Kurs : Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Aufgaben B/Referenzsuche

Es sei ein angeordneter Körper und ein positives Element. Zeige, dass die ganzzahlige Exponentialfunktion

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Es sei ein Körper und sei

die Menge aller invertierbaren Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

Es sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei Zeige, dass das Potenzieren

Es sei eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente

und Gruppenhomomorphismen

von  nach  über die Korrespondenz

entsprechen.

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von

Es sei ein Körper. Zeige, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren Gruppenhomomorphismus von

gibt.

Es bezeichne

die (multiplikative) Einheitengruppe von Man gebe einen nichttrivialen Gruppenhomomorphismus von

an.

Es sei Wir betrachten die Restklassengruppe

Zeige, dass die Abbildung

kein Gruppenhomomorphismus ist.

Wie in der Vorlesung erwähnt, sind lineare Abbildungen insbesondere Gruppenhomomorphismen. Den Kern kann man wie folgt auch für einen Gruppenhomomorphismus definieren.

Es seien

Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von geschrieben

Es gilt auch wieder das Kernkriterium, also die Aussage, dass ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv ist, wenn der Kern trivial ist, d.h. nur aus besteht.

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

Seien

Gruppen und sei

ein

Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von eine Untergruppe von ist.

Stelle in der Restklassengruppe

die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen

dar.

Bestimme für die folgenden Hintereinanderausführungen von Teildrehungen (in der Ebene um den Nullpunkt), um welche Gesamtdrehung es sich handelt. Die Gesamtdrehung soll dabei durch eine Drehung um höchstens Grad (höchstens eine Halbdrehung) mit oder gegen den Uhrzeigersinn beschrieben werden.

Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung im Uhrzeigersinn.
Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn.
Eine Volldrehung im Uhrzeigersinn.
Eine Drei-Viertel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn gefolgt von einer Zwei-Drittel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn.
Eine Fünfteldrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Fünf-Achtel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn.

Begründe, dass die Menge der zu einer Geraden

parallelen Geraden eine kommutative Gruppe bilden. Addiere zwei solche Geraden miteinander. Illustriere die Wohldefiniertheit an diesem Beispiel.

Es sei eine kommutative Gruppe und

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.

Es sei ein Teiler von Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

derart gibt, dass das Diagramm kommutiert. Warum lassen sich die Reste modulo und modulo besonders einfach berechnen?

Es seien

kommutative Gruppen und sei

eine Untergruppe mit der zugehörigen Äquivalenzrelation

auf  Es sei

ein Gruppenhomomorphismus mit

Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

mit

gibt.

Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 20.4, dass jede Untergruppe von ein Ideal ist.

Zeige, dass

eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.

Es sei ein Körper,

ein

Ring mit

und

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass injektiv ist.

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.

Erstelle für Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für die Restklassenringe Was haben diese Tabellen mit dem Rechnen im System zu tun?

Gibt es eine Primzahl derart, dass auch und Primzahlen sind?
Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch und Primzahlen sind?

Bestimme den Rest von modulo

Es sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.

Bestimme das inverse Element zu in

Es sei und der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass eine Einheit modulo genau dann ist, wenn

teilerfremd sind.

Es sei ein Körper und Zeige, dass die Abbildung

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.

Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung welche nicht?

Löse die lineare Gleichung

für die folgenden Körper

a)

b)

c) der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel 11.4,

d) der Körper mit sieben Elementen aus Beispiel 41.11.

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper aus Beispiel 41.11.

Löse das lineare Gleichungssystem

über dem Körper

aus

Beispiel 41.11.

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass der Betrag

ein Gruppenhomomorphismus ist. Was ist der Kern?

Betrachte die Matrix

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von nach und ebenso von

definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.

Stelle in der Restklassengruppe

die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen

dar.

Erstelle Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für den Restklassenring

Berechne über das Matrizenprodukt

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper

aus

Beispiel 41.11.

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Wenn in den folgenden Aufgaben Wurzelausdrücke vorkommen, so ist damit gemeint, dass man sich in einem angeordneten Körper befindet, in dem es diese (positiven) Wurzeln gibt.

Vergleiche

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?

Kann man ein Quadrat mit Seitenlänge durch drei Quadrate mit Seitenlänge überdecken?

Erläutere, warum die Schreibweise für die te Wurzel aus sinnvoll ist.

Berechne

Zeige, dass es in kein Element mit

gibt.

Es sei eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl

irrational ist.

Ist die Zahl rational?

