Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Forum

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Frage zum Satz 5.12

Zum Beweis Satz 5.12

Ich kann nicht folgenden Schritt nachvollziehen:

$(a+b)^{n+1}=\sum _{k=1}^{n}{\displaystyle {\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}}+\sum _{k=1}^{n}{\displaystyle {\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}}$

und dann

$(a+b)^{n+1}=\sum _{k=1}^{n+1}{\displaystyle {\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}}+\sum _{k=1}^{n+1}{\displaystyle {\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}}$

könnte jemand es erklären?

Bei der linken Summe wurde der Index $k$ um eins verschoben. Und beim rechten Term wurde noch ein Summand hinzugefügt, der aufgrund der Konvention ${\binom {n}{n+1}}=0$ aber nichts ändert. Ähnliche Argumente benutzt man dann auch um zu sehen, dass sich beim linken Term nichts geändert hat (also z.B. ${\binom {n}{-1}}=0$ für $n\in \mathbb {N}$). Und deine Summen sollten eigtl bei $k=0$ anfangen.

Danke:-)

Schönen Sonntag, --Axel 10:42, 8. Nov. 2009 (CET)

Ist das ein Beweis?

Ich weiss nicht, ob dieser ein Beweis für Lemma 7.10 ist?

$\lim _{n\to \infty }cx_{n}=c(\lim _{x\to \infty }x_{n})$

Für ein beliebiges $\epsilon$

$\lim _{n\to \infty }cx_{n}=t$

Achtung, es ist erstmal gar nicht selbstverständlich, dass die Folge ${}cx_{n}$ konvergiert, ob es also so ein t gibt. Geben Sie stattdessen den Sachen, die es gibt, also dem Limes von ${}x_{n}$ einen Namen und arbeiten damit.

$\epsilon \geq \left|cx_{n}-t\right|$

$\epsilon \geq \left|c(x_{n}-{\frac {t}{c}})\right|$

$\epsilon \geq {\frac {\epsilon }{c}}\geq \left|x_{n}-{\frac {t}{c}}\right|$

Die erste Abschätzung gilt nur bei ${}c\geq 1$ richtig.

So:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}={\frac {t}{c}}$

$c(\lim _{n\to \infty }x_{n})=t=\lim _{n\to \infty }cx_{n}$

---

Also, gibt es nur einen Grenzwert oder Limes, wenn eine Folge konvergiert?

wenn ${}1\geq c$ denn:

fur beliebiges ${}\epsilon$ gibt es ${}n_{0}$

für es:

$\epsilon \geq \epsilon c\geq c\left|x_{n_{0}}-{\frac {t}{c}}\right|$

so dass:

$c\epsilon \geq c\left|x_{n_{0}}-{\frac {t}{c}}\right|$

$\epsilon \geq \left|x_{n_{0}}-{\frac {t}{c}}\right|$

Literatur

Kann jemand von euch Bücher, zum parallelen lernen für die lineare Algebra empfehlen?

siehe Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Literatur.

Wunsch für die Übungsstunde am Montag, 30.11.09, 16 Uhr bei A. Kaid

Hallo,

letzte Übungsstunde hatte ich schon den Wunsch geäußert, die "Zuknoepfaufgabe" (7.16) zu besprechen. Im Grunde interessiert mich nicht die komplette Loesung der Aufgabe, sondern nur die Antwort auf folgende Frage (, die auch ersatzweise hier im Forum beantwortet werden kann, da wir uns thematisch schon so weit entfernt haben): Wie kann man in Teilaufgabe (4) mathematisch begründen, dass eine (nach einem bestimmten Bildungsprinzip) gefundene bijektive Zuknoepfung tatsächlich einen maximalen Zerstreutheitsindex aufweist?

Die Aufgabe zu den bijektiven Zuknöpfungen wurde absichtlich nur für kleine ${}n\leq 5$ gestellt. Für kleine n kann man die Aufgabe grundsätzlich lösen, indem man alle Möglichkeiten berücksichtigt. Da gibt es wohl keinen Ansatz, der die Aufgabe erschlägt; man kann aber trotzdem geschickt vorgehen und viele Fälle ausschließen. Insbesondere ist hilfreich: die Ergebnisse für kleinere n verwenden, die man schon etabliert hat. Symmetrien ausnutzen. Geschickte Fallunterscheidungen machen. Bei n=5, wo das Ergebnis 12 ist, kann man etwa folgendermaßen vorgehen: was ist der größte Sprung, der vorkommt, was der zweitgrößte Sprung. Man muss zeigen, dass eine Summe ${}\geq 13$ nicht möglich ist. Da fünf Zahlen aufsummiert werden, müssen bei 13 drei davon mindestens 3 sein. Der größte Sprung ist also 3 oder 4.

