Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesung E/Referenzsuche

Zu einer ganzen Zahl besteht aus allen Vielfachen von Zu zwei Zahlen besteht somit der Durchschnitt aus allen Zahlen, die sowohl von als auch von Vielfache sind, also aus allen gemeinsamen Vielfachen von

In der Tat gilt die folgende Aussage.

Lemma

Es seien ganze Zahlen.

Dann ist

wobei das kleinste gemeinsame Vielfache der ist.

Beweis

Nach Aufgabe 20.14 ist der Durchschnitt der Untergruppen wieder eine Untergruppe von Nach Satz 20.4 gibt es ein eindeutig bestimmtes

mit

Wegen

für alle ist ein Vielfaches von jedem also ein gemeinsames Vielfaches der Für jedes gemeinsame Vielfache dieser Elemente gilt

Die Zahl besitzt also die Eigenschaft, dass jedes gemeinsame Vielfache der Elemente ein Vielfaches von ist. Daher ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

$\Box$

Korollar

Es seien ganze Zahlen.

Dann ist jedes gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ein Vielfaches des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Lemma 21.1.

$\Box$

Für ganze Zahlen setzen wird den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache stets positiv an, um Eindeutigkeit zu erzielen. Grundsätzlich hat jeweils das Negative dazu die gleichen Eigenschaften.

Lemma

Für natürliche Zahlen gelten folgende Aussagen.

1. Für teilerfremde ist
2. Es gibt mit wobei teilerfremd sind.
3. Es ist
4. Es ist

Beweis

1. Zunächst ist natürlich das Produkt ein gemeinsames Vielfaches von und Es sei also irgendein gemeinsames Vielfaches, also Nach Satz 20.1 gibt es im teilerfremden Fall Zahlen mit Daher ist ein Vielfaches von
2. Die Existenz von und ist klar. Hätten einen gemeinsamen Teiler so ergäbe sich sofort der Widerspruch, dass ein größerer gemeinsamer Teiler von wäre.
3. Die rechte Seite ist offenbar ein gemeinsames Vielfaches von Es sei ein Vielfaches der linken Seite, also ein gemeinsames Vielfaches von Dann kann man schreiben. Damit ist und somit ist (bei bei ist die Behauptung direkt klar) ein gemeinsames Vielfaches von Also ist ein Vielfaches der rechten Seite.
4. Wir schreiben unter Verwendung der ersten Teile

$\Box$

Der Teil (4) der vorstehenden Aussage erlaubt es, das kleinste gemeinsame Vielfache zu zwei Zahlen algorithmisch dadurch zu bestimmen, dass man ihren größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des euklidischen Algorithmus bestimmt und das Produkt der beiden Zahlen durch diesen teilt.

Wir möchten nun zur Primfaktorzerlegung, deren Existenz wir bereits in Satz 12.9 gezeigt haben, beweisen, dass sie eindeutig ist. Natürlich kann man

schreiben, mit eindeutig ist also eindeutig bis auf die Reihenfolge gemeint. Um dies zu zeigen brauchen wir zunächst das sogenannte das eine wichtige Eigenschaft einer Primzahl beschreibt.

Satz

Es sei eine Primzahl und teile ein Produkt von natürlichen Zahlen

Dann teilt einen der Faktoren.

Beweis

Wir setzen voraus, dass kein Vielfaches von ist (andernfalls sind wir fertig). Dann müssen wir zeigen, dass ein Vielfaches von ist. Unter der gegebenen Voraussetzung sind

teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen mit

Da ein Vielfaches von ist, gibt es ein mit

Daher ist

Also ist ein Vielfaches von

$\Box$

Aus dem Lemma von Euklid folgt sofort die etwas stärkere Aussage: Wenn eine Primzahl ein beliebiges Produkt teilt, dann teilt mindestens einen Faktor. Man wendet das Lemma einfach auf an (formal ist das eine Induktion über die Anzahl der Faktoren). Dies wird im Beweis des folgenden verwendet.

Satz

Jede natürliche Zahl , besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.

D.h. es gibt eine Darstellung

mit Primzahlen

und dabei sind die Primfaktoren bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt.

Beweis

Die Existenz der Primfaktorzerlegung wurde bereits in Satz 12.9 gezeigt. Die Eindeutigkeit wird durch Induktion über gezeigt. Für

liegt eine Primzahl vor. Sei nun

und seien zwei Zerlegungen in Primfaktoren gegeben, sagen wir

Wir müssen zeigen, dass nach Umordnung die Primfaktorzerlegungen übereinstimmen. Die Gleichheit bedeutet insbesondere, dass die Primzahl das Produkt rechts teilt. Nach Satz 21.3 muss dann einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung können wir annehmen, dass von geteilt wird. Da selbst eine Primzahl ist, folgt, dass

sein muss. Daraus ergibt sich durch Kürzen, dass

ist. Nennen wir diese Zahl Da

ist, können wir die Induktionsvoraussetzung auf anwenden und erhalten, dass links und rechts die gleichen Primzahlen stehen. 

$\Box$

In der schreibt man die beteiligten Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge mit ihrem jeweiligen Exponenten, also beispielsweise

Damit ist insbesondere zu jeder ganzen Zahl

und jeder Primzahl eindeutig bestimmt, ob in der Primfaktorzerlegung überhaupt vorkommt und wenn ja mit welchem Exponenten.

Definition

Zu einer ganzen Zahl

und einer Primzahl

nennt man den Exponenten, mit dem  in der Primfaktorzerlegung von  vorkommt, den

Exponenten von Er wird mit bezeichnet.

Statt Exponent spricht man auch von der oder der von in Wenn in der Primfaktorzerlegung nicht vorkommt, so ist

Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl

kann man damit abstrakt und kompakt als

schreiben. Da in jeder Primfaktorzerlegung nur endlich viele Primzahlen wirklich vorkommen, ist dies ein endliches Produkt.

Zu

ist die Primfaktorzerlegung gleich

und somit gilt

und

für alle weiteren Primzahlen

Lemma

Es sei eine Primzahl und

der zugehörige Exponent. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Zahl ist die größte Potenz von die teilt.
2. Es ist
3. Es ist (es sei vorausgesetzt).

Beweis

Siehe Aufgabe 21.15.

$\Box$

Korollar

Es seien

positive natürliche Zahlen. Dann wird  von  genau dann geteilt,  

wenn für jede Primzahl die Beziehung

gilt.

Beweis

Aus der Beziehung

folgt in Verbindung mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung, dass die Primfaktoren von mit mindestens ihrer Vielfachheit auch in vorkommen müssen.
Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist

eine natürliche Zahl mit

$\Box$

Aus diesem Kriterium ergibt sich, dass man zu einer gegebenen Zahl, deren Primfaktorzerlegung vorliegt, einfach alle Teiler angeben kann. Bei

sind die (positiven) Teiler genau die Zahlen

Davon gibt es Stück.

Korollar

Es seien

positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen

Dann ist

und

Beweis

Dies folgt direkt aus Korollar 21.8.

