Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Forum

Information

• Information zum Inhalt
• Ort und Zeit
• Information zu Übungen
• Zu Wikiversity
• Information zur Klausur

Vorlesungen

• 31 - Riemann-Integrierbarkeit

• 32 - Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

• 33 - Integrationsregeln

• 34 - Integration rationaler Funktionen

• 35 - Integration spezieller Funktionen

• 36 - Uneigentliche Integrale

• 37 - Vergleichskriterien

• 38 - Lineare Differentialgleichungen

• 39 - Getrennte Variablen

• 40 - Differenzierbare Kurven

• 41 - Rektifizierbare Kurven

• 42 - Richtungsableitung

• 43 - Partielle Ableitungen

• 44 - Totale Differenzierbarkeit I

• 45 - Totale Differenzierbarkeit II

• 46 - Extrema

• 47 - Symmetrische Bilinearformen

• 48 - Taylor-Formel

• 49 - Banachscher Fixpunktsatz

• 50 - Diffeomorphismen

• 51 - Implizite Abbildungen

• 52 - Vektorfelder

• 53 - Picard-Lindelöf

• 54 - Gradientenfelder

• 55 - Trigonalisierbarkeit

• 56 - Lineare Differentialgleichungssysteme

• 57 -

• 58 -

Arbeitsblätter

• Arbeitsblatt 31
• Arbeitsblatt 32
• Arbeitsblatt 33
• Arbeitsblatt 34
• Arbeitsblatt 35
• Arbeitsblatt 36
• Arbeitsblatt 37
• Arbeitsblatt 38
• Arbeitsblatt 39
• Arbeitsblatt 40
• Arbeitsblatt 41
• Arbeitsblatt 42
• Arbeitsblatt 43
• Arbeitsblatt 44
• Arbeitsblatt 45
• Arbeitsblatt 46
• Arbeitsblatt 47
• Arbeitsblatt 48
• Arbeitsblatt 49
• Arbeitsblatt 50
• Arbeitsblatt 51
• Arbeitsblatt 52
• Arbeitsblatt 53
• Arbeitsblatt 54
• Arbeitsblatt 55
• Arbeitsblatt 56
• Arbeitsblatt 57
• Arbeitsblatt 58

Weitere Materialien

• Definitionsliste
• Definitionsabfrage
• Wichtigste Aussagen
• Aussagen (Abfrage)
• Gesamtskript
• Stammfunktionen
• Aufgaben hochladen
• Testklausur 1
• Test 1 - Lösungen
• Testklausur 2
• Test 2 - Lösungen
• Klausur
• Klausur - Lösungen
• Nachklausur
• Nachklausur - Lösungen
• Reflexionsaufgaben
• Zusatzaufgaben

Forum

Literatur

Links

Neuer Beitrag

Mathe-Gruppe sucht Anhang

3er-Mathegruppe sucht noch Unterstützung bei der Aufgabenbearbeitung. Falls ihr also noch keine ausreichend große Gruppe haben solltet, meldet euch bei ilammers@uos.de und elwalthe@uos.de.

Liebe Grüße, Elisa, Martin und Ina.

Vorlesungsergänzende Literatur gesucht

Es wäre hilfreich wenn unter dem Reiter "Literatur" einige Literaturverweise stehen würden. Vielleicht hilft das ja dem ein oder anderen ein tiefergehendes Verständnis aufzubauen.

Vielen Dank Patrick

Beispiel 33.3

Ich kann nicht den folgenden Schritt verstehen (vorallem woher n- 1 kommt):

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{x}f(t)\,dtCheckmeplease&=\int _{0}^{x}f(t)\,dtCheckmeplease-\int _{0}^{x}f(t)\,dtCheckmeplease\\&=\int _{0}^{x}f(t)\,dtCheckmeplease-{\frac {\sin tCheckmeplease}{n-1}}\cos t|_{0}^{x}-{\frac {1}{n-1}}(\int _{0}^{x}f(t)\,dtCheckmeplease).\end{aligned}}$

Eduardo

Partielle Integration. Die Stammfunktion von ${}\int _{0}^{x}f(t)\,dtCheckmeplease$ ist ${}{\frac {\sin tCheckmeplease}{n-1}}$.