Der Sprung 4 ist nur zwischen 1 und 5 möglich. Wenn das vorkommt, muss man nur den Fall betrachen, wo 1 nach 5 geht. Wenn auch 5 nach 1 geht, so werden 2,3,4 untereinander vertauscht, man ist also in der Situation n=3 (mit Maximum 4). Wenn 5 nicht nach 1 geht, so braucht man einen zweitgrößten Sprung der Länge 3. 2 kann nicht nach 5 gehen, also bleibt 4 nach 1 oder 5 nach 2, die man einzelnen ausschließen muss.

Wenn 3 der maximal Sprung ist, so muss es davon schon drei Stück geben. Also muss 1 und 4 sich vertauschen oder 2 und 5. Da die Situation symmetrisch ist, muss man nur einen Fall betrachten. Wenn 1 und 4 vertauschen, so müssen 2,3 und 5 untereinander vertauschen, dies ergibt aber maximal 6.

Zugegeben, das war eine der aufwändigsten Aufgaben bisher, was auch an der Punkteanzahl zum Ausdruck kam.--Bocardodarapti 16:55, 29. Nov. 2009 (CET)

Aktueller würde ich gerne Aufgabe 10.11 komplett besprechen.

Grüße, Janos 13:56, 27. Nov. 2009 (CET)

Kritik am Übungsbetrieb

An alle an der Diskussion Interessierten:

Nachdem wir uns nun schon einige Wochen im Übungsbetrieb befinden und uns mittlerweile in das System eingefunden haben, sind uns mehrere Bereiche aufgefallen, in denen unserer Meinung nach deutlicher Verbesserungsbedarf besteht:

Zeitlicher Ablauf

Situation:

Die Übungsstunden finden groeßtenteils montags bzw. dienstags statt. Dort findet die Vorbesprechung zweier Übungsblätter statt, von denen das eine bereits am folgenden Mittwoch, das andere jedoch erst in der folgenden Woche (also in 8-9 Tagen) abgegeben werden muss. Für die Nachbesprechung gilt analog: Die nachzubesprechenden Aufgaben wurden schon mindestens 5 Tage zuvor abgegeben (mit der Bearbeitung hat man in der Regel mindestens weitere 5 Tage eher begonnen).

Kritik:

Für die Vorbesprechung gilt, dass sie für das eine Blatt einerseits zu früh erfolgt (, da man in der Regel noch mit der Bearbeitung der aktuellen Aufgaben beschäftigt ist und sich daher noch nicht mit den neuesten Aufgaben - die ja erst am Montag ausgegeben wurden - auseinandersetzen konnte), für das andere jedoch deutlich zu spät ist (da es ja schon in einem bzw. zwei Tagen abzugeben ist). Zur Nachbesprechung: Einerseits ist die Bearbeitung der zu besprechenden Aufgaben schon mindestens 5 Tage abgeschlossen, andererseits beschäftigt man sich zu diesem Zeitpunkt bereits seit einer Woche mit der Bearbeitung der neuen Aufgaben, sodass man sich gedanklich schon weit entfernt hat. Da in der Zwischenzeit bereits 4 Vorlesungssitzungen stattgefunden haben, sind ständig thematische Rückgriffe erforderlich, die den Fluss stoeren. Allgemein koennte man sagen, dass die Arbeitsphasen (also die Zeit zwischen Vorbesprechung und Abgabe) mit den Besprechungsphasen gegeneinander verschoben sind, was in untenstehender Grafik illustriert ist.

Alternative:

Die Übungstermine auf Mittwoch bis Freitag (also ohnehin weniger belastete Wochentage) zu verlegen, würde die geschilderten Probleme vermeiden. Insgesamt gäbe es keine Überschneidungen bei den Arbeitsphasen und zwischen einer Vorbesprechung und der jeweiligen Abgabe läge stets ein Wochenende. Die Nachbesprechung schloesse sich unmittelbar an die jeweilige Arbeitsphase an und würde auch zum jeweils aktuellen Vorlesungsstoff besser passen (vgl. Grafik).