$\Box$

Für die beiden Zahlen

ist beispielsweise der größte gemeinsame Teiler gleich und das kleinste gemeinsame Vielfache gleich

Häufig hängen zwei variable Größen - häufig mit und bezeichnet - in einer Weise voneinander ab, dass sich die zweite Größe aus der ersten errechnet, indem man mit einer bestimmten Konstanten multiplizieren muss. Zwischen den beiden Größen herrscht ein bestimmtes Wir besprechen einige typische Beispiele.

Beispiel

Der monatlich zu zahlende Strompreis hängt unmittelbar vom Verbrauch ab. Es gibt einen Grundpreis für die Kilowattstunde, sagen wir Cent, und dieser Grundpreis wird mit dem Verbrauch (sagen wir im Monat) multipliziert und ergibt dann den Gesamtstrompreis. Wenn man Kilowattstunden verbraucht hat, so muss man

zahlen, wenn man nur die Hälfte, also Kilowattstunden verbraucht hat, so muss man auch nur die Hälfte zahlen, gemäß

Beispiel

Ein Fahrradfahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von Stundenkilometer durch die Gegend. Nach Definition von Stundenkilometer legt er also in der Stunde Kilometer zurück. In zwei Stunden legt er somit

Kilometer zurück, in drei Stunden Kilometer, in vier Stunden Kilometer. Man kann natürlich auch überlegen, wie viele Kilometer er in kleineren Zeitabschnitten zurücklegt. Beispielsweise legt er in einer halben Stunde Kilometer zurück, in Minuten Kilometer und so weiter.

In den Beispielen gibt es eine einfache Formel, die aus der ersten Größe (Stromverbrauch, gefahrene Zeit) die zweite Größe (Stromkosten, gefahrene Strecke) ausrechnet. Die Formel lautet

bzw.

Dabei ist im Moment nicht wichtig, welche Zahlen für

erlaubt sind, jedenfalls kann man natürliche Zahlen einsetzen (bald auch rationale Zahlen). Wichtig ist aber, dass man auf den beiden Seiten der Formeln stets mit den gleichen Einheiten rechnen muss. In der ersten Gleichung muss der Stromverbrauch in Kilowattstunden eingegeben werden und man erhält den Gesamtpreis in Cent (wenn man mit Euro arbeiten möchte, muss man die durch $0,2$ ersetzen), in der zweiten Gleichung muss die Zeitdauer in Stunden und die Strecke in Kilometern angegeben werden. Wenn eine Zeitangabe nicht in Stunden angegeben ist, so muss man diese zuerst in Stunden umrechnen, bevor man die Formel benutzen darf. Dies liefert uns weitere wichtige Beispiele für einen solchen Zusammenhang.

Beispiel

Ein Tag besteht bekanntlich aus Stunden, eine Stunde aus Minuten, eine Minute aus Sekunden. Manchmal möchte man, beispielsweise, um verschiedene Angaben besser miteinander vergleichen zu können, eine Angabe in einer Einheit in eine andere Einheit umrechnen. Für die Umrechnung einer Zeitangabe in Stunden in eine Zeitangabe in Minuten muss man einfach die Stundenanzahl mit multiplizieren. Es liegt also die Beziehung

vor, wobei die Zeit in Stunden und die gleiche Zeit in Minuten angibt. Diesen Sachverhalt kann man sich auch durch eine Wertetabelle sichtbar machen.

Stunden
Minuten

Die Beziehung zwischen der Zeit in Tagen und in Stunden wird durch die Formel

ausgedrückt, wobei jetzt die Anzahl der Tage und die Anzahl der Stunden ist.

Tage
Stunden

Wenn man die beiden Umrechnungen als unabhängig voneinander betrachtet, so ist es unproblematisch, hier wieder mit den Variablen

zu arbeiten, es handelt sich dann um einen neuen Kontext. Wenn man allerdings gleichzeitig mit Tagen, Stunden und Minuten arbeiten möchte, so ist es sehr gefährlich, mit einmal die Stunden und einmal die Tage und mit einmal die Minuten und einmal die Stunden zu bezeichnen, und die Stunden einmal mit und einmal mit zu bezeichnen. Um dies zu vermeiden, schreibt man die zweite Formel mit neuen Variablen beispielsweise als

Häufig sind auch suggestive Variablensymbole hilfreich. Wenn man für Tage, für Stunden und für Minuten nimmt, so schreiben sich die Umrechnungsformeln als

und

Solche Bezeichnungsphilosophien sollte man aber auch nicht überstrapazieren, wenn man noch Sekunden mitberücksichtigen möchte, ist das wegen Stunden schon besetzt.

Beispiel

Häufig unterscheiden sich physikalische Einheiten um eine Zehnerpotenz. So gibt es Meter, Zentimeter, Millimeter, Kilometer oder Tonne, Kilogramm, Gramm, Milligramm (Zentner). In diesem Fall ist die Umrechnungsformel besonders einfach, beispielsweise gilt

wobei die Strecke in Meter und die Strecke in Zentimeter ist. Bei der rechnerischen Durchführung muss man dann nur eine gewisse Anzahl an Nullen anhängen oder weglassen.

Eine sinnvolle für eine solche Umrechnungsformel erhält man, wenn man für den Wert einsetzt.

Beispiel

Proportionale Zusammenhänge treten häufig bei geometrischen Figuren auf. Beispielsweise besteht zwischen dem Radius eines Kreises und seinem Umfang der proportionale Zusammenhang

zwischen dem Umfang eines Quadrats und seiner Seitenlänge gilt

zwischen der Höhe und der Grundseite in einem gleichseitigen Dreieck besteht die Beziehung

Beispiel

Ein wichtiger geometrischer Ursprung für konstante Verhältnisse liefern die Strahlensätze bzw. ähnliche Dreiecke. Man hat zwei durch einen Punkt gehende Geraden und zwei parallele Geraden gegeben, die nicht durch den Punkt verlaufen. Dann bestehen zwischen entsprechenden Seitenlängen in den entstehenden Dreiecken konstante Verhältnisse. Im Bild verhält sich beispielsweise die Strecke zur Strecke wie die Strecke zur Strecke Wenn man als variable Größe den Abstand von zu und als Größe die Streckenlänge der durch verlaufenden Dreiecksseite, die zur Strecke parallel ist, denkt, so liegt zwischen diesen Größen ein konstantes Verhältnis vor.

Beispiel

In der Musik entsprechen die Töne den Schwingungen bzw. Frequenzen. In einer Tonleiter bestehen zwischen den verschiedenen Tönen gewisse erlaubte, wohlklingende Verhältnisse. Die Bezeichnungen dafür orientieren sich an der Reihenfolge in einer Tonleiter. Eine Oktave entspricht dem Frequenzverhältnis (das ist der aber höhere Ton), eine Quinte entspricht beispielsweise dem Frequenzverhältnis Als Beispiel geben wir die Verhältnisse in Dur, das Verhältnis bezieht sich immer auf den Grundton Die Verhältnisse und die relativen Namen wie Große Sekunde sind in jeder Dur-Tonart gleich, die Buchstabenbezeichnungen und die anzuschlagenden Tasten ändern sich.