--Bocardodarapti 08:29, 19. Apr. 2010 (CEST)

Mathe Gruppe sucht Anhang

Hi, hier ist noch eine weitere Mathe Gruppe die Anhang sucht, da unsere Gruppe sich von 6 auf 3 reduziert hat. Bei Interesse bitte melden an pharpel@uos.de, dkruempe@uos.de oder estolz@uos.de

Viele Grüße Dominik

Anhang sucht Mathe-Gruppe

Auch wir - eine 2er-Aufgabengruppe - sind immer noch auf der Suche nach Macht und Reichtum, würden uns aber auch über Gleichgesinnte freuen, die bereit wären, mit uns zu fusionieren. Auch Einzelgänger sind herzlich willkommen. Bei Interesse eine Mail an ablum@uos.de / sfenzlaf@uos.de

Lg, Sandra und Alex

Aufgabe 36.11

Heisst es

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x+1){\sqrt {(}}x)}}dx$

oder

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x+1){\sqrt {(}}x)}}dt$

Im letzten Fall, ist das das Integral von einer konstanten Funktion von t?

dx, siehe auch Hinweis auf Kursseite--Bocardodarapti 17:46, 3. Mai 2010 (CEST)

Rekursionsformel

Hi ich habe eine kurze Frage bezüglich der Rekursionsformel, warum heißt es da urplötzlich (u+b/2) statt (x+b/2) und im zweiten teil 1/(u^2+bu+c)^n, wurde zuvor wieder irgendwo substituiert oder ist das nur ein Fehler und müsste x heißen? Danke!

LG, Robert

Es sei ${}x^{2}+bx+c$ (mit $b,c\in \mathbb {R}$) ein quadratisches Polynom ohne reelle Nullstelle (d.h. dass ${}\triangle ={\frac {b^{2}-4c}{4}}<0$ ist).

Dann ist

$\int {\frac {1}{x^{2}+bx+c}}dx={\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}(u+{\frac {b}{2}})$

und für ${}n\geq 1$ gilt die Rekursionsformel

$\int {\frac {1}{(x^{2}+bx+c)^{n+1}}}dx={\frac {1}{n(4c-b^{2})}}\left({\frac {2u+b}{(u^{2}+bu+c)^{n}}}+(4n-2)\int {\frac {1}{(x^{2}+bx+c)^{n}}}dx\right)$

Bei Integrale schreibt man die Stammfunktion manchmal mit einer neuen Variablen, um den Unterschied zur Integrationsvariablen deutlicher zu machen.--Bocardodarapti 17:31, 14. Mai 2010 (CEST)

Fehler in der Lösung zur Testklausur

Hallo, ich bin grad dabei die Lösungen der Testklausur durchzugehen und dabei sind mir zwei Dinge (Fehler?) aufgefallen:

Wenn ich die Lösung von Aufgabe 5 ableite, erhalten sowohl ich als auch mein Taschenrechner -1/cos t und nicht wie gefordert +1/cos t. Hier liegt also scheinbar ein Vorzeichenfehler vor.

ist korrigiert

Bei der Lösung von 9a heißt es "für ALLE t>0". Aber wählt man t<1 (zB t=1/2) und x'≥x≥1 (zB x'=2 und x=1), so erhält man t^x' = 1/4 < 1/2 = t^x. (Oder hab ich da jetzt einen Denkfehler?) Somit kann man dann doch auch die anschließende Ungleichung der Integrale nicht ohne weiteres formulieren, oder? Diese würde dann ja nur mit den Intervallgrenzen [1,unendlich] gelten und von 0 bis 1 würde das Gegenteil ("<") der Fall sein.

wird noch korrigiert. Jetzt wird erst die Klausur korrigiert, hätten wir zuerst machen sollen. Danke. Aufgabenstellung und Lösung abgeändert. Die ursprüngliche Aufgabenstellung ist ohne die Ableitungsregel für Integrale nicht einfach, da hab ich mich vertan, sorry.--Bocardodarapti 17:28, 14. Mai 2010 (CEST)

LG Sebastian

Aufgabe 42.14

In der Aufgabe steht:

$g:D\setminus \{Q\}\rightarrow F$

Ist es

$g:E\setminus \{Q\}\rightarrow F$

gemeint?

EA

richtig, ist geändert.--Bocardodarapti 11:58, 25. Mai 2010 (CEST)

Skript

Hallo meine Lieben,

meine Frage bezieht sich auf den vollständigen Skript mit den Aufgaben - kann man diesen wieder irgendwo herunterladen?

