine Abbildung mit

Es sei eine Produktmenge. Zeige, dass die Gleichheit in der ersten Komponente eine Äquivalenzrelation

auf  ist. Zeige, dass man jede 

Äquivalenzklasse mit und die Quotientenmenge

mit  identifizieren kann.

Es seien und Mengen. Wir betrachten auf der Abbildungsmenge diejenige Relation, bei der die Abbildungen

in Relation stehen, wenn es eine bijektive Abbildung

mit

gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

Es seien und Mengen, wobei endlich sei. Wir betrachten die Abbildung

Einer Abbildung

wird also die Abbildung zugeordnet, die jedem Wert die Anzahl seiner Urbilder zuordnet. Finde möglichst viele Interpretationen für diese Situation.

Es sei eine Schulklasse und

die Menge der Schulnoten. Das Ergebnis einer Klausur ist eine Abbildung

wobei jedem Schüler

seine in der Klausur erzielte Note zugeordnet wird. Die zugehörige Notenverteilung ist die Abbildung, die jeder Note

zuordnet, wie oft diese Note in der Klausur vergeben wurde. Die in Aufgabe 39.23 besprochene Abbildung

ordnet also dem Klausurergebnis die Notenverteilung zu. Es sei nun

die Abbildung, die jedem Klausurergebnis die Durchschnittsnote zuordnet.

1. Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einem Klausurergebnis
2. Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einer Notenverteilung
3. Zeige, dass man die Durchschnittsnote zum Klausurergebnis allein aus der zugehörigen Notenverteilung berechnen kann.
4. Zeige, dass es eine Abbildung mit gibt.
5. Aus welchen Notenverteilungen ist das Klausurergebnis rekonstruierbar?
6. Was ist eine sinnvolle Antwort auf die Frage

Es seien und Mengen, wobei endlich sei. Es sei die Äquivalenzrelation auf aus Aufgabe 39.22 und sei

die in Aufgabe 39.23 besprochene Abbildung.

1. Es sei eine bijektive Abbildung und eine Abbildung. Zeige
2. Es seien Zeige genau dann, wenn ist.
3. Zeige, dass es eine injektive Abbildung mit gibt, wobei die kanonische Projektion in die Quotientenmenge bezeichnet.

Es sei eine Relation zwischen den Mengen

Wir definieren auf die Relation durch wenn für alle die Beziehung genau dann gilt, wenn gilt. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation auf ist.

Betrachte die Schachfiguren Turm, Läufer, Pferd und Esel zusammen mit ihren erlaubten Zügen auf einem Schachbrett. Ein Esel darf dabei pro Zug einen Doppelschritt nach vorne, nach hinten, nach rechts oder nach links machen. Jede dieser Figuren definiert eine Äquivalenzrelation auf den Feldern, indem zwei Felder als äquivalent angesehen werden, wenn das eine Feld von dem anderen Feld aus mit dieser Figur in endlich vielen Zügen erreichbar ist. Beschreibe für jede dieser Schachfiguren die zugehörige Äquivalenzrelation und ihre Äquivalenzklassen. Wie sieht es auf einem Schachbrett aus?

Im Portemonnaie befinden sich vier Euro-Münzen, sechs Euro-Münzen, drei Cent-Münzen, zwei Cent-Münzen, eine Cent-Münze, keine Cent-Münze, fünf Cent-Münzen und acht Cent-Münzen. Wir betrachten auf dieser Münzmenge diejenige Äquivalenzrelation, bei der zwei Münzen als äquivalent gelten, wenn sie den gleichen Münzwert haben. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Wie viele Elemente besitzen die einzigen Äquivalenzklassen? Wie viele Elemente besitzt die Quotientenmenge?

Es seien

Äquivalenzrelationen auf der Menge mit den zugehörigen kanonischen Abbildungen

und

Es sei der Durchschnitt der beiden Äquivalenzrelationen mit der zugehörigen kanonischen Projektion

Zeige, dass es eine injektive Abbildung

mit

gibt.

Wir betrachten auf der Menge der Geraden in der Ebene die Äquivalenzrelation, die durch die Parallelität von Geraden gegeben ist. Zeige, dass die folgende Menge ein Repräsentantensystem ist: die Achse und diejenigen Geraden, die durch den Nullpunkt und einen Punkt der Form mit verlaufen.

Oma Müller und Opa Müller haben heute Geburtstag. Sie wird Jahre alt und er wird Jahre alt. Wie alt waren sie, als man beide Altersangaben zwar mit natürlichen, aber nicht mit positiven natürlichen Zahlen ausdrücken konnte.