	Verhältnis	Verhältnisname	Ton in C-Dur

Definition

Wenn zwischen zwei Größen

(die in in in in oder einem beliebigen kommutativen Ring variieren), ein Zusammenhang der Form

mit einer festen Zahl besteht, so spricht man von einem proportionalen Zusammenhang zwischen den beiden Größen und man sagt, dass proportional zu ist. Die Zahl die den Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Größen darstellt, heißt Proportionalitätskonstante

Statt proportional spricht man auch von einem oder man sagt, dass zwischen den Größen ein konstantes besteht. Da man bei einem proportionalen Zusammenhang zu jedem den Wert

berechnen kann, liegt insbesondere eine Abbildung vor, die einem Wert den Wert zuordnet. Man spricht von einer oder einer und schreibt auch

Wenn man den Graphen eines proportionalen Zusammenhanges zwischen zwei Größen zeichnet, so ergibt sich eine Gerade durch den Nullpunkt. Die Proportionalitätskonstante schlägt sich in der der Geraden nieder. Der Proportionalitätsfaktor

und auch negative Proportionalitätsfaktoren sind erlaubt. Bei

sind die Rechnungen besonders einfach, wie wenn ein Huhn (pro Tag) ein Ei legt.

Wir fassen die einfachen Eigenschaften eines proportionalen Zusammenhangs in dem folgenden Lemma zusammen.

Lemma

Es sei ein proportionaler Zusammenhang

zwischen den beiden Größen

gegeben. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist
2. Es ist
3. Wenn man die Größe um einen bestimmten Wert erhöht, so erhöht sich die Größe um einen bestimmten Wert der unabhängig von ist.
4. Wenn man die Größe um einen bestimmten Faktor vervielfacht (verdoppelt, verdreifacht, verzehnfacht), so vervielfacht (verdoppelt, verdreifacht, verzehnfacht) sich die Größe um den gleichen Faktor.

Beweis

1. Ist klar nach Lemma 9.2  (1) für den Grundbereich bzw. nach Lemma 19.4  (1) für einen beliebigen kommutativen Ring.
2. Ist klar wegen
3. Nach dem Distributivgesetz ist Die Differenz zwischen dem Ausgangswert und dem erhöhten Wert ist somit und dies ist unabhängig von
4. Die Vervielfachung werde durch den Faktor ausgedrückt. Dann ist der Wert an der Stelle gleich wie aus dem Assoziativgesetz und dem Kommutativgesetz der Multiplikation folgt.

$\Box$

Da der Proportionalitätsfaktor die gesamte Proportionalität bestimmt, lässt sich nach (2) die gesamte Proportionalität aus dem Wert an der Stelle der Einheit ablesen. (3) bedeutet beispielsweise, dass wenn Heinz Ngolo und Mustafa Müller jeweils die gleiche Menge mehr Strom verbrauchen wie im Vormonat (weil sie sich den gleichen Rasenmäher gekauft haben und gleich oft Rasen mähen und ansonsten alles beim Alten bleibt), dass dann ihre jeweilige Stromrechnung um den gleichen Betrag steigt, unabhängig davon, wie viel sie im Vormonat gezahlt haben.

Bemerkung  

Häufig besteht zwischen Größen ein proportionaler Zusammenhang, der nicht durch eine Konstante des Zahlenbereiches gegeben ist, sondern dadurch, dass der Wert an einer bestimmten Stelle festgelegt ist, wie wenn der Preis für drei Äpfel als zwei Euro angegeben wird und nur die ganzen Zahlen zur Verfügung stehen. Ein solches Zahlenpaar legt dann einen (unvollständigen) proportionalen Zusammenhang nur für Vielfache dieser Zahlenpaare (und für Paare, die sich durch Division durch einen gemeinsamen Teiler ergeben) fest. Die Eigenschaften aus Lemma 22.9  (3,4) gelten auch in dieser Situation entsprechend.

Unter versteht man Aufgaben, bei denen es sich um Größen handelt, zwischen denen eine Proportionalität vorliegt, wobei man aber oft den Proportionalitätsfaktor noch gar nicht kennt. Es gibt im Wesentlichen die folgenden Aufgabentypen und Mischformen davon.

1. Der Zusammenhang ist vorgegeben, d.h. die Zahl ist bekannt und es geht darum, zu einem oder mehreren den zugehörigen Wert von zu bestimmen.
2. Der Zusammenhang ist vorgegeben, d.h. die Zahl ist bekannt und es geht darum, zu einem (oder mehreren) Funktionswert den Ausgangswert für zu bestimmen.
3. Es ist zwar klar, dass zwischen ein proportionaler Zusammenhang besteht, es ist aber nicht klar, wie der Proportionalitätsfaktor aussieht. Typischerweise ist ein bestimmtes mit dem zugehörigen Wert gegeben und es wird das gesucht, das den linearen Zusammenhang beschreibt, also das mit
4. Es ist zwar klar, dass zwischen ein proportionaler Zusammenhang besteht, es ist aber nicht klar, wie der Proportionalitätsfaktor aussieht. Es ist ein bestimmtes mit dem zugehörigen Wert gegeben und es wird der Wert zu einem weiteren gesucht (oder der Ausgangswert zu einem weiteren).

Die Formulierung in (4) ist eine Mischung aus (3) mit (1) bzw. mit (2). Allerdings kann man oft auch (4) direkt lösen, ohne den Proportionalitätsfaktor auszurechnen. Die Bezeichnung Dreisatz rührt von der Situation in (4) her, wo die Beziehung

betrachtet wird (unabhängig davon, ob man das mit anführt) und wo die drei Zahlen (bzw. $x_{0},y_{0},y_{1}$) vorgegeben sind und man die vierte Zahl (bzw.) bestimmen soll. Wir betrachten einige typische Beispiele.

Beispiel

Aufgabe: Mustafa Müller fährt mit seinem Fahrrad zu seiner Oma, die sechs Kilometer entfernt lebt, er braucht dazu eine halbe Stunde. Wie viele Minuten braucht er zu seinem Freund Heinz Ngolo, der einen Kilometer von ihm entfernt wohnt.

Das ist Typ (4) vom Dreisatz mit der zusätzlichen Schwierigkeit, dass die Zeitangaben sich auf unterschiedliche Einheiten, nämlich Stunden und Minuten beziehen. Man kann beispielsweise seine Fahrgeschwindigkeit ausrechnen, es ergibt sich, da er in einer halben Stunde sechs Kilometer zurücklegt, dass er in einer Stunde zwölf Kilometer zurücklegt. Er fährt also zwölf Stundenkilometer, der Proportionalitätsfaktor (nach dem nicht gefragt wurde) ist also Wir fragen uns nun nach der Zeit, die er benötigt, um einen Kilometer zurückzulegen. Da er für Kilometer Minuten braucht, benötigt er für einen Kilometer den zwölften Anteil einer Stunde, also Minuten.

