Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Definitionsliste/kontrolle

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Produktmenge

Produktmenge/Zwei Mengen/Definition


Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der beiden Mengen.


Frage:

Die Produktmenge aus zwei Mengen und .


Antwort:

Man nennt die Menge

die Produktmenge der Mengen und .






Potenzmenge

Mengen/Potenzmenge/Definition


Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit

bezeichnet.


Frage:

Die Potenzmenge zu einer Menge .


Antwort:

Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von .






Abbildung

Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition


Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.


Frage:

Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .


Antwort:

Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.






Injektiv

Abbildung/Injektiv/Definition


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.


Frage:

Eine injektive Abbildung


Antwort:

Die Abbildung

ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.






Surjektiv

Abbildung/Surjektiv/Definition


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit

gibt.


Frage:

Eine surjektive Abbildung


Antwort:

Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.






Bijektiv

Abbildung/Bijektiv/Definition


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.


Frage:

Eine bijektive Abbildung


Antwort:

Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.






Umkehrabbildung

Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition


Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .


Frage:

Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .


Antwort:

Die Abbildung

die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .






Hintereinanderschaltung

Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition


Es seien und Mengen und

und

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .


Frage:

Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

und


Antwort:

Die Abbildung

heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .






Bild unter einer Abbildung

Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt

das Bild von unter . Für heißt

das Bild der Abbildung.


Frage:

Das Bild einer Abbildung


Antwort:

Das Bild von ist die Menge






Urbild unter einer Abbildung

Abbildung/Urbild einer Abbildung/Definition


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt

das Urbild von unter . Für eine einelementige Teilmenge heißt

das Urbild von .


Frage:

Das Urbild zu einer Teilmenge unter einer Abbildung .


Antwort:

Zu einer Teilmenge heißt

das Urbild von unter .






Verknüpfung

Verknüpfung/Definition


Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung


Frage:

Eine Verknüpfung auf einer Menge .


Antwort:

Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung






Kommutative Verknüpfung

Verknüpfung/Kommutativ/Definition


Eine Verknüpfung

auf einer Menge heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Frage:

Die Kommutativität einer Verknüpfung


Antwort:

Eine Verknüpfung

heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit

gilt.






Assoziative Verknüpfung

Verknüpfung/Assoziativ/Definition


Eine Verknüpfung

auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Frage:

Die Assoziativität einer Verknüpfung


Antwort:

Eine Verknüpfung

heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit

gilt.






Neutrales Element

Verknüpfung/Neutrales Element/Definition


Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit gilt.


Frage:

Ein neutrales Element zu einer Verknüpfung


Antwort:

Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit

gilt.






Inverses Element

Verknüpfung/Inverses Element/Definition


Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

und einem neutralen Element gegeben. Dann heißt zu einem Element ein Element inverses Element, wenn die Gleichheit

gilt.


Frage:

Ein inverses Element zu einem Element bezüglich einer Verknüpfung

mit einem neutralen Element .


Antwort:

Zu heißt inverses Element, wenn die Gleichheit

gilt.






Gruppe

Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition


Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
  2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
  3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit


Frage:

Eine Gruppe.


Antwort:

Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
  2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
  3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit






Körper (ausführlich)

Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition


Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt .


Frage:

Ein Körper.


Antwort:

Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt .






Rationale Zahl

Rationale Zahlen/Brüche/Definition


Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit bezeichnet.


Frage:

Eine rationale Zahl.


Antwort:

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt.






Fakultät

Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition


Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl

die Fakultät von (sprich Fakultät).


Frage:

Die Fakultät einer natürlichen Zahl .


Antwort:

Unter der Fakultät von versteht man die Zahl






Binomialkoeffizient

Mengen/Binomialkoeffizient/Definition


Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

den Binomialkoeffizienten über “.


Frage:

Der Binomialkoeffizient .


Antwort:

Der Binomialkoeffizient ist durch

definiert.






Relation

Mengentheorie/Relationen/Relation/Definition


Seien und Mengen. Eine Relation zwischen und ist eine Teilmenge .


