Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Definitionsliste/kontrolle

Produktmenge

Produktmenge/Zwei Mengen/Definition

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Frage:

Die Produktmenge aus zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.

Antwort:

Man nennt die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der Mengen ${}L$ und ${}M$.

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Potenzmenge

Mengen/Potenzmenge/Definition

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$. Sie wird mit

${\mathfrak {P}}\,(M)$

bezeichnet.

Frage:

Die Potenzmenge zu einer Menge ${}M$.

Antwort:

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$.

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Abbildung

Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition

Seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

aus.

Frage:

Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.

Antwort:

Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird.

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Injektiv

Abbildung/Injektiv/Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.

Frage:

Eine injektive Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M.$

Antwort:

Die Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M$

ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,y\in L$ auch ${}f(x)$ und ${}f(y)$ verschieden sind.

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Surjektiv

Abbildung/Surjektiv/Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

${}F(x)=y\,$

gibt.

Frage:

Eine surjektive Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M.$

Antwort:

Die Abbildung ${}f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit ${}f(x)=y$ gibt.

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Bijektiv

Abbildung/Bijektiv/Definition

Es seien ${}M$ und ${}L$ Mengen und es sei

$F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Frage:

Eine bijektive Abbildung

$f\colon M\longrightarrow N.$

Antwort:

Die Abbildung ${}f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

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Umkehrabbildung

Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

$G\colon M\longrightarrow L,$

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu ${}F$.

Frage:

Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.

Antwort:

Die Abbildung

$G\colon M\longrightarrow L,$

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu ${}F$.

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Hintereinanderschaltung

Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition

Es seien ${}L,\,M$ und ${}N$ Mengen und

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

und

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

$G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

Frage:

Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

$F\colon L\longrightarrow M$

und

$G\colon M\longrightarrow N.$

Antwort:

Die Abbildung

$G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

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Bild unter einer Abbildung

Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge ${}S\subseteq L$ heißt ${}F(S)={\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in S{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}$ das Bild von ${}S$ unter ${}F$. Für ${}S=L$ heißt

${}F(L)=\operatorname {bild} F\,$

das Bild der Abbildung.

Frage:

Das Bild einer Abbildung

$F\colon L\longrightarrow M.$

Antwort:

Das Bild von ${}F$ ist die Menge

${\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.$

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Urbild unter einer Abbildung

Abbildung/Urbild einer Abbildung/Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt

${}F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}\,$

das Urbild von ${}T$ unter ${}F$. Für eine einelementige Teilmenge ${}T=\{y\}$ heißt

$F^{-1}(\{y\})$

das Urbild von ${}y$.

Frage:

Das Urbild zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ unter einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.

Antwort:

Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt

$F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}$

das Urbild von ${}T$ unter ${}F$.

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Verknüpfung

Verknüpfung/Definition

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$

Frage:

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$.

Antwort:

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

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Kommutative Verknüpfung

Verknüpfung/Kommutativ/Definition

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

auf einer Menge ${}M$ heißt kommutativ, wenn für alle ${}x,y\in M$ die Gleichheit

${}x\circ y=y\circ x\,$

gilt.

Frage:

Die Kommutativität einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M.$

Antwort:

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

heißt kommutativ, wenn für alle ${}x,y\in M$ die Gleichheit

${}x\circ y=y\circ x\,$

gilt.

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Assoziative Verknüpfung

Verknüpfung/Assoziativ/Definition

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

auf einer Menge ${}M$ heißt assoziativ, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die Gleichheit

${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

gilt.

Frage:

Die Assoziativität einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

Antwort:

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

heißt assoziativ, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die Gleichheit

${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

gilt.

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Neutrales Element

Verknüpfung/Neutrales Element/Definition

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

gegeben. Dann heißt ein Element ${}e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${}x\in M$ die Gleichheit ${}x\circ e=x=e\circ x$ gilt.

Frage:

Ein neutrales Element ${}e\in M$ zu einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

Antwort:

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

gegeben. Dann heißt ein Element ${}e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${}x\in M$ die Gleichheit

$x\circ e=x=e\circ x$

gilt.

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Inverses Element

Verknüpfung/Inverses Element/Definition

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

und einem neutralen Element ${}e\in M$ gegeben. Dann heißt zu einem Element ${}x\in M$ ein Element ${}y\in M$ inverses Element, wenn die Gleichheit

${}x\circ y=e=y\circ x\,$

gilt.

Frage:

Ein inverses Element zu einem Element ${}x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

mit einem neutralen Element ${}e\in M$.

Antwort:

Zu ${}x\in M$ heißt ${}y\in M$ inverses Element, wenn die Gleichheit

${}x\circ y=e=y\circ x\,$

gilt.

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Gruppe

Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt

   ${}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$

2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt

   ${}g\circ e=g=e\circ g\,.$

3. Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit

   ${}h\circ g=g\circ h=e\,.$

Frage:

Eine Gruppe.