Bemerkung  

Zwischen zwei Größen können unterschiedliche Proportionalitäten bestehen, beispielsweise kostet die Übernachtung Euro pro Urlaubstag, das Frühstück Euro pro Urlaubstag und der Strandkorb Euro pro Tag. In diesem Fall ist es sinnvoll, die einzelnen Proportionalitätskonstanten miteinander zu addieren, um eine Gesamtproportionalität zu erhalten, die die Gesamtkosten pro Tag wiedergibt. Wenn sich die beiden Proportionalitäten nicht auf die gleiche Grundeinheit wie hier ein Tag beziehen, so muss man zuerst einen gemeinsamen Bezugspunkt finden, um die beiden Proportionalitäten addieren zu können.

Bemerkung  

Wenn drei Größen gegeben sind und zwischen den beiden ersten eine Proportionalität und zwischen den beiden letzten Größen eine Proportionalität besteht, so besteht auch eine Proportionalität zwischen der ersten und der letzten Größe. Die neue Proportionalitätskonstante ist dabei das Produkt der beiden Proportionalitätskonstanten. Wenn nämlich

und

vorliegt, so ist

Eine solche Situation liegt zwischen Tagen, Stunden, Minuten vor. Oder wenn man pro Tag Schokoriegel isst und ein Schokoriegel Cent kostet, so sind die Schokoriegelkosten pro Tag gleich Euro.

Wir betrachten eine Gleichung der Form

mit fixierten ganzen Zahlen

und der unbekannten Zahl Diese Gleichung besitzt innerhalb der ganzen Zahlen genau dann eine Lösung, wenn ein Teiler von ist. Dies ist eine unmittelbare Umformulierung der Teilerbeziehung. Wenn dies der Fall ist, und

ist, so ist die eindeutig bestimmte Lösung gleich dem ganzzahligen Quotienten Eine solche Gleichung ist aber, wie die obigen Beispiele zeigen, auch sinnvoll, wenn kein Teiler von ist. Beispielsweise kann man Äpfel verkaufen und dabei drei Äpfel zum Preis von zwei Euro anbieten. Dann ist klar, dass sechs Äpfel vier Euro kosten u.s.w. Es liegt auch hier eine Proportionalität vor, es lässt sich aber kein Proportionalitätsfakor innerhalb der natürlichen Zahlen angeben. Der Preis für einen Apfel ist keine natürliche Zahl, aber das zwischen Preis zu Apfelanzahl ist konstant. So wie die Lösbarkeit der allgemeinen Differenzgleichung

Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der ganzen Zahlen war, ist die Lösbarkeit der allgemeinen Proportionalitätsgleichung

(mit) Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen. Wir möchten also sinnvolle Zahlen mit der charakteristischen Eigenschaft haben, dass sie mit multipliziert die Zahl ergeben. Da ganzzahlig ist, sagen wir aus kann man diese Multiplikation auf die fache Addition von mit sich selbst zurückführen. Wir suchen also eine Strecke, die, wenn man sie mal hintereinander hinlegt, die Strecke ergibt. en

Bemerkung  

Häufig liegt auch zwischen zwei Größen ein Zusammenhang der Form

vor, beispielsweise, wenn eine vom Verbrauch unabhängige Grundgebühr zu zahlen ist. Man spricht dann von einer Abbildung.

Eine Gleichung der Form

mit fixierten ganzen Zahlen besitzt innerhalb der ganzen Zahlen im Allgemeinen keine Lösung für Bei

und

gibt es auch keine Lösung innerhalb einer sinnvollen Zahlenbereichserweiterung. Bei

gibt es hingegen innerhalb der rationalen Zahlen eine eindeutige Lösung, nämlich

Wir führen nun die rationalen Zahlen, ausgehend von ein und zwar zunächst als Menge von Brüchen mit einer bestimmten Identifikation. Anschließend definieren wir eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge und weisen, ebenfalls unter Bezug auf die ganzen Zahlen, die Gültigkeit der wichtigsten Rechengesetze nach.

Als eine Motivation für die folgende Gleichsetzung von unterschiedlichen Brüchen betrachten wir nochmal die Proportionalität. Zwei ganze Zahlen

definieren einen proportionalen Zusammenhang der an der Stelle den Wert besitzt. Er besitzt dann an der Stelle den Wert Dieser Zusammenhang besteht unabhängig davon, ob er durch eine ganzzahlige Konstante in der Form

beschrieben werden kann. Ein proportionaler Zusammenhang ist durch ein einziges von verschiedenes Zahlenpaar eindeutig festgelegt, er kann durch die Gerade, die durch

verläuft, graphisch dargestellt werden, unabhängig davon, ob der proportionale Zusammenhang auf ganz definiert ist oder nicht. Dabei bestimmen zwei ganzzahlige Paare

genau dann den gleichen Zusammenhang (die Steigungen der zugehörigen linearen Graphen stimmen überein), wenn sie an der Stelle wo man die Werte unmittelbar vergleichen kann, den gleichen Wert besitzen. Die Werte sind an dieser Stelle

so dass genau im Fall

die beiden proportionalen Zusammenhänge als gleich zu betrachten sind. Dies ist eine Grundlage für die in der folgenden Definition auftretenden

Definition

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

wobei

und

sind, und wobei zwei Ausdrücke

genau dann als gleich betrachtet werden, wenn

(in) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit bezeichnet.

Einen Ausdruck nennt man Bruch, wobei der und der des Bruches heißt. Eine rationale Zahl wird durch verschiedene Brüche beschrieben und kann mit unterschiedlichen Zählern und Nennern dargestellt werden, beispielsweise ist

Man sagt auch, dass diese beiden Brüche gleichwertig sind. Für die rationale Zahl schreibt man einfach In diesem Sinne sind ganze Zahlen insbesondere auch rationale Zahlen. Insbesondere gibt es die Null

und die Eins

Es gelten die folgenden Identitäten (dabei seien

ansonsten seien

beliebig).

Die Begründung für de Richtigkeit dieser Regeln liegt in der Überkreuzregel. Die letzte Regel heißt (wenn man sie von links nach rechts liest) bzw. (wenn man sie von rechts nach links liest). Der Wert eines Bruches (also die rationale Zahl, die durch den Bruch festgelegt ist) ändert sich also nicht, wenn man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen, von verschiedenen ganzen Zahl multipliziert. Wegen

kann man jede rationale Zahl mit einem positiven Nenner schreiben. Zwei Brüche mit einem gemeinsamen Nenner, also von der Form

heißen Zwei beliebige Brüche

kann man gleichnamig machen, indem man sie durch Erweiterung auf einen bringt. Eine Möglichkeit ist, die beiden Nenner miteinander zu multiplizieren und zu den gleichwertigen Brüchen

überzugehen. Statt mit kann man mit jedem gemeinsamen Vielfachen der beiden Nenner arbeiten.