Ist die reelle Zahl

rational?

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln als Länge von Strecken vorkommen.

Es sei ein angeordneter Körper und

Zeige, dass die Gleichung

höchstens zwei Lösungen in besitzt.

Es sei ein Körper und Zeige, dass die Gleichung

höchstens zwei Lösungen in besitzt.

Zeige, dass es in vier Lösungen für die Gleichung

gibt.

Man konstruiere einen kommutativen Ring

in dem die  mindestens drei

Quadratwurzeln besitzt.

Vergleiche

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in die (positiven) Elemente

existieren. Welches ist größer?

Vergleiche

Es sei ein angeordneter Körper und mit

Zeige

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper

Es sei ein angeordneter Körper mit wobei keine Quadratzahl sei. Zeige, dass

ein Körper ist.

Betrachte die Menge

wobei zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ist und dass zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass zu einem angeordneten Körper wird und dass positiv wird.

c) Fasse die Elemente von als Punkte im auf. Skizziere eine Trennlinie im die die positiven von den negativen Elementen in trennt.

d) Ist das Element positiv oder negativ?

Zu einem kommutativen Ring bezeichnet man die Elemente, die bezüglich der Multiplikation ein Inverses besitzen, als Einheiten. Sie bilden eine Gruppe, die sogenannte Einheitengruppe, die mit bezeichnet wird. Bei einem Körper ist einfach

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Quadrate in eine Untergruppe von bilden.

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Quadrate in eine Untergruppe von bilden.

Es sei

die (multiplikative) Untergruppe der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei die zugehörige Äquivalenzrelation auf Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist (die erfülle diese Eigenschaft).

Wir betrachten die Menge

Zeige, dass eine Untergruppe von (bezüglich der Addition) ist.
Zeige, dass unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
Zeige, dass die rationalen als Diagonalmatrizen enthält.
Zeige, dass ein kommutativer Ring ist.
Zeige, dass ein Körper ist.
Zeige, dass eine Quadratwurzel zu enthält.

Berechne

Ein angeordneter Körper

enthalte die Wurzeln

Zeige, dass auch enthält.

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass

eine Untergruppe von bildet.

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.

Wir betrachten auf

die Relation

falls

gilt.

Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
Es sei die zugehörige Quotientenmenge. Zeige, dass auf durch eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.
Zeige, dass eine kommutative Gruppe ist.
Es sei ein angeordneter Körper, in dem es zu jedem und jedes die Wurzel gibt. Zeige, dass die Zuordnung ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper

Es sei ein angeordneter Körper, und Zeige, dass die Gleichung

höchstens zwei Lösungen in besitzt.

Zeige, dass es in sechs Lösungen für die Gleichung

gibt.

Zeige, dass man nicht in der Form

mit schreiben kann.

Es seien ganze Zahlen und eine Lösung der Gleichung

Zeige, dass eine ganze Zahl ist.

Es sei ein angeordneter Körper und , Es seien

positive ganze Zahlen. Zeige

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Bestimme

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper und es seien Zeige

Schreibe die Menge

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei abgeschlossenen Intervallen in einem angeordneten Körper

wieder ein abgeschlossenes Intervall ist.

Zeige, dass der Durchschnitt von einem abgeschlossenen und einem offenen Intervall in einem angeordneten Körper offen, abgeschlossen und halboffen sein kann.

Es seien Intervalle in einem angeordneten Körper

mit

Zeige, dass die Vereinigung wieder ein Intervall ist.

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und

ein Intervall mit den Intervallgrenzen

Zeige, dass es in eine rationale Zahl gibt.

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und

ein Intervall mit den Intervallgrenzen

Zeige, dass es in unendlich viele rationale Zahlen gibt.

Es sei

ein Intervall in einem angeordneten Körper

Beschreibe die Menge

als ein Intervall.

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper

mit  Beschreibe die Menge

als ein Intervall.

Es sei ein angeordneter Körper und seien

rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung

gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.

Es sei ein angeordneter Körper und seien verschiedene Punkte aus Zeige, dass es Intervalle

mit positiver Länge, mit und mit

gibt.

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper

die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.

a)

b)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu

mit dem Startwert

durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert

Bestimme die Glieder der Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startglied
Finde ganze Zahlen mit

Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert Für ein Folgenglied gelte

Zeige, dass auch für alle weiteren Glieder die Folge konstant gleich ist.

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl (mit einem positiven Startwert) berechnen möchte?