Xosrau

Def. 31.13

In der Definition 31.13 werden Riemman-integriertbare Funktionen definiert. Dieser Begriff wird wiederum in der Definition benutzt. Wie ist das Möglich?

E.A.

In Definition 31.13 wird Riemannintegrierbarkeit fuer beliebige Intervalle definiert indem es auf den (bereits definierten) Fall zurueckgefuehrt wird, dass der Definitonsbereich ein kompaktes Intervall ist.

--Axel 11:13, 3. Sep. 2010 (CEST)

1. Testklausur, Aufgabe 11

Moin, in der letzten Zeile der Testklausur ist der Definitionsbereich angegeben. Hab ich da irgendwo einen Denkfehler, oder muss das nicht auch rechtsseitig offen sein, da wenn (-3c)^(1:2) auch noch möglich wäre, stände unter der Wurzel im Nenner eine 0, was ja net geht.

Gruß, Christian

richtig, war falsch hingeschrieben und ist geändert.--Bocardodarapti 15:58, 11. Sep. 2010 (CEST)

Satz der Umkehrabbildung

Nabend, ich würde mich freuen, wenn jemand in normalen Worten antworten könnte, was der Satz der Umkehrabbildung aussagt. Zudem wäre es gut zu wissen, was man mit diesem Satz (rechnerisch oder anderweitig) anstellen kann. Da er ja eine gesamte Vorlesung behandelt wurde, denke ich mal er könnte wichtig sein und von daher wäre ich um eine "normale" Antwort dankbar um vielleicht damit dann das Skript verstehen zu können. Nachfragen bei Komilitonen zufolge bin ich glaube ich nicht der einzige, der um eine Antwort dankbar wäre :)

Danke!

In normalen Worten kann ich es nicht erklären; es mag aber hilfreich sein, sich erstmal den eindimensionalen Fall klar zu machen:

Wenn

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbar ist und ${}f'(P)\neq 0$ in einem bestimmten Punkt ${}P$ ist, dann ist die Abbildung „lokal“ bijektiv. D.h. es gibt ein Intervall ${}P\in J$ derart, dass die Einschränkung

$f\colon J\longrightarrow f(J)$

bijektiv ist. Diese Version wurde auch im Wesentlichen schon in Satz 28.5 bewiesen. Über die Größe von ${}J$ gibt es keine allgemeine Aussage. Der Satz sichert die Existenz einer Umkehrabbildung; ob man diese rechnerisch bestimmen kann ist eine andere Frage.--Bocardodarapti 22:15, 15. Sep. 2010 (CEST)

Taylor-Formel- Vorbereitung

In der Vorlesung 47 wird die Notation eingeführt:

$r=(r_{1},...,r_{n})\in N^{n}$

$D^{r}=D_{1}^{r_{1}}\bullet ...\bullet D_{n}^{r_{n}}$

Ich verstehe leider nicht, was hier mit D^r gemeint ist!

Es ist eben die rechte Seite gemeint. Man muss also ${}r_{n}$-mal die ${}n$-te partielle Ableitung nehmen, dann ${}r_{n-1}$-mal die ${}n-1$-te partielle Ableitung u.s.w. Also bspw.

${}D^{(2,1,3)}(x^{4}y^{7}z^{5})={\frac {\partial }{\partial x}}^{2}\circ {\frac {\partial }{\partial y}}^{1}\circ {\frac {\partial }{\partial z}}^{3}(x^{4}y^{7}z^{5})={\frac {\partial }{\partial x}}^{2}\circ {\frac {\partial }{\partial y}}^{1}(60x^{4}y^{7}z^{2})={\frac {\partial }{\partial x}}^{2}(420x^{4}y^{6}z^{2})=12\times 420x^{2}y^{6}z^{2}\,.$

--Bocardodarapti 16:52, 23. Sep. 2010 (CEST)

Klausur

Eine kurze Frage zur Klausur. Bekommen wir wie bei der ersten Testklausur wieder eine Formelsammlung mit den wichtigsten (kompliziertesten)Stammfunktionen und solchen Dingen?