Definition

Ein Bruch heißt gekürzt wenn

teilerfremd sind.

Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine gekürzte Darstellung. Wenn man den Nenner positiv wählt, ist diese Darstellung sogar eindeutig. Man erhält sie, indem man in einer beliebigen Darstellung durch den größten gemeinsamen Teiler des Zählers und des Nenners dividiert und das Vorzeichen anpasst.

Definition

Eine rationale Zahl der Form heißt Stammbruch

Eine über formulierte Gleichung der Form

mit soll bei

eine eindeutige Lösung besitzen, nämlich Um dies formulieren zu können, müssen wir natürlich erstmal eine Multiplikation und eine Addition auf den rationalen Zahlen definieren. Bei gleichnamigen Nenner addiert man einfach die Zähler, auf diesen Fall kann die allgemeine Definition zurückgeführt werden. Mit diesem Übergang, endlich viele rationale Zahlen mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, kann man häufig Rechnungen und auch theoretische Überlegungen vereinfachen.

Definition

Die Addition der rationalen Zahlen

ist durch

definiert.

Man addiert also zwei rationale Zahlen, indem man die Nenner gleichnamig macht. Diese Operation ist wohldefiniert! Was soll das bedeuten? Es gibt hier das folgende Problem, das gerne übersehen wird. Die beiden rationalen Zahlen

die miteinander addiert werden sollen, besitzen unterschiedliche Darstellungen als Brüche, beispielsweise ist

und

In der Definition der Addition kann man mit einer beliebigen Bruchdarstellung arbeiten. Dann ergibt sich einerseits, wenn man jeweils die erste Darstellung nimmt, die Summe

und andererseits, wenn man jeweils die zweite Darstellung nimmt, die Summe

Es ist nicht unmittelbar klar, dass hier die gleiche rationale Zahl steht. Wegen

und

ist aber nach Erweitern mit und Kürzen durch

so dass das Ergebnis als rationale Zahl wohldefiniert ist. Nach der Definition nimmt man für den Nenner das Produkt der beiden Nenner. Man kann aber genauso gut ein beliebiges gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner und die entsprechende Erweiterung nehmen. Bei gleichem Nenner ist insbesondere

Definition

Die Multiplikation von rationalen Zahlen

ist durch

definiert.

Auch hier muss man die Wohldefiniertheit der Verknüpfung nachweisen, siehe Aufgabe 23.21. Mit der Multiplikation kann man einen Bruch auch als

schreiben. Bei positivem ist dies die fache Summe des Stammbruches mit sich selbst.

Bemerkung  

Die Addition von rationalen Zahlen kann man über die Proportionalitäten begründen. Es sei ein proportionaler Zusammenhang durch

und ein weiterer (gleichskaliger) proportionaler Zusammenhang durch

gegeben. Beispielsweise seien (vergleiche Bemerkung 22.12) die Übernachtungskosten dadurch beschrieben, dass Tage (und Nächte)

Euro kosten und die Verpflegungskosten dadurch beschrieben, dass  Tage  Euro kosten. Wie kann man die beiden Zusammenhänge sinnvoll addieren, also wie viel kostet Übernachtung und Verpflegung zusammen in einem bestimmten Zeitabschnitt? Die beiden Einzelangaben kann man nur dann sinnvoll miteinander verarbeiten, wenn sie sich auf die gleiche Tagesanzahl beziehen. Dies kann man erreichen, indem man zum Produkt der beiden Tagesanzahlen übergeht. Die Übernachtungskosten sind für  Tage gleich

und die Verpflegungskosten sind für Tage gleich

die Gesamtkosten für Tage sind also Euro.

Für eine entsprechende Interpretation der Multiplikation von rationalen Zahlen muss man die Hintereinanderschaltung von proportionalen Zusammenhängen wie in Bemerkung 22.13 betrachten.

Die Addition und die Multiplikation von rationalen Zahlen erfüllen weitere wichtige algebraische Eigenschaften. Letztlich werden diese auf die entsprechenden Gesetzmäßigkeiten von zurückgeführt.

Satz

Die rationalen Zahlen

erfüllen die folgenden Eigenschaften.   

1. Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit als neutralem Element. Zu jedem gibt es ein mit
2. Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit als neutralem Element. Zu jedem gibt es ein mit
3. Es gilt das Distributivgesetz.

Beweis

1. Die Kommutativität der Addition folgt unmittelbar aus der Definition und der Kommutativität der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Multiplikation. Zum Nachweis der Assoziativität können wir annehmen, dass alle drei beteiligten rationalen Zahlen den gleichen Nenner haben. Es sei also Dann ist Ferner ist Zu betrachtet man Dann ist
2. Die Kommutativität und die Assoziativität der Multiplikation ergeben sich unmittelbar aus der Definition und den entsprechenden Eigenschaften der ganzzahligen Verknüpfungen. Die hat die Eigenschaft es ist also das neutrale Element der Multiplikation. Zu einer rationalen Zahl ist mit (also sowohl der Zähler als auch der Nenner sind von verschieden) und daher ist auch der umgedrehte Bruch eine rationale Zahl, und es gilt
3. Zum Nachweis des Distributivgesetzes sei Damit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes der ganzen Zahlen

$\Box$

Man nennt die zu und man nennt bei

die Zahl die (oder den) zu

Wir erfassen die algebraischen Eigenschaften, die für die rationalen Zahlen gelten, mit einem eigenen Begriff.

Definition

Ein kommutativer Ring

heißt Körper wenn

ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Ein Körper ist also insbesondere ein kommutativer Ring. Jede Eigenschaft, die in einem kommutativen Ring gilt, gilt auch in einem Körper (aber nicht umgekehrt).

Die beiden wichtigsten Körper sind für uns der Körper der rationalen Zahlen und der Körper der reellen Zahlen, der Körper mit zwei Elementen wurde in Beispiel 11.4 besprochen. Zu einem Element

bezeichnet man, wie in jedem kommutativen Ring, dasjenige Element, das mit addiert die ergibt, als das Negative von geschrieben Zu einem Element , bezeichnet man dasjenige Element, das mit multipliziert die ergibt, als das Inverse von (oder den von oder die zu), geschrieben Auch dieses ist eindeutig bestimmt.

Bemerkung  

In einem Körper

wird für beliebige Elemente

 mit die

verwendet. Es handelt sich also um eine Abkürzung für das Produkt von mit dem inversen Element von Die Zahl ist das eindeutig bestimmte Element, das mit multipliziert das Element ergibt. Diese Schreibweise passt mit der Bruchschreibweise für rationale Zahlen zusammen, da ja

ist.