Antwort:

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt

   $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$

2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt

   $g\circ e=g=e\circ g.$

3. Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit

   $h\circ g=g\circ h=e.$

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Körper (ausführlich)

Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.

Frage:

Ein Körper.

Antwort:

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.

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Rationale Zahl

Rationale Zahlen/Brüche/Definition

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

${\frac {a}{b}},$

wobei ${}a,b\in \mathbb {Z}$ und ${}b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn ${}ad=bc$ (in ${}\mathbb {Z}$) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit ${}\mathbb {Q}$ bezeichnet.

Frage:

Eine rationale Zahl.

Antwort:

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

${\frac {a}{b}},$

wobei ${}a,b\in \mathbb {Z}$ und ${}b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn ${}ad=bc$ (in ${}\mathbb {Z}$) gilt.

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Fakultät

Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ nennt man die Zahl

${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,$

die Fakultät von ${}n$ (sprich ${}n$ Fakultät).

Frage:

Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$.

Antwort:

Unter der Fakultät von ${}n$ versteht man die Zahl

${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$

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Binomialkoeffizient

Mengen/Binomialkoeffizient/Definition

Es seien ${}k$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}k\leq n$. Dann nennt man

${}{\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

den Binomialkoeffizienten „${}n$ über ${}k$“.

Frage:

Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$.

Antwort:

Der Binomialkoeffizient ist durch

${}{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

definiert.

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Relation

Mengentheorie/Relationen/Relation/Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ Mengen. Eine Relation zwischen ${}X$ und ${}Y$ ist eine Teilmenge ${}R\subseteq X\times Y$.

Frage:

Eine Relation zwischen den Mengen ${}X$ und ${}Y$.

Antwort:

Eine Relation zwischen ${}X$ und ${}Y$ ist eine Teilmenge ${}R\subseteq X\times Y$.

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Ordnungsrelation

Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition

Eine Relation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.

Frage:

Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.

Antwort:

Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.

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Lineare Ordnung

Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition

Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen ${}x,y\in I$ die Beziehung ${}x\preccurlyeq y$ oder ${}y\preccurlyeq x$ gilt.

Frage:

Eine lineare (oder totale) Ordnung ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.

Antwort:

Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf ${}I$ heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen ${}x,y\in I$ die Beziehung ${}x\preccurlyeq y$ oder ${}y\preccurlyeq x$ gilt.

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Angeordneter Körper

Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition

Ein Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$),
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$),

erfüllt.

Frage:

Ein angeordneter Körper.

Antwort:

Ein Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „${}\geq$“ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$)
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$)

erfüllt.

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Intervalle

Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zu ${}a,b\in K$, ${}a\leq b$, nennt man

• ${}[a,b]={\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das abgeschlossene Intervall.

• ${}]a,b[={\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x<b\right\}}$

das offene Intervall.

• ${}]a,b]={\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das linksseitig offene Intervall.

• ${}[a,b[={\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x<b\right\}}$

das rechtsseitig offene Intervall.

Frage:

Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition/Begriff

Antwort:

Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition/Begriff/Inhalt

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Betrag (angeordneter Körper)

Angeordneter Körper/Betrag/Definition

In einem angeordneten Körper ${}K$ ist der Betrag eines Elementes ${}x\in K$ folgendermaßen definiert.

${}\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$

Frage:

Der Betrag eines Elementes ${}x$ in einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Der Betrag von ${}x$ ist folgendermaßen definiert.

$\vert {x}\vert ={\begin{cases}x{\text{ falls }}x\geq 0\\-x{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}$

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Archimedisch angeordnet

Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}n\geq x\,$

gibt.

Frage:

Ein archimedisch angeordneter Körper ${}K$.

Antwort:

Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

$n\geq x$

gibt.

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Gaußklammer

Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Definition

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x\in K$. Die Gaußklammer von ${}x$ ist durch

$\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$

definiert.

Frage:

Die Gaußklammer ${}\lfloor x\rfloor$ zu einem Element ${}x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Die Gaußklammer ${}\lfloor x\rfloor$ ist die größte ganze Zahl ${}n\leq x$.

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Folge

Menge/Folge/Definition

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n},$

nennt man auch eine Folge in ${}M$. Eine Folge wird häufig in der Form

${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

geschrieben.

Frage:

Eine Folge in einer Menge ${}M$.

Antwort:

Eine Folge in ${}M$ ist eine Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$

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Konvergenz einer Folge

Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${}x\in K$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

Frage:

Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$.

Antwort:

Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

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Beschränktheits-Eigenschaften

Angeordneter Körper/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}M\subseteq K$ eine Teilmenge.