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert die Quadratwurzel von berechnen möchte?

Es sei

Es ist

und

Führe, ausgehend vom Intervall Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion an der linken Grenze des Intervalls positiv und an der rechten Grenze negativ ist, bis ein Intervall der Länge erreicht ist.

Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert Es sei

und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert Zeige

für alle

Es sei ein angeordneter Körper und sei

Zu einem positiven

betrachten wir die Folge die durch die Rekursionsvorschrift

definiert sei.

Berechne die Glieder zu und
Es sei die Heron-Folge zur Berechnung von zum positiven Startwert der erfülle. Zeige für alle
Zeige, dass gegen konvergiert (und zwar unabhängig davon, ob es in eine Quadratwurzel von gibt).

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

des Heron-Verfahrens in für

Zeige, dass für sämtliche Startglieder

stets eine nichtkonstante Folge entsteht.

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

des Heron-Verfahrens in für

Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei offenen Intervallen in einem angeordneten Körper

wieder ein offenes Intervall ist.

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper

die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung bilden.

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert

Es sei

Es ist

und

Führe, ausgehend vom Intervall Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion an der linken Grenze des Intervalls negativ und an der rechten Grenze positiv ist, bis ein Intervall der Länge erreicht ist.

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Es seien

die beide gegen

konvergieren mögen. Zeige, dass die Differenzfolge eine Nullfolge ist.

Es sei die Heron-Folge zur Berechnung von zum Startwert

Konvergiert diese Folge in

Es sei und die zugehörige Heron-Folge zur Berechnung von Wann konvergiert diese Folge in

Bestimme für die Folge

und

ab welchem (minimalen)

die Abschätzung

gilt.

Bestimme für die Folge

und

ab welchem (minimalen)

die Abschätzung

gilt.

Es sei

Zeige, dass die Folge in einem archimedisch angeordneten Körper gegen konvergiert.

Zeige, dass bei einer Folge in einem angeordneten Körper

die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die

Konvergenz noch den Grenzwert ändert.

Zu

sei die rationale Folge folgendermaßen definiert: Es sei

die größte Zahl mit

und mit

Zeige, dass die Folge eine Dezimalbruchfolge ist.

Eine Folge in einem angeordneten Körper

sei durch einen Anfangswert

und durch die Rekursionsvorschrift

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Eine Folge in einem angeordneten Körper

sei durch einen Anfangswert

und durch die Rekursionsvorschrift

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper

Zeige, dass die Folge genau dann gegen

konvergiert, wenn die durch

gegebene Folge eine Nullfolge ist.

In den folgenden Aufgaben werden die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 44.12 bewiesen.

Es sei ein angeordneter Körper und es seien

konvergente Folgen in Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit

ist.

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in Es sei Zeige, dass die Folge ebenfalls konvergent mit

ist.

Es sei ein angeordneter Körper und es seien

konvergente Folgen in Es sei und für alle Zeige, dass ebenfalls konvergent ist mit

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Es sei ein angeordneter Körper und es seien

zwei konvergente Folgen mit

für alle

Zeige, dass dann

gilt.

Es sei ein angeordneter Körper und es sei

ein abgeschlossenes Intervall in Es sei eine Folge in mit für alle Die Folge konvergiere gegen Zeige

Es sei ein angeordneter Körper und es seien

drei Folgen in Es gelte

und

konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.

Zeige, dass die Folge

in keinem angeordneten Körper konvergiert. Kann sie beschränkt sein?

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.

Bestimme mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung den Grenzwert der Folge

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 13.30 hilfreich.

Es sei ein angeordneter Körper, in dem die Wurzeln zu existieren. Zeige, dass die Folge ab

streng fallend ist.

Zu sei die Summe der ungeraden Zahlen bis und die Summe der geraden Zahlen bis Entscheide, ob die Folge

in konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Man gebe Beispiele für positive monoton wachsende unbeschränkte Folgen

in einem angeordneten Körper derart, dass die Folge

gegen konvergiert,
gegen konvergiert,
divergiert.

Es sei

Finde das kleinste mit
Finde das kleinste mit

Es sei ein angeordneter Körper und seien Zeige, dass die Reihe

divergiert.

Zeige, dass die Reihe

divergiert.

Zeige analog zu Beispiel 44.14, dass das (gliedweise) Produkt der kanonischen Dezimalbruchfolgen von zwei rationalen Zahlen nicht die Dezimalbruchfolge des Produktes sein muss.