Besprechung der Loesungen

Die Fülle an Aufgaben (die hier als solche nicht in Frage gestellt werden soll) macht es unmoeglich, alle relevanten Aufgaben nachzubesprechen. Insbesondere von solchen Aufgaben, an denen man sich versucht hat, jedoch gescheitert ist (die man also vermutlich gar nicht erst abgegeben hat), bekommt man nicht ausreichend Moeglichkeiten, diese zumindest nachzuvollziehen. Denn in den Übungsstunden ist nicht genügend Zeit vorhanden, alle Probleme zu behandeln. Aus diesem Grunde wäre ein Loesungsarchiv von Noeten. Dabei wäre es unerheblich, ob die Loesungen computergeschrieben oder handschriftlich vorliegen. Auch denkbar wäre es, fehlerfreie Loesungen von Studenten (mit Einverständnis) zu veroeffentlichen.

Übungscharakter vs. Vorlesungscharakter

Eine Übungsstunde sollte sich unserer Meinung nach vom Charakter her deutlich von einer Vorlesung abheben. Dazu gehoeren in erster Linie eine stärkere Interaktion der Teilnehmer und vielfältigere Arbeitsformen. Negativ fällt in unserer Übungsgruppe auf, dass jeder für sich die gestellte Aufgabe bearbeitet, die dann vom Übungsleiter vorgerechnet wird. Alternativ wäre etwa denkbar, dass nach einer Stillarbeitsphase ein Student die Loesung unter Hilfestellung der Kommilitonen und des Übungsleiters an der Tafel entwickelt. Dies sollte vom Übungsleiter nicht nur angeboten, sondern auch gefordert werden (selbst wenn noch niemand eine 100%ige Loesung hat). Ähnlich sollte auch jede Stunde wenigstens eine bereits zurückgegebene Aufgabe von einem Studenten vorgeführt werden. Dies hätte die zwei Vorteile, dass erstens jeder Einzelne die Chance bekäme, sich im Präsentieren von Ergebnissen zu üben und zweitens der Übungsleiter eine direktere Rückmeldung über den Kenntnisstand erhielte und damit gezielter auf Probleme der Gruppe eingehen koennte. Es ist offensichtlich, dass die unter 1) aufgeführten Missstände einen derartigen, produktiven Übungsverlauf erschweren.

Unvollständigkeit des Skripts (Beweise)

Was unter 2) die Aufgaben zum Abgeben betrifft, ist auch für die Aufwärmaufgaben von Bedeutung. Insbesondere die Loesungen solcher Aufgaben, die in der Vorlesung nicht geführte Beweise ersetzen sollen, müssen besprochen oder dokumentiert werden. Da in den Übungsstunden nicht jede dieser Aufgaben besprochen werden kann, wäre es sinnvoll, jeweils nach den Übungsstunden die entsprechenden Beweise im Skript nachzutragen. Der Inhalt der Vorlesung sollte für jeden (spätestens in der Phase der Klausurvorbereitung) ohne weiteres Nachrechnen /-Schlagen nachvollziehbar sein.

Alexander Müller und Janos 17:17, 27. Nov. 2009 (CET)

Erstmal vielen Dank für die sachliche Kritik.

Termine. Die sind in der Tat nicht optimal, da lässt sich, abhängig von Raummöglichkeiten, eventuell was verschieben, wenn das breit gewünscht wird.

Der Verlauf der einzelnen Übungsgruppen liegt in der Verantwortung der Übungsgruppenleiter und der Studierenden und hängt wesentlich von der aktiven Teilnahme der Studierenden ab. So weit ich das überblicke werden die Anteile an Vorrechnen und Stillarbeit in den Gruppen unterschiedlich gehandhabt. Auch die Vorlieben der Studierenden sind da sehr uneinheitlich. Ich empfehle, den direkten Kontakt zu den Übungsleitern zu suchen und auch das Forum für Wünsche stärker zu nutzen.

Musterlösungen wird es, wie schon mehrfach gesagt, nicht geben. Zu einzelnen Aufgaben werden ja auch Lösungen in den Übungsgruppen vorgestellt, auch wenn es zwischen Tafellösungen und druckreifen Lösungen immer noch einen Unterschied gibt. Gegen den Austausch von Lösungen unterhalb der Studierenden ist nichts einzuwenden.