1. Ein Element ${}S\in K$ heißt eine obere Schranke für ${}M$, wenn ${}x\leq S$ für alle ${}x\in M$ gilt.
2. Ein Element ${}s\in K$ heißt eine untere Schranke für ${}M$, wenn ${}x\geq s$ für alle ${}x\in M$ gilt.
3. ${}M$ heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für ${}M$ existiert.
4. ${}M$ heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für ${}M$ existiert.
5. ${}M$ heißt beschränkt, wenn ${}M$ sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
6. Ein Element ${}T\in M$ heißt das Maximum von ${}M$, wenn ${}T\geq x$ für alle ${}x\in M$ gilt.
7. Ein Element ${}t\in M$ heißt das Minimum von ${}M$, wenn ${}t\leq x$ für alle ${}x\in M$ gilt.
8. Eine obere Schranke ${}T$ von ${}M$ heißt das Supremum von ${}M$, wenn ${}T\leq S$ für alle oberen Schranken ${}S$ von ${}M$ gilt.
9. Eine untere Schranke ${}t$ von ${}M$ heißt das Infimum von ${}M$, wenn ${}t\geq s$ für alle unteren Schranken ${}s$ von ${}M$ gilt.

Frage:

Angeordneter Körper/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition/Begriff

Antwort:

Angeordneter Körper/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition/Begriff/Inhalt

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Teilfolge

Angeordneter Körper/Teilfolge/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

$i\mapsto x_{n_{i}}$

eine Teilfolge der Folge.

Frage:

Eine Teilfolge einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

$i\mapsto x_{n_{i}}$

eine Teilfolge der Folge.

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Häufungspunkt

Häufungspunkt/Angeordneter Körper/Definition

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper ${}K$. Ein Element ${}x\in K$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder ${}x_{n}$ mit ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.

Frage:

Ein Häufungspunkt einer Folge in einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Ein Element ${}x\in K$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder ${}x_{n}$ mit ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.

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Bestimmt divergent

Angeordneter Körper/Folge/Bestimmte Divergenz/Definition

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ heißt bestimmt divergent gegen ${}+\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in K$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

$x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$

gibt. Sie heißt bestimmt divergent gegen ${}-\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in K$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

$x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N$

gibt.

Frage:

Die bestimmte Divergenz gegen ${}+\infty$ einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Die Folge heißt bestimmt divergent gegen ${}+\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in K$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ gibt mit

$x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N.$

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Wachsende Folge

Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Dann heißt die Folge wachsend, wenn ${}x_{n+1}\geq x_{n}$ ist für alle ${}n\in \mathbb {N}$, und streng wachsend, wenn ${}x_{n+1}>x_{n}$ ist für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Die Folge heißt fallend, wenn ${}x_{n+1}\leq x_{n}$ ist für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und streng fallend, wenn ${}x_{n+1}<x_{n}$ ist für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Frage:

Eine wachsende Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper.

Antwort:

Die Folge heißt wachsend, wenn ${}x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

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Cauchy-Folge

Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Frage:

Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

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Vollständig angeordneter Körper

Vollständig angeordneter Körper/Definition

Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert (also in ${}K$ einen Grenzwert besitzt).

Frage:

Ein vollständig angeordneter Körper ${}K$.

Antwort:

Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert.

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Körper der reellen Zahlen

Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition

Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen. Er wird mit ${}\mathbb {R}$ bezeichnet.

Frage:

Der Körper der reellen Zahlen.

Antwort:

Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen.

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Intervallschachtelung

Angeordneter Körper/Intervallschachtelung/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

in ${}K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

gegen ${}0$ konvergiert.

Frage:

Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

in ${}K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

gegen ${}0$ konvergiert.

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Eulersche Zahl

Eulersche Zahl/Bezug auf Intervallschachtelung/Definition

Die reelle Zahl

${}e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

heißt Eulersche Zahl.

Frage:

Die Eulersche Zahl.

Antwort:

Die Eulersche Zahl ist durch

${}e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

definiert.

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Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition

Die Menge ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}0:=(0,0)$ und ${}1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

${\mathbb {C} }$

bezeichnet.

Frage:

Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).

Antwort:

Die Menge

$\mathbb {R} ^{2}$

mit ${}0:=(0,0)$ und ${}1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.

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Real- und Imaginärteil

Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition

Zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

heißt

${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}=a\,$

der Realteil von ${}z$ und

${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=b\,$

heißt der Imaginärteil von ${}z$.

Frage:

Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl ${}z$.

Antwort:

Zu einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man ${}a$ den Realteil und ${}b$ den Imaginärteil von ${}z$.

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Komplexe Konjugation

Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}:=a-b{\mathrm {i} },$

heißt komplexe Konjugation.

Frage:

Die komplexe Konjugation.

Antwort:

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },$

heißt komplexe Konjugation.

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Betrag einer komplexen Zahl

Komplexe Zahl/Betrag/Definition

Zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

ist der Betrag durch

${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

definiert.