Die Berechnung von

nennt man wobei der und der der Division heißt, das Ergebnis heißt

Bemerkung  

In einem Körper

ist wie in jedem kommutativen Ring die additive Struktur  eine

kommutative Gruppe. Insbesondere besitzt in jedem Körper eine Gleichung der Form

mit

eine eindeutige Lösung, nämlich

wie sich direkt aus Lemma 19.8 ergibt. Darüber hinaus ist zu jedem Körper die multiplikative Struktur, wenn man die herausnimmt, also eine kommutative Gruppe. Dies bedeutet wiederum, dass eine Gleichung der Form

mit

eine eindeutige Lösung in besitzt, nämlich

Die folgende Eigenschaft heißt die eines Körpers. Sie gilt auch für im Allgemeinen aber nicht für jeden kommutativen Ring, siehe Aufgabe 19.5.

Lemma

Es sei ein Körper. Aus

folgt

oder

Beweis

Siehe Aufgabe 23.39.

$\Box$

In einem Körper kann man die Potenzschreibweise erweitern. Zu , und einer natürlichen Zahl

versteht man, wie in jedem kommutativen Ring, unter das fache Produkt von mit sich selbst (Faktoren). Für negatives

schreibt man

mit

und setzt

Für diese Potenzen gelten die folgenden die die Potenzgesetze für positive Exponenten (siehe Lemma 11.8), die in jedem kommutativen Halbring gelten, wesentlich erweitern.

Lemma

Es sei ein Körper und seien

Elemente aus Dann gelten die folgenden Potenzgesetze für

1. Es ist
2. Es ist das inverse Element zu

Beweis

(1) folgt aus Aufgabe 19.13, da eine Gruppe ist. (2). Bei

ist die linke Gleichheit eine Definition und die Behauptung folgt aus

Daraus folgt auch die Aussage für negatives Für (3), (4), (5) siehe Aufgabe 23.42.

$\Box$

Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren (die ganzen Zahlen seien dort schon platziert). Die rationale Zahl mit

findet man so: Man unterteilt die Strecke von nach in gleichlange Teilstrecken. Die Zahl ist dann die rechte Grenze des (von links) ersten Teilintervalls. Insbesondere ist die Länge des Intervalls, dass fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke von

(das Einheitsintervall) ergibt. Unter Bezugnahme auf elementargeometrische Eigenschaften der Ebene kann man diese Unterteilung folgendermaßen durchführen: Man betrachtet den linearen Graphen zum proportionalen Zusammenhang, der an der Stelle den Wert besitzt. Die Gerade, die senkrecht auf der Achse steht und durch den Punkt geht, trifft den Graphen in einem Punkt wobei die Länge der Verbindungsstrecke von

ist. Aufgrund des Strahlensatzes, angewendet auf die Strahlen Achse und linearer Graph und die durch

und

gegebenen parallelen Geraden, gilt die Verhältnisgleichheit

Die Streckenlänge kann man dann parallel auf die Achse verschieben, das Ergebnis ist der gesuchte Platz für Umgekehrt formuliert: Da das fache der Strecke von

die Länge besitzt, ist das fache der Strecke gleich der Länge Achtung! Die Steigung des proportionalen Zusammenhangs (die Proportionalitätskonstante), der an der Stelle den Wert besitzt, ist Diese Zahl ergibt sich geometrisch, wenn man den Graphen mit der durch

gegebenen Geraden (also die Gerade, die parallel zur Achse ist und durch den Punkt $(1,0)$ verläuft) schneidet, als Abstand zwischen dem Schnittpunkt und

Die Addition und die Multiplikation lassen sich ebenfalls auf der Zahlengeraden geometrisch deuten bzw. durchführen. Die Addition von zwei Punkten

ist die vektorielle Addition der Pfeile

wobei der Startpunkt des einen Vektors parallel verschoben an den Endpunkt des anderen Vektors angelegt wird. Für positive Zahlen bedeutet das einfach, dass die zugehörigen, von ausgehenden Strecken aneinandergelegt werden. Die Korrektheit dieser Interpretation beruht (für rationale Zahlen) darauf, dass man die beiden Strecken als ganzzahlige Vielfache einer Vergleichsstrecke darstellen kann (Übergang zu einem Hauptnenner), also

mit

schreiben kann. Dann ist die Hintereinanderlegung der Strecken einfach

Für die geometrische Deutung der Multiplikation muss man den Strahlensatz heranziehen, man muss die fixiert haben und man muss Zirkel und Lineal zur Verfügung haben. Die zu multiplizierenden Punkte

seien auf der Zahlengerade gegeben, die wir als Achse in einem Koordinatensystem auffassen. Auf der Achse (man könnte auch eine andere Gerade durch den Nullpunkt nehmen) markieren wir den Punkt der zum Nullpunkt den Abstand und somit die Koordinaten besitzt. Wir zeichnen die Gerade durch die beiden Punkte

Zu dieser Geraden zeichnen wir die parallele Gerade durch den Punkt Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Achse sei Mit dem Strahlensatz gilt dann die Beziehung

also ist

Das Produkt ist also der konstruierte Punkt Für den Nachweis der Korrektheit dieser geometrischen Multiplikation, die keinen Bezug auf den Strahlensatz nimmt, siehe Aufgabe 24.9.

Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. In der geometrischen Vorstellung bedeutet

für beliebige Punkte

aus der rechten Hälfte der Zahlengeraden (dem positiven Zahlenstrahl), dass die Strecke in der Strecke enthalten ist, bzw., dass rechts von liegt. Für eine rationale Zahl wissen wir, dass ein ganzzahliges (geometrisches) Vielfaches davon, also die fache Hintereinanderlegung der Strecke, eine ganze Zahl ergibt. Für zwei rationale Zahlen

gibt es daher eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass sowohl

ganzzahlig sind. Damit können wir den Vergleich von rationalen Zahlen auf den Vergleich von ganzen Zahlen zurückführen. Wenn

mit

ist, so kann man

nehmen und erhält die Beziehung

genau dann, wenn in die Beziehung

gilt. Hier begegnen wir wieder dem

Wir definieren eine Anordnung auf den rationalen Zahlen.

Definition

Auf den rationalen Zahlen

wird die

Größergleichrelation

durch

(bei positiven Nennern), falls

in gilt, definiert.

Wir müssen zuerst zeigen, dass diese Definition sinnvoll ist, also unabhängig von den gewählten Darstellungen der rationalen Zahlen als Brüche. Seien also

und

mit positiven Nennern. Dann ist

und

Aus

ergibt sich dann gemäß Lemma 19.13  (6) durch Multiplikation mit der positiven ganzen Zahl

Dies schreiben wir als

woraus sich durch Kürzen mit der positiven ganzen Zahl die Abschätzung

ergibt, die

bedeutet. Wegen der Symmetrie der Situation gilt auch die Umkehrung. Die Beziehung ist also unabhängig von dem gewählten Bruchrepräsentanten. Die zugrunde liegende Idee ist, die beiden zu vergleichenden Brüche auf einen gemeinsamen positiven Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Es ist

und

Es liegt also einerseits das Vielfache und andererseits das Vielfache des gleichen Stammbruches

Es leuchtet ein, dass die Größerbeziehung nur von dem ganzzahligen Vorfaktor abhängt. Daraus und aus der Tatsache, dass man auch drei rationale Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner bringen kann, folgt auch direkt, dass es sich um eine totale Ordnung handelt, siehe

Aufgabe 24.36.

