Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Forum

Injektivität und Surjektivität von linearen Abbildungen der gleichen Dimension

Sei φ eine lineare Abbildung über den Vektorräumen V,W, die beide die gleiche Dimension besitzen. Folgt dann aus der Surjektivität von φ auch die Injektivität und somit kern(φ) = 0?

ja, das ist der Inhalt von Korollar 11.8,

Frage zum Skript zu den Vorlesungen 13 und 14

Es gibt im Skript zwei kleine Details, die ich nicht verstehe:

Im Beweis zu Lemma 13.10 steht im letzten Satz, dass die Summe der fi eine Abbildung von V nach U ergeben, aber müsste es nicht eine Abbildung von V nach W sein? Sonst kommt auch kein U im Lemma oder dem Beweis vor, wenn ich es nicht übersehen habe.

In Vorlesung 14 ist in Bemerkung 14.3 die Abbildung fw definiert als ${}fw\colon V\longrightarrow W,\,v\longmapsto f(w)w\,,$ , aber müsste es nicht $v\longmapsto f(v)w$ sein? w ist doch gar nicht unbedingt im Definitionsbereich von f enthalten.

beides absolut richtig, es ist korrigiert, Danke und 1 KP.

Aufgabe 15.11

Habe eine Frage zur Musterlösung vom aktuellen Blatt 15 Aufgabe 11: Warum ist die Dimension von W 7 und nicht 6? Insgesamt sind doch nur 6 Variablen linear unabhängig voneinander und drei andere fallen durch geeignete Multiplikationen und anschließender Subtraktion weg. Zudem befindet sich in der Aufgabe ein Rechenfehler (Teil b, statt 190c muss das 130c sein) der sich aber nicht auf die Dimension auswirken sollte.

Sie haben neun Variablen und zwei unabhängige Gleichungen, macht 9-2=7 nach der Dimensionsformel; Sie können die zwei Gleichungen als Abbildung

K^{9}\longrightarrow K^{2}

auffassen, die surjektiv ist, der Kern ist der Lösungsraum. Danke für den anderen Hinweis. Sie können die Variablen ${}e$ bis ${}k$ frei vorgeben, das legt ${}b$ fest, und Sie können ${}d,g$ frei vorgeben, was ${}a$ festlegt. Die drei Variablen fallen nicht weg, sie sind in der zweiten Zeile nach der Elimination nicht mehr präsent, können aber nach wie vor belegt werden.

Lemma 15.5

Im Beweis von Lemma 15.5 (4) wird der Untervektorraum W als n-1-dimensionaler Untervektorraum eingeführt. Müsste seine Dimension aber nicht r-1 sein?

Richtig, Danke für den Hinweis,

Frage zu Aufgabe 34, Aufgabenblatt 16

Hallo,

verstehe ich das richtig, dass die Abbildung phi einem Tupel (v1, ..., vn) das Produkt der jeweiligen Bilder der Elemente des Tupels, das diese unter den linearen Abbildungen phi1, ..., phin besitzen, zuordnet?

Vielen Dank im Voraus!

ja.

Fehler in Vorlage Matrix44

Es werden keine 4x4 Matrizen mehr angezeigt, wie z.B. hier: https://de.wikiversity.org/wiki/Determinante/4x4/Aufgabe Das scheint an der letzten Änderung der Vorlage Matrix44 zu liegen.

Danke, ist erledigt.

Aufgabe 10, Arbeitsblatt 18

Hallo,

zu zeigen ist, dass die Produktgruppe Perm(Mi) eine Untergruppe von Perm(M) ist. Nach Definition einer Untergruppe wäre zu Beginn zu zeigen, dass Perm(Mi) überhaupt eine Teilmenge von Perm(M) ist, und nach Definition von Produktgruppen erhielte ich für die Produktgruppe Perm(Mi) Tupel mit jeweils einer Permutation einer jeden Teilmenge Mi von M. Dieses Tupel müsste nun (insoweit Perm(Mi) tatsächlich ein Teilmenge von Perm(M) ist) als Element in Perm(M) vorhanden sein - aber wie ist das möglich, wenn Perm(M) eigentlich überhaupt gar keine Tupel enthält? Ist das Begriff der Produktgruppe hier anders zu verstehen als im herkömmlichen Sinn? (also als das kartesische Produkt beliebig vieler Mengen)

Vielen Dank im Voraus!

ja, Sie müssen das Produkt der

{}Perm(M_{i})

'in natürlicher Weise' als Teilmenge von Perm (M) auffassen. Wenn Sie

{}M=\{1,...,5\}\cup \{6,...,9\}

zerlegt haben und eine Permutation vorne und eine hinten haben, wie würden Sie dann eine Permutation auf der Gesamtmenge kriegen?