Familie und notieren ihre Einnahmen und Ausgaben pro Monat in der Form wobei der erste Eintrag für die Einnahmen und der zweite Eintrag für die Ausgaben steht. Familie notiert für die erste Jahreshälfte die Paare

Familie notiert für die erste Jahreshälfte die Paare

1. Notiere für jede Familie und jeden Monat den Gewinn bzw. das Defizit in Paarschreibweise mit Hilfe der Standardrepräsentanten.
2. Berechne für jede Familie die Gesamteinnahmen und die Gesamtausgaben im angegebenen Zeitraum.
3. Bestimme auf zwei verschiedene Arten für jede Familie den Gesamtgewinn bzw. das Gesamtdefizit (Standardrepräsentant).
4. Vergleiche für jeden Monat den Haushalt der beiden Familien mit Hilfe der Festlegung aus Lemma 40.4.

Ihre Fußballmannschaft hat das vorletzte Spiel mit und das letzte Spiel mit gewonnen. Welchen Sieg finden Sie überzeugender?

Es seien

Mengen mit Verknüpfungen und es sei

eine mit den Verknüpfungen verträgliche surjektive Abbildung, es gelte also

Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn kommutativ ist, so ist auch kommutativ.
2. Wenn assoziativ ist, so ist auch assoziativ.
3. Wenn ein neutrales Element besitzt, so besitzt auch ein neutrales Element.

Zeige, dass man durch die Festlegung

auf (dem Äquivalenzklassenmodell von)

eine 

Verknüpfung erhält, die kommutativ und assoziativ ist und die als neutrales Element besitzt.

Zeige, dass man durch die Festlegung

falls

auf (dem Äquivalenzklassenmodell von)

eine

totale Ordnung erhält.

Zeige, dass die Abbildung

injektiv ist und dass sie mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich ist.

Zeige, dass die auf durch

festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Zeige, dass bei der auf durch

festgelegten Äquivalenzrelation jedes Paar einen Vertreter besitzt, bei dem

teilerfremd sind.

Zeige, dass man durch die Festlegung

auf (dem Äquivalenzklassenmodell von)

eine wohldefinierte Verknüpfung erhält, die kommutativ und assoziativ ist und die  als neutrales Element besitzt. Zeige ferner, dass bei

die Klassen

und bei

die Klassen

invers zueinander sind.

Zeige, dass im Äquivalenzklassenmodell für die Addition die Beziehung

erfüllt.

Es sei mit der durch

festgelegten Äquivalenzrelation versehen. Zeige, dass es zu eine Zahl und ganze Zahlen mit gibt.

Zeige, dass man durch die Festlegung

falls

auf (dem Äquivalenzklassenmodell von)

eine wohldefinierte  

totale Ordnung erhält.

Zeige, dass die Abbildung

injektiv und mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich ist.

Es sei eine Menge mit einer kommutativen, assoziativen Verknüpfung und einem neutralen Element Ferner gelte die Kürzungsregel, dass aus

stets

folgt.

1. Zeige, dass auf durch die Festlegung falls gilt, eine Äquivalenzrelation definiert wird.
2. Zeige, dass man auf der Quotientenmenge eine Gruppenstruktur definieren kann, die die Verknüpfung auf fortsetzt.

Wir betrachten auf die durch

festgelegte Relation. Zeige, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, deren Äquivalenzklassen die durch den Nullpunkt ohne den Nullpunkt sind.

Wir betrachten auf die durch

festgelegte Relation. Zeige, dass dies keine Äquivalenzrelation ist

Zeige, dass die Äquivalenzrelation auf die durch

falls

ist, festgelegt ist, durch die Sprünge erzeugt wird.

Es sei die Äquivalenzrelation auf die durch

falls

ist, festgelegt ist, und es sei die zugehörige Quotientenmenge, also das Äquivalenzklassenmodell von Es sei das  (in der 18. Vorlesung eingeführte) für die ganzen Zahlen. Wir betrachten die Abbildung

die durch definiert ist, und die zusammengesetzte Abbildung

1. Zeige, dass eine bijektive Abbildung ist.
2. Zeige, dass mit der Addition verträglich ist.
3. Zeige, dass mit der Multiplikation verträglich ist.
4. Zeige, dass mit der Ordnung verträglich ist.

Es sei eine endliche Menge mit einer kommutativen, assoziativen Verknüpfung mit einem neutralen Element Ferner gelte in die Aus folgt Zeige, dass eine Gruppe ist.

Zeige, dass im Äquivalenzklassenmodell für die Ordnung die Beziehung

genau dann, wenn

erfüllt.

Die Fußballspiele zwischen dem TSV Wildberg und VfB Effringen endeten in den letzten Jahren wie folgt:

1. Erstelle die Äquivalenzklassen (auf der Menge der angegebenen Ergebnisse) gemäß der Äquivalenzrelation auf die durch definiert ist.
2. Erstelle die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf die auf durch definiert ist und für die und eigene Äquivalenzklassen sind.
3. Erstelle die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf die auf durch definiert ist und für die die anderen Elemente nur zu sich selbst äquivalent sind.