Frage:

Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.

Antwort:

Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch

${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

definiert.

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Reihe

Komplexe Zahlen/Reihe/Definition

Es sei ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$

Falls die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

und nennt ihn die Summe der Reihe.

Frage:

Eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen ${}a_{k}$.

Antwort:

Unter der Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$

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Absolute Konvergenz einer Reihe

Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$

konvergiert.

Frage:

Die absolute Konvergenz einer Reihe.

Antwort:

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$

konvergiert.

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Polynomring

Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition

Der Polynomring über einem Körper ${}K$ besteht aus allen Polynomen

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{i}\in K$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

definiert ist.

Frage:

Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).

Antwort:

Der Polynomring über einem Körper ${}K$ besteht aus allen Polynomen

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{i}\in K$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

definiert ist.

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Grad eines Polynoms

Polynomring/Grad/Definition

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

Frage:

Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.

Antwort:

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

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Rationale Funktion

Rationale Funktion/Körper/Definition

Zu Polynomen ${}P,Q\in K[X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

$D\longrightarrow K,\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},$

wobei ${}D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

Frage:

Eine rationale Funktion über einem Körper ${}K$.

Antwort:

Zu zwei Polynomen ${}P,Q\in K[X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

$D\longrightarrow K,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$

wobei ${}D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

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Gleichmächtigkeit von Mengen

Mengentheorie/Gleichmächtigkeit/Definition

Zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

gibt.

Frage:

Die Gleichmächtigkeit von zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.

Antwort:

Die Mengen ${}L$ und ${}M$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M$

gibt.

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Endliche Menge

Endliche Menge/1...n/Definition

Eine Menge ${}M$ heißt endlich mit ${}n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

$\{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$

gibt.

Frage:

Eine endliche Menge ${}M$ mit ${}n$ Elementen.

Antwort:

Eine Menge ${}M$ heißt endlich mit ${}n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$

gibt.

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Abzählbar

Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition

Eine Menge ${}M$ heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$

gibt.

Frage:

Die Abzählbarkeit einer Menge ${}M$.

Antwort:

Die Menge ${}M$ heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow M$

gibt.

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Abzählbar unendlich

Abzählbar unendlich/So/Definition

Eine Menge ${}M$ heißt abzählbar unendlich, wenn sie abzählbar, aber nicht endlich ist.

Frage:

Abzählbar unendlich/So/Definition/Begriff

Antwort:

Abzählbar unendlich/So/Definition/Begriff/Inhalt

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Stetige Funktion

Stetigkeit in einem Punkt/K/Allgemein/Definition

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion und ${}x\in T$. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'$ mit ${}d(x,x')\leq \delta$ die Abschätzung ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ gilt. Man sagt, dass ${}f$ stetig ist, wenn sie in jedem Punkt ${}x\in T$ stetig ist.

Frage:

Die Stetigkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}a$ ist, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x$ mit ${}\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.

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Grenzwert einer Funktion

Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Definition

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei ${}a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in {\mathbb {K} }$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für jedes ${}x\in T$ aus

${}\vert {x-a}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,$

folgt. In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

Frage:

Der Grenzwert einer Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ Teilmenge, in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$.

Antwort:

Ein Element ${}b\in {\mathbb {K} }$ heißt Grenzwert von ${}f$ in ${}a$, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für jedes ${}x\in T$ aus

${}\vert {x-a}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,$

folgt.

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Maximum und Minimum

Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ das Maximum annimmt, wenn

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}},$

und dass ${}f$ das Minimum annimmt, wenn

$f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$

Frage:

Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition/Begriff

Antwort:

Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition/Begriff/Inhalt

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Lokales Maximum und Minimum

Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\geq f(x')\,$

gilt. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\leq f(x')\,$

gilt.

Frage:

Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition/Begriff

Antwort:

Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition/Begriff/Inhalt

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Gleichmäßig stetig

Funktion/K/Gleichmäßig stetig/Definition

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle ${}x,x'\in T$ mit ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.

Frage:

Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

Antwort:

Die Funktion ${}f$ heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle ${}x,x'\in T$ mit ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.

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Stetige Fortsetzung

Stetige Funktion/K/Stetige Fortsetzung/Definition

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine stetige Funktion und es sei ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\mathbb {K} }$. Dann heißt eine Abbildung

${\tilde {f}}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine stetige Fortsetzung von ${}f$, wenn ${}{\tilde {f}}$ stetig ist und ${}{\tilde {f}}(x)=f(x)$ für alle ${}x\in T$ gilt.

Frage:

Eine stetige Fortsetzung einer stetigen Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

auf eine Teilmenge ${}{\tilde {T}}$, ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\mathbb {K} }$.

Antwort:

Eine Abbildung

${\tilde {f}}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

heißt eine stetige Fortsetzung von ${}f$, wenn ${}{\tilde {f}}$ stetig ist und ${}{\tilde {f}}(x)=f(x)$ für alle ${}x\in T$ gilt.