Edit durch Fragensteller:

Vielen Dank für Ihre schnelle Antwort! Ich denke, ich verstehe, was Sie meinen. M besteht im obigen Fall aus den beiden (zueinander disjunkten) Teilmengen M1 = {1, ...,5} und M2 = {6,...,9). p1 sei nun eine Permutation auf M1, p2 eine Permutation auf M2. Demnach wäre das Paar (p1, p2) nicht nur ein Element der Produktgruppe Perm(M1xM2), sondern zugleich auch eine Permutation auf M und damit automatisch ein Element von Perm(M). Habe ich das so richtig gedeutet?

Lieben Gruß!

ja, wobei Sie in der Aufgabe auch deutlich machen sollen, wie genau (p1,p2) eine Permutation auf M ist.

Arbeitsblatt 20

Hallo,

Ist auf dem Arbeitsblatt 20 bei Aufgabe 20.17 nicht Aufgabe 20.12 gemeint (die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie) ? Dann wäre der gleiche Fehler ja auch bei der Weihnachtsaufgabe, 20.18, oder?

richtig, im Netz ist das schon richtig, auf der ausgegebenen Pdf-Version war es falsch, sorry.

Aufgabe 19.11

P ist in der Aufgabe definiert als $P=...-1$ . Geht das, oder müsste es $P=...+6$ sein? Beide Zahlen bezeichnen ja gewissermaßen das gleiche Element in diesem Körper, allerdings hatten wir ihn so definiert, dass er nur die Zahlen von 0 bis 6 enthält.

das geht, da es ja ein Körper ist und daher

{}1

ein Negatives ist. Es ist aber auch richtig, dass

{}-1=6

ist, Sie können es auch ersetzen.

Aufgabe 21.20

Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und f: V -> V eine lineare Abbildung sowie Streckung zum Streckungsfaktor a in K. Dass unter diesen Voraussetzungen jedes v in V, v ungleich 0, ein Eigenvektor von f ist, ist unmittelbar einsichtig. Für den Nachweis der umgekehrten Richtung scheint allerdings, so glaube ich, eine Information zu fehlen, denn wenn jedes v in V, v ungleich 0, ein Eigenvektor von f ist, dann gibt es zwar für jedes v in V, v ungleich 0, ein a in K, so dass f(v) = a * v (nach Definition), aber damit ist noch nicht gesagt, dass jedes v um denselben Eigenwert a gestreckt wird, denn es kann ja auch zwei oder sogar noch mehr verschiedene Eigenwerte geben - und damit automatisch keinen Streckungsfaktor, so dass f: V -> V auch keine Streckung sein kann.

Müsste in der Aufgabenstellung demnach nicht so etwas wie " ... ein Eigenvektor von f (zu a) ist." stehen? Oder ist die Definition von Eigenvektoren tatsächlich so zu verstehen, dass zwei oder mehr Eigenvektoren von f stets denselben Eigenwert besitzen?

Lieben Gruß!

es geht in der Tat darum zu zeigen, dass wenn jeder Vektor ein Eigenvektor ist (also erstmal eventuell auch zu verschiedenen Eigenwerten), dass es dann doch nur einen Eigenwert gibt, der für alle Vektoren gilt.

Skript Vorlesung 24

Können Sie bitte die PDF-Version von Vorlesung 24 aktualisieren? Vielen Dank im Voraus!

Satz 29.9

Im Beweis von Satz 29.9 sollte es, glaube ich,

${}a_{i_{0}}:=1-\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}\,$

heißen.

Sehr richtig, Danke für den Hinweis, 1 KP.

Satz 24.2

Hallo,

in Satz 24.2 heißt es:

"Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper K und es sei

f: V -> V

eine lineare Abbildung.

Dann gilt für das charakteristische Polynom die Beziehung

Xf(f) = 0."

Der Beweis besteht hier lediglich in dem Verweis auf Satz 24.1, wonach

XM(M) = 0

für eine nxn-Matrix M gilt. Bezieht sich das auf die Tatsache, dass jede lineare Abbildung durch eine Matrix beschrieben werden kann? Wenn ja, müsste dann nicht vorausgesetzt werden, dass f durch eine nxn-Matrix beschrieben werden kann? Denn wenn f durch eine mxn-Matrix beschrieben werden könnte, würde Satz 24.1 ja nicht mehr greifen, oder irre ich mich da?

da f von V nach V geht, ist die Dimension vorne und hinten gleich n, eine beschreibende Matrix ist also quadratisch.

...

Dankeschön!

...