Frage:

Eine Relation zwischen den Mengen und .


Antwort:

Eine Relation zwischen und ist eine Teilmenge .






Ordnungsrelation

Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition


Eine Relation auf einer Menge heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Aus und folgt stets .
  3. Aus und folgt .


Frage:

Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .


Antwort:

Die Relation heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Aus und folgt stets .
  3. Aus und folgt .






Lineare Ordnung

Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition


Eine Ordnungsrelation auf einer Menge heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.


Frage:

Eine lineare (oder totale) Ordnung auf einer Menge .


Antwort:

Eine Ordnungsrelation auf heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.






Angeordneter Körper

Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition


Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt (für beliebige ),
  2. Aus und folgt (für beliebige ),

erfüllt.


Frage:

Ein angeordneter Körper.


Antwort:

Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung“ auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt (für beliebige )
  2. Aus und folgt (für beliebige )

erfüllt.






Intervalle

Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition


Sei ein angeordneter Körper. Zu , , nennt man

    • das abgeschlossene Intervall.
    • das offene Intervall.
    • das linksseitig offene Intervall.
    • das rechtsseitig offene Intervall.


    Frage:

    Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition/Begriff

    Antwort:

    Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition/Begriff/Inhalt






    Betrag (angeordneter Körper)

    Angeordneter Körper/Betrag/Definition


    In einem angeordneten Körper ist der Betrag eines Elementes folgendermaßen definiert.


    Frage:

    Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .


    Antwort:

    Der Betrag von ist folgendermaßen definiert.






    Archimedisch angeordnet

    Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition


    Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

    gibt.


    Frage:

    Ein archimedisch angeordneter Körper .


    Antwort:

    Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

    gibt.






    Gaußklammer

    Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Definition


    Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Die Gaußklammer ist die Funktion

    die durch
    definiert wird.


    Frage:

    Die Gaußklammer zu einem Element in einem archimedisch angeordneten Körper .


    Antwort:

    Die Gaußklammer ist die größte ganze Zahl .






    Folge

    Menge/Folge/Definition


    Es sei eine Menge. Eine Abbildung

    nennt man auch eine Folge in . Eine Folge wird häufig in der Form

    geschrieben.


    Frage:

    Eine Folge in einer Menge .


    Antwort:

    Eine Folge in ist eine Abbildung






    Konvergenz einer Folge

    Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition


    Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

    Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

    Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.


    Frage:

    Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .


    Antwort:

    Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

    Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.






    Beschränktheits-Eigenschaften

    Angeordneter Körper/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition


    Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge.

    1. Ein Element heißt eine obere Schranke für , wenn gilt für alle .
    2. Ein Element heißt eine untere Schranke für , wenn gilt für alle .
    3. heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für existiert.
    4. heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für existiert.
    5. heißt beschränkt, wenn sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
    6. Ein Element heißt das Maximum von , wenn für alle gilt.
    7. Ein Element heißt das Minimum von , wenn für alle gilt.
    8. Eine obere Schranke von heißt das Supremum von , wenn für alle oberen Schranken von gilt.
    9. Eine untere Schranke von heißt das Infimum von , wenn für alle unteren Schranken von gilt.


    Frage:

    Angeordneter Körper/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition/Begriff

    Antwort:

    Angeordneter Körper/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition/Begriff/Inhalt






    Teilfolge

    Angeordneter Körper/Teilfolge/Definition


    Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.


    Frage:

    Eine Teilfolge einer Folge in einem angeordneten Körper .


    Antwort:

    Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.






    Häufungspunkt

    Häufungspunkt/Angeordneter Körper/Definition


    Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper . Ein Element heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.


    Frage:

    Häufungspunkt/Angeordneter Körper/Definition/Begriff

    Antwort:

    Häufungspunkt/Angeordneter Körper/Definition/Begriff/Inhalt






    Bestimmt divergent

    Angeordneter Körper/Folge/Bestimmte Divergenz/Definition


    Eine Folge in einem angeordneten Körper heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein gibt mit

    Sie heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein gibt mit


    Frage:

    Die bestimmte Divergenz gegen einer Folge in einem angeordneten Körper .