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass genau dann archimedisch angeordnet ist, wenn die Folge der Stammbrüche

gegen

konvergiert.

Es seien

mit  für alle  Die Quadratfolgen  und  seien konvergent und es sei  eine

Nullfolge. Zeige, dass ebenfalls eine Nullfolge ist.

Es seien

mit  für alle  Es sei  eine

Nullfolge. Zeige, dass ebenfalls eine Nullfolge ist.

Es sei ein angeordneter Körper und eine konvergente Folge in Zeige, dass die Folge eine wachsende oder eine fallende Teilfolge enthält.

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge.

Man gebe Beispiele für konvergente Folgen

in einem angeordneten Körper

mit

, und mit derart, dass die Folge

gegen konvergiert,
gegen konvergiert,
divergiert.

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert

Zeige, dass dann auch die durch

definierte Folge gegen konvergiert.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 44.31 hilfreich.

Es sei ein angeordneter Körper und Es seien Startwerte und

die zugehörigen Heron-Folgen zur Berechnung von Zeige, dass eine Nullfolge ist.

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

gegen konvergiert.

Zeige, dass die beiden Reihen

divergieren.

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Negiere die Aussage, dass eine Folge in einem angeordneten Körper eine Cauchy-Folge ist, durch Umwandlung der Quantoren.

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in die (in) nicht konvergiert.

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

Es sei eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper

Es gelte

für alle Folgt daraus, dass eine Cauchy-Folge ist?

Es sei eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper

Es gelte

für alle Folgt daraus, dass eine Cauchy-Folge ist?

Es sei eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper

und sei

ein Element mit

Es gelte

für alle Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.

Es seien

derart, dass

für alle

gilt. Es seien

Cauchy-Folgen und es sei die Differenzfolge eine Nullfolge. Zeige, dass dann auch eine Cauchy-Folge ist.

Zeige, dass eine Teilfolge einer Cauchy-Folge wieder eine Cauchy-Folge ist.

Es seien

angeordnete Körper und es sei eine Folge in die in gegen

konvergiert. Zeige, dass die Folge in eine Cauchy-Folge ist.

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei eine fallende, nach unten beschränkte Folge. Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge

in

beschränkt ist.

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper und es sei eine Nullfolge in Zeige, dass die Summenfolge

ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.

Es sei eine gegen konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen konvergiert.

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Folge der Stammbrüche die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

Die Folge ist eine Nullfolge.
Die Folge ist eine Cauchy-Folge.
Der Körper ist archimedisch angeordnet.

Es sei ein angeordneter Körper und mit

Zeige, dass für alle die Abschätzung

gilt.

Zwei Personen,

sitzen in der Kneipe.  will nach Hause gehen, aber  will noch ein Bier trinken.  sagt  Danach möchte  immer noch Bier, aber da das vorhergehende Bier definitiv das letzte war, einigen sie sich auf ein allerletztes halbes Bier. Danach trinken sie noch ein allerletztes Viertelbier, danach noch ein allerletztes Achtelbier, u.s.w. Wie viel  trinken sie insgesamt?

Zeige

Zeige, dass die Reihe in einem archimedisch angeordneten Körper konvergiert und bestimme den Grenzwert.

Es seien und Cauchy-Folgen in einem angeordneten Körper

wobei die Differenzfolge  eine

Nullfolge sei. Zeige, dass für genau dann eine der Alternativen aus Lemma 45.10 gilt, wenn sie für gilt.

Es seien und Cauchy-Folgen in einem angeordneten Körper

die im Sinne von

Lemma 45.10 positiv seien. Zeige, dass dann auch die Summenfolge und die Produktfolge positiv sind.

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass es eine Teilfolge , derart gibt, dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem

gilt für alle

die Abschätzung

Es sei ein archimedisch angeordneter vollständiger Körper. Zeige, dass

genau dann nichtnegativ ist, wenn eine Quadratwurzel besitzt.

Zeige, dass vollständig ist, dass also jede Cauchy-Folge in konvergiert.

Man gebe ein Beispiel für eine Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper

Zeige, dass es eine

Teilfolge mit der Eigenschaft gibt, dass zu jedem für alle die Abschätzung

gilt.

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper

die sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Folgenglieder besitzt. Zeige, dass es sich um eine

Nullfolge handelt.

Zeige, dass die Reihe beschränkt ist.

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Zeige, dass im Ring der rationalen Folgen die Teilmenge der Nullfolgen kein Ideal bildet.

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Menge aller Folgen in (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.