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Berührpunkt

K/Teilmenge/Berührpunkt/Folge/Definition

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$. Ein Punkt ${}x\in {\mathbb {K} }$ heißt Berührpunkt von ${}T$, wenn es (mindestens) eine Folge ${}x_{n}\in T$ gibt, die gegen ${}x$ konvergiert.

Frage:

Ein Berührpunkt einer Menge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

Antwort:

Ein Punkt ${}x\in {\mathbb {K} }$ heißt Berührpunkt von ${}T$, wenn es (mindestens) eine Folge ${}x_{n}\in T$ gibt, die gegen ${}x$ konvergiert.

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Reelle Exponentialfunktion zu einer Basis

Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

heißt Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

Frage:

Die reelle Exponentialfunktion zur Basis ${}b>0$.

Antwort:

Die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

heißt Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

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Cauchy-Produkt

Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition

Zu Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Frage:

Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.

Antwort:

Zu zwei Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

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Potenzreihe

Komplexe Zahlen/Potenzreihe/Definition

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen und ${}z$ eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

die Potenzreihe in ${}z$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

Frage:

Die Potenzreihe in ${}z\in {\mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten ${}c_{n}\in {\mathbb {C} }$, ${}n\in \mathbb {N}$.

Antwort:

Die Potenzreihe in ${}z$ ist die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.$

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Exponentialreihe

Exponentialreihe/Komplex/Definition

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

die Exponentialreihe in ${}z$.

Frage:

Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Antwort:

Die Exponentialreihe in ${}z$ ist die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

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Exponentialfunktion

Komplexe Exponentialfunktion/Definition

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

Frage:

Die komplexe Exponentialfunktion.

Antwort:

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

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Sinusreihe und Kosinusreihe

Kosinusreihe und Sinusreihe/Definition

Für ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$

die Kosinusreihe und

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

die Sinusreihe zu ${}z$.

Frage:

Die Kosinusreihe zu ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Antwort:

Die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$

heißt die Kosinusreihe zu ${}z$.

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Punktweise konvergente Funktionenfolge

Funktionenfolge/K/Punktweise konvergent/Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes ${}x\in T$ die Folge

${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

(in ${}{\mathbb {K} }$) konvergiert.

Frage:

Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

wobei ${}T$ eine Menge ist.

Antwort:

Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes ${}x\in T$ die Folge

${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

in ${}{\mathbb {K} }$ konvergiert.

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Gleichmäßig konvergente Funktionenfolge

Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ mit

$d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$

gibt.

Frage:

Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

Antwort:

Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ mit

$d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$

gibt.

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Supremumsnorm

Funktion nach K/Supremumsnorm/Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Dann nennt man

${}\Vert {f}\Vert :=\Vert {f}\Vert _{T}={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von ${}f$. Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder ${}\infty$.

Frage:

Die Supremumsnorm einer Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einer Menge ${}T$.

Antwort:

Man nennt

${}\Vert {f}\Vert :={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$

die Supremumsnorm von ${}f$.

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Konvergenzradius

Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition

Für eine Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

heißt

${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}$

der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder ${}=\infty$.

Frage:

Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$

Antwort:

Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man

${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}.$

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Natürlicher Logarithmus

Natürlicher Logarithmus/Reell/Über Exponentialfunktion/Definition

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

Frage:

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

Antwort:

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

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Exonentialfunktion zu einer Basis

Komplexe Exponentialfunktion/Reelle Basis/Über Logarithmus/Definition

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$ definiert man die Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ von ${}z\in {\mathbb {C} }$ als

${}b^{z}:=\exp(z\ln b)\,.$

Frage:

Die Exponentialfunktion zur Basis ${}b>0$ im Komplexen.

Antwort:

Die Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ von ${}z\in {\mathbb {C} }$ wird durch

$b^{z}:=\exp(z\ln b)$

definiert.

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Logarithmus zu einer Basis

Logarithmus/Basis/Über Quotient/Definition

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$, ${}b\neq 1$, wird der Logarithmus zur Basis ${}b$ von ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ durch

${}\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$

definiert.

Frage:

Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl ${}x$.

Antwort:

Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, von ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ ist durch

${}\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$

definiert.

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Summierbare Familie

Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Definition

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Beziehung

${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$. Im summierbaren Fall heißt ${}s$ die Summe der Familie.

Frage:

Die Summierbarkeit einer Familie ${}a_{i}$, ${}i\in I$, komplexer Zahlen.

Antwort:

Die Familie ${}a_{i}$, ${}i\in I$, heißt summierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {C} }$ gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Beziehung

${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$.

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Cauchy-Familie

Familie komplexer Zahlen/Cauchy-Familie/Definition

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung

${}\vert {a_{D}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}a_{D}=\sum _{i\in D}a_{i}$.