Beispiel

Wir wollen die rationalen Zahlen

miteinander vergleichen. Man kann alle diese Zahlen auf den gemeinsamen Nenner bringen, wodurch man die Darstellungen

erhält, aus denen man an den Zählern unmittelbar die Größenverhältnisse ablesen kann. Man kann auch die Brüche paarweise gemäß der Definition vergleichen, wegen

ist beispielsweise

Um die Ordnungseigenschaften der rationalen Zahlen leichter erfassen zu können, empfiehlt es sich, mit angeordneten Körpern zu arbeiten. Dies ist einfach ein angeordneter Ring, der zugleich ein Körper ist.

Definition

Ein Körper

heißt angeordnet wenn es eine

totale Ordnung

auf  gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus folgt (für beliebige),
2. Aus und folgt (für beliebige),

erfüllt.

Die beiden Eigenschaften heißen wieder die und die Es wird sich später herausstellen, dass auch die reellen Zahlen einen angeordneten Körper bilden. Elemente

mit

heißen und mit

heißen

Satz

Die rationalen Zahlen bilden mit der in der Definition 24.1 festgelegten Ordnung

einen angeordneten Körper.

Beweis

Dass eine totale Ordnung vorliegt wird in Aufgabe 24.36 gezeigt. Es sei

und

mit positiven Nennern Durch Übergang zu einem gemeinsamen Hauptnenner können wir direkt

annehmen. Sei

also

Dann ist nach Lemma 19.11  (2) auch

und somit ist

Wenn die beiden Brüche

beide sind, so sind alle Zähler und Nenner aus und dies überträgt sich auf also ist auch dies

$\Box$

Da ein angeordneter Körper insbesondere ein angeordneter Ring ist, gelten die Eigenschaften aus Lemma 19.13 unmittelbar auch für und für Die dort angegebenen Regeln gelten bei einem angeordneten Körper auch dann, wenn man mit statt mit arbeitet. Wesentlich neue Aspekte bei einem angeordneten Körper treten in Bezug auf inverse Elemente auf.

Lemma

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Aus folgt auch
2. Aus folgt auch
3. Für ist genau dann, wenn ist.
4. Aus folgt
5. Für positive Elemente ist äquivalent zu

Beweis

Siehe Aufgabe 24.15, Aufgabe 24.16, Aufgabe 24.17, Aufgabe 24.18 und Aufgabe 24.19.

$\Box$

Definition

In einem angeordneten Körper

ist der Betrag eines Elementes 

folgendermaßen definiert.

Der Betrag ist also nie negativ (da aus

die Beziehung

folgt, vergleiche Lemma 19.13  (2)) und hat nur bei

den Wert sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung

nennt man auch Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper.

Dann erfüllt die Betragsfunktion

folgende Eigenschaften (dabei seien beliebige Elemente in).

1. Es ist
2. Es ist genau dann, wenn ist.
3. Es ist genau dann, wenn oder ist.
4. Es ist
5. Es ist
6. Für ist
7. Es ist ().
8. Es ist

Beweis

Siehe Aufgabe 24.27.

$\Box$

Die Zahl nennt man auch den der beiden Zahlen

und die Länge der Strecke (oder des) von

bzw. von

Bei

wird die Strecke von nach in () gleichlange Streckenabschnitte eingeteilt, wenn man die Zwischenpunkte

betrachtet (bei

bzw.

ergeben sich Randpunkte).

Definition

Zu Zahlen in einem angeordneten Körper

nennt man

das arithmetische Mittel der Zahlen.

Für zwei Zahlen

in einem angeordneten Körper gilt

siehe Aufgabe 24.30. Dies bedeutet insbesondere, dass es zwischen je zwei Zahlen in einem angeordneten Körper noch eine weitere Zahl dazwischen gibt. Da man dieses Argument beliebig oft wiederholen kann, gibt es zwischen je zwei Zahlen unendlich viele weitere Zahlen. In jeder beliebig kleinen positiven Umgebung eines Elementes gibt es unendlich viele Elemente.

Die folgende Aussage heißt Bernoullische Ungleichung.

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper und eine natürliche Zahl. Dann gilt für jedes  mit die Abschätzung

Beweis

Wir führen Induktion über Bei

steht beidseitig so dass die Aussage gilt. Es sei nun die Aussage für bereits bewiesen. Dann ist

da Quadrate (und positive Vielfache davon) in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.

$\Box$

Lemma

Zu jeder rationalen Zahl

gibt es eine natürliche Zahl mit

Beweis

Sei

mit positivem Wenn negativ ist, kann man jede natürliche Zahl nehmen. Wenn nicht negativ ist, so ist

und damit

gemäß der Definition der Ordnung auf den rationalen Zahlen.

$\Box$

Vor der folgenden Definition erinnern wir daran, dass jeder angeordnete Körper (und jeder angeordnete Ring) die ganzen Zahlen enthält.

Definition

Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem

eine natürliche Zahl mit

gibt.

Gemäß Lemma 25.1 sind die rationalen Zahlen archimedisch angeordnet. Die reellen Zahlen bilden ebenfalls, wie wir später in Lemma 46.7 sehen werden, einen archimedisch angeordneten Körper. Man kann sich darüber streiten, ob jeder angeordnete Körper, für den die Zahlengerade ein sinnvolles Modell ist, bereits archimedisch angeordnet ist. Da die Zahlengerade eine geometrisch-intuitives Konstrukt ist, lässt sich dies nicht endgültig entscheiden. Es geht um die Frage, ob die Vorstellung einer Zahlengeraden umfasst, dass es jenseits eines jeden Punktes auf der Geraden noch größere natürliche Zahlen gibt. Unabhängig davon sei bemerkt, dass es angeordnete Körper gibt, die nicht archimedisch angeordnet sind, siehe Aufgabe 50.30.

Lemma

In einem archimedisch angeordneten Körper

gibt es zu jedem Element

eine eindeutig bestimmte ganze Zahl

mit

Beweis

Dass es ganze Zahlen mit

gibt folgt unmittelbar aus der Definition bzw. für die untere Grenze aus Aufgabe 25.5. Da es nur endlich viele ganze Zahlen zwischen

gibt, findet man auch die zu nächstliegenden ganzen Zahlen.

$\Box$

Die letzte Aussage lässt sich gut mit Intervallen formulieren.

Definition

Es sei ein angeordneter Körper. Zu , nennt man

das abgeschlossene Intervall

das offene Intervall

das linksseitig offene Intervall

das rechtsseitig offene Intervall

Die Differenz nennt man die Bei

spricht man von einem ganzzahligen Intervall, das Intervall heißt das (abgeschlossene)

Die obige Aussage bedeutet, dass jedes Element  in einem archimedisch angeordneten Körper in einem eindeutig bestimmten Intervall der Form  mit 

liegt.