Definition der Kodimension

In einer Beispielklausur ist folgende Aufgabenstellung zu finden:

https://de.wikiversity.org/wiki/Untervektorr%C3%A4ume/Gleiche_Dimension/Gemeinsames_direktes_Komplement/Aufgabe

In der Lösung wird eine Induktion über die Kodimension von U1 geführt, und dieser Begriff wird im Wikiversity folgendermaßen definiert:

https://de.wikiversity.org/wiki/Vektorraum/Untervektorraum/Kodimension/Definition

Nun heißt es in der Lösung weiter: (sinngemäß)

Wenn die Kodimension von U1 = 0 ist, dann gilt:

U1 = U2 = V.

Aber nach Definition gilt doch zunächst einmal nur:

KoDim(U1) = 0 <=> dim(V) - dim(U1) = 0 <=> dim(V) = dim(U1) = dim(U2) (letzte Identität nach Voraussetzung)

Wie gelingt von hier aus nun der Schluss auf U1 = U2 = V? Liegt hier eventuell ein Fehler vor?

Wenn

{}U\subseteq V

ein Untervektorraum ist, die Dimension der Räume aber gleich ist (und das ist bei Kodimension 0 der Fall), so ist schon

{}U=V

.

Danke sehr! Könnten Sie dies eventuell im Wikiversity zu Korollar 8.9 (oder wo auch es immer es besser passen mag) als Anmerkung ergänzen? Mir war dieser Fall nämlich bisher nicht klar, und aus den bisherigen Sätzen und Definitionen geht dies nicht hervor. (es sei denn, ich habe es übersehen)

es gibt jetzt eine Aufgabe auf Blatt 8

Beweis Satz 26.10

Hallo,

Sie haben im Beweis von Satz 26.10

https://de.wikiversity.org/wiki/Endomorphismus/Hauptraum/Algebraische_Vielfachheit/Fakt/Beweis

die Identität

H = kern P(f)

eingeführt und auch bewiesen, dass diese gilt. Also muss es sich bei H anscheinend um ein bestimmtes Objekt handeln, das Sie allerdings nicht definiert haben. Könnte es sich bei H um den Hauptraum handeln?

PS:

Müsste in dieser Lösung

https://de.wikiversity.org/wiki/Endomorphismus/Nilpotenter_Vektor/Invarianter_Unterraum/Aufgabe/L%C3%B6sung

nicht

"Dann ist auch f^m(v) = 0 ..." statt "Dann ist auch f^m(u) = 0 ..." stehen? f^m(u) = 0 gilt ja bereits nach Voraussetzung.

beides sehr richtig, ist korrigiert, Danke.

Beweis "Jedes Ideal im Polynomring ist ein Hauptideal".

Hallo,

ist es möglich, dass Sie in diesem Beweis

https://de.wikiversity.org/wiki/Polynomring_%C3%BCber_K%C3%B6rper/Eine_Variable/Ist_Hauptidealbereich/2/Fakt/Beweis/Aufgabe/L%C3%B6sung

die Umkehrung

P in (F) => P in I

vergessen haben? Oder soll es sich hierbei jeweils um Äquivalenzumformungen handeln?

Diese Richtung wurde vergessen, da sie klar ist. Wegen

{}F\in I

ist auch

{}FH\in I

für jedes Polynom

{}H

, und das ist schon das volle Hauptideal.

Beweis Basisaustauschlemma

Kann man bei dem ersten Teil des Beweises (neue Familie ist EZS) der Einfachheit halber auch o.B.d.A. a1≠0, statt ak≠0 setzen? Beweis: https://de.m.wikiversity.org/wiki/Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt/Beweis

im Beweis ja.

Beispielklausur 7.5

Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Lösung:

https://de.wikiversity.org/wiki/K%5E4_nach_K%5E3/Urbild_von_Untervektorraum/1/Aufgabe/L%C3%B6sung

Könnten Sie uns sagen, wie sie aus der Dimensionsformel den Schluss über die Surjektivität ziehen?

Lieben Gruß!

    Da der Kern eindimensional ist, ist nach der Dimensionsformel  ${}\operatorname {dim} _{}\left(K^{4}\right)=\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {kern} \varphi \right)+\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {bild} \varphi \right)\,$   das Bild dreidimensional 
    und als Untervektorraum des  $K^{3}$  schon der ganze Raum. Zu jedem Vektor v des  $K^{3}$  gibt es also einen Vektor des  $K^{4}$  der auf 
    v abgebildet wird.

Lemma 26.9 Beweis

"... aus $P(\varphi )(v)=Q(\varphi )(v)=0$ sofort $v=0$ folgt".

Ich stehe gerade auf dem Schlauch und verstehe nicht, warum das so ist. Könnten Sie das bitte noch mal erklären?

dies folgt aus der dritten Zeile des Displays, es ist

{}v=S(\varphi )(P(\varphi )(v))+T(\varphi )(Q(\varphi )(v))=S(\varphi )(0)+T(\varphi )(0)=0+0=0

.