Nein; es ist aber auch nicht nötig. Eine Stammfunktion wird auf dem Aufgabenzettel mit angegeben.--Bocardodarapti 16:06, 24. Sep. 2010 (CEST)

Kurze Frage zu Lemma 49.3

Hallo,

Mir ist gerade nicht klar, wie die Norm einer linearen Abbildung definiert ist?! (Im Lemma wird vorausgesetzt, dass die Norm des Differentials für alle x in G kleiner als eine Zahl b ist) Ich danke für erklärende Worte,

Grüße, Alexander Müller 14:11, 25. Sep. 2010 (CEST)

Siehe Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Norm/Definition.--Bocardodarapti 14:36, 25. Sep. 2010 (CEST)

48er Aufwärmaufgaben

Habe eine Frage zu den Lösungen von Aufgaben 48.2-48.6 . Habe diese gerechnet und mir kommt es komisch vor, dass so viele ähnliche Ergebnisse vorkommen. Würde mich über Bestätigung der Ergebnisse oder Hinweise auf Fehler freuen.

48.2 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, D1=2 D2=-4 damit Sattelpunkt, weil indefinit

48.3 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, D1=2, D2=0 Sattelpunkt oder unbekannt weil Unterdeterminante = 0 ist???

48.4 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, D1=4, D2=-1 Sattelpunkt, weil indefinit

48.5 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, D1=4, D2=8 Minimum, weil positiv definit

48.6 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, ... Die Hesse-Matrix mit den Eingesetzten Punkten ergibt 4 Nullen (also in allen Einträgen) was ist das dann? Sattelpunkt oder unbekannt oder was?

Generell zudem die Frage was passiert wenn eine Unterdeterminante = 0 ist?

Danke!

Bei 48.3 würde ich das Eigenwertkriterium anwenden, dass besagt wenn die Eigenwerte der Hessematrix alle größer 0 sind, ist es positiv definit und wenn alle negativ sind ist es negativ definit. Dann bekommst du die Lösung, das es größer gleich null ist, das heißt weder positv defenit noch negativ definit. Bei 48.6 sind es ja zwei kritische Punkte, wenn ich mich nicht irre und zwar (0,0) und (6,18). Bei (0,0) habe ich das Eigenwertkriterium angewendet und damit kommt dann indefinit raus. Bei (6,18) kann man das Hauptminorenkriterium anwenden wo dann indefinit auch raus kommt.

Aufgabe 50.9

Ich kann nicht richtig die Aufgabe verstehen! Man muss zeigen, dass das Bild von einer offenen Menge unter einer stetigen Funktion offen ist. Ich habe in Wikipedia nachgeschaut, und die Definition von Stetigkeit ist genau diese Eigenschaft. Was habe ich falsch verstanden?

bei der Stetigkeit ist das Ur(!)bild (nicht das Bild) einer offenen Menge offen.--Bocardodarapti 23:13, 27. Sep. 2010 (CEST)

Klausureinsicht

Hallo, ist schon ein Termin für die Klausureinsicht bekannt? Ja: 5. Oktober 2010 10 Uhr. 69/125. Es wird gebeten vorher die Lösungen schon anzuschauen.

Nachschreibklausur, 18.12.10

Kann man sich schon bei OPIuM für die Klausur anmelden? Wenn ja, wie finde ich sie?

das müsste bald möglich sein, wenn es nicht jetzt schon möglich ist.--Bocardodarapti 14:25, 18. Nov. 2010 (CET)

34.5

ich versuche sehr lange schon die komplexe Partialbruchzerlegung hinzubekommen. bei geraden exponenten weiß ich bescheid, aber wie mache ich das bei x³-1? zunächst kann ich das ja aufteilen in (x-1) und (x²+x+1). Aber von dem zweiten Teil bekomm ich die komplexen Nullstellen nicht raus. Ich glaube ich stehe grad ziemlich auf dem Schlauch. Bitte um Hilfe. Wie mach ich da weiter? danke!

man löst diese quadratische Gleichung ${}x^{2}+x+1=0$ durch quadratisches Ergänzen. Allerdings ist dann der Radiant eine komplexe Zahl. Das Wurzelziehen daraus haben wir aber schon in 9.12 durchgenommen.--Bocardodarapti 12:57, 14. Dez. 2010 (CET)

Danke, aber wär super, das Ergebnis kontrolliert zu bekommen, denn dann glaube ich es verstanden zu haben. Bei der Partialbruchzerlegung habe ich für

A=(1/3) B=(1/(-1,5-(1,5(sqrt 3)i))) und C=(1/(-1,5+(1,5(sqrt 3)i))) , also als Endlösung der Partialbruchzerlegung:

(1/(3x-3))+(1/(x-1-(2(sqrt 3)i)))+(1/(x-1+(2(sqrt 3)i)))

Danke!