    Antwort:

    Die Folge heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein gibt mit






    Wachsende Folge

    Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition


    Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Dann heißt die Folge wachsend, wenn ist für alle , und streng wachsend, wenn ist für alle .

    Die Folge heißt fallend, wenn ist für alle , und streng fallend, wenn ist für alle .


    Frage:

    Eine wachsende Folge in einem angeordneten Körper.


    Antwort:

    Die Folge heißt wachsend, wenn für alle ist.






    Cauchy-Folge

    Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Definition


    Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

    Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

    gilt.


    Frage:

    Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .


    Antwort:

    Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

    Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.






    Vollständig angeordneter Körper

    Vollständig angeordneter Körper/Definition


    Ein angeordneter Körper heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert (also in einen Grenzwert besitzt).


    Frage:

    Ein vollständig angeordneter Körper .


    Antwort:

    Ein angeordneter Körper heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert.






    Körper der reellen Zahlen

    Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition


    Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen. Er wird mit bezeichnet.


    Frage:

    Der Körper der reellen Zahlen.


    Antwort:

    Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen.






    Intervallschachtelung

    Angeordneter Körper/Intervallschachtelung/Definition


    Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.


    Frage:

    Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper .


    Antwort:

    Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.






    Eulersche Zahl

    Eulersche Zahl/Bezug auf Intervallschachtelung/Definition


    Die reelle Zahl

    heißt Eulersche Zahl.


    Frage:

    Die Eulersche Zahl.


    Antwort:

    Die Eulersche Zahl ist durch

    definiert.






    Komplexe Zahlen

    Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition


    Die Menge

    mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

    bezeichnet.


    Frage:

    Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).


    Antwort:

    Die Menge

    mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.






    Real- und Imaginärteil

    Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition


    Zu einer komplexen Zahl

    heißt

    der Realteil von und

    heißt der Imaginärteil von .


    Frage:

    Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .


    Antwort:

    Zu einer komplexen Zahl nennt man den Realteil und den Imaginärteil von .






    Komplexe Konjugation

    Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition


    Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.


    Frage:

    Die komplexe Konjugation.


    Antwort:

    Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.






    Betrag einer komplexen Zahl

    Komplexe Zahlen/Betrag/Definition


    Zu einer komplexen Zahl

    ist der Betrag durch

    definiert.


    Frage:

    Der Betrag einer komplexen Zahl .


    Antwort:

    Der Betrag einer komplexen Zahl ist durch

    definiert.






    Reihe

    Komplexe Zahlen/Reihe/Definition


    Sei eine Folge von komplexen Zahlen.

    Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen

    Falls die Folge konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

    und nennt ihn die Summe der Reihe.


    Frage:

    Eine Reihe von komplexen Zahlen .


    Antwort:

    Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen






    Absolute Konvergenz einer Reihe

    Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition


    Eine Reihe

    von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

    konvergiert.


    Frage:

    Die absolute Konvergenz einer Reihe.


    Antwort:

    Eine Reihe

    von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

    konvergiert.






    Polynomring

    Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition


    Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen

    mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

    definiert ist.


    Frage:

    Der Polynomring über einem Körper (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).


    Antwort:

    Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen

    mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

    definiert ist.






    Grad eines Polynoms

    Polynomring/Grad/Definition


    Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .


    Frage:

    Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .


    Antwort:

    Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .






    Rationale Funktion

    Rationale Funktion/Körper/Definition


    Zu zwei Polynomen , , heißt die Funktion

    wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.


    Frage:

    Eine rationale Funktion über einem Körper .


    Antwort:

    Zu zwei Polynomen , , heißt die Funktion

    wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.






    Gleichmächtigkeit von Mengen

    Mengentheorie/Gleichmächtigkeit/Definition


    Zwei Mengen und heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung

    gibt.