Frage:

Eine Cauchy-Familie ${}a_{i}$, ${}i\in I$, von komplexen Zahlen.

Antwort:

Die Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung

${}\vert {a_{D}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}a_{D}=\sum _{i\in D}a_{i}$.

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Differenzenquotient

Differenzenquotient/D offen K/Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Zu ${}x\in D$, ${}x\neq a$, heißt die Zahl

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

der Differenzenquotient von ${}f$ zu ${}a$ und ${}x$.

Frage:

Der Differenzenquotient zu einer Funktion

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

in einem Punkt ${}a\in D$ einer offenen Menge ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$.

Antwort:

Zu ${}x\in D$, ${}x\neq a$, heißt die Zahl

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

der Differenzenquotient von ${}f$ zu ${}a$ und ${}x$.

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Differenzierbarkeit

Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von ${}f$ in ${}a$, geschrieben

$f'(a).$

Frage:

Die Differenzierbarkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

existiert.

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Ableitungsfunktion

Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt ${}a\in D$ die Ableitung ${}f'(a)$ von ${}f$ in ${}a$ existiert. Die Abbildung

$f'\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f'(x),$

heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von ${}f$.

Frage:

Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

Antwort:

Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung

$f'\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),$

die jedem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ die Ableitung von ${}f$ an der Stelle ${}x$ zuordnet.

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Höhere Ableitungen

Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal differenzierbar ist, wenn ${}f$ ${}(n-1)$-mal differenzierbar ist und die ${}(n-1)$-te Ableitung ${}f^{(n-1)}$ differenzierbar ist. Die Ableitung

${}f^{(n)}(z):=(f^{(n-1)})'(z)\,$

nennt man dann die ${}n$-te Ableitung von ${}f$.

Frage:

Die ${}n$-fache Differenzierbarkeit einer Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal differenzierbar ist, wenn ${}f$ ${}(n-1)$-mal differenzierbar ist und die ${}(n-1)$-te Ableitung ${}f^{(n-1)}$ differenzierbar ist.

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N-mal stetig differenzierbar

Stetig differenzierbar/K/Höher/Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ n-mal stetig differenzierbar ist, wenn ${}f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung ${}f^{(n)}$ stetig ist.

Frage:

Die ${}n$-fache stetige Differenzierbarkeit einer Funktion

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

auf einer offenen Teilmenge ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$.

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn ${}f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung ${}f^{(n)}$ stetig ist.

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Konvexe Teilmenge

Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten ${}P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$

ebenfalls zu ${}T$ gehört.

Frage:

Eine konvexe Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Antwort:

Die Teilmenge ${}T$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten ${}P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke (also jeder Punkt der Form ${}rP+(1-r)Q{\mbox{ mit }}r\in [0,1]$) ebenfalls zu ${}T$ gehört.

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Subgraph

Reelle Funktion/Subgraph/Epigraph/Definition

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann nennt man die Menge

${}S(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\leq f(x)\right\}}\,$

den Subgraphen und

${}E(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\geq f(x)\right\}}\,$

den Epigraphen der Funktion.

Frage:

Reelle Funktion/Subgraph/Epigraph/Definition/Begriff

Antwort:

Reelle Funktion/Subgraph/Epigraph/Definition/Begriff/Inhalt

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Konvexe Funktion

Konvexe Funktion/Intervall/Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ konvex ist, wenn der Epigraph ${}E(f)$ konvex ist.

Frage:

Eine konvexe Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ konvex ist, wenn der Epigraph ${}E(f)$ konvex ist.

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Konkave Funktion

Konkave Funktion/Intervall/Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ konkav ist, wenn der Subgraph ${}S(f)$ konvex ist.

Frage:

Eine konkave Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Funktion ${}f$ heißt konkav, wenn ihr Subgraph eine konvexe Menge ist.

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Wendepunkt

Wendepunkt/Konvexitätsverhalten/Definition

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ definierte Funktion und ${}c\in I$ ein innerer Punkt von ${}I$. Man sagt, dass in ${}c$ ein Wendepunkt von ${}f$ vorliegt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass ${}f$ auf ${}[c-\epsilon ,c]$ konvex (konkav) und auf ${}[c,c+\epsilon ]$ konkav (konvex) ist.

Frage:

Ein Wendepunkt einer Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Ein innerer Punkt ${}c\in I$ heißt Wendepunkt von ${}f$, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass ${}f$ auf ${}[c-\epsilon ,c]$ konvex (konkav) und auf ${}[c,c+\epsilon ]$ konkav (konvex) ist.

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Die Zahl ${}\pi$

Pi/Reelle Kosinusfunktion/Definition

Es sei ${}s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion aus dem Intervall ${}[0,2]$. Die Kreiszahl ${}\pi$ ist durch

${}\pi :=2s\,$

definiert.

