Kurs:Differentialgeometrie/8/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	0	2	0	3	7	0	7	4	3	3	7	2	9	7	63

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Gauß-Abbildung zu einer differenzierbaren Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
2. Eine topologische Karte auf einer topologischen Mannigfaltigkeit ${}M$.
3. Eine ${}C^{1}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$.
4. Die ${}n$-te äußere Potenz zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).
5. Eine lokale Isometrie ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten.
6. Ein lokal integrabler Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel ${}p\colon E\rightarrow X$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$.

Lösung

1. Es sei eine Orientierung auf ${}Y$ fixiert. Dann heißt die Abbildung

   $Y\longrightarrow S^{n-1},$

   die jeden Punkt ${}P\in Y$ auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung zu ${}Y$.

2. Eine topologische Karte ist jede Homöomorphie

   $\varphi \colon U\longrightarrow V,$

   wobei ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen sind.

3. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten

   $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

   mit ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen

   $\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

   ${}C^{1}$- Diffeomorphismen für alle ${}i,j\in I$ sind, heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit.

4. Man nennt den ${}K$-Vektorraum ${}\bigwedge ^{n}V$ das ${}n$-te Dachprodukt von ${}V$.
5. Eine differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ heißt lokale Isometrie, wenn für jeden Punkt ${}P\in L$ die Tangentialabbildung

   $T_{P}\varphi \colon T_{P}L\longrightarrow T_{\varphi (P)}M$

   eine Isometrie bezüglich der gegebenen Skalarprodukte ist.

6. Der Zusammenhang heißt lokal integrabel, wenn es zu jedem Punkt ${}e\in E$ einen auf einer offenen Umgebung ${}p(e)\in U\subseteq X$ definierten horizontalen Schnitt

   $s\colon U\longrightarrow E{|}_{U}$

   durch ${}e$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
2. Das Theorema egregium.
3. Der Satz über die Partition der Eins.

Lösung

1. Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$. Dann ist der Paralleltransport längs ${}\gamma$ eine Isometrie

   $T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y.$

2. Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

   ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$.

   Dann gilt für die Gaußsche Krümmung unter Verwendung der Christoffelsymbole die Beziehung

   $K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,.$

3. Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \left\langle f(t),g(t)\right\rangle .$

Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.

Lösung

Es seien ${}f_{i}(t)$ bzw. ${}g_{i}(t)$ die Komponentenfunktionen von ${}f$ bzw. ${}g$. Die in Frage stehende Funktion ist

${}\left\langle f(t),g(t)\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}f_{i}(t)g_{i}(t)\,$

mit der Ableitung (auf jeden Summanden wendet man die Produktregel an)

$\sum _{i=1}^{n}f'_{i}(t)g_{i}(t)+\sum _{i=1}^{n}f_{i}(t)g'_{i}(t).$

Mit dem Skalarprodukt kann man dies als

$\left\langle f'(t),g(t)\right\rangle +\left\langle f(t),g'(t)\right\rangle$

schreiben.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I=[a,b]\rightarrow Y$ eine geodätische Kurve. Zeige, dass der Paralleltransport längs ${}\gamma$ den tangentialen Vektor ${}\gamma '(a)\in T_{\gamma (a)}Y$ in den tangentialen Vektor ${}\gamma '(b)\in T_{\gamma (b)}Y$ überführt.

Lösung

Nach Lemma 6.8 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist das Geschwindigkeitsfeld ${}\gamma '$ ein paralleles Vektorfeld längs ${}\gamma$. Daher überführt der Paralleltransport ${}\Psi _{\gamma }$ zu ${}\gamma$ den Vektor ${}\gamma '(a)\in T_{\gamma (a)}Y$ in den Vektor ${}\gamma '(b)\in T_{\gamma (b)}Y$ über.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto (\vert {x}\vert ,y),$

differenzierbar?

Lösung

Wir betrachten die Verknüpfung von Abbildungen

$\mathbb {R} {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}S^{1}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ,$

wobei

${}\theta (t)=(\cos t,\sin t)\,$

und ${}p_{1}$ die erste Projektion ist. Die trigonometrische Parametrisierung, die Inklusion (einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit) und die Projektion sind differenzierbar. Wäre ${}\varphi$ differenzierbar, so müsste auch die Gesamtabbildung differenzierbar sein. Diese ist aber

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \vert {\cos t}\vert .$

Diese ist an der Stelle ${}t=\pi /2$ nicht differenzierbar, da dort die linksseitige Steigung ${}-1$ und die rechtsseitige Steigung ${}1$ ist. Die Abbildung ${}\varphi$ ist also nicht differenzierbar.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform ${}\omega$. Zeige, dass

${}\int _{M}\omega <\infty \,$

ist.