    Frage:

    Die Gleichmächtigkeit von zwei Mengen und .


    Antwort:

    Die Mengen und heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung

    gibt.






    Endliche Menge

    Endliche Menge/1...n/Definition


    Eine Menge heißt endlich mit Elementen, wenn es eine Bijektion

    gibt.


    Frage:

    Eine endliche Menge mit Elementen.


    Antwort:

    Eine Menge heißt endlich mit Elementen, wenn es eine Bijektion

    gibt.






    Abzählbar

    Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition


    Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung

    gibt.


    Frage:

    Die Abzählbarkeit einer Menge .


    Antwort:

    Die Menge heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung

    gibt.






    Abzählbar unendlich

    Abzählbar unendlich/So/Definition


    Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn sie abzählbar, aber nicht endlich ist.


    Frage:

    Abzählbar unendlich/So/Definition/Begriff

    Antwort:

    Abzählbar unendlich/So/Definition/Begriff/Inhalt






    Stetige Funktion

    Stetigkeit in einem Punkt/K/Allgemein/Definition


    Es sei eine Teilmenge,

    eine Funktion und . Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt. Man sagt, dass stetig ist, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.


    Frage:

    Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .


    Antwort:

    Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.






    Grenzwert einer Funktion

    Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Definition


    Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei

    eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für jedes aus

    die Abschätzung

    folgt. In diesem Fall schreibt man


    Frage:

    Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Definition/Begriff

    Antwort:

    Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Definition/Begriff/Inhalt






    Maximum und Minimum

    Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition


    Es sei eine Menge und

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt das Maximum annimmt, wenn

    und dass das Minimum annimmt, wenn


    Frage:

    Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition/Begriff

    Antwort:

    Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition/Begriff/Inhalt






    Lokales Maximum und Minimum

    Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition


    Sei eine Teilmenge und sei

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.


    Frage:

    Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition/Begriff

    Antwort:

    Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition/Begriff/Inhalt






    Gleichmäßig stetig

    Funktion/K/Gleichmäßig stetig/Definition


    Es sei eine Teilmenge,

    eine Funktion. Dann heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .


    Frage:

    Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

    auf einer Teilmenge .


    Antwort:

    Die Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .






    Stetige Fortsetzung

    Stetige Funktion/K/Stetige Fortsetzung/Definition


    Es sei eine Teilmenge,

    eine stetige Funktion und es sei . Dann heißt eine Abbildung

    eine stetige Fortsetzung von , wenn stetig ist und für alle gilt.


    Frage:

    Eine stetige Fortsetzung einer stetigen Funktion

    auf eine Teilmenge , .


    Antwort:

    Eine Abbildung

    heißt eine stetige Fortsetzung von , wenn stetig ist und für alle gilt.






    Berührpunkt

    K/Teilmenge/Berührpunkt/Folge/Definition


    Es sei . Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn es (mindestens) eine Folge gibt, die gegen konvergiert.


    Frage:

    Ein Berührpunkt einer Menge .


    Antwort:

    Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn es (mindestens) eine Folge gibt, die gegen konvergiert.






    Reelle Exponentialfunktion zu einer Basis

    Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition


    Sei eine positive reelle Zahl. Die Funktion

    heißt Exponentialfunktion zur Basis .


    Frage:

    Die reelle Exponentialfunktion zur Basis .


    Antwort:

    Die Funktion

    heißt Exponentialfunktion zur Basis .






    Cauchy-Produkt

    Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition


    Zu zwei Reihen und komplexer Zahlen heißt die Reihe

    das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.


    Frage:

    Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.


    Antwort:

    Zu zwei Reihen und komplexer Zahlen heißt die Reihe

    das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.






    Potenzreihe

    Komplexe Zahlen/Potenzreihe/Definition


    Es sei eine Folge von komplexen Zahlen und eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe

    die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .


    Frage:

    Die Potenzreihe in zu den Koeffizienten , .