Da sich der Stoff ohne aktive und intensive Auseinandersetzung nicht aneignen lässt, können einfache Beweise als Übungen ausgelagert werden. Der Maßstab dafür ist für mich, dass die Schlußweisen dafür direkt sind und in anderen Beweisen vorkommen. Wenn man mit den Definitionen hinreichend vertraut ist, sollte man diese Lücken schließen können. Gerade in der Klausurvorbereitung sollte man es sich als Warnung nehmen, wenn es daran scheitert.--Bocardodarapti 16:31, 29. Nov. 2009 (CET)

Ich bekunde hiermit ein Element der fraglichen breiten Masse zu sein... Aber ich würde gerne einmal nachfragen: Was ist der Grund dafür, dass es keine Musterlösungen gibt? Mangelnde Zeit/Überzeugung, dass es unwichtig ist oder didaktische Überlegungen? Immerhin könnten die Tutoren ja mit relativ geringem Aufwand korrekte Lösungen der Studierenden einscannen und veröffentlichen und wenn es keine einzige absolut korrekte Lösung von den Studierenden geben sollte wäre das ja auch ein Indiz dafür, dass die Aufgabe nochmal besonders nachbesprochen werden sollte. --Jonathan.Steinbuch 18:09, 2. Dez. 2009 (CET)

Was das Thema Austausch von Loesungen unter Studierenden angeht, so sei auf die Studiengruppe "Loesungen für Mathematik I" in StudIP hingewiesen, die sich zu diesem Zweck gegründet hat. Gruß, Janos 09:38, 9. Dez. 2009 (CET)

Frage zur Zulassung

Ich hab mal eine kleine Frage. Auf dem Zettel, den wir nach der ersten Vorlesung bekommen haben, steht, dass man insgesamt 200 Punkte erreichen muss, um für die Klausur zugelassen zu werden. Diese setzten sich zusammen aus 200 = 14 * 12 (also die Übungen) + 2 x 16. Meine Frage ist jetzt wo kommen die zweiten 16 Punkte her, die ersten kommen doch aus der Testklausur und die anderen?

Grüße Denise

Die Testklausur geht doppelt in die Wertung ein.--Bocardodarapti 18:23, 1. Dez. 2009 (CET)

Achso danke...

Frage zur Aufgabe 12.18

In einer Aufgabe (12.18) habe ich geschieben, dass es unbekannt ist, ob pi + e eine rationelle oder irrationelle Zahl ist. Das habe ich in Wikipedia in English, Spanisch und Deutsch in Artikeln, die serious ausehen(http://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number), gefunden. Stimmt das? Wenn nicht, wie kann man das beweissen. Welche ist die richtige Antwort von Aufgabe 12.18?

" Betrachte die Abbildung F: R -> R die eine rationale Zahl auf q schickt und die alle irrationalen Zahlen auf 0 schickt. Ist dies eine -lineare Abbildung? Ist sie mit Skalierung verträglich?

Mein Pünkt ist es, dass wenn diese Abbildung linear wäre, dann f(pi) + f(e) = f(pi + e). Wir wissen, dass f(pi) = 0 und f(e) = 0 ist. Ich habe antgewortet, dass die Aufgabe nicht triviall ist, weil es ein Beweiss für "pi + e ist irrationell wäre, die nach Wikipedia t eine offene Frage ist. Jedenfalls hat mein Tutor geschrieben, dass pi + e sicher eine irrationalle Zahl sei, was nicht unbedingt stimmt. Aufdemgrund habe ich Nullpunkte bekommen.

Richtig, wenn die Abbildung additiv wäre, so könnte man mit diesem Argument zeigen, dass ${}\pi +e$ irrational wäre. Das lässt vermuten, dass die Abbildung nicht additiv ist. Doch kann man dies auch einfacher zeigen, ohne die schwierige Frage zu beantworten.--Bocardodarapti 21:11, 7. Dez. 2009 (CET)

Gruppenmitglieder

Hallo zusammen, unsere Übungsgruppe hat sich leider minimiert und daher suchen wir 1-2 neue Mitglieder. Wenn jemand also noch eine Gruppe sucht, kann er sich gerne bei uns melden! khaas@uos.de

Grüße

Frage zur Musterloesung auf Stud IP

Hallo, im Stud IP ist unter den Dateien der Veranstaltung Mathematik I eine Musterloesung vom Tutor Daniel Brinkmann abgelegt. Gennant wird sie "Musterloesung zu Blatt 4"..oder so aber die Aufgabe beziehen sich überhauptnicht auf Baltt 4. Von welchem Blatt ist das denn nun die Musterloesung oder hab ich irgendwas (außer Mathe ;-)) nicht kapiert? gruß Falko

Die Angabe Blatt 4 bezieht sich vermutlich auf eine Mathe 1 Vorlesung aus einem alten Semester. Das ganze war als Beispiel gedacht um ein Kochrezept zu haben wie man ein LGS loest und das sauber aufschreibt.