Lösung

Zu jedem Punkt ${}P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung ${}P\in U$ und eine Kartenabbildung

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und so, dass ${}\alpha ^{-1*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist mit ${}f$ stetig und positiv. Wir finden auch eine offene Umgebung ${}P\in U'\subseteq U$, die homöomorph zu einem offenen Ball ${}U'\cong B'\subseteq V$ ist, wobei man auch annehmen kann, dass der Abschluss des Balles ganz in ${}V$ liegt. Der abgeschlossene Ball ist abgeschlossen und beschränkt, daher ist die stetige Funktion ${}f$ darauf und somit auch auf ${}U'$ beschränkt. Es folgt, dass ${}\int _{U'}\omega$ endlich ist, wobei ${}U'$ eine offene Umgebung von ${}P$ ist.

Diese offenen Mengen ${}U'=U'(P)$ überdecken ${}M$. Wegen der Kompaktheit gibt es eine endliche Überdeckung

${}M=\bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\,$

mit

${}\int _{U_{i}}\omega <\infty \,.$

Wegen der Positivität gilt somit

${}\int _{M}\omega \leq \sum _{i=1}^{n}{\left(\int _{U_{i}}\omega \right)}<\infty \,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)

a) Man gebe eine topologische Eigenschaft an, die zeigt, dass das offene Einheitsintervall und die Kreissphäre ${}S^{1}$ nicht homöomorph sind.

b) Zeige, dass jede stetige ${}1$- Differentialform auf ${}]0,1[$ exakt ist.

c) Man gebe eine konkrete geschlossene ${}1$-Form auf ${}S^{1}$ an, die nicht exakt ist.

Lösung

a) Nach Satz 13.14 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist die ${}S^{1}$ als abgeschlossene und beschränkte Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{2}$ kompakt, das offene Intervall ist dagegen nicht kompakt.

b) Es ist

${}\omega =hdt\,$

mit einer stetigen Funktion

$h\colon ]0,1[\longrightarrow \mathbb {R} .$

Nach dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung besitzt ${}h$ eine Stammfunktion ${}H$. In der Sprache der Differentialformen bedeutet dies

${}H'=hdt=\omega \,,$

also ist ${}\omega$ exakt.

c) Es sei ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ gegeben, wobei die Koordinaten des ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}u$ und ${}v$ bezeichnet seien. Wir betrachten die Differentialform

${}\omega =udv-vdu\,$

auf ${}S^{1}$. Da ${}S^{1}$ eindimensional ist, ist sie geschlossen. Für den Weg

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$

ist

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{0}^{2\pi }\gamma ^{*}\omega dt=\int _{0}^{2\pi }\cos t\cdot \cos t+\sin t\sin tdt=\int _{0}^{2\pi }1dt=2\pi \,.$

Nach Korollar 23.3 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) kann ${}\omega$ nicht exakt sein.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Zeige

${}d(df)=0\,,$

wobei ${}d$ die äußere Ableitung bezeichnet.

Lösung

Für eine ${}1$-Form ${}\omega =\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}$ ist unter Verwendung von ${}dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}$

${}{\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d(g_{j}dx_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\wedge dx_{j}\right)}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}$

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ${}f$ ist ${}df=\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}$ mit den partiellen Ableitungen ${}g_{j}={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}$, und daher ist ${}d(df)=0$ nach dem Satz von Schwarz.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Abbildung

$\psi \colon \mathbb {C} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}$

in reellen Koordinaten.

Lösung

Wir schreiben ${}w=a+b{\mathrm {i} }$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\psi (a+b{\mathrm {i} })&={\frac {{\left(a+b{\mathrm {i} }+1\right)}{\mathrm {i} }}{1-a-b{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {a{\mathrm {i} }+{\mathrm {i} }-b}{1-a-b{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {{\left(a{\mathrm {i} }+{\mathrm {i} }-b\right)}{\left(1-a+b{\mathrm {i} }\right)}}{{\left(1-a-b{\mathrm {i} }\right)}{\left(1-a+b{\mathrm {i} }\right)}}}\\&={\frac {{\left(a+1\right)}{\left(1-a\right)}{\mathrm {i} }-b^{2}{\mathrm {i} }-b{\left(1-a\right)}-b{\left(a+1\right)}}{{\left(1-a\right)}^{2}+b^{2}}}\\&={\frac {{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}{\mathrm {i} }-2b}{{\left(1-a\right)}^{2}+b^{2}}}.\end{aligned}}$

In reellen Koordinaten ist daher

${}\psi {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\frac {1}{-2a+1+a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}-2b\\1-a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein euklidischer Halbraum und ${}P\in H$. Es gebe eine in ${}\mathbb {R} ^{n}$ offene Menge ${}V$ mit ${}P\in V\subseteq H$. Zeige, dass ${}P$ kein Randpunkt von ${}H$ ist.