    Antwort:

    Die Potenzreihe in ist die Reihe






    Exponentialreihe

    Exponentialreihe/Komplex/Definition


    Für jedes heißt die Reihe

    die Exponentialreihe in .


    Frage:

    Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl .


    Antwort:

    Die Exponentialreihe in ist die Reihe






    Exponentialfunktion

    Komplexe Exponentialfunktion/Definition


    Die Abbildung

    heißt (komplexe) Exponentialfunktion.


    Frage:

    Die komplexe Exponentialfunktion.


    Antwort:

    Die Abbildung

    heißt (komplexe) Exponentialfunktion.






    Sinusreihe und Kosinusreihe

    Kosinusreihe und Sinusreihe/Definition


    Für heißt

    die Kosinusreihe und

    die Sinusreihe zu .


    Frage:

    Die Kosinusreihe zu .


    Antwort:

    Die Reihe

    heißt die Kosinusreihe zu .






    Punktweise konvergente Funktionenfolge

    Funktionenfolge/K/Punktweise konvergent/Definition


    Es sei eine Menge und

    () eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

    (in ) konvergiert.


    Frage:

    Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge

    wobei eine Menge ist.


    Antwort:

    Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

    in konvergiert.






    Gleichmäßig konvergente Funktionenfolge

    Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition


    Es sei eine Menge und

    () eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

    derart gibt, dass es zu jedem ein mit

    gibt.


    Frage:

    Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

    auf einer Teilmenge .


    Antwort:

    Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

    derart gibt, dass es zu jedem ein mit

    gibt.






    Supremumsnorm

    Funktion nach K/Supremumsnorm/Definition


    Es sei eine Menge und

    eine Funktion. Dann nennt man

    das Supremum (oder die Supremumsnorm) von . Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .


    Frage:

    Die Supremumsnorm einer Funktion

    auf einer Menge .


    Antwort:

    Man nennt

    die Supremumsnorm von .






    Konvergenzradius

    Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition


    Für eine Potenzreihe

    heißt

    der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .


    Frage:

    Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe


    Antwort:

    Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man






    Natürlicher Logarithmus

    Natürlicher Logarithmus/Reell/Über Exponentialfunktion/Definition


    Der natürliche Logarithmus

    ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.


    Frage:

    Der natürliche Logarithmus


    Antwort:

    Der natürliche Logarithmus

    ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.






    Exonentialfunktion zu einer Basis

    Komplexe Exponentialfunktion/Reelle Basis/Über Logarithmus/Definition


    Zu einer positiven reellen Zahl definiert man die Exponentialfunktion zur Basis von als


    Frage:

    Die Exponentialfunktion zur Basis im Komplexen.


    Antwort:

    Die Exponentialfunktion zur Basis von wird durch

    definiert.






    Logarithmus zu einer Basis

    Logarithmus/Basis/Über Quotient/Definition


    Zu einer positiven reellen Zahl , , wird der Logarithmus zur Basis von durch

    definiert.


    Frage:

    Der Logarithmus zur Basis einer positiven reellen Zahl .


    Antwort:

    Der Logarithmus zur Basis von ist durch

    definiert.






    Summierbare Familie

    Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Definition


    Sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für alle endlichen Teilmengen mit die Beziehung

    gilt. Dabei ist . Im summierbaren Fall heißt die Summe der Familie.


    Frage:

    Die Summierbarkeit einer Familie , , komplexer Zahlen.


    Antwort:

    Die Familie , , heißt summierbar, wenn es ein gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für alle endlichen Teilmengen mit die Beziehung

    gilt. Dabei ist .






    Cauchy-Familie

    Familie komplexer Zahlen/Cauchy-Familie/Definition


    Sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem eine endliche Teilmenge derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge mit die Beziehung

    gilt. Dabei ist .