Dieser Folgenring wird mit bezeichnet.

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Menge aller Folgen in (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) kein Körper ist.

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Menge aller konvergenten Folgen in (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.

Die beiden Zwillingsschwestern Carmen und Conchita Cauchy waren gestern auf einer tollen Party. Beide haben jeweils genau eine Erinnerungslücke, einen Moment, an den sie sich nicht errinnern können. Sie möchten wissen, ob es sich um die gleiche Lücke handelt. Da es sich um eine Lücke handelt, können sie diese nicht direkt adressieren und untereinander vergleichen. Welche Möglichkeiten haben sie, ihre Erinnerungslücken allein mit Hilfe ihrer Erinnerungen zu vergleichen?

Wir nennen zwei Folgen

aus wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem

gibt es ein derart, dass für alle

die Abschätzung

gilt. Zeige die folgenden Aussagen.

Die Cauchy-Äquivalenz ist eine symmetrische und transitive Relation auf dem Folgenring
Die Folge ist eine Cauchy-Folge genau dann, wenn sie zu sich selbst Cauchy-äquivalent ist.
Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen ist die Cauchy-Äquivalenz eine Äquivalenzrelation.
Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen stimmt die Cauchy-Äquivalenz von zwei Folgen mit der Eigenschaft überein, dass ihre Differenzfolge eine Nullfolge ist.
Wenn eine Cauchy-Folge ist und zu Cauchy-äquivalent ist, so ist auch eine Cauchy-Folge.

Es sei ein Körper und der zugehörige Folgenring. Es sei

fixiert.

Zeige, dass ein Ideal in ist.
Welche Bedeutung hat die durch dieses Ideal gegebene Äquivalenzrelation?
Zeige, dass die Gesamtabbildung bijektiv ist.

Es sei ein Körper und der zugehörige Folgenring. Zeige, dass durch

falls sich die beiden Folgen nur in endlich vielen Gliedern unterscheiden, eine Äquivalenzrelation definiert ist. Rührt diese Äquivalenzrelation von einem Ideal her?

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in konvergenten Folgen ein Ideal?

Es sei

der Ring, der aus allen in konvergenten, rationalen Folgen besteht.

Zeige, dass die Menge der Nullfolgen ein Ideal in bildet.
Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus gibt.
Zeige, dass es einen bijektiven Ringhomorphismus gibt.

Es sei

und das Ideal der Nullfolgen in

Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus gibt.
Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus gibt.
Zeige, dass die Gesamtabbildung bijektiv ist.

Es sei

der Ring aller rationalen Folgen. Ist die Abbildung

die einer rationalen Zahl ihre Dezimalbruchfolge zuordnet, ein Ringhomomorphismus?

Wir betrachten die Ringhomomorphismen

und

wobei den Ring der rationalen Cauchy-Folgen und das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Zeige, dass es jeweils (über kanonische Repräsentanten) eine natürliche Abbildung in die andere Richtung mit

gibt, die aber kein Ringhomomorphismus ist.

Es sei ein angeordneter Körper und es sei die Menge der wachsenden Folgen in Zeige, dass mit der gliedweisen Addition und Multiplikation ein kommutativer Halbring ist.

Es seien

rationale Cauchy-Folgen. Zeige, dass in

die Ordnungsbeziehung

genau dann gilt, wenn es ein derart gibt, dass

für alle

gilt.

Es seien

rationale Cauchy-Folgen. Zeige, dass in

die Ordnungsbeziehung

genau dann gilt, wenn es unendlich viele mit

gibt.

Wir betrachten die Folge in Jedes Folgenglied sei selbst durch die Heron-Folge

mit dem Startwert  repräsentiert. Bestimme die Diagonalfolgenglieder  im Sinne von

Satz 46.9.

Es sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert

also

Wir betrachten die reelle Folge

Zu jedem sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert

Bestimme die Diagonalfolgenglieder im Sinne von Satz 46.9. Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist und bestimme den Grenzwert.

Es sei eine Cauchy-Folge von reellen Zahlen. Zeige, dass man die durch rationale Cauchy-Folgen derart repräsentieren kann, dass die Diagonalfolge

(siehe Satz 46.9)

in nicht konvergiert,
in konvergiert, aber nicht gegen den Grenzwert von
in konvergiert, und zwar gegen den Grenzwert von

Es sei die Menge aller reellen konvergenten Folgen und

die Abbildung, die einer konvergenten Folge ihren Grenzwert zuordnet. Warum ist dies eine (wohldefinierte) Abbildung? Ist injektiv? Ist surjektiv?

Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens

Gibt es Gruppenhomomorphismen

die nicht linear sind?

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.

Es seien

archimedisch angeordnete Körper. Es sei eine in konvergente Folge. Zeige, dass diese Folge auch in konvergiert.

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper

die in einem größeren angeordneten Körper

nicht konvergiert.

Zeige, dass das reelle Einheitsintervall unendlich viele irrationale Zahlen enthält.

Zeige, dass jedes reelle Intervall mit positiver Intervalllänge unendlich viele irrationale Zahlen enthält.

Es sei eine Cauchy-Folge in Zeige, dass jede Teilfolge davon das gleiche Element im Cauchy-Folgen-Modell definiert.

Es sei ein Körper, bei dem eine Teilmenge

ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.

Für ist entweder oder oder
Aus folgt
Aus folgt

Zeige, dass durch die Festlegung

ein angeordneter Körper entsteht.

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Menge aller beschränkten Folgen in (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.

Wir betrachten die Folge

in Jedes Folgenglied sei selbst durch die Heron-Folge

mit dem Startwert

repräsentiert. Bestimme die Diagonalfolgenglieder im Sinne von Satz 46.9.

Es sei ein Körper und der zugehörige Folgenring. Es sei

die Menge aller Folgen über bei denen nur endlich viele Glieder von verschieden sind.

Zeige, dass ein Ideal in ist.
Zeige, dass der Restklassenring kein Körper ist.

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Heinz Ngolo und Mustafa Müller sagen abwechselnd reelle Zahlen auf. Dabei sind die Zahlen von Heinz alle positiv und fallen, die Zahlen von Mustafa sind negativ und wachsen. Es sei die dadurch gegebene Folge.

Kann gegen eine von verschiedene Zahl konvergieren?
Muss gegen konvergieren?

Zeige, dass der einzige Körperisomorphismus

die Identität ist.

Es sei

und

Zeige, dass genau dann irrational ist, wenn irrational ist.
Es sei zusätzlich Zeige, dass genau dann irrational ist, wenn irrational ist.

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen

mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen

mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen

und eine rationale Zahl

mit

In sei eine Folge gegeben, deren Anfangsglieder durch

gegeben sind. Muss die Folge in konvergieren? Muss die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren?

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen

beginnen

und

Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe sagen?

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen

beginnen

und

Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe sagen?

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen

beginnen

und

Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes sagen? Was kann man über die erste Nachkommaziffer des Produktes sagen, wenn die zweite Nachkommaziffer gleich ist.

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen

beginnen

und

Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes sagen?

Es sei

die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die Nachkommastelle in der (kanonischen) Dezimalentwicklung eine ist. Welche Eigenschaften eines Ideals erfüllt diese Menge, welche nicht?

Eine reelle Zahl besitze die Ziffernentwicklung

im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von sagen?

Eine reelle Zahl besitze die Ziffernentwicklung

im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von sagen?

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

in eine Gruppe mit der Eigenschaft gibt, dass genau dann irrational ist, wenn ist.

Es sei

eine irrationale Zahl und sei

Zeige, dass eine Untergruppe von ist.
Zeige, dass es kein Element mit gibt.
Zeige, dass es in kein positives minimales Element gibt.

Es sei ein angeordneter Körper und eine Folge in Wir definieren zwei Folgen mit den Anfangswerten

und

rekursiv durch

und

Zeige, dass wachsend ist.
Zeige, dass fallend ist.
Zeige Man kann also jede Folge als Summe einer wachsenden und einer fallenden Folge darstellen.

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass man die alternierende Folge nicht als Summe

schreiben kann, wenn und beschränkte und monotone Folgen sind.

Es sei

Zu einem Startwert

sei eine reelle Folge rekursiv durch

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei

ist

für alle

und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei

ist die Folge konstant.

(c) Bei

ist

für alle

und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede wachsende, nach oben beschränkte Folge in konvergiert. Zeige, dass vollständig ist.

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder

gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch

Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und

Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung

erfüllt. Berechne daraus

Beweise durch Induktion die für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

gilt ().

Es sei

und

Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert

durch

eine Folge definiert wird, die gegen konvergiert.

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Welche Dezimalbruchfolgen der Form mit

sind Nullfolgen in Welche in

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.