Lösung

Es sei

${}P={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Wir können die im ${}\mathbb {R} ^{n}$ offene Umgebung ${}V$ durch einen (im ${}\mathbb {R} ^{n}$) offenen Ball ${}U{\left(P,\epsilon \right)}$ mit ${}P\in U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq V\subseteq H$ ersetzen. Wenn ${}P$ ein Randpunkt wäre, so wäre ${}x_{1}=0$. Doch dann wäre ${}{\begin{pmatrix}-{\frac {\epsilon }{2}}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\in U{\left(P,\epsilon \right)}$, aber dieser Punkt gehört nicht zu ${}H$.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass es eine Mannigfaltigkeit mit Rand ${}N$ gibt, deren Rand ${}\partial N$ diffeomorph zur ${}(n-1)$-dimensionalen Sphäre ${}S^{n-1}$ ist und derart, dass ${}M\setminus \{P\}$ und ${}N\setminus \partial N$ zueinander diffeomorph sind.

Lösung

Es sei ${}P\in U\subseteq M$ ein offenes Kartengebiet mit der Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$

Wir können davon ausgehen, dass ${}\alpha (P)$ der Nullpunkt ist und das ${}V$ der offene Ball mit Radius ${}3$ ist. Es sei

$\varphi \colon U{\left(0,3\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)$

ein Diffemorphismus, der auf ${}U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,2\right)}$ die Identität ist und der ${}U{\left(0,2\right)}\setminus \{0\}$ auf ${}U{\left(0,2\right)}\setminus B\left(0,1\right)$ abbildet. Eine solche Abbildung erhält man, wenn man mit der Funktion

$h\colon [0,3]\longrightarrow [0,3]$

mit

${}h(r)={\begin{cases}1+{\frac {1}{4}}r^{2}{\text{ für }}0\leq r\leq 2\,,\\r{\text{ für }}r>2\,,\end{cases}}\,$

die Punkte streckt. Dabei kann man das Bild des Diffeomorphismus ${}\varphi$, also ${}U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)$, als

${}U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)\subset U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,1\right)}\,$

auffassen, wobei die größere Menge eine Mannigfaltigkeit mit dem Rand ${}S{\left(0,1\right)}$ ist. Es sei ${}N$ die Mannigfaltigkeit, die entsteht, wenn man ${}U$ durch ${}U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,1\right)}$ ersetzt. Die Sphäre wird dabei zum Rand von ${}N$. Den Diffeomorphismus ${}\varphi$ man man zu einem Diffeomorphismus

$M\setminus \{P\}\longrightarrow N\setminus \partial N$

fortsetzen, da auf dem offenen Übergang ${}U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,2\right)}$ die Identität vorliegt.

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für den ${}\mathbb {R} ^{d}$ an.

Lösung

Wir betrachen die abgeschlossenen Bälle ${}B\left(0,n\right)$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, die kompakt sind und die den ${}\mathbb {R} ^{d}$ überdecken. Das offene Innere von ${}B\left(0,n+1\right)$ ist der offene Ball ${}U{\left(0,n+1\right)}$ und wegen

${}B\left(0,n\right)\subseteq U{\left(0,n+1\right)}\,$

liegt eine kompakte Ausschöpfung vor.

Aufgabe (9 Punkte)

Beweise den Brouwerschen Fixpunktsatz.

Lösung

Zur Notationsvereinfachung sei ${}r=1$.  Nehmen wir an, dass es eine fixpunktfreie stetig differenzierbare Abbildung ${}\psi$ geben würde. Dann ist stets

${}x\neq \psi (x)\,,$

so dass die beiden Punkte eine Gerade definieren. Die Idee ist, mittels dieser Geraden einen (der beiden) Durchstoßungspunkt mit der Sphäre als Bildpunkt einer Retraktion auf den Rand zu nehmen. Mit der Hilfsfunktion

${}h(x)={\frac {\psi (x)-x}{\Vert {\psi (x)-x}\Vert }}\,$

definieren wir eine Abbildung

$\varphi \colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

durch

$\varphi (x)=x+{\left(-\left\langle x,h(x)\right\rangle +{\sqrt {1+\left\langle x,h(x)\right\rangle ^{2}-\Vert {x}\Vert ^{2}}}\right)}\cdot h(x)\,.$