Definition

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und

Die Gaußklammer von ist durch

definiert.

Diese ganze Zahl existiert nach Lemma 25.3, da wir uns in einem archimedisch angeordneten Körper befinden. Ein damit verwandtes Konzept ist die Die Rundung einer rationalen (oder reellen) Zahl ist durch definiert. Sie gibt an, welche Ganze Zahl der Zahl am nächsten ist, wobei man die Werte abrundet.

Definition

Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

mit einer natürlichen Zahl und einer rationalen Zahl mit

und

Der Wert eines gemischten Bruches ist

Die natürliche Zahl heißt der und heißt der Ein gemischter Bruch ist eine besondere Darstellung für eine rationale Zahl, sie ist vor allem bei Mengen-, Zeit- und bei Längenangaben gebräuchlich, wie wenn man sagt, dass die Oper dreieinviertel Stunden gedauert hat. Vorteile sind, dass durch den ganzzahligen Anteil die Größenordnung der Zahl unmittelbar ersichtlich ist und dass sich diese Darstellung ergibt, wenn man bei einem gegebenen Bruch die Division mit Rest von Zähler durch Nenner durchführt. Ein Nachteil ist die Verwechslungsgefahr von mit dem Produkt In einem Kontext, in dem man mit gemischten Brüchen arbeitet, muss man auf die Konvention, dass man das Produktzeichen weglassen darf, verzichten. Was gemischte Brüche für negative Zahlen sind ist auch heikel.

Jede positive rationale Zahl besitzt eine Darstellung als gemischter Bruch, die bis auf das Kürzen des Bruchanteils eindeutig bestimmt ist. Zu einem Bruch erhält man die Darstellung als gemischter Bruch, indem man die Division mit Rest

mit

durchführt und die Umformung

vornimmt. Insbesondere ist

Bei der Weiterverarbeitung eines gemischten Bruches arbeitet man mit Dies kann man in einen ungemischten Bruch zurückrechnen, was aber nicht immer von Vorteil ist. Wenn man beispielsweise die beiden gemischten Brüche

miteinander addieren und das Ergebnis als gemischten Bruch haben möchte, so kann man von ausgehen und muss für die Summe der Brüche hinten nur überprüfen, ob diese übertrifft oder nicht und gegebenenfalls zum ganzen Anteil dazuschlagen.

Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß ist und egal wie klein ein positives ist, man kann stets mit hinreichend vielen die Zahl übertreffen. Egal wie klein eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede gegebene Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.

Lemma

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zu

mit

stets ein

mit

Beweis

Wir betrachten Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein mit

Da positiv ist, gilt nach Lemma 19.13 auch

$\Box$

Lemma

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei

Dann gibt es eine natürliche Zahl

mit

Beweis

Es ist eine nach Lemma 24.5  (1) positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl

mit

Dies ist nach Lemma 24.5  (4) äquivalent zu

$\Box$

Bei den beiden folgenden Aussagen denke man bei an eine sehr große und bei an eine sehr kleine Zahl.

Lemma

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und

Dann gibt es zu jedem

eine natürliche Zahl

mit

Beweis

Wir schreiben  mit Aufgrund von Lemma 25.7 gibt es eine natürliche Zahl mit

Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung

$\Box$

Korollar

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und

mit

Dann gibt es zu jedem positiven

eine natürliche Zahl

mit

Beweis

Sei

und

Nach Lemma 25.9 gibt es ein mit

Durch Übergang zu den inversen Elementen erhält man gemäß Lemma 24.5  (4) die Behauptung.

$\Box$

Abbildungen eines angeordneten Körpers in sich kann man dahingehend untersuchen, ob sie die Ordnung beibehalten oder verändern.

Definition

Es sei ein angeordneter Körper und

eine Teilmenge. Eine Abbildung

heißt wachsend wenn für je zwei Elemente

mit

auch

gilt.

Definition

Es sei ein angeordneter Körper und

eine Teilmenge. Eine Abbildung

heißt streng wachsend wenn für je zwei Elemente

mit

auch

gilt.

Definition

Es sei ein angeordneter Körper und

eine Teilmenge. Eine Abbildung

heißt fallend wenn für je zwei Elemente

mit

die Abschätzung

gilt.

Definition

Es sei ein angeordneter Körper und

eine Teilmenge. Eine Abbildung

heißt streng fallend wenn für je zwei Elemente

mit

die Abschätzung

gilt.

Als gemeinsame Bezeichnung spricht man von (streng) monotonen Funktionen.

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper,

eine Teilmenge und

eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion.

Dann ist injektiv.

Beweis

Es seien

verschieden. Da wir in einem angeordneten Körper sind, ist

oder

wobei wir ohne Einschränkung den ersten Fall annehmen können. Bei streng wachsender Monotonie folgt daraus

und insbesondere sind

verschieden, also ist die Abbildung injektiv.

$\Box$

Definition

Es sei ein Körper. Eine Funktion der Form

mit einem festen

heißt lineare Funktion

Lineare Funktionen drücken eine Proportionalität aus.

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper,

und

die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Bei ist streng wachsend.
2. Bei ist konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend.
3. Bei ist streng fallend.

Beweis

Die Aussagen folgen aus Lemma 19.13, wenn man dort durch ersetzt. Wir führen dies für (1) aus. Sei

und

Dann ist

und damit

also

und somit

$\Box$

Insbesondere ist die Negation

streng fallend.

Die Funktionen, deren Monotonieverhalten in der folgenden Aussage besprochen wird, heißen

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper und Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Abbildung ist streng wachsend.
2. Die Abbildung ist bei ungerade streng wachsend.
3. Die Abbildung ist bei gerade streng fallend.

Beweis

Der erste Teil folgt unmittelbar durch fache Anwendung von Lemma 19.13  (6), die beiden weiteren Teile ergeben sich daraus durch Berücksichtigung der Negation und Lemma 25.17  (3).

$\Box$

In einem Körper sind zu

und einer negativen ganzen Zahl

mit

auch die Ausdrücke

sinnvoll definiert und ergeben sinnvolle Funktionen

die man, wenn ein geordneter Körper vorliegt, ähnlich zu Lemma 25.18 auf das Monotonieverhalten hin untersuchen kann. Hierbei muss man hauptsächlich die Invertierungsfunktion

verstehen.

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper.

Dann ist die Abbildung

streng fallend und ebenso ist

streng fallend.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 24.5  (4) und Lemma 19.13  (2).

$\Box$

Obwohl die Invertierungsfunktionen auf den beiden Abschnitten, auf denen sie definiert ist, streng fallend ist, ist sie insgesamt nicht streng fallend. Wenn zwischen zwei Größen die Beziehung

mit einer Konstanten besteht, so spricht man von einem oder einem

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper und Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Abbildung ist streng fallend.
2. Die Abbildung ist bei ungerade streng fallend.
3. Die Abbildung ist bei gerade streng wachsend.

Beweis

Dies folgt wegen

und Lemma 24.5  (4) aus Lemma 25.18.

$\Box$