Frage:

Die Zahl ${}\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).

Antwort:

Es sei ${}s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall ${}[0,2]$. Die Kreiszahl ${}\pi$ ist definiert durch

${}\pi :=2s\,.$

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Komplexe Einheitswurzel

Komplexe Einheitswurzeln/Definition

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann heißen die komplexen Nullstellen des Polynoms

$X^{n}-1$

${}n$-te komplexe Einheitswurzeln.

Frage:

Eine ${}n$-te komplexe Einheitswurzel ($n\in \mathbb {N} _{+}$).

Antwort:

Die komplexen Nullstellen des Polynoms

$X^{n}-1$

heißen ${}n$-te komplexe Einheitswurzeln.

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Taylor-Polynom

Differenzierbar/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ eine offene Teilmenge,

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine ${}n$-mal differenzierbare Funktion und ${}a\in U$. Dann heißt

${}T_{a,n}(f)(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\,$

das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

Frage:

Das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu einer ${}n$-mal differenzierbaren Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

im Entwicklungspunkt ${}a\in {\mathbb {C} }$.

Antwort:

Das Polynom

$\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

heißt das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

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Taylor-Reihe

Funktion/C/Unendlich oft differenzierbar/Taylor-Reihe/Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ eine offene Teilmenge,

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine ${}\infty$-oft differenzierbare Funktion und ${}a\in U$. Dann heißt

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

die Taylor-Reihe zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

Frage:

Die Taylor-Reihe zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$

auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ in einem Punkt ${}a\in U$.

Antwort:

Die Taylor-Reihe zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$ ist

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$

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Treppenfunktion

Intervall/Reelle Funktion/Treppenfunktion/Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen ${}a,b\in \mathbb {R}$. Dann heißt eine Funktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b\,$

von ${}I$ derart gibt, dass ${}t$ auf jedem offenen Teilintervall ${}]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.

Frage:

Eine Treppenfunktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Eine Funktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

$a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$

von ${}I$ gibt derart, dass ${}t$ auf jedem offenen Teilintervall ${}]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.

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Treppenintegral

Beschränktes Intervall/Treppenfunktion/Treppenintegral/Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen ${}a,b\in \mathbb {R}$ und sei

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Treppenfunktion zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Dann heißt

${}T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})\,$

das Treppenintegral von ${}t$ auf ${}I$.

Frage:

Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem Intervall ${}I=[a,b]$ zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Antwort:

Das Treppenintegral von ${}t$ ist durch

$T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$

definiert.

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Obere Treppenfunktion

Intervall/Reelle Funktion/Obere und untere Treppenfunktion/Definition

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine obere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}t(x)\geq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist. Eine Treppenfunktion

$s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

heißt eine untere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}s(x)\leq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist.

Frage:

Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Eine Treppenfunktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

heißt eine obere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}t(x)\geq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist.

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Oberes Treppenintegral

Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$, ${}i=0,\ldots ,n$, und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, heißt das Treppenintegral

${}T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$

ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von ${}f$ auf ${}I$.

Frage:

Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion ${}t$ zu einer Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Zur oberen Treppenfunktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$, ${}i=0,\ldots ,n$, und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, heißt das Treppenintegral

$T=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$

eine oberes Treppenintegral von ${}f$ auf ${}I$.

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Unteres Treppenintegral

Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion

$s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$, ${}i=0,\ldots ,n$, und den Werten ${}s_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, heißt

${}S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$

ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von ${}f$ auf ${}I$.

Frage:

Das untere Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion ${}s$ zu einer Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Zur unteren Treppenfunktion

$s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$, ${}i=0,\ldots ,n$, und den Werten ${}s_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, heißt

${}S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$

ein unteres Treppenintegral von ${}f$ auf ${}I$.

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Oberintegral

Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Oberintegral als Infimum der Obersummen/Definition

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von ${}f$ das Oberintegral von ${}f$.

Frage:

Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von ${}f$.

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Unterintegral

Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Unterintegral als Supremum der Untersummen/Definition

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von ${}f$ das Unterintegral von ${}f$.

Frage:

Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Antwort:

Das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von ${}f$ heißt das Unterintegral von ${}f$.

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Riemann-integrierbar (kompaktes Intervall)

Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann-integrierbar über Treppenfunktionen/Definition

Es sei ${}I$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von ${}f$ existieren und übereinstimmen.

Frage:

Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem kompakten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Funktion ${}f$ heißt Riemann-integrierbar auf ${}I$, wenn Ober- und Unterintegral von ${}f$ existieren und übereinstimmen.

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Bestimmtes Integral

Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

$f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von ${}f$ über ${}I$. Es wird mit

$\int _{a}^{b}f(t)\,dt{\text{ oder mit }}\int _{I}^{}f(t)\,dt$

bezeichnet.