    Frage:

    Familie komplexer Zahlen/Cauchy-Familie/Definition/Begriff

    Antwort:

    Familie komplexer Zahlen/Cauchy-Familie/Definition/Begriff/Inhalt






    Differenzenquotient

    Differenzenquotient/D offen K/Definition


    Sei offen, ein Punkt und

    eine Funktion. Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .


    Frage:

    Der Differenzenquotient zu einer Funktion

    in einem Punkt einer offenen Menge .


    Antwort:

    Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .






    Differenzierbarkeit

    Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition


    Sei offen, ein Punkt und

    eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes

    existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in , geschrieben


    Frage:

    Die Differenzierbarkeit in einem Punkt einer Abbildung .


    Antwort:

    Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes

    existiert.






    Ableitungsfunktion

    Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition


    Sei offen und

    eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt die Ableitung von in existiert. Die Abbildung

    heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von .


    Frage:

    Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion


    Antwort:

    Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung

    die jedem Punkt die Ableitung von an der Stelle zuordnet.






    Höhere Ableitungen

    Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition


    Es sei offen und

    eine Funktion. Man sagt, dass -mal differenzierbar ist, wenn -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung differenzierbar ist. Die Ableitung

    nennt man dann die -te Ableitung von .


    Frage:

    Die -fache Differenzierbarkeit einer Funktion


    Antwort:

    Man sagt, dass -mal differenzierbar ist, wenn -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung differenzierbar ist.






    N-mal stetig differenzierbar

    Stetig differenzierbar/K/Höher/Definition


    Sei offen und

    eine Funktion. Man sagt, dass n-mal stetig differenzierbar ist, wenn n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung stetig ist.


    Frage:

    Die -fache stetige Differenzierbarkeit einer Funktion

    auf einer offenen Teilmenge .


    Antwort:

    Man sagt, dass -mal stetig differenzierbar ist, wenn n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung stetig ist.






    Konvexe Teilmenge

    Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition


    Eine Teilmenge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

    ebenfalls zu gehört.


    Frage:

    Eine konvexe Teilmenge .


    Antwort:

    Die Teilmenge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke (also jeder Punkt der Form ) ebenfalls zu gehört.






    Subgraph

    Reelle Funktion/Subgraph/Epigraph/Definition


    Sei eine Teilmenge und

    eine Funktion. Dann nennt man die Menge

    den Subgraphen und

    den Epigraphen der Funktion.


    Frage:

    Reelle Funktion/Subgraph/Epigraph/Definition/Begriff

    Antwort:

    Reelle Funktion/Subgraph/Epigraph/Definition/Begriff/Inhalt






    Konvexe Funktion

    Konvexe Funktion/Intervall/Definition


    Sei ein Intervall und

    eine Funktion. Man sagt, dass konvex ist, wenn der Epigraph konvex ist.


    Frage:

    Konvexe Funktion/Intervall/Definition/Begriff

    Antwort:

    Konvexe Funktion/Intervall/Definition/Begriff/Inhalt






    Konkave Funktion

    Konkave Funktion/Intervall/Definition


    Sei ein Intervall und

    eine Funktion. Man sagt, dass konkav ist, wenn der Subgraph konvex ist.


    Frage:

    Eine konkave Funktion

    auf einem reellen Intervall .


    Antwort:

    Die Funktion heißt konkav, wenn ihr Subgraph eine konvexe Menge ist.






    Wendepunkt

    Wendepunkt/Konvexitätsverhalten/Definition


    Es sei

    eine auf einem Intervall definierte Funktion und ein innerer Punkt von . Man sagt, dass in ein Wendepunkt von vorliegt, wenn es ein gibt derart, dass auf konvex (konkav) und auf konkav (konvex) ist.


    Frage:

    Wendepunkt/Konvexitätsverhalten/Definition/Begriff

    Antwort:

    Wendepunkt/Konvexitätsverhalten/Definition/Begriff/Inhalt






    Die Zahl

    Pi/Reelle Kosinusfunktion/Definition


    Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist durch

    definiert.


    Frage:

    Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).


    Antwort:

    Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist definiert durch