Dabei ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv. Dies ist bei ${}\Vert {x}\Vert <1$ klar und bei ${}\Vert {x}\Vert =1$ liegt ein Punkt auf der Sphäre vor, dessen Verbindungsgerade mit dem Kugelpunkt ${}\psi (x)$ nicht senkrecht zu ${}x$ ist (der affine Tangentialraum zu einem Punkt der Sphäre trifft eine Kugel nur in einem Punkt), so dass

${}\left\langle x,h(x)\right\rangle \neq 0\,$

ist. Da die Quadratwurzel und der Betrag außerhalb des Nullpunktes stetig differenzierbar sind, handelt es sich bei ${}h(x)$ und bei ${}\varphi (x)$ um stetig differenzierbare Abbildungen. Die Abbildung ${}\varphi$ bildet nach Aufgabe 23.23 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) die Kugel auf die Sphäre ab und ihre Einschränkung auf die Sphäre ist die Identität. Damit liegt eine stetig differenzierbare Retraktion der abgeschlossenen Vollkugel auf ihren Rand vor, was nach Satz 23.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) nicht sein kann.

Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}$ über ${}\mathbb {R}$ den trivialen Zusammenhang ${}\nabla$.

1. Zeige, dass ${}f_{1}(t)=\left(1+t^{2},\,t^{3}\right)$ und ${}f_{2}(t)=\left(t,\,1+t^{2}\right)$ Basisschnitte des Vektorbündels sind.
2. Drücke die Standardbasisschnitte ${}e_{1},e_{2}$ als Linearkombination der Basisschnitte ${}f_{1},f_{2}$ aus.
3. Bestimme die Christoffelsymbole von ${}\nabla$ bezüglich dieser Basisschnitte.

Lösung

1. Es ist

   ${}\det {\begin{pmatrix}1+t^{2}&t^{3}\\t&1+t^{2}\end{pmatrix}}=1+2t^{2}+t^{4}-t^{4}=1+2t^{2}>0\,$

   stets positiv, daher sind die beiden Vektoren ${}f_{1}(t)$ und ${}f_{2}(t)$ zu jedem ${}t\in \mathbb {R}$ eine Basis.

2. Aus der Beziehung

   ${}{\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+t^{2}&t^{3}\\t&1+t^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\end{pmatrix}}\,$

   folgt

   ${}{\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+2t^{2}}}{\begin{pmatrix}1+t^{2}&-t^{3}\\-t&1+t^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}\,,$

   also

   ${}e_{1}={\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{1}-{\frac {t^{3}}{1+2t^{2}}}f_{2}\,$

   und

   ${}e_{2}=-{\frac {t}{1+2t^{2}}}f_{1}+{\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{2}\,.$

3. Für den trivialen Zusammenhang ist

   ${}\nabla _{\partial }(f)=\partial f\,.$

   Somit ist

   ${}{\begin{aligned}\nabla _{\partial }(f_{1})&=\nabla _{\partial }{\left({\left(1+t^{2}\right)}e_{1}+t^{3}e_{2}\right)}\\&=2te_{1}+3t^{2}e_{2}\\&=2t{\left({\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{1}-{\frac {t^{3}}{1+2t^{2}}}f_{2}\right)}+3t^{2}{\left(-{\frac {t}{1+2t^{2}}}f_{1}+{\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{2}\right)}\\&={\left({\frac {2t+2t^{3}}{1+2t^{2}}}-{\frac {3t^{3}}{1+2t^{2}}}\right)}f_{1}+{\left(-{\frac {t^{3}}{1+2t^{2}}}+{\frac {3t^{2}+3t^{4}}{1+2t^{2}}}\right)}f_{2}\\&={\frac {2t-t^{3}}{1+2t^{2}}}f_{1}+{\frac {3t^{2}-t^{3}+3t^{4}}{1+2t^{2}}}f_{2}\end{aligned}}$

   und

   ${}{\begin{aligned}\nabla _{\partial }(f_{2})&=\nabla _{\partial }{\left(te_{1}+{\left(1+t^{2}\right)}e_{2}\right)}\\&=e_{1}+2te_{2}\\&={\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{1}-{\frac {t^{3}}{1+2t^{2}}}f_{2}+2t{\left(-{\frac {t}{1+2t^{2}}}f_{1}+{\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{2}\right)}\\&={\left({\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}-{\frac {2t^{2}}{1+2t^{2}}}\right)}f_{1}+{\left(-{\frac {t^{3}}{1+2t^{2}}}+{\frac {2t+2t^{3}}{1+2t^{2}}}\right)}f_{2}\\&={\frac {1-t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{1}+{\frac {2t+t^{3}}{1+2t^{2}}}f_{2}.\end{aligned}}$

   Die Koeffizientenfunktionen sind die Christoffelsymbole.