Frage:

Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Antwort:

Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu ${}f$ über ${}[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.

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Riemann-integrierbar

Intervall/Reelle Funktion/Kompakte Teilintervalle/Riemann-integrierbar/Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von ${}f$ auf jedes kompakte Intervall ${}[a,b]\subseteq I$ Riemann-integrierbar ist.

Frage:

Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

Antwort:

Die Funktion ${}f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von ${}f$ auf jedes kompakte Intervall ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ Riemann-integrierbar ist.

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Integralfunktion

Riemann integrierbar/Integralfunktion/Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Riemann-integrierbare Funktion und ${}a\in I$. Dann heißt die Funktion

$I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$

die Integralfunktion zu ${}f$ zum Startpunkt ${}a$.

Frage:

Die Integralfunktion zum Startpunkt ${}a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Funktion

$I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$

heißt die Integralfunktion zu ${}f$ zum Startpunkt ${}a$.

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Stammfunktion

Funktion/K/Stammfunktion/Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und sei

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Eine Funktion

$F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}D$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in D$ gilt.

Frage:

Eine Stammfunktion einer Abbildung ${}f:D\rightarrow {\mathbb {K} }$ auf einer offenen Menge ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$.

Antwort:

Eine Funktion

$F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}D$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in D$ gilt.

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Gewöhnliche Differentialgleichung

Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Dann nennt man

${}y'=f(t,y)\,$

die (gewöhnliche) Differentialgleichung zu ${}f$ (oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld ${}f$).

Frage:

Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.

Antwort:

Man nennt die Gleichung

$y'=f(t,y)$

gewöhnliche Differentialgleichung zu ${}f$.

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Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung

Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

heißt eine Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$

auf einem (mehrpunktigen) Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Es ist ${}(t,y(t))\in U$ für alle ${}t\in I$.
2. Die Funktion ${}y$ ist differenzierbar.
3. Es ist ${}y'(t)=f(t,y(t))$ für alle ${}t\in I$.

Frage:

Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung

$y'=f(t,y),$

wobei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist.

Antwort:

Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$

auf einem mehrpunktigen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$, die folgende Eigenschaften erfüllt.

1. Es ist ${}(t,y(t))\in U$ für alle ${}t\in I$.
2. Die Funktion ${}y$ ist differenzierbar.
3. Es ist ${}y'(t)=f(t,y(t))$ für alle ${}t\in I$.

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Anfangswertproblem

Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Es sei ${}(t_{0},y_{0})\in U$ vorgegeben. Dann nennt man

$y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung ${}y'=f(t,y)$ mit der Anfangsbedingung ${}y(t_{0})=y_{0}$.

Frage:

Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ zu einer Funktion

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

Antwort:

Man nennt

$y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung ${}y'=f(t,y)$ mit der Anfangsbedingung ${}y(t_{0})=y_{0}$.

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Lösung des Anfangswertproblems

Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung des Anfangswertproblems/Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Es sei ${}(t_{0},y_{0})\in U$ vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$

auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$

wenn ${}y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

${}y(t_{0})=y_{0}\,$

gilt.

Frage:

Die Lösung eines Anfangswertproblems

$y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$

zu einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} .$

Antwort:

Man nennt eine Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$

auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$

wenn ${}y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

$y(t_{0})=y_{0}$

gilt.

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Ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

Gewöhnliche Differentialgleichung/Ortsunabhängig/Definition

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion ${}f$ nicht von ${}y$ abhängt, wenn also ${}f(t,y)=g(t)$ mit einer Funktion ${}g$ in der einen Variablen ${}t$ gilt.

Frage:

Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

$y'=f(t,y).$

Antwort:

Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion ${}f$ nicht von ${}y$ abhängt.

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Zeitunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Definition

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion ${}f$ nicht von ${}t$ abhängt, wenn also ${}f(t,y)=h(y)$ mit einer Funktion ${}h$ in der einen Variablen ${}y$ gilt.

Frage:

Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung

$y'=f(t,y).$

Antwort:

Die gewöhnliche Differentialgleichung

$y'=f(t,y)$

heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion ${}f$ nicht von ${}t$ abhängt, wenn also ${}f(t,y)=h(y)$ gilt mit einer Funktion ${}h$ in der einen Variablen ${}y$.

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Gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen

Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Definition

Eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)\cdot h(y)\,$

mit zwei Funktionen (dabei sind ${}I$ und ${}J$ reelle Intervalle)

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

und

$h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$

heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Frage:

Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Antwort:

Eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)\cdot h(y)\,$

mit Funktionen (dabei sind ${}I$ und ${}J$ reelle Intervalle)

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

und

$h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$

heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

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Definition Referenznummer erstellen

Eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)\cdot h(y)\,$

mit zwei Funktionen (dabei sind ${}I$ und ${}J$ reelle Intervalle)

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

und

$h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$

heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.