Gruss, --Axel 08:46, 11. Dez. 2009 (CET)

Klausur

Hallo, ich habe zwar das Datum der "echten" Klausur am 29.03.10 gefunden, allerdings keine Uhrzeit. Ist die schon bekannt bzw. wie war das in den Jahren zuvor denn immer? Vormittags um 10?! Wie lange dauert die Klausur eigentlich? gruß Falko

10 Uhr --Bocardodarapti 18:51, 14. Dez. 2009 (CET)

Frage zur Lösung der Vorklausur

Hallo Ich habe eine Frage zu der Lösung der Vorklausur. Bei Aufgabe 2 soll die Injektivität gezeigt werden und da steht, dass wir zeigen müssen, dass x=x' und somit F(x)=F(x'). Aber das ist doch ein Widerspruch zur Definition der Injektivität und nach einem Widerspruchsbeweis sieht es auch nicht aus. Ist das da ein Fehler? Ich würde mich übere eine schnelle Antwort mit Erklärung freuen! Gruß Laura

Hallo Laura. Da steht, es gibt $x,x'$ mit $f(x)=f(x')$ und es ist $x=x'$ zu zeigen. Das ist genau die Definition von injektiv. Dass $(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x')$ gilt, folgt aus $f(x)=f(x')$, falls das die Frage war. --Daniel 8:17, 15. Dez. 2009 (CET)

Grafik des Aufgabenzettels 16

Hier der Link zu unserer Grafik. Grafik lieben gruß b.bulk

4 Schritte Plus Modell

Ich habe mehrere Frage und zwar die Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/ReflexionsaufgabenReflexionaufgabe: Dient diese zum Absolvieren des ersten Schritts? Wo ist diese Aufgabe dann abzugeben? Sind bestimmte Formatierung einzuhalten?

Danke Wünsche noch einen schönen Sonntag Dominik Kr.

wenn man nicht über Tutorien schreiben möchte, kann man sich auch inhaltlich mit diesen Fragen auseinandersetzen.--Bocardodarapti 13:11, 22. Feb. 2010 (CET)

Lösungen der 2. Testklausur

Ich hätte da mal eine Frage: Werden die lösungen der 2. Testklausur auch noch online gestellt??? wäre nämlich super :D Danke schon mal für die Antwort... Conny

Sind schon online, siehe hier: http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematik_I_(Osnabr%C3%BCck_2009_2010)/2/Probeklausur_mit_L%C3%B6sungen

--Axel 21:20, 1. Mär. 2010 (CET)

Frage zum Aufgabe 10.12

Die Aufgabe ist:

Es sei K ein angeordneter Körper und sei C = $\{(x_{n})_{n\in N}|$ Cauchyfolge in K }. Zeige, dass C ein Untervektorraum des Folgenraums C = $\{(x_{n})_{n\in N}|$ Folge in K }. Ich verstehe nicht, wie man beweissen soll, dass zwei Mengen Vektorräume sind... Vieleicht Mengen mit Abbildungen aber nicht nur Mengen...

Auf den Folgenräumen gibt es eine natürliche Addition und Skalarmultiplikation

so wenn $+:C\times C\mapsto C,(x_{n})_{n\in N}+(y_{n})_{n\in N}=(x_{n}+y_{n})_{n\in N}$

richtig

und $\cdot :C\times C\mapsto C(x_{n})_{n\in N}\cdot (y_{n})_{n\in N}=(x_{n}\cdot y_{n})_{n\in N}$.

Diese Multiplikation gibt es zwar, spielt hier aber keine Rolle. Die Skalarmultiplikation ist ${}\lambda \cdot (x_{n})_{n\in N}=(\lambda x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ( ${}\lambda \in \mathbb {R}$) --Bocardodarapti 16:23, 6. Mär. 2010 (CET)

aber Aber dann hat man $(1/n)_{n\in N}$ Cauchyfolge und $(n^{2})_{n\in N}$ Folge in K und $(1/n)_{n\in N}\cdot (n^{2})_{n\in N}=(n)_{n\in N}$, keine Cauchyfolge und kein Untervektorraum... Wie soll man die Aufgabe lösen?

Die von dir genannte Multiplikation spielt hier keine Rolle. Die für einen Vektorraum benötigte Multiplikation ist die Skalarmultiplikation, in diesem Fall also die Multiplikation einer Cauchyfolge mit einem Element aus $K$.--Daniel 17:16, 7. Mär. 2010 (CET)