Zu den reellen Zahlen

sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,

und

Zeige, dass die Summe ebenfalls eine (nicht unbedingt minimale) Periode der Länge besitzt. Erläutere, wie sich die Periode der Summe aus den beiden einzelnen Perioden ergibt.

Zu den reellen Zahlen

sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,

und

Was kann man über die Periodenlänge der Summe sagen?

Zu den reellen Zahlen

sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,

und

Was kann man über die Periodenlänge des Produktes sagen?

Es sei und sei

die reelle Zahl mit Periodenlänge (die Periode besteht aus Nullen und einer). Sei

mit Zeige

Aufgrund der Wohldefiniertheit der Addition und der Multiplikation für die reellen Zahlen können wir je zwei Zahlen, die in der Form (mit Ziffern aus die nach rechts unendlich weiter gehen können) miteinander addieren und multiplizieren, insbesondere kommt dabei wieder eine Zahl in einer solchen Form heraus. Jemand kommt auf folgende Idee: Was ist davon zu halten?

Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit) hat einen Vorsprung

gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit

und dem Startpunkt). Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte

ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle

Wenn Achilles an der Stelle ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle

u.s.w.

Berechne die Folgenglieder die zugehörigen Zeitpunkte sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.

Es sei

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.

Zeige, dass die Folge mit

konvergiert.

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Dezimalbruchfolge in konvergiert. Zeige, dass vollständig ist.

Eine Teilmenge

heißt dicht wenn es zu jeder reellen Zahl

und jedem

Elemente

mit

gibt.

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen

in

dicht ist.

Zeige, dass die Menge der Dezimalbrüche in dicht ist.

Es sei eine fixierte natürliche Zahl und es sei die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von als Nenner schreiben kann. Zeige, dass in dicht ist.

Es sei

eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann dicht in ist, wenn es zu jeder reellen Zahl

eine Folge

gibt, die gegen konvergiert.

Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen in dicht ist.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 47.14 hilfreich.

Zeige, dass die Untergruppe

dicht ist.

Es sei eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen Zeige, dass entweder

mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ist, oder aber dicht in ist.

Die Teilmenge

ist ein Körper. Zeige, dass es einen von der Identität verschiedenen bijektiven Ringhomomorphismus

gibt.

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten reellen Folge.

Es sei ein angeordneter Körper und eine Cauchy-Folge in Zeige, dass man im Allgemeinen nicht

mit einer wachsenden Cauchy-Folge und einer fallenden Cauchy-Folge schreiben kann.

Es sei

eine konvergente Folge mit dem Grenzwert Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.

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Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Intervallschachtelung in einen Punkt enthält. Zeige, dass vollständig ist.

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne

Beschreibe die zugehörige Intervallschachtelung mit Intervallen der Länge und entsprechenden Grenzen.

Es sei

eine Intervallschachtelung für und

eine Intervallschachtelung für Beschreibe eine Intervallschachtelung für

Bestimme die ersten Intervalle , in der Intervallhalbierung zu ausgehend von

Was besagt das Ergebnis für die Ziffernentwicklung von im Zweiersystem?

Im jetzigen Kontext betrachte man auch nochmal Aufgabe 28.37, Aufgabe 28.38, Aufgabe 28.39.

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

mit

für alle wobei streng wachsend und streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

derart an, dass eine Nullfolge ist, dass aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Es sei ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge heißt ein Abschnitt wenn für alle mit und jedes mit auch ist.

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass jedes Intervall (einschließlich der unbeschränkten Intervalle) in ein Abschnitt ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in der kein Intervall ist.

Zeige, dass in jeder Abschnitt ein Intervall ist.

Es sei ein angeordneter Körper und sei die Menge aller Intervallschachtelungen auf Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen

zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem

gibt es ein

mit

und zu jedem

gibt es ein

mit

Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine Äquivalenzrelation auf ist.
Sei Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren.
Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren.

Inwiefern definiert eine rationale Zahl einen Dedekindschen Schnitt?

Inwiefern definiert eine reelle Zahl einen Dedekindschen Schnitt?

Man gebe für jede der vier Bedingungen, die in der Definition eines Dedekindschen Schnittes vorkommen, ein Beispiel für ein Paar mit das drei dieser Bedingungen erfüllt, aber nicht die vierte.

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine Addition, die für rationale Schnitte mit der Addition auf übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt einen negativen Schnitt besitzt.

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine Multiplikation, die für rationale Schnitte mit der Multiplikation auf übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt einen inversen Schnitt besitzt.

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine totale Ordnung, die für rationale Schnitte mit der Größergleichrelation auf übereinstimmt.

Zeige, dass die Menge der Dedekindschen Schnitte ein angeordneter Körper ist.

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jeder Dedekindsche Schnitt in ein Punktschnitt ist. Zeige, dass vollständig ist.

Es sei

und es seien nichtnegative reelle Zahlen mit

Zeige mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes, dass es ein

mit

gibt.

Es sei

Untersuche die Folge

auf Konvergenz.

Untersuche die Folge

auf Konvergenz.

Es seien

zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das

arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.

Es seien positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen

durch und durch

Zeige, dass eine Intervallschachtelung ist.

Es sei

eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge

(mit).

Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
Zeige, dass sämtliche Folgenglieder sind.
Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.

Berechne für die Folge

die ersten vier Glieder als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal an.

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)

b)

Für die Eulersche Zahl seien die Abschätzungen

bekannt.

Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?
Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne

Beschreibe die zugehörige Intervallschachtelung mit Intervallen der Länge und entsprechenden Grenzen.

In der folgenden Aufgabe dürfen Sie annehmen, dass sich alles in abspielt.

Es sei

eine Intervallschachtelung für und

eine Intervallschachtelung für Beschreibe eine Intervallschachtelung für

Eine reelle Zahl besitze die Ziffernentwicklung

im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von sagen?

Eine reelle Zahl besitze die Ziffernentwicklung

im Dezimalsystem, die angedeutete Regelmäßigkeit gelte für die gesamte Entwicklung. Bestimme die Ziffernentwicklung von bis zur vierten Nachkommastelle.

Bestimme die Ziffernentwicklung von

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Berechne für die Folge

die Glieder bis als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal an.

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Berechne das Polynom

Bestimme für das Polynom

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu

Es ist heiß. Lucy Sonnenschein möchte einen würfelförmigen Pool mit Seitenlänge voll mit Wasser haben. Der Kubikmeter Wasser kostet Euro, der Quadratmeter Kacheln für Wände und Boden kostet Euro, der Überlaufrand kostet Euro pro Meter und die Baugenehmigung kostet Euro. Erstelle eine Kostenfunktion für den Pool in Abhängigkeit von der gewählten Seitenlänge.

Berechne das Produkt

Berechne das Produkt

Beweise die Formel

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper

gilt: Wenn  beide ungleich  sind, so ist auch

Es sei ein angeordneter Körper und

der Polynomring über Sei

Zeige, dass die drei folgenden Eigenschaften besitzt

Entweder ist oder oder
Aus folgt
Aus folgt

Zeige, dass eine quadratische Gleichung

über einem Körper maximal zwei Lösungen besitzt.

Löse die quadratische Gleichung

über

Löse die quadratische Gleichung

über

Löse die reelle quadratische Gleichung

durch quadratisches Ergänzen.

Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt Euro, ein Meter Hecke kostet Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion

Eine Gleichung der Form

heißt

Löse die biquadratische Gleichung

über

Bestimme die Lösungen der Gleichung

über

Eliminiere im kubischen Polynom

den quadratischen Term, d.h. schreibe dieses Polynom als

mit geeigneten

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.

Es sei

eine quadratische Gleichung über einem Körper und es sei

eine Lösung davon. Zeige, dass auch eine Lösung der Gleichung ist.

Bei den folgenden Aufgaben überlege man sich auch, was die Äquivalenzrelationen für die Graphen der Funktionen bedeuten.

Es sei ein Körper und sei

die Menge der Abbildungen von nach Wir betrachten die Relation auf die durch

falls es ein mit

gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Es sei ein Körper und sei

die Menge der Abbildungen von nach Wir betrachten die Relation auf die durch

falls es ein mit

für alle gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Es sei ein Körper und sei

die Menge der Abbildungen von nach Wir betrachten die Relation auf die durch

falls es ein mit

für alle gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Wir betrachten auf der Menge der quadratischen Polynome über dem Körper die Äquivalenzrelation aus Aufgabe 49.23. Finde für jedes quadratische Polynom einen besonders einfachen Repräsentanten.

Beweise die Umkehrung des Satzes von Vieta: Wenn eine normierte quadratische Gleichung

gegeben ist und wenn Zahlen sind mit

und

so sind

die Lösungen der Gleichung.

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung

mit Hilfe des Satzes von Vieta.

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung

mit Hilfe des Satzes von Vieta.

Es sei Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung

mit Hilfe des Satzes von Vieta.

Berechne das Polynom